2023年小升初几何专题

小升初几何专题

几何（一）平面图形

一、知识地图

平行线间等积变形

三角形一一等底等高

底边与面积关系

健仄点引平行线，构成四个小矩形

“一个思想”等积变形矩形？一两阅”点构成四个三角形

‘共边定理

其它

共角定理

三角形底边与面积关系

蝴蝶定理

“五个模型”梯形蝴蝶定理

相似三角形

燕尾定理

基础知识

小学奥数的平面几何问题，是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化

应用，交织而成。攻克奥数平面几何，一定要从等积变形开始。

1.等积变形。

等积变形，它的特点是运用面积相等而进行互相转换，面积相等的两个图形

我们就称之为等积形。我们所研究的等积变形，更多的是三角形的等积变形，三

角形等积变形的中心思想是等底等高，由于三角形的面积=底乂高+2,所以说

等底等高的两个三角形面积相等。此外，等底等高的平行四边形、梯形（梯形等

底应理解为两底和相等）的面积也相等。在实际中，我们经常用到的与等积变形

相关的性质重要有以下几点：

（1）直线平行于，可知；

反之，假如，则可知直线平行于。

B

（由于平行线间的距离是处处相等的哦！，聪明的你想到了吗？）

（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

特别地，我们有等腰三角形底边上的高线平分三角形面积

三角形一边上的中线平分这个三角形的面积。

平行四边形的对角线平分它的面积

（3）共边定理：若^和^的公共边所在直线与直线交于，则

（4）共角定理：在^和^中，若或，则。

（5）过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行，所分得的四个小矩形,

其面积满足：。

SiS2

S3S4

（6）E为矩形ABCD内部的任意一点，则

:当E落在矩形的某条边上时，也成立.

特别地，（5）（6）两条性质对于平行四边形同样成立。

2.五大模型。

我们把学习中经常碰到的问题归纳为五个基本的模型，总的来说，这五

个基本模型都是用来解决三角形边与面积之间关系互相转换的问题。让我

们一起来感受一下模型的魅力吧！

模型一：在同一三角形中，相应面积与底成正比关系：

即：两个三角形高相等，面积之上等于相应底边之比。

或：两个三角形底相等，面积之比等于相应的高之比。

S］：S2二a：b；

拓展：等分点结论（“鸟头定理”）

如图，三角形AED占三角形ABC面积的X=

鸟头定理是对模型一的一个拓展，有爱好的话，你可以试着证明一下哦!

模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）

D

A

S1

①&：­：S3或者S1XS3=S2XS4

②AO：0C=(S1+S2):(St+S3)

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。构造模型，一

方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系，另一方

面，我们也可以得到与面积相应的对角线的比例关系。

模型三：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

22

①S|：S3=a：b

22

②Si:S3:S2:S尸a：b：ab：ab；

③S的相应份数为（a+b）

梯形蝴蝶定理，给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道。

构造模型，直接应用结论，往往有事半功倍的效果。

模型四：相似三角形性质

①q=2=£=2;

ABCH

22

②Si：S2=a：A

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形，（只要其形状不改变,

不管大小如何改变他们都相似），与相似三角形相关，常用的性质及

定理如下：

（1）相似三角形的相应角相等，相应边成比例。

（2）相似三角形的一叨相应线段（相应高、相应中线、相应角平分线、外接圆

半径、内切圆半径等）的比等于它们的相似比。

（3）相似三角形周长的比等于它们的相似比。

（4）相似三角形面积的比等于它们相似比的平方。

（5）特别的，连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线，关

于三角形的中位线我们有这样一个结论：

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所相应的底边长的一半。

对于梯形，我们也有类似的结论。连接梯形两腰得到的线段我们叫做梯形

的中位线。

梯形的中位线长等于它上下底边之和的一半。

（6）那么如何判断三角形是不是相似呢？我们一般有三种方法：

a:三个角相应相等的三角形相似，（事实上只要有两个角相等就可以

了）。

b:有两边相应成比例且其两条边的夹角相等的三角形相似。

c:三边分别相应成比例的三角形相似。

注意：在小学奥数里，最多余现的情况是由于两条平行线而出现相似三角

形，如模型四。

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系互相转化的

工具。

模型五：燕尾定理

A

SAABG:SAAGC=SABGE:SAEGC=BE:EC；

SABGA:SABGC=SAAGF:SAFGC=AF:FC；

SAAGC:SABCG=SAADG:SADGB=AD:DB；

燕尾定理由于图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个

三角形之中，为三角形中的三角形面积相应底边之间提供互相联系的途径。

3.计算过程中连接辅助线的四个原则。

（1）几何作为数形结合的学科，图形的运用往往在解题过程中起到至关重要

的作用。在小学阶段的平面几何学习中，我们在运用图形连接辅助线时一

般遵循以下四个原则：

把四边形或者多边形变为三角形，例如：

连接等分点，例如:

QC

B

A

构造模型，例如:

（4）做高线，构造直角三角形

三、经典透析

【例1】（☆☆☆）如下左图。将三角形ABC的BA边延长1倍到D,CB边延长2

倍到E,AC边延长3倍到Fo假如三角形ABC的面积等于1,那么三角形DEF的

面积是_____o

审题要点：题目中给出的已知条件都是边的倍比关系，其余的条件中只有一个

三角形ABC的面积是己知，要想办法使已知条件可以互相关联，使边的倍比关

系可以转化为面积之比，可以选择模型一应用。

详解过程：

解：连结AE、BF、CD（如上右图）

由EB=2BC,得SZ\ABE=2。

同理可得S△而=2

SABEF=2XSACBF-6o

SacED—3XSA\CD-3o

所以SADEF'=1+2+3+1+2+6+3=18。

专家点评：这是北京市第一届“迎春杯”刊赛第32题，非常经典。解题过程中

通过连接AE、BF、CD,使题目中所给的边的倍比关系可以构造模型一互相关联,

再通过共高三角形面积与相应底边之间的相应比例关系求解。

【例？】（☆☆☆）设，，，假如三角形的面积为19平方

厘米，那么三角形的面积是平方厘米。

审题要点：和【例1】类似，题目已知条件中边的倍比关系比较多，可以考虑应

用模型一。

解:

413

=11

*5AABC(-———*5AABC119

15620

专家点评：这是2023年小学数学奥林匹克A卷的，其实竞赛题不一定都是很难,

特别是平面几何部分，但他们十之八九都是很巧妙的，拿这道题来说，图形长

得很普通，而题目当中又给了那么多的倍比关系，那我们是不是可以考虑构造

模型一呢？整体看，，除了，其余三个我们可以直接用“鸟头定理”。鸟头

定理也是本题的一个中心考点。

【例3】（☆翁翁）四边形的对角线与交于点（如图）所示。假如三

角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度

的_________倍。

D

审题要点：在本题中四边形ABCD为任意四边形，且出现SZXABD:SABCD=1:

3。联想模型二蝴蝶定理结论。

详解过程：

解法一：

OC=2x3=6

:.OC:OD=6:3=2

解法二:

:.AH=-CG

3

:.AO=-CO

3

:.OC=2x3=6

:.OC:OD=6:3=2

专家点评：本题是2023北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛的试题。

在本题中，三角形和三角形的面积之比如何转化是关键。方法一直接应用模

型二蝴蝶定理的结论，而我们也可以不应用蝴蝶定理，那么观测题目中给出的

已知条件是面积的关系，转化为边的关系，我们需要一个中介，于是做垂直

于H,于，面积比转化为高之比。再应用模型一的结论：三角形高相同,

则面积之比等于底边之比，得出AOCOo

[例4]:(☆☆☆☆)如下图所示，AE：EC=1：2,CD：DB=1：4,BF：FA

=1：3,

三角形ABC的面积等于1,那么四边形AFHG的面积是。

审题要点：四边形AF1IG的面积可以看作是三角形ABC的面积减去三角形BEC

的面积再分别减去三角形BFH和三角形AGE的面积得到的。如何把三角形边的倍

比关系和规定的面积相联系，是这道题的重点问题。

详解过程：

以下各图为了强调相关部分，暂去掉此外线条。

解：如下图所示，我们分别求出BFH、AGE口勺面积问题也就解决。

如上图，我们设BFH=x,则AFH=3x；设AHE=y,则CEH=2y；

于是有ABE=4x+y=-

3

ACF=3y+3x=。

4

有，则9x=,所以x=；

如下图，我们设AEG=a,则CEG=2a；

设CDG=b,贝ijBDG=4b；

于是有ACD=3a+b=-

5

BCE=2a+5b=-

3

有,则13a=，所以a=；

这样，AFHG=ABE-BFH-AEG=一一=。

专家点评：求四边形，可由三角形的面积减去三角形的面积，再分

别减去三角形BFH和三角形AGE的面积。而三角形的面积可从三角形面积与底

边的比例关系得到，于是问题转化为如何求及。与可由二元一次方程组

分别解得。

解法二:

BH:HE=SZXBFC:SAEFC=(X)=1：2

所以BE1

S*S&X(*)=-X(-xl)

34336

同理:

A

所以，SAAGE=SAADCX(X)=X(X)=

AG：AD=5：(5+8)=5:13

所以,

S四边形AFHG=SASABE-S^BFH—S△ABG

33639

131

468

专家点评：本题解法二应用的考点比较多，基本解题思绪和解法一差不多,

都是由SAFHG=SAABE-SABFH-SAAEG得出，而解法二一方面应用蝴蝶定理，

先求线段BH与HE的比例关系，再运用鸟头定理解出及，最后求出S四边形

AFHGo比解法一略显简洁，并且计算上也比较方便。

注意考点：鸟头定理和蝴蝶定理的应用

【例5】（☆☆☆）设正方形的面积为1,下图中E、

F分别为AB、BD的中点，GC=FCo求阴影部分面积。

审题要点：阴影部分为三角形，知道底边为正方形边长的一半，只规定出高,

便可解出面积。

解：作FH垂直BC于H；GI垂直BC于I

根据相似三角形定理CG：根=CI：根=1：3

又,.,CH=HB

ACT：CB=1：6即BT：CB=(6-1)：6=5：6

s_1x1x5_5

22624

专家点评：本题考察模型四，运用三角形相似的性质，求出三角形相应边

的比例关系及长度，从而拟定阴影部分的面积。

【例6】(☆☆☆☆)ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、

F分别为AB,BC的中点，则图中阴影部分的面积为一平方厘米。

审题要点：题目中出现E、F分别为边的中点，可以考虑应用中位线定理。

解：设G、H分别为AD、DC的中点,

连接GH、EF、BDo

可得SA,\ED=-S平行四边形ABCD

4

对角线BD被EF、AC.GH平均提成四段,

DO：ED=BD：BD=2：3

0E：ED=(ED-OD):ED=(3-2)：3=1：3

所以SAAEO=-X—S平行四边形ABCO=二X—X72-6

3434

SA.\D0=2XSAAE0=12O

同理可得SACFM=6,SACDM=12o

所以SAABC-SAAEO-SACFM=24

于是阴影部分的面积二24+12+12=48

专家点评：这道题是2023年小学数学奥林匹克竞赛A卷中的一道题。连接EF,

BD,根据模型4以及三角形的中位线定理，判断出0,M分别是其所在线段的三

等分点，由此求出S4AE0及S4CFM,最后得出阴影部分的面积。

注意：本题应用了三角形的中位线定理以及平行线的相关性质。

【例？】(☆☆☆)如图，矩形ABCD被提成9个小矩形，其中5个

小矩形的面积如图所示，矩形ABCD的面积为—o

审题要点：矩形被分割成9个小矩形，立即可以联想到矩形等积变形的两个重

要结论。

解：矩形PFMD中，矩形OHND的面积等于2X4+3=8/3

矩形ABCD中，矩形IBLH的面积等于(1+2)X(16+4)彳(8/3)=45/2

所以矩形ABCD的面积=1+2+4+16+(8/3)+(45/2):289/6

专家点评：本题是南京市第三届爱好杯的原题，难度不大，重要是考察对矩形

等积变形两个重要结论之一：“过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平

行，所分得的四个小矩形，其面积满足：。”的应用。先求出矩形OHND的面积,

再求出矩形TBLA的面积，而矩形ABCD的面积由矩形OHND和矩形TBLA以及题目

中所给的其他4个已知矩形的面积和求得。

读者可以自行通过求各边比例方法进行验证，进一步加深对定理的理解。

【例如图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD=2AB,

点E、F分别是AD和BC的中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54

平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米。

审题要点：阴影部分的面积可以分解为两个三角形的面积之和，而E、F又

是梯形两腰的中点，连接EF,对上下两个梯形分别应用蝴蝶定理。

解法一：如图，设上底为a,则下底为2a,梯形的高为h,

连接EF,则EF=(a+2a)=a；

所以AB：EF=a:a=2：3,EF：DC=a:2a=3：4；

313

所以h尸一X—h二-h；

5210

313

h2=rxlh=—h；

7214

<13313327

阴影部分=SaFm+SziEFN二一X—aX—h+-X—aX—h--ah

2210221470

即ah=54,ah=140

梯形ABCD的面积二(1+2)ah=-ah=-X140=210(平方厘米)

222

专家点评：阴影部分可以看为两个同底三角形的面积之和，根据梯形的面积公

式，求出两个三角形的高和底，进一步求出梯形面积，思考方法很简朴，但要

注意计算的准确性。

解法二：如图，设上底为a,则下底为2a,梯形的高为h,

连接EF,则EF=(a+2a)=a；

所以AB:EF=a:a=2：3,EF：DC=a:2a=3：4；

313

所以hi=-X—h=—h；

521()

313

h尸二X一h二二h；

7214

33

=

所以SAEHI•S^EFN二hi•h尸—h•—h7-5

1014

根据梯形中的面积关系，得下图。

由于9x：9y=x:y=7:5

且x+y=54+9=6（平方厘米）

所以x=6X=3.5（平方厘米），尸6-3.5=2.5（平方厘米）：

所以梯形ABCD的面积=3.5X25+2.5X49=210（平方厘米）。

专家点评：连接EF以后，我们也可以把它当作是两个梯形叠放在在一起，应用

模型三梯形蝴蝶定理，可以拟定各个小的三角形之中的比例关系，应用比例即

可求出梯形ABCD面积。

注意：应用梯形蝴蝶定理时注意比的运算。

[W9]（☆☆☆）如例在平行四边形ABCD中,BE=EC,CF=2FD.

求阴影面积与空白面积的比。

审题要点：题目中阴影部分不规则，但是有边的倍比关系，BE=EC,CF=2FD可以

考虑将边的倍比关系转化为为面积之间的关系。

解法：连接CG,CH,AC交BD于0,设SZ\BEG=a,

根据燕尾定理SABEG-S△RX---S/SAM；--S&cc

22

_1_1_1

OAEHIF--------OACra---------乂加——乂旧|

236

=

又由丁S^A^SzsAQf所以SABEG3SAMIF

SAAG0=SACG0=-SAABG

2

S^ACHI二SZJIOC二Sz^iiD

所以5d180>=4$&80=4X(a+2a)=12a

阴影面积：SABEG+SAAGH+SADFH=a+2.5a+0.5a=4a

空白面积：124-4a=8a

所以阴影面积与空白面积的比4a：8a=l：2

另解：SABEG=a,则SZ\ECG二SZXGCOSaAGO=a,SAABG=2a;

设S&1FD二b,则SAJIFC_2Z?,

设S%KX)=x,则SMHO=SAKX)二X

$阴_a+a+x+b_1

Sa+a+2a+x+x+2b2

空

专家点评：连接CG,CA,CH,构造模型五，应用燕尾定理，分别求出三个羽影

三角形面积，再求出平行四边形ABCD的面积，用四边形面积减去三个阴影三角

形面积即为空白面积。亦可得到阴影面积与空白部分的面积之比。

注意：本题考点：燕尾定理的应用。

拓展训练:

1、（宁波小学数学竞赛1999）,如图所示，已知三

角形中，，，，连结、BZ和，三条线段分别交于，若

（面积是1平方米,那么阴影的面积是多少平方米？

初级提醒：连接AM2,BM3,CMlo

深度点拨：设、的面积分别为

分别解出

全解过程：连结

设的面积分别为

得=S&CDM、+SACWJ=SACD%+3S]=5

S^BZC=SACBW]+S&CZM'=2S&CDM\+2R=—

所以有45,=-S,=—

13112

同理有S&CFB=&8尸％+SMC%=Sg/•必+2s3=—

=4SA而必+S3=g

S.M阴=+S.v用外

11

73]=­n=——

2314

+4S,」

SAAEB_5AAzM2+ABM2-1^AAZM2

/3

3

q=q+q=aq

U+3S=-

"ACEAAC4M.0^AAZM24

9s2」S,=—

~4~36

・•・阴影部分面积为SMBC-(SMDC+SMBE+SACBF)+(S,+S2+S3)

234121436252

2.如图，四边形的面积是66平方米,

,,,求四边形的面积。

初级提醒：连接DB.AC,构造模型一。

深度点拨：找出四边形ABCD与四边形EFGH的面积关系。

全解过程：连接。设

•:CB=BF,

CB+BF

°ACDF一一3AC。/?

CB

又•:

SACFG~SACDF~2sl»

同理，

=

,*S&CFG+^^ABCD

连接AC,同理

SEFGH=S&CFG+SgEH+S^HDG+S^BEF+SABCD=5s八8C£>

SAS8=；SMG〃=13；（平方米）。

3.如图，在梯形ABCD中，AD:BE=4：3,BE：EC=2:3,且△BOE

的面积比AAOD的面积小10平方厘米。梯形ABCD的面积是平方

厘米。

初级提醒：应用模型一求出三角形ABD的面积

深度点拨：求出三角形BCD的面积

全解过程：AD：BE：EC=8：6：9,

T—T0△ABE~~7»AABD

S&ABE64

-=-=10,

=10,=40o

AD:BC=8:15

S&ABQ:S^CBD=AD：BC=8:15

15s15ru

x—=40x—=75

88

SABCD=SAABD+^ACfiD=404-75=115

4.如图，在一个边长为6正方形中，放入一个边长为2的正方形，

保持与原长正形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形

的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为。

初级提醒：将小正方形的四个顶点分别与大正方形的四个顶点连接

深度点拨：应用梯形蝴蝶定理求出空白部分面积

全解过程：

解法一：设任意一个梯形（如图），上底为a,下底为b,则阴影

部分的面积可以表达为

SI.S2.S3的和，而S3：S4=S1：S2=(S1+S3):(S2+S4)=a:b,同理

S1:S3ns2：S4=a:b,所以：SI：S2：S3：S4=a2：ab：ab：b2,所以阴影

部分的面积等于

a2+2ab+b-

连接两个正方形的相应顶点，则可以得到四个梯形，运用这条结论，

每个梯形中阴影部分的面积都占到了，所以阴影

部分面积是两个正方形之间的面积的，阴影部分的面积为

—X(62-22)=14,

16

解法二：取特殊值，使得两个正方形中心相重合，由上右图可知，

A.B.C.D均为相邻两格点的中点，则图中四个空白处的三角形的高为

1.5,因此空白处的总面积为

,阴影部分的面积是。

5.如图所示，三角形RDF、三角形CEF、三角形BCF的面积分别是2.3.4,问四

边形ADFE的面积是多少？

初级提醒：连接AF,构造模型一

A

深度点拨：应用三角形面积之比等于底边之比求出三角形AFD和三角形AFE的面

积

全解过程：设SAAFD二a,SAAFE=b

2a=3+b

4b=3(2+a)

18,_21

a---b-------

55

_39

S四边形ADFE二a+b=三

6.如图，在aABC中，延长BD=AB,CE=BC,

F是AC的中点，若△ABC的面积是2,则△DEF的面积是多少？

初级提醒:连接CD,构造模型一

深度点拨:SADCF=SADCA=2

SAFCE=—S^BCF=—

22

S0)EC=一SzsDCfi=*

2

全解过程：

解法一：SADCF=SADCA=2

_1_1

'△FCE二,△BCL—

22

=

AD=SziDCB-

SEC~2

Sar«F=SziWT+SAFa；+SziWiC=3二

2

解法二：本题还可以用共角定理“当两个三角形有一个角相等或互补时,

这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”。

VffiAABCffACFE中，ZACB与NFCE互补，

.S4ABCAC・BC2X24

•・s7Z7-FCCE一~M~T

又SAABC=2；

SAFCE=5

同理可得：

—

,•S4DEF=SAABC+SACEF+SADEBSAADF=2+-+3-2=3.5

7.如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、

BD分别交于G、H,已知AH=5cm,HF=3cm,求AG。

初级提醒：三角形AHB和三角形DHF相似

深度点拨：作0E垂直AD,交AF于0

全解过程：根据三角形相似的性质

AB:DF=AH:HF=5：3

又由于E为AD中点

OE：DF=1：2

所以AB：0E=10:3

AG：GO=1O:3

AO=-/\F=-x（5+3）=4

22v7

所以AG二吧AO二竺

1313

8.在边长为1的正方形ABCD中,BE=2EC,DF=2FC；

求四边形ABGD的面积。

初级提醒：连接EF、BD

深度点拨：应用梯形蝴蝶定理

全解过程：等腰梯形四部分面积比为1：3：3：9

所以等腰梯形的面积,xlxl-

223318

所以S^BDG=；

3

得SABDG二SARDB+S^B=

0G4

9、如图，正方形ABCD面积为1,M是AD边上的中点，求图中阴影部分的面积。

初级提醒：构造梯形蝴蝶定理。

深度点拨：SZ\AMG:SAAGB:SAMCG:SAGCB=1：2：2：4

全解过程：

•・•梯形AMCB中各个三角形面积比1：2：2：4

4

工阴影面积占梯形面积(2+2)/(1+2+2+4)=-

9

,s_3

・・3阴影一不,一］

本题还可有其他解法(如下)

解法二：连结、，设与交于，

\_

*S,M8G+SAAGM

-4

1

q_LQ=—

丁"居

—S8GGO4

••S&BGO==X

又：AM=MD

,,SAAGM-SAGMI)-X

:.BO=OD

**SZCCD~^,XRGO=X

得，又，所以

解法三：做

则，

连接PG

Sg8G=SACMG

解法四：;与等底等高

,*S&BAG=S.CMG

作

i&ZG=GF=a

^AABM二%=SMG8+4GM

111

=—a+—x.—a

222

.1

•.a=—

3

SOC。1I1

s阴影=25m4=2x5X3=5

解法五：・・・

AB=2AM

S.MGM=不S；\ABG

・,^△ABC=S/iAM+SaKC

+S3CG

,,SAABG-SAGCM=1

6

•Q+q=1+1=1

•,^AABG°AGCM663

10:（2023仁华学校试题）已知四边形ABCD,CHFG为正方形，S甲：S乙二1：

8,a与b是两个正方形的边长，求a：b二？

初级提醒：连接E0,AF,应用燕尾定理。

深度点拨：做OMJLAE,ONJLEF,

全解过程:

如图，根据燕尾定理:

SAAOF:SAAOE=b：a(1),

SAAOF•SAFO

E=a:b(2)

所以SAAOE•S&；OE二a~.b-

作OMJ_AE,0N1EF,

VAE=EF,

AOM：ON=a2：b2

.*.a:b=l:2

几何（二）曲线图形

知识地图

’"一个思想”n加加减减

［加减

割补

组合图形面积•

“五个方法”旋转平移

重叠

比例

边扫过问题n线段扫过

旋转构图<

图形扫过问题=图形整体扫过

活动范围=>圆心变化

两个特殊问题

硬币滚动=半径变化,圆心轮迹两种

二、基础知识

小学数学当中，我们学习了一些简朴的几何图形，充足掌握这些图形的性质特

点及周长和面积的计算方法是我们解决奥数平面几何问题的重要前提。

名称图形周长公式面积公式

长方形周长=2(a+b)面积二ab

面积=1

正方形口周长:=4a

三角形周长二a+b+c面积二十疝

平行四边形周长=2Ca+b)面积二ah

a

b

面积=+(

梯形周长:a+b+c+da+b)-h

T

菱形周长=4a面积二^AC・BD

（1）组合图形的面积

1、在求解组合图形的面积时，中心思想只有一个：把不规则的变为规则的：把

不可求的变为可以求的，把不熟悉的变为我们熟悉的。在小学奥数的几何问

题中，这个思想不单单可以在求组合图形面积的时候应用，求解立体图形的

表面积和体积问题时候同样也是解决问题的法宝，甚至可以说是所有小学奥

数几何问题的思想精髓。

2、在求解组合图形的面积时，我们通常可以通过以下思考方法把图形转化我们

所熟知的图形。

3、加减法

4、把规定的图形转化为几个规则图形相加或者相减的形式，这种解决图形补问

题的方法，称为加减法。

5、割补法

6、把规定的图形通过力割再拼补成规则图形，这种方法称为割补法。

7、旋转平移法。

8、图形的一部分通过旋转或者平移，正好可以和图形的其他部分拼成规则组形,

这种方法称为旋转平移法。

9、重叠法

10、规定的组合图形可以看作是几个规则图形的重叠部分，可以应用容斥原

理求得图形的面积，这种方法称为重叠法。

11、比例法

把规定的图形提成儿个部分，通过寻找各个部分之间的比例关系求解的方法称

为比例法。

（2）图形旋转的问题

在这里，我们重要研究的是平面图形在平面旋转所产生的问题。一般情况下，我

们所能碰到的有以下两种问题：

1.求图形一边扫过的面积

在碰到这类问题时.，我们只要先找到规定的是班条边扫过的面积，再看这条边

是以哪个点为圆心运动，一方面你让这条边以这个点为圆心按照题目的规定转

动，旋转停止后，这条边旋转所得的面积就是你规定的图形一边扫过的面积。

2.求图形扫过的面积

在求图形一边扫过的面积的基础之上，要注意，图形中最长处旋转时所成图形,

我们在旋转的图形一逅停止旋转时，在相应的位置补上图形的其他部分就可以

很容易的找到整个图形扫过的部分。

（3）几个特殊问题

1.活动范围的问题

让我们先来看看下面几个问题：

A.假设茫茫的草原上有一个木桩，桩子上用一根30米的绳子栓着一只羊，问羊

能吃到的草的面积是多大？

B.草场的主人由于业务发展，准备建羊圈，但是由于资金短缺，所以只先建了

一道墙，于是把羊还是用30米的绳子栓在了墙角边，问羊这个时候能吃到草的

面积是多大？

C、羊圈建成了，羊在平时被栓在羊圈的西北角，羊圈长20米，宽10米，问羊

这个时候能吃到的草的面积是多大？

你注意到了吗？栓着羊的绳子在碰到墙拐角的地方运动的圆心在变化，羊所能

吃到草的范围活动的半径也在跟着变化。

那么，我们说看变化，找规律，是解决羊吃草一类问题重要思想。此外，数学源

自生活，通过想象生活中的情景，比照数学题，寻找变化的规律也是一种不错

的方法。

2.滚硬币的问题

请你一起动手来做一做：把两个一角钱的硬币挨放在一起，固定其中一个，把

另一个延着其周边滚动。当滚动回到硬币本来的位置时，想一想滚动的那个硬币

它自己自转了多少周？

注意观测，滚动的硬币绕着不动的硬币走一周的距离事实上是以两个硬币的半

径为半径的一个圆周长，而硬币自转的周长是以自身为半径，前者是后者的几

倍，即是硬币自转了儿周。

这也是一切硬币滚动类问题的特点。常见的尚有齿轮，滑轮等。

经典回顾

[例1]（☆☆☆）图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中

点，Q点为正方形一边的中点。已知正方形的边长为10,那么阴影部分面积是多

少？（兀取3.14。）

审题要点；整个图形由正方形和半圆组成。P为中点，则PD=PC,要求阴影部分

的面积，可以考虑我们前面讲的儿种方法。

解法一：阴影面积;整个面积-空白面积二（正方形ABCD+半圆）一（三角形+梯形）

二(10X10+nX5X54-2)一口5X5+2+(5+15)X54-2]

=51.75

专家点评：阴影面积的“加减法”。由于阴影部分面积不是正规图形，所以通过

整个面积减去空白部分面积来求解。过P点向AE作垂线，这样空白部分面积提

成上面的三角形和下面的梯形。

解法二：S1二小正方形-圆=5X5-XJiX5X5

上面阴影面积二三角形APE-S尸15X5+2-5X5+，XJIX5X5

4

下面阴影面积二三角形QPF-S2=10X5+2-(5X5--X冗X5X5)

4

所以阴影面积二(15X54-2-5X5+-XnX5X5)+(10X54-2-5X5+-XHX5

44

X5)=51,75

专家点评：面积的“加减法”和“切割法”综合运用，思绪出现正方形，出现弧

线时，注意两个考点：1.半叶形2.圆，所以我们可以先把面积补上再减去补

上的面积。

解法三：半叶形S1二圆-小正方形二XJIX5X5-X5X5

上面阴影面积二三角形ADP+S尸10X5+2+，XnX5X5--X5X5

42

下面阴影面积二三角形QPC+S2=5X5+2+LXnX5X5--X5X5

42

阴影面积=(10X5+2+，XJiX5X5--X5X5)+(5X54-2+-XnX5X5-‘X

4242

5X5)=51.75

专家点评：面积的“切割法”出现正方形，出现弧线时，注意两个考点：1.半

叶.2.圆，这样可以考虑把阴影面积切成几个我们会算的规则图形。这道题是

迎春杯真题0

【例如图，ABCG是4X7的长方形，DEFG是2义10的长方形，那

么，三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少？

审题要点：规定两个三角形的面积之差，题目没有给出可以直接求出两个三角形

面积的条件，那么我们只能考虑应用差不变原理

解法一：GC=7,GD=10推出HE=3；BC=4,DE=2

阴影BCM面积-阴影MDE面积二（BCM面积+空白面积）-（MDE面积+空白面积）=

三角形BHE面积-长方形CDEH面积=3X6+2-3X2=3。

专家点评：加减思想的应用，小升初中的常用方法，而找出公共部分是本题的

解题关键。公共部分要与两个三角形都可以构成规则可求的图形才可以。

解法二：GC=7,GD=10知道CD=3；

BC=4,DE=2知道BC：DE=CM:DM

所以CM=2,MD=lo

阴影面积差为：4X24-2-1X24-2=3

专家点评：画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC和DE均为已知的，所以

关键问题在于求CM和DM。这两条线段之和CD的长是易求的，所以只要知道它

们的长度比就可以了，这恰好可以运用平行线BC与DE截成的比例线段求得。此

外本题还可以构造如下解法，如图：

解法三：连接BD

-q

S、BCM-S―9KBeD_S；、BDE~(3x4-2x3)4-2=3

【例3】（☆☆☆）求右图中阴影部分的面积。（开取3）

审题要点：^ABC可以看出为等腰直角三角形。

解法一：我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面

积和即可，其中①、②面积相等。易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①

部分的直角边AB的长度未知。单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分

平移至一起，如下右图所示，则①、②部分变为一个以AC为直角边的等腰直角

三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC=10。两个四分之一圆的面积和

为150,而①、②部分的面积和为1/2X10X10=50,所以阴影部分的面积为

150-50=100（平方厘米）。

解法二：欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B

点逆时针方向旋转180。，使A与C重合，从而构成如右图

（2）的样子，此时阴影部分的面积可以当作半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积，

专家点评：本题考点旋转平移法。图形通过旋转，得到阴影部分的面积二半圆的面积-等腰

直角三角形的面积。

【例4】（☆☆☆）如图，已知三角形GHI是边长为26厘米的正三角形，圆。的

半径为15厘米，ZA0B=ZC0D=ZE0F=90°。求阴影部分的面积。

审题要点：题中每一条阴影部分面积可以看做是两个大小弓形的面积之差。

解法：设J为弧GI的中点，则可知GJIO是菱形，GOJ是正三角形，

所以，三角形G0I的面积二

所以大弓形的面积：SGJ1

=-^-xl52-—X—x26

322

=235.5-97.5

=138

小弓形的面积：SFJE

=—^-xl52--x152

42

=176.625-112.5

=64.125

所以，总阴影面积二（138-64.125）X3=221.625（平方厘米）

专家点评：本题难度在于判断四边形GJIO为菱形，圆中档长的弧所对的弦也

是相等的，所以三角形GOJ为正三角形，其实三个阴影部分选择哪一个作为解

题的模型都可以。基本上还是加减思想的应用。

总阴影面积二每块阴影面积X3二（大弓形一小弓形）X3

关键在于大弓形中三角形的面积。

总结：本题考点加减法。

【例5】（☆翁翁）如图，ABCD是一个长为4,宽为3。对角线长为5的正方形，它

绕C点按顺时针方向旋转90，分别求出四边扫过图形的面积。（取3）

审题要点：规定边扫过的面积，只需分别看一边旋转所得图形。

分析：1.容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段

长度为半径的圆的，如右图：

因此DC边扫过图形的面积为4平方厘米，BC边扫过图形的面积为平方厘米。

2.研究AB边的情况。

在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线

段所扫过部分应当介于这两个点所扫过弧线之间，见右图中阴影部分：

下面来求这部分的面积。

观测图形可以发现，所求阴影部分的面积事实上是：

扇形ACA面积+三角形ABC面积-三角形ABC面积-扇形BCB，面积+三角形ABC面

积=扇形ACA面积一扇形BCB，面积

S义九32x^-

3.研究AD边扫过的图形。

由于在整条线段上距离C点最远的点是A,最近的点是D,所以我们可以画出AD

边扫过的图形，如下图阴影部分所示：

用与前面同样的方法可以求出面积为：

专家点评：本题是祖冲之杯竞赛的一道试题。

旋转图形的关键，是先从整体把握一下“变化过程”，即它是通过什么样的基

本图形通过如何的加减顺序得到的。先不去考虑具体数据，一定要把思绪捋清

楚。最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就“藏”在那儿，一定会

有。

我们可以作进一步的思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转

问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的。

【例6】（☆☆☆）求圆中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比。

审题要点：阴影部分可以看作一个整体，那么大圆由四个阴影部分组成。

解法：把阴影看作一个特殊图形，而大圆的面积恰好是4个这种特殊图形

所以阴影面积：大圆面积二1：4

设小圆半径为x,则大圆半径为2x

阴影周长二3士小圆周长+上1小圆周1长+上小圆1周长+上大圆周长

4444

=』小圆周长I，大圆周长

44

=-X2乃x+LX2乃X2x

44

7

=—7TX

2

大圆周长二2万X2x=4^x

7

所以周长之比二一万x:4TTX=7:8

2

专家点评：应用图形比例关系求解图形，也是整体考虑问题思想的典型代表。

[例7]