常州市重点中学2026届九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

常州市重点中学2026届九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列命题是真命题的是（）A．如果|a|＝|b|，那么a＝bB．平行四边形对角线相等C．两直线平行，同旁内角互补D．如果a＞b，那么a2＞b22．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（）A．① B．② C．③ D．④3．点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．4．下列四个数中是负数的是（）A．1 B．﹣（﹣1） C．﹣1 D．|﹣1|5．如果，那么锐角A的度数是（）A．60° B．45° C．30° D．20°6．二次函数的顶点坐标是（）A．（-2,3） B．（-2，-3） C．（2,3） D．（2，-3）7．将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得到的抛物线为()A． B．C． D．8．现有四张分别标有数字﹣2，﹣1，1，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再随机抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是()A． B． C． D．9．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值是（）A． B． C． D．10．顺次连接梯形各边中点所组成的图形是（）A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．正方形二、填空题(每小题3分,共24分)11．把一元二次方程x（x+1）=4（x﹣1）+2化为一般形式为_____．12．如图，内接于，则的半径为__________．13．用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，若AB＝4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是_____．（结果保留π）．15．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为，则∠ACB的大小是___．16．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有___个．17．从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为___．18．底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于．三、解答题(共66分)19．（10分）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，过D作DE⊥BD交AB于点E，经过B，D，E三点作⊙O．（1）求证：AC与⊙O相切于D点；（2）若AD=15，AE=9，求⊙O的半径．20．（6分）某小区在绿化工程中有一块长为20m，宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度.21．（6分）如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A(3，0)，B(4，2)，函数（k≠0）的图象经过点C．（1）求反比例的函数表达式：（2）请判断平行四边形OABC对角线的交点是否在函数（k≠0）的图象上．22．（8分）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成，留出2米长门供学生进出.若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽.23．（8分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F.（1）求证：△CDE∽△CBF；（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长.24．（8分）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.25．（10分）已知二次函数的图象顶点是，且经过，求这个二次函数的表达式．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB．延长DC交AB的延长线于点P．（1）求证：PC2＝PA•PB；（2）若3AC＝4BC，⊙O的直径为7，求线段PC的长．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】根据绝对值的定义，平行线的性质，平行四边形的性质，不等式的性质判断即可．【详解】A、如果|a|＝|b|，那么a＝±b，故错误；B、平行四边形对角线不一定相等，故错误；C、两直线平行，同旁内角互补，故正确；D、如果a＝1＞b＝﹣2，那么a2＜b2，故错误；故选C．本题考查了绝对值，不等式的性质，平行线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．2、A【分析】根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择．【详解】解：原几何体的主视图是：．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，左侧的图形只需要两个正方体叠加即可．故取走的正方体是①．故选A．本题考查了简单组合体的三视图,中等难度,作出几何体的主视图是解题关键.3、D【解析】试题分析：∵，∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称，故，故选D．考点：二次函数图象上点的坐标特征．4、C【解析】大于0的是正数，小于0的是负数，据此进行求解即可．【详解】∵1>0，﹣（﹣1）=1>0，|﹣1|=1>0，∴A，B，D都是正数，∵﹣1＜0，∴﹣1是负数．故选：C．本题主要考查正数的概念，掌握正数大于0，是解题的关键.5、A【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：∵，∴锐角A的度数是60°，故选：A．本题考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．6、B【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．【详解】解：∵二次函数的顶点式为y＝-2（x＋2）2−3，

∴其顶点坐标为：（−2，−3）．

故选：B．本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标特征是解答此题的关键．7、B【分析】根据“左加右减”，“上加下减”的平移规律即可得出答案．【详解】将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得到的抛物线为故选：B．本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．8、B【分析】画树状图得出所有等可能结果，从找找到符合条件得结果数，在根据概率公式计算可得．【详解】画树状图如下：由树状图知共有16种等可能结果，其中第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的有6种结果，所以第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率为．故选B．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9、A【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB的长，然后根据正弦的定义求解．【详解】如图，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∴sinB=．故选：A．本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．10、A【解析】连接AC、BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥AC，EH＝AC，同理FG∥AC，FG＝AC，进一步推出EH＝FG，EH∥FG，即可得到答案．【详解】解：连接AC、BD，∵E是AD的中点，H是CD的中点，∴EH＝AC，同理FG＝AC，∴EH＝FG，同理EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形，故选：A．本题考查了中位线的性质,平行四边形的判定,属于简单题,熟悉中位线的性质是解题关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、x2﹣3x+2=1．【分析】按照去括号、移项、合并同类项的步骤化为ax2+bx+c=1的形式即可.【详解】x2+x=4x﹣4+2，x2﹣3x+2=1．故答案为：x2﹣3x+2=1．此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=1（a≠1）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.12、2【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=得到△ABC是等边三角形，即可得到半径OA=AB=2.【详解】连接OA、OB，∵，∴∠AOB=，∵OA=OB，∴△ABC是等边三角形，∴OA=AB=2，故答案为：2.此题考查圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.13、5【解析】试题解析：∵半径为10的半圆的弧长为：×2π×10=10π∴围成的圆锥的底面圆的周长为10π设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=10π解得r=514、2π．【分析】由题意根据阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+S△AB′C′-S△ABC-扇形CAC′的面积，分别求得：扇形BAB′的面积和S△AB′C′，S△ABC以及扇形CAC′的面积，进而分析即可求解．【详解】解：扇形BAB′的面积是：，在直角△ABC中，，．扇形CAC′的面积是：，则阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+-扇形CAC′的面积=．故答案为：2π．本题考查扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+-扇形CAC′的面积是解题的关键．15、20°．【分析】连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB，然后再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB．【详解】解：连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB=40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB=20°．故答案为：20°本题考查弧长公式；圆周角定理，题目难度不大，掌握公式正确计算是解题关键．16、1．【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．【详解】设袋中红球有x个，根据题意，得：，解得：x＝1，经检验：x＝1是分式方程的解，所以袋中红球有1个，故答案为1．此题考查利用频率估计概率，解题关键在于利用红球在总数中所占比例进行求解.17、【分析】画出树状图求解即可.【详解】如图，一共有6中不同的选法，选中甲的情况有4种，∴甲被选中的概率为：.故答案为本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可,即.18、．【解析】根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半，依此公式计算即可：圆锥的侧面积．三、解答题(共66分)19、（1）见解析；（2）1．【解析】试题分析：（1）连接OD，则有∠1=∠2，而∠2=∠3，得到∠1=∠3，因此OD∥BC，又由于∠C=90°，所以OD⊥AD，即可得出结论．（2）根据OD⊥AD，则在RT△OAD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r，AD=15，AE=9，得到（r+9）2=152+r2，解方程即可．（1）证明：连接OD，如图所示：∵OD=OB，∴∠1=∠2，又∵BD平分∠ABC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴OD∥BC，而∠C=90°，∴OD⊥AD，∴AC与⊙O相切于D点；（2）解：∵OD⊥AD，∴在RT△OAD中，OA2=OD2+AD2，又∵AD=15，AE=9，设半径为r，∴（r+9）2=152+r2，解方程得，r=1，即⊙O的半径为1．考点：切线的判定．20、人行通道的宽度为1米.【分析】设人行通道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积和为102平方米，列出关于x的一元二次方程，求解即可.【详解】设人行通道的宽度为x米，根据题意得，(20﹣3x)(8﹣2x)＝102，解得：x1＝1，x2＝(不合题意，舍去).答：人行通道的宽度为1米.本题主要考查一元二次方程的实际应用----面积问题，根据题意，列出一元二次方程，是解题的关键.21、（1）y＝；（2）平行四边形OABC对角线的交点在函数y＝的图象上，见解析【分析】（1）根据平行四边形性质结合点的坐标特征先求得点C的坐标，继而求得答案；（2）根据平行四边形性质求得对角线交点的坐标，再判断.【详解】（1）∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），∴CB＝OA＝3，又CB∥x轴，B（4，2），∴C（1，2），∵点C（1，2）在反比例函数（k≠0）的图象上，∴k＝xy＝2，∴反比例的函数表达式y＝；（2）∵四边形OABC是平行四边形，∴对角线的交点即为线段OB的中点，∵O（0，0），B（4，2），∴对角线的交点为（2，1），∵21=2=k，∴平行四边形OABC对角线的交点在函数y＝的图象上．本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22、若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米.【分析】设自行车车棚的宽AB为x米，则长为（38-2x）米，根据矩形的面积公式，即可列方程求解即可．【详解】解：现有总长的铁栏围成，需留出2米长门∴设，则；根据题意列方程，解得，；当，（米），当，（米），而墙长，不合题意舍去，答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米.本题考查的是一元二次方程的应用，结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．23、（1）证明见解析；（2）CD=【分析】（1）如图，通过证明∠D=∠1，∠2=∠4即可得；（2）由△CDE∽△CBF，可得CD：CB=DE：BF，根据B为AF中点，可得CD=BF，再根据CB=3，DE=1即可求得.【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，∵CF⊥CE，∴∠4+∠3=90°，∴∠2=∠4，∴△CDE∽△CBF；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∵B为AF的中点，∴BF=AB，∴设CD=BF=x，∵△CDE∽△CBF，∴，∴，∵x>0，∴x=，即：CD=.本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．也考查了矩形的性质24、不需要采取紧急措施，理由详见解析.【分析】连