2024年高考数学一轮复习（新高考版）数列中的构造问题

数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新

的数列求数列的通项公式.

题型一形如an+1=pa”+式〃)型

命题点1小+i=〃a“+q(pWO,l,gWO)

例1(1)数列｛斯｝满足处=4如一|+3(〃22)且0=0,则42024等于()

A.22023—1B.42°23—1

C.22023+1D.42023+1

答案B

解析•・・斯=4知-]+3(〃22),

・•・〃〃+1=4(01+1)(〃22),

・・・｛斯+1｝是以1为首项，4为公比的等比数列，

则如+1=4〃」.

nl

».an=4~—\t

.0.«2024=42023—1.

13

(2)已知数列｛斯｝的首项0=1,且一」=亍+2,则数列｛0｝的通项公式为__________.

斯+1a”

答案]

解析V—=^-+2,等式两边同时加1整理得」-+1=3付+1),

Cln*1Cltl11'OnJ

又・・・0=1,・・.!+l=2,

・・・｛5+l｝是首项为2,公比为3的等比数列.

'5+l=23j"=2.3」T

命题点2a„+1=pan+qn+c(p0,1,q#0)

例2已知数列｛%)满足小+尸2々〃―/?+1伽£旷)，m=3,求数列(所)的通项公式.

解a„-1=2aL〃+1,

:.an+1-(〃+1)=23”—n),

.a”+L(〃+l)

an—n

，数列｛〃“一〃｝是以m—1=2为首项，2为公比的等比数列,

・•・〃〃一”=2-2”「=2〃，

:.a”=2"+〃.

命题点3斯+i=〃a”+，'(pWO,l,gWO,l)

例3(1)已知数列｛〃“｝中，0=3,即+|=3%+2・3〃+|,"£N”.则数列｛斯｝的通项公式为()

A.。“=(2〃+1>3"B.1>2”

C.%=(2〃-1)・3"D.斯=(〃+1>2〃

答案C

解析由0=3m+2・3〃+|得得=冬+孽;，

・•・券一竽=2,即数列慨是首项为1,公差为2的等差数列，

，争=2〃-1,故斯=(2〃-I>3”.

(2)在数列｛%｝中,ai=l,且满足斯+|=6诙+3",则.

6”

答案y-3"-'

解析将已知4,“=6/+3〃的两边同乘击，得斜=2.$+]

"I2〃I6〃

令b”=拳，则加|=2儿+彳，利用命题点1的方法知瓦=(-Q,则4“=彳一3"」

思维升华

形式构造方法

斯+i—pa〃+q引入参数c,构造新的等比数列｛a”一。｝

知+|=〃斯+4〃+。引入参数x,yf构造新的等比数列｛斯+m+y｝

两边同除以心，构造新的数列憎

a〃+i=pa〃+q”

跟踪训练1(1)在数列｛%｝中,0=1，研尸2m+2".则数列｛为｝的通项公式为等于()

A.〃2厂】B.m2”

C.(〃-1>2”D.(〃+1>2〃

答案A

解析由。“+[=2a〃+2"得2"=2"'i+1»设b“=2:i,则b??+i=b”+1,

又6=1,・•・｛〃“｝是首项为1,公差为I的等差数列.

b,i=〃，

[

:.an=n-T~.

(2)(2023•黄山模拟)已知数列｛“〃｝满足。|=1,(2+小).(1一a4+i)=2,设｛^｝的前八项和为S”,

则S023(52023+2023)的值为()

A.22023-2B.22023-1

C.2D.1

答案C

解析(2+a“)(l—a/i)=2,则如+尸〃12,

即」一=京+1,

a〃+।a”

得一匚+1=2©+1),故E+l｝是以2为首项，2为公比的等比数列,十+1=2”,^=2«-1,

a„+1/l〃〃Janan

1

%—2«—[，

S2023+2023=2+2?+…+22°23=22024一2,

**•^2023(52023+2023)=2.

(3)已知数列｛〃“｝满足。"+[=%”+〃，ai=2,则斯=.

答案2刀一〃一1

解析令a“+i+M〃+l)+),=2(〃〃+x〃+y),即%+i=24〃+x〃+y—x,

与原等式比较得，x=y=\,所以也“斗喈^1=2,所以数列｛小+”+1｝是以m+l+l=4

。〃十n।1

为首项，2为公比的等比数列，所以a“+〃+l=4X2"r,即为=2"+|一〃一1.

题型二相邻项的差为特殊数列(形如即+i=pa”+gGi)

例4(1)已知数列｛斯｝满足:ai=s=2,a〃=3aLl+4a”-2(〃23),则的+矶等于(

A.47B.48

C.49D.410

答案C

解析由题意得〃1+。2=4,

由a〃=3a”1+4。“-2(〃23),

得斯+。”-1=4(“〃-|+斯-2)，

斯+。“-1

即=4(〃23),

所以数列｛/+a〃+]｝是首项为4,公比为4的等比数列，所以的+.0=49.

⑵已知数列｛斯｝满足m=1,a2=2,且即+i=2a“+3%-1(〃22,〃£N").则数列｛斯｝的通项公

式为an=.

一(-

答fg案一3"^―12)-”

解析方法一因为。“+1=2斯+3斯一|(〃22,N"),

设bn—1+dn,

题型三倒数为特殊数列(形如小+1=备7型)

例5(1)已知数列｛小｝满足⑺=1,斯+|=7%(〃£1<),则满足而>=的〃的最大取值为()

A.7B.8C.9D.10

答案C

解析因为斯+i=7号，所以一匚=4+小，所以一匚一卜=4,又2=1,

4%十1an+\ana,i+i斯m

所以数列上¥是以1为首项，4为公差的等差数列.

所以5=1+4(〃-1)=4〃-3,所以斯=4〃!_3,由即【J3$,即。<4〃-3<37,解

3

得笳svio,因为〃为正整数，所以〃的最大取值为9.

(2)(多选)数列｛斯｝满足为+1=7隹(〃£N"),0=1,则下列结论正确的是()

C.(2n-l)cin=1D.3a5417=449

答案ABC

解析由a+1=

n1+2小'

「,内11+2。”1卜2,所以/

可得---=------=—

a〃+ianan

所以数列｛《J是等差数列，且该数列的首项为1,公差为2,

所以;=1+2(〃-1)=2〃-1,则(2〃-1)如=1,其中故C对;

以〃

由等差中项的性质可得2/=十1+十1，故A对；

41043417

由上可知/=三匕•’则3卷07=3义2义；一］义2义；7—1=击'"49=2X；9—1

所以34507=449,故D错.

1V1/,1

思维升华两边同时取倒数转化为六=5.十+?勺形式,化归为儿+1=〃〃“+«型,求白十的

表达式，再求许.

跟踪训练3已知函数数列｛斯｝满足m=l,即+i=/(a”)(〃£N)则数列伍〃｝的

。人I1

通项公式为.

答案a”=5?!_2(〃£N")

解析由已知得，猴+1=17

，数列是首项为2=1,公差为d=3的等差数列，・・・；=l+(〃-1)X3=3〃-2.

Cl\Un

故斯=而三(〃£N*).

课时精练

1.已知数列｛m｝满足伯=2,如川=2%+1,则出的值为()

A.15B.23C.32D.42

答案B

解析因为小”=2m+1,

所以斯+i+1=2(。”+1),

所以｛为+1｝是以3为首项，2为公比的等比数列，

所以知+1=32门，

所以m=32门―1,44=23.

2.在数列｛“”｝中，0=5,且满足尧2=螳亍，则数列(如｝的通项公式为()

A.2n~3B.2/1—7

C.(2〃-3)(2〃-7)D.2〃-5

答案C

解析因为著六一2=六弓，所以产;一六；=2,

2〃-52n-72〃-52n—/

又叫=-1,所以数歹“养)｝是以一1为首项，公差为2的等差数列，

所以=-1+2(〃-1)=2〃-3,

所以。”=(2〃-3)(2〃-7).

3.已知数列｛小｝满足：0=1,且。+|一2其中〃£N*,则数列｛斯｝的通项公式为()

A.。”=2"一〃B.。〃=2"+〃

n

C.an=3-\D.an=y+1

答案A

解析由题设，。“+|+(〃+1)=2(如+〃)，而川+1=2,

・・・1d+〃｝是首项、公比均为2的等比数列.

故%+〃=2”,

n

即an=2-n.

4.已知数列｛〃”｝满足〃2=/，an—an+i=3allan+i，则数列的通项公式〃〃等于()

A.eqB.eq

C.3〃一2D.3〃+2

答案A

解析•Cln—〃〃十1

•'ai—。2=3。］。2,

即0一;=制，

解得0=1.

由题意知。“X0,

由4“一。“+1=34"4”+1得J——；=3,

・•・数列是以1为首项，3为公差的等差数列，

.•・；=1+3(〃-1)=3〃-2,

则知=三不

3〃一2

5.在数列｛〃”｝中，若4|=3,4”+]=若，则知等于()

A.2n~'B.3"r

C.2尸D.3”，

答案D

解析由〃1=3,即”=届知。”>0,对a“+i=扁两边取以3为底的对数得,

log3^„+1=210g3小，则数列｛10g3a〃｝是以log3a1=1为首项，2为公比的等比数列，

则log3a〃=1々'门=2二】,即册=3r".

6.设数列｛m｝满足8=1,%=一斯T+2"(〃22),则数列的通项公式小等于()

A.eq-2n+|B.eq.2〃+；•(—1)”

C.eq+；D.eq+/(—1)"

答案D

解析•・Z”T+〃”=2",

两边同时除以2”得，翳+怎4=].

令＜7〃=瑞

则cn=—1c„-i+l.

两边同时加上一苧得金一|=一/（。”-1一号）

:,数列卜厂同是以口一号为首项，一;为公比的等比数列,

2n+1.1

:.a”~2"q=3+，'（—D"，

7.（多选）已知数列｛斯｝满足m=l,即+|=不当一（〃曰1＞1＞贝U下列结论正确的是（）

A.eq为等差数列

B.｛%｝的通项公式为a

C.｛册｝为递减数列

D.cq的前n项和〃=2"+2—3〃-4

答案CD

解析因为斯+1=襦一,

Z~ioCln

所以±+3=2（%3），

且,+3=420,

所以｛5+31是以4为首项，2为公比的等比数列，即十+3=4X2"j

所以;=2"+i—3,

可得斯=2〃+]—3,

故选项A,B错误；

因为J_=2"+i—3单调递增，

所以a尸子"三单调递减，

即｛知｝为递减数列，故选项c正确；

｛5卜勺前〃项和，=(22—3)+(23—3)+…+(2/|-3)=(22+23+…+2"+|)—3〃

1—2M

=22X—3n=2rt+2-3n-4,

1—2

故选项D正确.

8.将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为123,…，2023,从第二行

起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M,则M等于()

A.2023X22020B.2024X22021

C.2023X22021D.2024X22022

答案B

解析记第〃行的第一个数为斯，

则41=1,42=3=2〃1+1,〃3=8=2〃2+2,04=20=2«3-1-4,…，a„=2a„i+2n-2,

・••丹="三+1，即｛券)是以券=2为首项，1为公差的等差数列•

n2

・••券=2+(〃-1)X：.an=(n+\)X2~.

又每行比上一行的数字少1个，

・•・最后一行为第2023行，

2021

.,.M=a2023=2O24X2.

3z

-若==

a“

9.已知数列｛知｝满足2*CM

答案(〃+1)3"「

3

因为0-

2,

所以」■=*="尢

。〃+13a〃JCln

即一1_―2=*

an+1〃”3

所以数列［5｝是首项为《=/，公差为:的等差数列，

｛Cln)Cl\.5.5

所吟泻+/〃—D=号，

3〃

则c“=：=(〃+l)3"r.

10.已知数列｛处｝满足即H=3小-2al-|(〃22,〃WN"),且m=0,^=124,则做=.

答案4

解析由a*+i=3a”-2a”-i(〃22,〃右N")可得知+L〃”=2(。?一如-。，

若。〃一4"-1=0,则46=。5=3=4|，与题中条件矛盾，故册一4LIX(),

所以”1一'”=2,即数列｛。“+]—小｝是以。2—0为首项，2为公比的等比数列，

所以所+|一。“=。2・2”一1,

所以%—。]=。2-。1+43-42+44-。3+的-。4+。6­。5=。2・2°+。2・21+«2-22+«2-23+ar24=

316/2=124,所以s=4.

11.在数列｛a〃｝中，=1,且满足an+1=3a〃+2〃，则an=.

答案

解析*.*«„+1=3^,+2«@,an=3an-\+2(n—1)(/1>2),两式相减得，

〃”+1-a“3(。”一4〃-1)+2,令bn—。“+1—〃”，则bn3b”-1+2(〃2