高考数学一轮复习 专题01 函数的性质（奇偶性、对称性、周期性）难点突破（学生版）

专题01函数的性质（奇偶性、对称性、周期性）难点突破知识讲解一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫作偶函数

关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫作奇函数

关于原点对称函数奇偶性的几个重要结论(1)为奇函数⇔的图象关于原点对称;为偶函数⇔的图象关于轴对称.(2)如果函数是偶函数,那么.(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即,其中定义域是关于原点对称的非空数集.(4)奇函数在两个对称的单调区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的单调区间上具有相反的单调性.(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.(6)设的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=,奇×奇=,偶+偶=,偶×偶=,奇×偶=.

(7)复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”.提醒:①(6)中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.②判断分段函数的奇偶性应分别对每段函数证明与的关系,只有当各段上的都满足相同关系时,才能判断其奇偶性.二、周期性1.周期函数:对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数为周期函数,称为这个函数的周期.

2.最小正周期:如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作的.

三、对称性1.若函数满足,则函数的图象关于对称.特别地,当时,,则函数的图象关于y轴对称,此时函数是偶函数.

2.若函数满足,则函数的图象关于点对称.特别地,当时,,则函数的图象关于原点对称,此时函数是奇函数.

函数图象的对称性(1)若函数是偶函数,即,则函数的图象关于直线对称.

(2)若对于上的任意都有,则函数的图象关于直线对称.

(3)若函数是奇函数,即,则函数的图象关于点中心对称.

题型一、函数奇偶性的判断1.判断下列函数的奇偶性.(1);(2)2.（2021年全国乙卷数学试题）设函数,则下列函数中为奇函数的是().A. B.C. D.3．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）若是奇函数，则_____，______．判断函数奇偶性的方法:(1)根据定义判断,首先看函数的定义域是否关于原点对称,在定义域关于原点对称的条件下,再化简解析式,根据与的关系作出判断.(2)利用函数图象特征判断.(3)分段函数奇偶性的判断,要分别从或来判断等式或是否成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.题型二、根据奇偶性求值1.（2023年贵阳模拟数学试题）设函数的最大值为,最小值为,则的值是（）.A.2 B.3 C.4 D.62.（2023年哈尔滨模拟数学试题）函数f(x)=x(ex+e-x)+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为,则的值为（）.A.-2 B.0 C.2 D.43.（2021年新高考全国Ⅱ卷数学试题）设函数的定义域为R,且为偶函数,为奇函数,则（）.A.B.C. D.4．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知函数，，则．5．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．6．（2023年湖南省联考数学试题）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是.利用函数的奇偶性求函数值,有时需根据函数所给表达式抽离出部分具有奇偶性的解析式来求解,若所给的函数有位置偏移,则可利用奇偶函数的对称性结合图象来求解函数值.题型三、根据奇偶性求参数1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．12．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．23．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））若函数为偶函数，则．4．（2023年北京模拟数学试题）若函数在定义域上为奇函数,则实数k=.

已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个:一是利用(奇函数)或(偶函数)在定义域内恒成立求解;二是利用特殊值求解,奇函数一般利用求解,偶函数一般利用求解.用两种方法求得参数后,一定要注意验证.题型四、根据奇偶性求解析式1．已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则当时,.

2．（2019年全国Ⅱ卷数学试题）设为奇函数,且当时,,则当时,().A． B．C． D．3．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则．已知函数的奇偶性求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出解析式,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.题型五、根据奇偶性判断图象特征1．下列四个选项中的函数,其图象可能是右图的是（）.A．B．C．D．2．已知函数,若的图象如图所示,则的解析式可能是（）.A． B．C．D．3．（2022年高考最后一卷（押题卷一）数学试题）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（

）A．是偶函数B．的图象关于直线对称C．是奇函数D．的图象关于点对称4．已知函数，其中，则（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．曲线是轴对称图形 D．曲线是中心对称图形利用函数的奇偶性与其图象的对称性,结合图象直观求解相关问题.题型六、函数的周期性及应用1．（2023年山东一模数学试题）已知函数是定义在上的奇函数,对任意的实数,,当x∈(0,2)时,,则（）.A． B． C． D．2．（2023年黑龙江二模数学试题）设是定义在上的周期为2的函数,当时,则.

3．（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类（湖北卷））已知在R上是奇函数，且，当时，，则（）A．-2 B．2 C．-98 D．984．（2023年山东模拟数学试题）已知定义在上的奇函数满足,若,则（）.A．-4 B．-2 C．0 D．2(1)函数周期性常用的结论对函数的定义域内任一自变量,①若,则;②若,则;③若,则;④若,则.(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).(3)在解决具体问题时,要注意结论“若是函数的周期,则也是函数的周期”的应用.题型六、函数的对称性1．已知的定义域为,其函数图象关于直线对称,且,若当时,,则下列结论错误的是（）.A．为偶函数B．在上单调递减C．的图象关于直线对称D．2．已知函数的定义域为,对任意都有,且,则下列结论正确的是

（）.A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．的最小正周期为D．为偶函数3．已知函数的定义域为,且为奇函数,其图象关于直线x=2对称.当x∈[0,4]时,f(x)=x2-4x,则f(2022)=.

4．（2023届湖南省一模数学试题）已知函数的定义域为，若函数为奇函数，且，，则（

）A． B．0 C．1 D．25．（2023届联考全国卷文科数学试题）已知是定义在R上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法一定正确的是（

）．A．函数的图象关于直线对称 B．函数的周期为2C．函数关于点中心对称 D．轴对称的常用结论(1)函数的图象关于直线对称.(2)函数为偶函数函数的图象关于直线对称.命题角度2函数的点对称6．已知函数满足,若函数与图象的交点为,则（）.A． B． C． D．7．（2023年湖州模拟数学试题）已知函数为奇函数,,且与图象的交点分别为,则.

点对称的常用结论(1)函数的图象关于点对称.(2)函数为奇函数函数的图象关于点对称.题型七、具体函数的性质综合应用1．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．2．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,则函数图象的对称中心的坐标为（）.A．(-1,2) B．(-1,-2)C．(1,2) D．(1,-2)3．（2023年河南模拟数学试题）已知定义域为的函数的图象关于原点对称,且,当时,则（）.A． B． C． D．4．关于函数有下述四个结论：①的图象关于直线对称

②在区间单调递减③的极大值为0

④有3个零点其中所有正确结论的编号为（

）A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④5．（2023届重庆市质量检测数学试题）已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．函数的奇偶性、周期性与对称性的解题技法(1)函数的奇偶性、周期性、对称性,一般是知二得一,特别是已知奇偶性和对称性,一般要先确定周期性.(2)若奇函数在处有意义,则一定有,偶函数一定有,要注意这两个结论在解题中的应用.(3)如果的图象关于点对称,且关于直线对称,那么函数的周期.(类比的图象)(4)如果的图象关于点对称,且关于点对称,那么函数的周期.(类比的图象)(5)若函数关于直线与直线对称,则函数的周期是.(类比的图象)题型八、抽象函数的性质综合应用1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则（）A． B． C． D．2．已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则（）A． B． C． D．3．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（）A． B． C． D．4．已知函数在上有意义,记为函数的导函数,又是奇函数,则下列判断错误的有（）.A．是奇函数B．是奇函数C．是偶函数D．是偶函数5．已知是定义在上的函数,且满足为偶函数,为奇函数,则下列说法错误的是（）.A．函数的周期为2B．函数的周期为4C．函数的图象关于点中心对称D．6．已知是定义域为的偶函数，若是偶函数，则＝（）A．－3 B．－2 C．2 D．3由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论(1)若函数是奇函数,且,则必有,的图象关于点对称.(2)若函数是奇函数,则函数的图象关于点对称.(3)若函数是偶函数,且,则必有,的图象关于直线对称.(4)若函数为奇函数(或偶函数),则函数的图象关于点对称(或关于直线对称).(5)若函数满足,则函数的图象关于直线对称;(6)若函数满足,则函数以为周期.题型九、利用函数的性质解抽象不等式1．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东卷））若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖南卷））设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．4．（2023届湖北省联合调研测试数学试题）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（

）A．B．C． D．5．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））设函数,则使成立的的取值范围是（）A．B．C． D．6．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增.若实数a满足,则a的取值范围是（）7．已知定义域为R的函数，是奇函数.（1）求，的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.8．已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；(2)证明函数f(x)在R上的单调性；(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.题型十、利用函数的性质解比较大小1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．2．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则A． B．C． D．3．已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为（）A． B． C． D．4．定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（

）．A． B．C． D．5．已知定义在上的函数满足:①;②为奇函数;③当时,恒成立,则的大小关系是().A． B．C． D．6．若定义在上的奇函数满足,且在[0,1]上是减函数,则有().A．B．C．D．7．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．8．已知函数，则使得不等式成立的t的取值范围为（

）A． B．C． D．9．已知函数（且为常数），的图象与的图象关于对称，且为奇函数，则不等式的解