高考数学一轮复习 专题13 正、余弦定理与解三角形（学生版）

专题13正、余弦定理与解三角形（核心考点精讲精练）1.近几年真题考点分布正、余弦定理与解三角形近几年考情考题示例考点分析关联考点2022年全国乙（文科），第17题,12分1、利用正弦定理求角2、利用正、余弦定理证明不等式诱导公式2022年全国乙（理科），第17题,12分1、利用正、余弦定理证明不等式2、利用正、余弦定理求三角形的周长2022年全国甲（理科），第16题,5分2022年全国甲（文科），第16题,5分用余弦定理解三角形，边长比取最值时，求边长基本不等式2023年全国乙（文科），第4题,5分利用正弦定理求角诱导公式2023年全国乙（理科），第18题,12分1、利用余弦定理求角的正弦值2、利用面积公式求面积同角公式2023年全国乙（理科），第9题,5分利用正、余弦定理线面角的正切值线面角、二面角2023年全国甲（理科），第16题,5分正、余弦定理解三角形，求边长2023年全国甲（文科），第17题,12分1、求边长的乘积2、正、余弦定理解三角形，求面积恒等变换2.命题规律及备考策略【命题规律】1.本节高考常考，各种题型均有出现；2.常以最值问题出现在小题的压轴题位置；3.常考查利用正、余弦定理解三角形，求面积、周长及代数式的取值范围4.考查正、余弦定理在实际情景中的应用【备考策略】1.能用正弦定理及面积公式解三角形；2.能用余弦定理解三角形；3.掌握正、余弦定理的简单实际应用；【命题预测】1.利用正、余弦定理证明不等式2.利用正、余弦定理解三角形，求面积、周长及代数式的取值范围3.正、余弦定理中的结构不良问题4.正、余弦定理在实际情景中的应用知识讲解一、正弦定理、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则定理正弦定理余弦定理内容a2=b2+c2-2bccosA;b2=;c2=a2+b2-2abcosC变形(1)a=2RsinA，b=，c=2RsinC；(2)sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=(3)a∶b∶c=；

(4)asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA；；.二、三角形的面积公式(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高)；；(r为△ABC)；(R为△ABC)；三、在△ABC中,已知a,b和角A时,解的情况如下:图形关系式解的个数a=bsinA

两解a=b

A为钝角或直角

一解四、实际应用中的常用术语1.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标线在水平线上方时叫仰角,目标视线在水平线下方时叫俯角(如图①).2.方向角相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等.3.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图②).4.坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比.1.三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π,变形为.2.三角形中的三角函数关系(1)sin(A+B)=，sin(A+C)=sinB，sin(B+C)=sinA；(2)cos(A+B)=-cosC，cos(A+C)=，cos(B+C)=-cosA；(3)，，；(4)，，；3.在△ABC中,sinA>sinB⇔A>B⇔a>b,cosA>cosB⇔A<B⇔a<b，大边对大角，小边对小角；4.三角形射影定理:a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=acosB+bcosA.5.三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.6.在△ABC中，若，则，即.7.若△ABC为，则或三个角中最大角的余弦值为正.8.若△ABC为，则.9.在△ABC中，各个角的正弦值一定大于0，即.利用正弦、余弦定理判断三角形形状的思路(1)“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的关系,从而判断三角形的形状.(2)“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)以及该角的两边,代入公式求面积;(2)若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.2.已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解;(2)若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解.平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题,通常是转化到三角形中,利用正、余弦定理,通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时,常先引入变量,如边长、角度等,然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来,再利用正、余弦定理列出方程求解,若研究最值,常使用函数思想.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤：利用向量的有关知识,把问题转化为三角形的边角关系,再结合正弦、余弦定理解三角形.距离问题的类型及解法(1)类型:两点间既不可达也不可视,两点间可视但不可达,两点都不可达.(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.求解高度问题:理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键,遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.考点一、判断三角形的形状1．△ABC的内角A,B,C所对的边分别为,若,则△ABC的形状为.

2．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为,若,则△ABC是三角形.

3．（2023年四川省模拟）在中，若，，则的形状为（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．钝角三角形 D．有一个内角为的直角三角形1．（2023年重庆市模拟）设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能2．（2023年江苏省模拟）一个三角形的三条高的长度分别是，，，则该三角形（

）A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．考点二、利用正、余弦定理求三角形的角1．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=.2．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．1．的内角的对边分别为，若，则．2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=.考点三、利用正、余弦定理求三角形的边1．（2023·全国甲卷理数真题）在中，，的角平分线交BC于D，则．2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在中，已知，，，则（

）A．1B． C． D．33．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））在中，,BC=1,AC=5，则AB=（）A． B． C． D．4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.1．（2023年江西省模拟）已知的内角，，的边分别对应，，，若，为中点，若，，则（

）A． B． C． D．2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（）A． B． C．2 D．33．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=（）A．6 B．5 C．4 D．3考点四、利用正、余弦定理求三角函数值1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（

）A． B． C． D．2．（2021年浙江省高考数学试题）在中，，M是的中点，，则，.3．（2019年北京市高考数学试卷（理科））在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．1．（2019年浙江省高考数学试卷）在中，，，，点在线段上，若，则；.2．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sinB=，c=．3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=.4．（2019年天津市高考数学试卷（文科））在中，内角所对的边分别为.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.考点五、面积公式的应用1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则．2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））的内角的对边分别为.若，则的面积为.3．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（）A． B． C． D．1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为．2．记的内角的对边分别为，点为边三等分点（靠近C）.若，，则的面积为.3．在△ABC中，．(1)求C的大小；(2)已知，求△ABC的面积的最大值．考点六、三角形有解的个数问题1．（2023年河南省联考数学试题）在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（

）A．无解 B．有一解C．有两解 D．解的个数不确定2．（2023年河南省模拟理科）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，B=45°，若三角形有两解，则b的取值范围是．3．（2023年云南省学业质量监测数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知条件：①，，；②，，．由条件①与条件②分别计算得到角B的解的个数为m，n，且正数x，y满足，则的最小值为．1．（2023年上海市模拟）在中，，，，则的解的个数是个.2．（2023年浙江省模拟）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，，若有两解，则的取值范围是.3．（2023年四川省模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的恰有一个，则实数b的取值范围为．考点七、正、余弦定理在平面几何中的应用1．（2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷理科））在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则.2．（2023年江苏省模拟）在中，，点D在边BC上，，若的面积为，则AD的最大值为.1．（2023届河北省冲刺模拟数学试题）如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为．

2．（2023届四川省统一考试理科数学试题）如图，圆的内接四边形中，与相交于点，平分，，．则的面积为．3．（2023届陕西省一模文科数学试题）在中，点D是边BC上一点，且，.，，则DC=.考点八、正、余弦定理在实际情景中的应用1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（

）A．346 B．373 C．446 D．4733．（2023年重庆市模拟）如图所示；测量队员在山脚A测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为．若，，，（参考数据：，，，，，），则山的高度约为（

）

A．181.13 B．179.88 C．186.12 D．190.211．（2023年江西省质量检测数学试题）北极阁位于鹰潭公园的东侧，前门是大码头，旧时为鹰潭最繁华的街市．某同学为测量北极阁的高度MN，在北极阁的正北方向找到一座建筑物AB，高约为30m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，北极阁顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得北极阁顶部M的仰角为15°，北极阁的高度约为（

）

A．45m B．52m C．60m D．65m2．（2023年黑龙江省模拟）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（

）米．

A． B． C． D．3．（2023年四川省模拟）伯乐树是中国特有国家一级保护树种，被誉为“植物中的龙凤”，常散生于湿润的沟谷坡地或小溪旁.一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度.他在与树干底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪（高度忽略不计）进行测量.如图，、是与树根处点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为点.植物学家在、两点测得的仰角分别为45°，30°，，且，则树的高度（

）

A．25米 B．米 C．30米 D．米考点九、利用正、余弦定理处理代数式的取值范围问题1．（2022年全国新高考I卷数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．2．（2020年浙江省高考数学试卷）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．3．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．4．（2023年四川省模拟）在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)若，求的值.(2)求的最大值.1．已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023年广东省模拟）在中，已知内角，，所对的边分别为，，且满足．(1)求角的大小；(2)若，求的最大值．3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求A；(2)若，求a的取值范围．4．在锐角中，角所对应的边分别为，且．(1)求角的值；(2)若，求边上高的取值范围．考点十、解答题中的面积问题1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．2．（2023年黑龙江省模拟）已知内角，，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，的面积为，求，的值.3．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．1．（2022年浙江省高考数学试题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，面积为2，求．3．（2023年安徽省质量统测数学试卷）记的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)设边上的高为，且，求面积的最小值.4．（2023年江西省模拟）锐角中，内角的边分别对应，已知.(1)求；(2)若，求的取值范围.考点十一、解答题中的周长问题1．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.3．（2023年四川省模拟）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角A的大小；(2)若，求周长的取值范围.1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为(1)求;(2)若求△ABC的周长.2．（2023年广西南宁市模拟）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围．考点十二、解答题中结构不良问题1．（2021年北京市高考数学试题）在中，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为；2．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东卷））在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3．（2022年贵州省质量检测数学试题）在①；②的最小值为；③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边为，，，且______.(1)求；(2)若是内角平分线，交于，，，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.1．（2020年北京市高考数学试卷）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．2．（2023年江苏省模拟）在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在横线上，回答下面问题.在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若___________.(1)求A的值；(2)若边长，求面积的最大值.3．（2023年湖北省部分市级示范校联考数学试题）在中，内角的对边分别为，若______，在以下条件中任选一个：①向量，，且；②向量，，且，并解答下列问题：(1)求角；(2)若的外接圆的半径为，且，求的面积.4．（2023年四川省模拟）已知的角，，所对的边分别为，，，且，．(1)若，求；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数的值域．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【基础过关】1．（2023年江苏省模拟）在中，角的对边分别为，，，若，，则．2．在中，若，，则.3．（2023年重庆市阶段性测试数学试题）在中，已知，，，则满足条件的三角形有个.4．（2023年黑龙江省模拟）在中，已知角A，B的对边分别为a，b，，，，则（

）．A． B． C． D．5．（2023年江西省模拟）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为．6．（2023年青海省联考数学试题）如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为，，且.若山高m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为.

7．（2023年安徽省质量检测数学试题（A卷））已知的内角的对边分别为，，，若，，的面积为，则的周长为．8．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（

）A． B．2 C．4 D．89．（2023年黑龙江省模拟）设的内角，，所对的边分别为，，，且，，，则的面积．10．（2023年江西省模拟）在锐角中，内角，，的边分别对应，，，若，则的取值范围是.11．（2023年贵州省模拟）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状可能为（

）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为的三角形12．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知分别是内角的对边，．（1）若，求（2）若，且求的面积．13．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国1卷））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.【能力提升】1．（2023年江苏省模拟）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度，且能直接观测到，设点的维度（与赤道平面所成角的度数）的最大值为，则（

）A． B． C． D．2．（2023年安徽省学业水平监测数学试题）“一部剧带火一座城”，五一期间，我市的地标建筑——中国南北分界线雕塑成为了网红打卡地，某校数学课外兴趣小组，拟借助所学知识测量该建筑的高度.记该雕塑的最高点为点A，其在地面的投影点为点H，在点H南偏西60°方向的点B处测得点A的仰角为60°，在点H正东方向的点C处测得点A的仰角为45°，点B，C相距米，则该雕塑的高度为米.

3．（2023年福建省模拟）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，