高中数学竞赛真题解析初赛试题

高中数学竞赛真题解析初赛试题一、单项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，周期为π的奇函数是：A.y=sin(2x)B.y=cos(2x)C.y=tan(x/2)D.y=cot(x)2.设复数z满足z^2+z+1=0，则|z|=：A.1/2B.√3/2C.1D.√23.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-21，S3=-39，则S_n的最小值为：A.-84B.-140C.-105D.-1264.已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=-1和x=2处取得极值，且f(-1)=-1，则f(2)=：A.1B.2C.4D.85.直线x+2y-3=0被椭圆x^2/9+y^2/4=1截得的弦长为：A.4√5/5B.8√5/5C.4√13/13D.8√13/136.设F1,F2是双曲线x^2/9-y^2/16=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足|PF1|×|PF2|=32，则∠F1PF2的余弦值为：A.7/25B.11/25C.16/25D.23/257.若函数f(x)={x^2+2ax+a,x≤1;ax+ln(x),x>1}在R上单调递减，则a的取值范围是：A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[-2,-1]D.[-1,0)8.设函数f(x)={(1/2)^x,x≤0;log2x,x>0}，若f(a)≥2，则实数a的取值范围是：A.(-∞,1]B.(-∞,4]C.[1,+∞)D.[4,+∞)9.已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，若a⊥(a-2b)，则x=：A.-1/5B.1/5C.-5D.510.在ΔABC中，若sinA=2sinBcosC，则tanB的最大值为：A.√3/3B.√2/2C.√3D.2二、多项选择题（每题4分，共40分）11.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是：A.y=x^(1/3)B.y=log0.5(x+1)C.y=3^x-1D.y=(x-1)/(x+1)12.设a>1>b>-1，给出下列不等式：①ab>-1；②a^2>2b；③a-b>1-b^2；④a+b>1+ab。其中正确的有：A.①②B.①③C.②③D.③④13.下列命题中，正确的有：A.若直线l不垂直于平面α内的无数条直线，则l∥αB.若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线C.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面D.如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交14.设F1,F2为椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点，M为C上一点，且∠F1MF2=60°，若ΔMF1F2的面积为4√3，则b=：A.2B.2√3C.4D.4√315.已知函数f(x)={x^2-2ax+3a,x<1;ax+ln(x),x≥1}的值域为R，则a的取值范围是：A.(0,2]B.[1,2]C.(0,1]D.[1/2,2]16.设F1,F2为双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，若ΔPF1F2的面积为16√3，则C的离心率为：A.2B.√7C.√13D.√1917.下列说法正确的有：A.若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面C.若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线D.如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交或平行18.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+1/(n(n+1))，则数列{an}的通项公式为：A.an=1+1/2-1/(n+1)B.an=1+1/n-1/(n+1)C.an=1+1/2^nD.an=1+1/n^219.下列关于函数f(x)=x+4/x(x>0)的说法正确的有：A.f(x)在(0,2)上单调递减B.f(x)在(2,+∞)上单调递增C.f(x)的最小值为4D.f(x)无最大值20.设f(x)={2^x,x≤0;x^(1/2),x>0}，若f[f(a)]≤2，则实数a的取值范围是：A.(-∞,1]B.[-4,1]C.[-4,0]D.[0,1]三、判断题（每题2分，共20分）21.若函数f(x)在x=a处取得极大值，则f'(a)=0。（）22.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行。（）23.若数列{an}满足an+1-an=d(d为常数)，则数列{an}为等差数列。（）24.已知椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，则椭圆的离心率为e=√(a^2-b^2)/a。（）25.函数f(x)=x^3+3ax^2+3(a+2)x+1有两个不同的极值点，则-4<a<-1。（）26.若