河南省郑州枫杨外国语学校2026届数学九年级第一学期期末联考试题含解析

河南省郑州枫杨外国语学校2026届数学九年级第一学期期末联考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在△ABC边上C’处，并且C'D//BC，则CD的长是（）A． B． C． D．2．如图，平行四边形中，为边的中点，交于点，则图中阴影部分面积与平行四边形的面积之比为（）A． B． C． D．3．如图，已知，且，则（）A． B． C． D．4．如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB、BC长分别为15和20，那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．6 B．12 C．24 D．不能确定5．二次函数y=3(x–2)2–5与y轴交点坐标为()A．(0，2) B．(0，–5) C．(0，7) D．(0，3)6．如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=1．则sinA的值为（）A． B． C． D．7．一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为()A．30° B．45° C．60° D．75°8．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（）A．（0，1） B．（1，0） C．（－1，0） D．（0，－1）9．若函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞﹣2 B．m＜﹣2C．m＞2 D．m＜210．如图，在平面直角坐标系内，四边形ABCD为菱形，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），点C，D分别在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A． B．4 C．4 D．20二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知一元二次方程有一个根为0，则a的值为_______.12．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．13．已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是__________14．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这是个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是__________．15．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣kx+3＝0的两根，且满足x1+x2﹣x1x2＝4，则k的值为_____．16．抛物线的顶点坐标是______________.17．在中，，,，则的长是__________．18．设分别为一元二次方程的两个实数根，则____．三、解答题(共66分)19．（10分）（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：；（2）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证MN2=DM·EN．20．（6分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝1．（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；（2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根．21．（6分）如图，在与中，，且.求证：.22．（8分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两观景台，A在B的正东方向，BP＝5（单位：km），有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求A、B两观景台之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察，求观景台B到射线AP的最短距离．（结果保留根号）23．（8分）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的跳水运动员人数为，图①中m的值为；（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弧ED=弧BD，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OACD，求阴影部分的面积；（2）求证：DEDM．25．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的长．26．（10分）如图1所示，六个小朋友围成一圈(面向圈内)做传球游戏，规定：球不得传给自己，也不得传给左手边的人.若游戏中传球和接球都没有失误.若由开始一次传球，则和接到球的概率分别是、；若增加限制条件：“也不得传给右手边的人”.现在球已传到手上，在下面的树状图2中画出两次传球的全部可能情况，并求出球又传到手上的概率.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】先由求出AC，再利用平行条件得△AC'D∽△ABC，则对应边成比例，又CD=C′D，那么就可求出CD.【详解】∵∠B=90°，AB=6，BC=8，∴AC==10，∵将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C'处，∴CD=C'D，∵C'D∥BC，∴△AC'D∽△ABC，∴，即，∴CD=，故选A.本题考查了翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.2、C【分析】根据等底等高的三角形面积比和相似三角形的相似比推出阴影部分面积．【详解】设平行四边形的边AD=2a，AD边上的高为3b；过点E作EF⊥AD交AD于F，延长FE交BC于G

∴平行四边形的面积是6ab

∴FG=3b

∵AD∥BC

∴△AED∽△CEM

∵M是BC边的中点，

∴,

∴EF=2b，EG=b

∴∵∴∴阴影部分面积=∴阴影部分面积：平行四边形的面积=

故选：C．本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边上的高线的比等于相似比．3、D【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：D．此题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质解决问题，记住相似三角形的面积比等于相似比的平方．4、B【分析】由矩形ABCD可得：S△AOD=S矩形ABCD，又由AB=15，BC=20，可求得AC的长，则可求得OA与OD的长，又由S△AOD=S△APO+S△DPO=OA•PE+OD•PF，代入数值即可求得结果．【详解】连接OP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠ABC＝90°，S△AOD＝S矩形ABCD，∴OA＝OD＝AC，∵AB＝15，BC＝20，∴AC＝＝＝25，S△AOD＝S矩形ABCD＝×15×20＝75，∴OA＝OD＝，∴S△AOD＝S△APO+S△DPO＝OA•PE+OD•PF＝OA•（PE+PF）＝×（PE+PF）＝75，∴PE+PF＝1．∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是1．故选B．本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．5、C【分析】由题意使x=0,求出相应的y的值即可求解.【详解】∵y=3（x﹣2）2﹣5,∴当x=0时，y=7,∴二次函数y=3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为(0,7).故选C.本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式.6、A【分析】根据勾股定理逆定理推出∠C=90°，再根据进行计算即可；【详解】解：∵AB=25，BC=7，CA=1，又∵，∴，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴=；故选A.本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理是解题的关键.7、B【解析】作梯形的两条高线，证明△ABE≌△DCF，则有BE=FC，然后判断△ABE为等腰直角三角形求解．【详解】如图,作AE⊥BC、DF⊥BC,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC，BC−AD=12，AE=6，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AB=DC，∠B=∠C，∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，∴AEFD为矩形，∴AE=DF，AD=EF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=FC，∴BC−AD=BC−EF=2BE=12，∴BE=6，∵AE=6，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°.故选B.此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于画出图形.8、D【详解】当x=0时，y=0-1=-1,∴图象与y轴的交点坐标是（0,-1）.故选D.9、B【分析】根据反比例函数的性质，可得m+1＜0，从而得出m的取值范围．【详解】∵函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，∴m+1＜0，解得m＜-1．故选B．10、C【分析】根据题意和勾股定理可得AB长，再根据菱形的四条边都相等，即可求出菱形的周长．【详解】∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），∴OA＝2，OB＝1，∴，∴菱形ABCD的周长等于4AB＝4．故选：C．此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB的长是解题关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、-1【解析】将x=0代入原方程可得关于a的方程，解之可求得a的值，结合一元二次方程的定义即可确定出a的值.【详解】把x=0代入一元二次方程（a-1）x2+7ax+a2+3a-1=0，可得a2+3a-1=0，解得a=-1或a=1，∵二次项系数a-1≠0，∴a≠1，∴a=-1，故答案为-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式以及一元二次方程的解，熟知一元二次方程二次项系数不为0是解本题的关键.12、【解析】分析：根据勾股定理求出，根据∥，得到，即可求出的长.详解：∵四边形是矩形，∴，∥，，在中，，∴，∵是中点，∴，∵∥，∴，∴．故答案为.点睛：考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.13、【分析】根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，再根据等边三角形的边长，求出等边三角形的高，再根据面积公式即可得出答案．【详解】解：连接、，作于，等边三角形的边长是2，，等边三角形的面积是，正六边形的面积是：；故答案为：．本题考查的是正多边形和圆的知识，解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．14、【分析】由小明制作了十张卡片，上面分别标有这是个数字．其中能被4整除的有4，8，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：小明制作了十张卡片，上面分别标有这是个数字．其中能被4整除的有4，8；从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是：．故答案为：．此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．15、2【分析】根据两根关系列出等式,再代入第二个代数式计算即可．【详解】∵x1、x2是方程x2﹣kx+1＝0的两个根，∴x1+x2＝k，x1x2＝1．∵x1+x2﹣x1x2＝k﹣1＝4，∴k＝2．故答案为：2．本题考查一元二次方程的两根关系,关键在于熟练掌握基础知识,代入计算．16、(0，-1)【分析】抛物线的解析式为：y=ax2+k，其顶点坐标是（0，k），可以确定抛物线的顶点坐标．【详解】抛物线的顶点坐标是(0，-1).17、1【分析】根据∠A的余弦值列出比例式即可求出AC的长．【详解】解：在Rt△ABC中，，∴AC=故答案为1．此题考查是已知一个角的余弦值，求直角三角形的边长，掌握余弦的定义是解决此题的关键．18、-2025【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，，将其代入中即可求出结论．【详解】解：，分别为一元二次方程的两个实数根，，，则．故答案为：．本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．【分析】（1）易证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出；（2）①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长．从而，由△AMN∽△AGF和△AMN的MN边上高，△AGF的GF边上高，GF=，根据MN：GF等于高之比即可求出MN；②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1），从而得出结论．【详解】解：（1）在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴，同理在△ACQ和△APE中，，∴；（2）①作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高AQ=，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC∴AD：AB=1：3，∴AD=，DE=，∵DE边上的高为，MN：GF=：，∴MN：=：，∴MN=．故答案为：．②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC，∴，∴DG•EF=CF•BG，又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF•BG，由（1）得，∴，∴，∵GF2=CF•BG，∴MN2=DM•EN．本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．20、（3）a=，方程的另一根为；（2）答案见解析.【解析】（3）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=3时，为一元一次方程；②当a≠3时，利用b2－4ac＝3求出a的值，再代入解方程即可．【详解】（3）将x＝2代入方程，得，解得：a＝．将a＝代入原方程得，解得：x3＝，x2＝2．∴a＝，方程的另一根为；（2）①当a＝3时，方程为2x＝3，解得：x＝3.②当a≠3时，由b2－4ac＝3得4－4(a－3)2＝3，解得：a＝2或3．当a＝2时，原方程为：x2＋2x＋3＝3，解得：x3＝x2＝－3；当a＝3时，原方程为：－x2＋2x－3＝3，解得：x3＝x2＝3．综上所述，当a＝3，3，2时，方程仅有一个根，分别为3，3，－3.考点：3.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.21、见解析【分析】先证得，利用有两条对应边的比相等，且其夹角相等，即可判定两个三角形相似．【详解】∵，∴，即，又，∴．本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两条对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．22、（1）A、B两观景台之间的距离为＝（5+5）km；（2）观测站B到射线AP的最短距离为（）km．【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP的长，然后根据BD+AD=AB，即可求解；

（2）过点B作BF⊥AC于点F，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，∴BD＝PD＝BP＝5km．在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝PD＝5km，PA＝1．∴AB＝BD+AD＝（5+5）km；答：A、B两观景台之间的距离为＝（5+5）km；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，则∠BAP＝30°，∵AB＝（5+5），∴BF＝AB＝（）km．答：观测站B到射线AP的最短距离为（）km．本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．23、（1）40人；1；（2）平均数是15；众数16；中位数15.【分析】（1）用13岁年龄的人数除以13岁年龄的人数所占的百分比，即可得本次接受调查的跳水运动员人数；用16岁年龄的人数除以本次接受调查的跳水运动员人数即可求得m的值；（2）根据统计图中给出的信息，结合求平均数、众数、中位数的方法求解即可.【详解】解：（1）4÷10%=40（人），m=100-27.5-25-7.5-10=1；故答案为40，1．（2）观察条形统计图，∵，∴这组数据的平均数为15；∵在这组数据中，16出现了12次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为16；∵将这组数据按照从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，有，∴这组数据的中位数为15.本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．24、（1）4-π；（2）参见解析．【解析】试题分析：（1）连接OD，由已知条件可证出三角形ODC是等腰直角三角形，OD的长度知道，∠DOB的度数是45度，这样，阴影的面积就等于等腰直角三角形ODC的面积减去扇形ODB的面积．（2）连接AD，由已知条件可证出AD垂直平分BM，从而得到DM=DB，又因为弧DE=弧DB，DE=DB，所以DE就等于DM了．试题解析：（1）连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD∵OA="CD"=，OA=OD∴OD=CD=∴△OCD为等腰直角三角形∠DOC=∠C=45°S阴影=S△OCD-S扇OBD=××－．（2）连接AD．∵AB是⊙O直径∴∠ADB=∠ADM=90°又∵弧ED=弧B