拓扑学考试题及答案

拓扑学考试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.下列关于拓扑空间的说法正确的是（）A.拓扑空间中任意两个开集的交集是开集B.拓扑空间中任意两个闭集的并集是闭集C.拓扑空间中有限个开集的交集是开集D.以上都对2.拓扑空间中的连续映射保持（）A.开集B.闭集C.拓扑性质D.以上都不对3.下列属于拓扑不变性的是（）A.连通性B.紧致性C.可数性D.以上都是4.拓扑空间中一个点的邻域系满足（）A.包含该点B.有限交性质C.任意并封闭D.以上都对5.紧致空间的连续像（）紧致空间A.一定是B.不一定是C.一定不是D.以上都不对6.下列关于拓扑空间中基的说法错误的是（）A.基中元素的并等于整个空间B.基中任意两个元素的交集是基中元素的并C.空间中任意开集可表示为基中元素的并D.以上都对7.拓扑空间的子空间拓扑由（）诱导A.包含映射B.投影映射C.商映射D.以上都不对8.连通空间去掉一个点后（）连通A.一定还是B.不一定还是C.一定不是D.以上都不对9.下列关于拓扑空间中闭包的说法正确的是（）A.闭包是包含该集合的最小闭集B.闭包等于该集合与它的导集的并C.闭包是闭集D.以上都对10.拓扑空间中一个集合是紧致的当且仅当它的任意（）覆盖有有限子覆盖A.开B.闭C.子集D.以上都不对答案：1.D2.C3.D4.D5.A6.B7.A8.B9.D10.A多项选择题（每题2分，共10题）1.拓扑空间中的开集具有以下性质（）A.∅是开集B.全集是开集C.任意多个开集的并是开集D.有限多个开集的交是开集2.下列哪些是拓扑不变性（）A.分离性B.连通分支数C.边界D.维数3.拓扑空间中连续映射的等价刻画有（）A.开集的原像是开集B.闭集的原像是闭集C.收敛序列的像收敛D.以上都对4.紧致空间的性质包括（）A.闭子集紧致B.连续像紧致C.有限交非空D.以上都对5.拓扑空间中一个集合的内部具有以下特点（）A.是包含在该集合内的最大开集B.与该集合的闭包互为余集C.等于该集合减去它的边界D.以上都对6.拓扑空间的基可以用来（）A.生成拓扑B.描述开集C.刻画连续映射D.以上都对7.下列关于拓扑空间中子空间的说法正确的是（）A.子空间的拓扑是原空间拓扑的限制B.子空间中的开集是原空间开集与子空间的交C.子空间中的闭集是原空间闭集与子空间的交D.以上都对8.连通空间的特点有（）A.不能分解为两个非空不交开集的并B.任意两点可用道路连接C.道路连通则连通D.以上都对9.拓扑空间中一个集合的边界满足（）A.边界是闭集B.集合的闭包等于集合与它边界的并C.边界与集合的内部不交D.以上都对10.下列关于拓扑空间中商空间的说法正确的是（）A.由等价关系诱导B.商映射是连续满射C.商空间拓扑由商映射决定D.以上都对答案：1.ABCD2.ABD3.ABCD4.ABD5.ABCD6.ABCD7.ABCD8.ABCD9.ABCD10.ABCD判断题（每题2分，共10题）1.拓扑空间中任意子集都有边界。（）2.紧致空间一定是有界的。（）3.连续映射一定保持连通性。（）4.拓扑空间的基是唯一的。（）5.子空间的拓扑一定比原空间拓扑粗糙。（）6.连通空间去掉一个点后一定不连通。（）7.拓扑空间中闭包的闭包等于闭包。（）8.紧致空间的有限积是紧致的。（）9.拓扑空间中任意开集都有可数基。（）10.道路连通空间一定是连通空间。（）答案：1.√2.×3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.×10.√简答题（总4题，每题5分）1.简述拓扑空间中连续映射的定义。连续映射是指拓扑空间之间的映射，使得开集的原像是开集。2.紧致空间有哪些重要性质？闭子集紧致、连续像紧致、有限交非空等。3.什么叫拓扑空间的基？基是拓扑空间中一族开集，使得空间中任意开集可表示为基中元素的并。4.连通空间的定义是什么？不能分解为两个非空不交开集的并的拓扑空间。讨论题（总4题，每题5分）1.举例说明紧致空间和有界空间的关系。如有限点集拓扑空间紧致但无界，实数空间有界但不紧致，说明紧致和有界无必然联系。2.谈谈拓扑不变性在拓扑学研究中的意义。拓扑不变性是拓扑学核心，能区分不同拓扑结构空间，揭示空间本质特征，助于分类和理解拓扑空间。3.讨论连续映射