【初中数学】认识一次函数（二）2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第四章一次函数学习目标1.经历多情境的实例探究,理解一次函数和正比例函数的概念.2.能根据实际问题建立一次函数关系式,并能解释参数k,b的

实际含义4.2.2认识一次函数二温故知新

在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定唯一一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.什么叫函数?情景导入在弹性限度内,某弹簧的长度y(单位:cm)与所挂物体的质量x(单位:kg)的关系如下表所示:x/kg012345y/cm33.544.555.5(1)随着所挂物体质量x的增加,弹簧长度y的增长是“均匀”的吗?(2)写出y与x之间的关系式,并说明理由。解:(1)在弹性限度内是均匀增长.

尝试·思考某辆汽车油箱中原有汽油40L,汽车每行驶50km耗油4L。(1)完成下表:路程x/km050100150200250300耗油量y/L(2)写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式。(3)写出油箱剩余油量z(单位:L)与汽车行驶路程x之间的关系式。04812162024解(2)y=0.08x(3)z=40–0.08x（4）在(2)(3)中的函数关系中它们是“均匀”变化的吗?是均匀变化(1)在上面情境中,我们得到y=0.5x+3,z=40–0.08x,y=0.08x,它们有什么共同的特征?(2)请你写出一个具有这种特点的关系式。①都是含有两个变量x，y的等式.②x和y的指数都是一次.③自变量x的系数都不为０.④都是均匀变化的1.如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的一次函数。观察·思考概念:2.在一次函数y=kx+b中,特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数注意;正比例函数也是一次函数，它是一次函数的一个特例2.在上面的三个函数:y=0.5x+3,z=40–0.08x,y=0.08x,中,它们都是

函数,其中y=0.08x又是

函数.3.说出上面三个一次函数中的k,b的值及函数值的变化规律.在一次函数y=0.5x+3中,k=0.5,b=3,自变量每增加1,函数值就增加0.5

在正比例函数y=0.08x中,k=0.08,b=0,自变量每增加1,函数值就增加0.081.对一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)而言,自变量每增加1,函数值就增加

,函数值的变化是

的。正比例一次k均匀观察·思考典例精析例1.写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:

y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(单位:km)与行驶时间x(单位:h)之间的关系;(2)圆的面积y(单位:cm2)与它的半径x(单位:cm)之间的关系;(3)某水池有水15m3,现打开进水管进水,进水速度为5m3/h,经过xh这

个水池内有水ym3解:(1)由路程=速度×时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数;(2)由圆的面积公式,得y=πx2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数;(3)这个水池每小时增加水5m3,xh增加水5xm3,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数。(1)例1中,两个一次函数：①y=60x,②y=15+5x的一次项系数k和常数

项b分别是多少,它们的实际意义是什么?思考·交流(2)一般地,k,b对一次函数y=kx+b有怎样的影响?与同伴进行交流。①

在y=60x中,k=60,b=0,k的实际意义是汽车的速度是60km/h,b的实际意义是汽车初始行驶里程为0km.②

在y=15+5x中,k=5,b=15,k的实际意义是进水的速度是5m3/h,b的实际意义是水池初始水量为15m3.k的数值影响函数值变化快慢,其绝对值越大变化越快,越小越慢k的符号影响函数值变化方向,正数时变大,负数时变小.b的值表示函数值的初始值,既x=0时,函数值y=b典例精析例2.在一次测试中,某汽车紧急刹车后,每过1s其速度减少35km/h。(1)假设该汽车以120km/h的速度行驶,试写出该汽车刹车后的速

度y(单位:km/h)与刹车后所经过的时间t(单位:s)之间的关系式:y=kt+b,并说明k和b的实际意义;(2)求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间。解:(1)刹车开始时汽车的速度为120km/h,每过1s汽车的速度减少35km/h,

所以经过ts汽车的速度减少了35tkm/h,所以关系式是:y=-35t+120。其中,k=-35表示每秒汽车速度的变化量是:减少35km/h,b=120表示刹车开始时汽车的速度。

当堂测评

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4C

B

1234……

A

B

每分钟流出的油量油箱中最开始的油量40

课堂小结这节课,你学会了什么?1.一次函数和正比例函数的概念：(1)如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)