第10章 第7讲 三重积分的概念及其计算(4)+2

第7讲三重积分的概念及其计算(4)第10章重积分及其应用主讲教师|高等数学（下册）（慕课版）本讲内容三重积分的概念02空间直角坐标系下三重积分的计算03空间物体的质量01球面坐标系下三重积分的计算05柱面坐标系下三重积分的计算04305球面坐标系下三重积分的计算在地球上,某地的地理位置可以用经度、维度和海拔高度来表示. 设𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)为空间直角坐标系中的一点,点𝑀的位置可用三个有次序的数𝑟,𝜑,𝜃确定𝑟是点𝑀到原点𝑂的距离；在数学上可采用类似方法来表示空间点的位置. 这种表示空间点位置的方法称为球面坐标系.1.球面坐标OzxyP)(x,y,zMrzθφAy4

𝜙是有向线段与z轴正向的夹角；设𝑃为点𝑀在xoy平面上的投影点,则𝜃是从z轴正向看,由x轴正向逆时针旋转到有向线段的转角.

05球面坐标系下三重积分的计算5这样的三个参数(𝑟,𝜃,𝜙)称为点𝑀的球面坐标.三个参数分别取定值时,得三组坐标平面. 几何意义为

(常数)：以原点为中心的球面；

(常数)：以原点为顶点,z轴为轴的半圆锥面；

(常数)：过z轴的半平面05球面坐标系下三重积分的计算6

与

的交线是球面上的纬线,

与的交线是球面上的经线.

05球面坐标系下三重积分的计算7直角坐标系中的点与球面坐标系中的点之间的关系

05球面坐标系下三重积分的计算8球面坐标系中的体积元素 

2.三重积分在球面坐标系下的计算公式05球面坐标系下三重积分的计算

若积分区域Ω是包围原点的立体,其边界曲面是包围原点在内的封闭曲面,将其边界曲面化为球面坐标方程𝑟=𝑟(𝜑,𝜃),则有9积分区域用球面坐标表示需要参照几何形状,依据球面坐标变量的特点决定.

3.积分区域的球面坐标表示05球面坐标系下三重积分的计算10

例如,Ω是球体

则Ω的球面坐标表示形式为05球面坐标系下三重积分的计算11📚例1设𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)在Ω上连续,三重积分

(1) Ω是由上

半球面

及平面𝑧=0所围成的闭区域,将𝐼化为柱面坐标系、球面坐标系下的三次积分.将I化为直角坐标系、柱面坐标系及球面坐标系下的三次积分.同步习题10.4，提高105球面坐标系下三重积分的计算

12解(1) 柱面坐标系下：球面坐标系下：

05球面坐标系下三重积分的计算

13(2) 直角坐标系：

05球面坐标系下三重积分的计算14柱面坐标系下:球面坐标系下:05球面坐标系下三重积分的计算

15📚例2求曲面

与曲面

所围成的立体Ω的体积𝑉.例10.28解

OxyzΩ2a05球面坐标系下三重积分的计算16

05球面坐标系下三重积分的计算17📚例3计算其中是锥面与平面z=a(a＞0）所围成的立体,如图10.46所示.

图10.4605球面坐标系下三重积分的计算18解解法一：球面坐标系由

有

所以积分区域

则

05球面坐标系下三重积分的计算19

解法二：柱面坐标系由有.z=r,

则积分区域

05球面坐标系下三重积分的计算

20设

则

解📚例4第10章总复习题(8)由轮换对称性知 

05球面坐标系下三重积分的计算21

05球面坐标系下三重积分的计算22解📚例5设函数𝑓(𝑢)具有连续导数,且𝑓(0)=0,

若

求

同步习题10.4，提高405球面坐标系下三重积分的计算23

05球面坐标系下三重积分的计算24解📚例505球面坐标系下三重积分的计算1设则于