【16：9】第3章 第2讲 洛必达法则+5+2

高等数学（上册）（慕课版）第2讲洛必达法则第3章微分中值定理与导数的应用0102其他类型的未定式“”型未定式和“”型未定式本讲内容01“”型未定式和“”型未定式定理3.4洛必达法则𝛪设、在x0的某去心邻域内有定义，若（1）；，（2）；、在x0的某去心领域内可导，且（3）存在（或无穷大），.则3定理3.5洛必达法则𝛪𝛪设、在x0的某去心邻域内有定义，若（1）；，（2）；、在x0的某去心领域内可导，且（3）存在（或无穷大），.则01“”型未定式和“”型未定式4(1)洛必达法则仅适用于“”和“”；(2)若条件具备，洛必达法则可以连续多次使用，即(3)洛必达法则和其它方法结合使用，简便为原则；(4)洛必达法则条件是充分而非必要，可能失效.注.如：(第三个条件不满足)；极限不存在（循环）01“”型未定式和“”型未定式5

1例6

该极限为“”型不定式，

由洛必达法则，得

解601“”型未定式和“”型未定式1求极限（a,b为常数，且

）.

2例7

该极限为“”型不定式，

由洛必达法则，得

解701“”型未定式和“”型未定式2求极限

3例8

计算极限．

该极限为“”型不定式，

由洛必达法则，得不是上式中的已“”型未定式，

不能对其使用洛必达法则，

否则会导致错误结果.

求解时尤其需注意使用洛必达法则的条件，如果不是未定式，

能使用洛必达法则.

注意就不

解.801“”型未定式和“”型未定式9

计算极限．

该极限属于“”型未定式，

由洛必达法则，

得

本例中使用了两次洛必达法则.

4例9

解.01“”型未定式和“”型未定式10

求极限

5例

解01“”型未定式和“”型未定式311

计算极限

6例

解01“”型未定式和“”型未定式412

计算极限

7例

解01“”型未定式和“”型未定式513计算极限．这是“”型未定式，

先对分母中的乘积因子利用等价无穷小()进行代换，

再由洛必达法则，

得

8例13

解.01“”型未定式和“”型未定式14从例题中可以看出，与求极限的其它方法（比如等价无穷小代换）结合求未定式极限时，洛必达法则使用更方便快捷.1401“”型未定式和“”型未定式15求．

9例

解．1501“”型未定式和“”型未定式16求极限．该极限属于“”型未定式，

若运用洛必达法则．由于不存在，

所以上述极限不存在，因此不满足洛必达法则的条件，所以此题不能使用洛必达法．原极限可用下面的方法求出：

10例

解．1601“”型未定式和“”型未定式17由该例可以看出，不存在，洛必达法则虽然是求未定式极限的一种有效的方法，但它不是万能的，有时也会失效，使用洛必达法则求不出极限并不意味着原极限一定可以改用其它方法求解.1701“”型未定式和“”型未定式

11例求极限设在点附近连续，该极限为“”型未定式，因为存在，则利用洛必达法则，有

解存在，18.01“”型未定式和“”型未定式18

12例设

存在，求极限.

该极限为“”型未定式，因为存在，则利用洛必达法则和导数的定义有.

解存在，1901“”型未定式和“”型未定式19试确定常数a，b，使得.

13例因为，故a=1，且有，故.

解为使左边极限存在，须，2001“”型未定式和“”型未定式20错解

14例求极限

解.2101“”型未定式和“”型未定式21

15例求极限故原式.

解2201“”型未定式和“”型未定式22

16例讨论函数，，，，则令，在点x=0处的连续性.

解2301“”型未定式和“”型未定式23而故，所以函数在x=0连续.24，01“”型未定式和“”型未定式24比较与讨论函数在点x=0处的连续性.，，，，2501“”型未定式和“”型未定式250102其他类型的未定式“”型未定式和“”型未定式本讲内容则“，，，，”型未定式需转化为“”和“”；1.设，，或，2702其他类型的未定式272.“”通分简化后转化为“”或“”3.“，，”通过取对数转化无论是上述三种类型中的哪一种，均为“”型未定式.2802其他类型的未定式28计算极限．

该极限属于“”型的未定式,先化为“”型未定式，

再使用洛必达法则，

17例

解．2902其他类型的未定式2930计算极限．该极限属于“”型未定式，

先通分化为“”型未定式，

再使用洛必达法则，

18例

解．3002其他类型的未定式31

计算极限．先取对数后再使用洛必达法则，

该极限属于“”型未定式，

19例

解．3102其他类型的未定式32计算极限．该极限属于“”型未定式，

取对数后再使用洛必达法则，

20例

解．3202其他类型的未定式33计算极限该极限属于“”型未定式，

取对数后再使用洛必达法则，

21例

解3302其他类型的未定式6

22例求极限.“”则

解记，所以.3402其他类型的未定式34所以