理论力学 课件 第六章 点的运动学

第二篇运动学

引言

运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。

学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。时间概念要明确：瞬时和时间间隔。运动学所研究的力学模型为：点和刚体。THEORYMECHANICS电子教案第六章点的运动学

本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。

6.1点的运动的矢量法第六章点的运动学6.2点的运动的直角坐标法6.3点的运动的自然法一、运动方程

如图，动点M沿其轨迹运动，在瞬时t，M点在图示位置。参考体显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。

用矢量法描述点的运动有简洁、直观的优点。6.1点的运动的矢量法

于是动点矢径形式的运动方程为

二、速度称为点的平均速度

动点在t瞬时的速度:即：点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。方向沿轨迹的切线方向。如图，动点M在时间间隔内的位移为6.1点的运动的矢量法

三、加速度

如图，动点M在时间间隔内速度矢量的改变量为称为平均加速度动点在t瞬时的加速度:即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。6.1点的运动的矢量法

一、运动方程

如图，在参考体上建立直角坐标系。则这就是直角坐标形式的点的运动方程。由运动方程消去时间t可得点M的轨迹方程。6.2点的运动的直角坐标法点M在空间的位置可由空间直角坐标表示，（x,y,z）称为点M的位置坐标。当点M在空间任意运动时，点M的矢径r是时间t的单值连续函数，故点的位置坐标（x,y,z）亦是时间t的单值连续函数，即

二、速度这就是用直角坐标法表示的点的速度。即：点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数。6.2点的运动的直角坐标法

根据矢量法，某瞬时点的速度是矢径对时间的一阶导数

若已知速度的投影，则速度的大小为其方向余弦为6.2点的运动的直角坐标法

三、加速度根据矢量法，瞬时点的加速度是速度对时间的一阶导数，则这就是用直角坐标法表示的点的加速度。即：点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数。6.2点的运动的直角坐标法

若已知加速度的投影，则加速度的大小为其方向余弦为6.2点的运动的直角坐标法

例1杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知（为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。

解：建立如图所示的直角坐标。则即为小环M的运动方程。

即6.2点的运动的直角坐标法故M点的速度大小为其方向余弦为故M点的加速度大小为6.2点的运动的直角坐标法

例2半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动，且轮心的速度为已知值u，试分析轮子边缘一点M的运动。MMjRoj6.2点的运动的直角坐标法取坐标系Axy如图所示，并设M点所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为这是旋轮线的参数方程。oRCAxy例26.2点的运动的直角坐标法M点的速度为：

其中可由轮心速度求出：当M点与地面接触，即时，M点速度等于零。oRCAxy此时M点的加速度是否为零？为什么？6.2点的运动的直角坐标法

一、运动方程设动点M的运动轨迹如图。S——弧坐标

当动点运动时，弧坐标随时间t连续变化，且为时间t的单值连续函数，即这就是自然坐标形式的点的运动方程。6.3点的运动的自然法二、曲率和曲率半径图示空间曲线称为平均曲率表明曲线在弧长内弯曲的程度当点趋近于M点时，曲线在M点的曲率即曲率的倒数称为曲线在M点的曲率半径即6.3点的运动的自然法三、自然轴系

自然轴系不是固定的坐标系。6.3点的运动的自然法四、速度

由点的速度的矢径法由于所以

6.3点的运动的自然法

五、加速度由点的加速度的矢径法6.3点的运动的自然法

方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。

由于所以

6.3点的运动的自然法

加速度在三个自然轴上的投影为全加速度位于密切面内，其大小为方向余弦为6.3点的运动的自然法

例3杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知（为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。解：建立如图所示的自然坐标运动方程为速度为加速度为6.3点的运动的自然法例4一点作平面曲线运动，其速度在x轴上的投影始终为一常数C。试证明在此情形下，点的加速度的大小为证明：设点沿图示曲线运动，（1）由于速度在x轴上的投影始终为一