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文档简介

2.1.2椭圆及其标准方程（2）二,椭圆的标准方程

如图,给定椭圆,它的焦点为F1,F2，焦距│F1F2|=2c(c≥>0),椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于2a(a>c).xy··F1F2M

以直线F1F2为x轴,线段F1F2的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,则焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0),|MF1|+|MF2|=2a(-c,0)(c,0)下面我们来求椭圆的方程y··F1F2M设M(x,y)是椭圆上任意一点.由椭圆的定义,椭圆上的点M满足|MF1|+|MF2|=2a

焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0)

上式两边平方

(c,0)(-c,0)整理,得

由椭圆定义可知a>c,所以a2-c2>0.令b2=a2-c2其中b>0,代入上式,得

y··F1F2MO

A1A2B2B1

这说明椭圆上点的坐标满足以上方程.我们还可以证明,这个方程每一组解为坐标的点都在椭圆上.

*以下证明供学习时参考.

点P0到F1(-c,0)和F2(c,0)的距离之和为

y··F1F2M

y··F1F2M

c

c

c越接近a的大小，b就越小，椭圆就越扁，反之越圆

椭圆的标准方程及其图象：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图象

标准方程焦点，，的关系

例1已知B,C是两个定点。BC=8,且△ABC的周长等于18.求顶点A满足的一个方程.解由已知|AB|+|AC|+|BC|=18，|BC|=8，得|AB|+|AC|=10由定义可知点A的轨迹是一个椭圆,且2c=8.2a=10，即c=4,a=5.所以b2=a2-c2=9

如图,建立平面直角坐标系,使x轴经过B,C两点.原点O为x的中点.当点A在直线BC上,即y=0时.A、B，C一点不能构成三角形.因此,点A满足的一个方程是

y··F1F2M··M1M2AB

1、点在椭圆外如图点M1，连结M1F1，M1F2，AF2

2、点在椭圆内如图点M2，连结M2F1，M

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