2025年中考数学试题分类汇编：不等式与不等式组（二）

不等式与不等式组（二）

一.填空题（共3小题）

1.（2025•内江）对于x、y定义了一种新运算G,规定GCx,>'）=x+3y.若关于a的不等式组

G（a,1一2。）之-2恰好有3个整数解，则实数。的取值范围是____________.

（G（-2a,1+4a）>P

（x—3>—1

2.（2025•南充）不等式组的解集是心>2,则，〃的取值范围是___________.

1-x<-m+1

3.（2025•泸州）若点（1,a-2）在第一象限，则。的取值范围是.

二,解答题（共17小题）

4.（2025•内蒙古）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人的机械手

能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态卜，该机器

人的每一个机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用8UU秒采摘苹果的个数比用600

秒采摘苹果的个数多25个.

（1）求a的值；

（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成.每个机器人搭载4个相同的

机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？

（2x>x-1®

5.（2025•深圳）解一元一次方程组1〜并在数轴上表示.

6（%+2）<3②

解：由不等式①得：,

由不等式②得：，

在数轴上表示为：

-5-4-3-2-1012345

所以，原不等式组的解集为.

6.（2025•天津）解不等式组13“42"+1①，请结合题意填空，完成本题的解答.

（I）解不等式①，得:

（II）解不等式②，得;

（in）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（N）原不等式组的解集为.

—1---1-----1---1---1----1----1---1----

-4-3-2-101234

7.（2025•陕西）解不等式组：尸3^

（2（%+l）＞x-1

8.（2025•河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果.己

知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800

元.

（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价.

（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数.求

该公司最少需花费多少元.

9.（2025•河北）（I）解不等式2rW6,并在如图所给的数轴上表示其解集；

（2）解不等式3-xV5,并在如图所给的数釉上表示其解集；

（3）直接写出不等式组庄46的解集.

13一入

111111111A

-4-3-2-101234

10.（2025•湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买48两种香料.已知人种材料的单价比

B种材料的单价多3元，且购买4件4种材料与购买6件B种材料的费用相等.

（1）求A种材料和8种材料的单价；

（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买4种材料多少件？

（3x+l>x-3

11.（2025•苏州）解不等式组：x

（—>3

4T—3V%

%.并写出它的所有负整数解•

!。1人IJLJ14人

2%+3N—5

13.（2025•甘肃）解不等式组：x+4.

14.（2025•烟台）2025年6月5日是第54个“世界环境FI”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、

乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.己知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路

灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140%.

（1）求甲、乙两种路灯的单价；

（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的号请通过计

算设计一种购买方案，使所需费用最少.

3M—2<x+2

15.（2025•连云港）解不等式组

.5x+5>2x-7

16.（2025•遂宁）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶.现

有如下材料：

材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个8型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型

号的新型垃圾桶和购买4个8型号的新型垃圾桶共700元.

材料二：据统计该社区需购买A、"两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，旦月

型号的新型垃圾桶数量不少于人型号的新型垃圾桶数量的

请根据以上材料，完成下列任务：

任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？

任务二：有哪几种购买方案？

任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？

17.（2025•成都）（1）计算：（*）2cos45°+|V2-2|；

4

5x-l>3(x+l)®

（2）解不等式组:竽-狂1②

2x-2Vx①

18.（2025•重庆）求不等式组:X-12%-1^的所有整数解•

不等式与不等式组（二）

参考答案与试题解析

一,填空题（共3小题）

I.（2025•内江）对于小y定义了一种新运算G,规定G），）=x+3y.若关于a的不等式组

G（a’1-2。）N-2恰好有3个整数解，则实数尸的取值范围是-17WPV-7.

kG（-2a,l+4a）>P

【考点】一元一次不等式组的整数解；实数的运算.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】-17WPV-7.

【分析】依据题意，先根据新定义化简关于。的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出-2工特V

-1进而解不等式组，即可求解.

【解答】解：由题意，VGG,y）=x+3y,

，关于〃的不等式组器2：含；,即为a+3(1—2a)>一2①

.-2Q+3(1+4a)>P②‘

・••解不等式①得：〃W1,解不等式②得：a>号.

•・•不等式组有3个整数解,

・••整数解为-1，0,1,

P-3

A-2<^-<-1.

・•・・17WPV-7.

故答案为：・17WPV・7.

【点评】本题考杳了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得

出关于P的不等式组是解此题的关键.

x—3^>—1

2.（2025•南充）不等式组的解集是x>2,则，〃的取值范围是一

-x<-m+1

【考点】解一元一次不等式组.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】mW3.

【分析】分别求出每个不等式的解集，结合不等式组的解集得出关于机的不等式，解之即可.

【解答】解：由得：x>2,

由-xV-/〃+l得：x>m-1>

•・•不等式组的解集为x>2,

••m-1^2,

解得〃?W3,

故答案为：加W3.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同

小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

3.（2025•泸州）若点（1,a-2）在第一象限，则a的取俏范围是一〃>2.

【考点】解一元一次不等式；点的坐标.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】心2.

【分析】由点（1,。・2）在第一象限，知。-2>0,解之即可.

【解答】解：•・•点（1,a-2）在第一象限，

：.a-2>0,

则a>2,

故答案为：42.

【点评】本题主要考查点的坐标、解一元一次不等式的基木能力，严格遵循解不等式的基木步骤是关键，

尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

二,解答题（共17小题）

4.（2025•内蒙占）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人的机械手

能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器

人的每一个机械手平均a秒枭摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600

秒采摘苹果的个数多25个.

（1）求a的值；

（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机湍人共同完成.每个机器人搭载4个相同的

机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？

【考点】元次不等式的应用；•元•次方程的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识.

【答案】（1）8；

（2）6个.

【分析】（1）根据“该机器人的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25

个”，可列出关于。的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）设需要k个这样的机器人，利用I小时采摘苹果的总数量=每个机器人的一个机械手I小时采摘

苹果的数量X4X使用机器人的数量，结合要求1小时采摘的苹果个数不少于10000个，可列出关于x

的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论.

【解答】解：（1）根据题意得：25a=800-600,

解得：4=8.

答：〃的值为8；

（2）设需要x个这样的机器人，

3600

根据题意得：----x4%210000,

8

解得：,仑早

又•・“为正整数，

的最小值为6.

答；至少需要6个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关

系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

（2x>x-l0

5.（2025•深圳）解一元一次方程组1…，并在数轴上表示.

敬+2）<3②

解：由不等式①得：G7,

由不等式②得：，<4,

在数轴上表示为：

一5一4—3—2—1012345

所以，原不等式组的解集为-1&V4.

【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次方程.

【专题】元•次不等式（组）及应用；推理能力.

【答案】-1；x<4；-1WXV4.

【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法

找”确定不等式组的解集.

2x>x-l®

【解答】解:

为+2)<3②'

解不等式①，得：工》-1,

解不等式②，得：x<4,

在数轴上表示如下:

一5一4—3—2—1012345

所以不等式组的解集为：-1WXV4,

故答案为：~1；xV4：-1WXV4.

【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键.

6.（2025•天津）解不等式组2*+10,请结合题意填空，完成本题的解答.

（I）解不等式①，得后;

（II）解不等式②，得-2；

（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（IV）原不等式组的解集为KW1.

-4-3-2-101234

【考点】解一元一次不等式组：在数轴.匕表示不等式的解集.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】（I）xWl；（I【）x2-2；（HI）数轴见解答；（N）-24W1.

【分析】先求出每个不等式的解集，然后在数轴上表示出其解集，最后写出不等式组的解集即可.

3x<2X+1(D

【解答】解:

2x—3>x-5②

（I）解不等式①，得尽1：

（II）解不等式②，得x2-2；

（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来,

-4-3-2-101234；

（1X0原不等式组的解集为-2WxWl.

【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式（组）的解集，解答本题的关键是明确解

一元一次不等式（组）的方法.

7.（2025•陕西）解不等式组：

l.2（x+l）>x-l

【考点】解一元一次不等式组.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】-3<x<2.

【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集.

x+3<5

【解答】解:

.2(x+l)>x-l②‘

解不等式①，得：x<2,

解不等式②，得：x>-3,

•••原不等式组的解集为-3VxV2.

【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法.

8.（2025•河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果.巴

知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800

元.

（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价.

（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数.求

该公司最少需花费多少元.

【考点】一元一次不等式的应用：一次函数的应用：二元一次方程组的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用

意识.

【答案】（I）甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元；

（2）该公司最少需花费1080元.

【分析】（1）设甲种苹果每箱的售价为。元，乙种苹果每箱的售价为〃元，根据2箱甲种革果和3箱乙

种苹果的售价之和为440元：4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元;列出二元一次方程组，

解方程组即可；

（2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（12-工）箱，根据乙种苹果的箱数不超过甲种革果的箱数，

列出一元一次不等式，解得x26,再设该公司需花费卬元，根据题意列出卬关于x的一次函数关系式，

然后由一次函数的性质即可解决问题.

【解答】解：（1）设甲种苹果每箱的售价为，元，乙种苹果每箱的售价为匕元，

根据题意得：窗辑瑞

解得:

答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元；

（2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（12-4箱，

根据题意得：12・xWx,

解得：x26,

设该公司需花费卬元，

根据题意得：w=10（k+80（12=20x+960,

V20>0,

・・・w随X的增大而增大，

，当x=6时，卬有最小值=20X6+960=1080,

答：该公司最少需花费1080元.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键

是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找匕数量关系，正确列出一元一次不等式和一

次函数关系式.

9.（2025•河北）（1）解不等式2xW6,并在如图所给的数轴上表示其解集；

（2）解不等式3-xV5,并在如图所给的数轴上表示其解集：

（3）直接写出不等式组色；：.%的解集.

一4一3—2—101234

【考点】解一元一次不等式组：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】（1）xW3,数轴见解析过程：

（2）x>-2,数轴见解析过程；

（3）-2VxW3.

【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来.

（2）根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，弃将解集在数轴上表示出来.

（3）结合（1）（2）,写出不等式组的解集即可.

【解答】解：（1）21W6,

数轴表示如下：

-1-------1--------------1-----1--------1-------1----------------

-4-3-2-101234.

（2）3-A<5,

-x<2,

x>-2,

数轴表示如上图.

（3）由（1）（2）知，

不等式组~合的解集为：-2<xW3.

【点评】本题主要考杳了解一元一次不等式（组）及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等

式（组）的步骤是解题的关键.

10.（2025•湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A,8两种香料.已知A种材料的单价比

B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等.

（1）求A种材料和B种材料的单价；

（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过36。元，则最多能购买4种材料多少件？

【考点】一元一次不等式的应用：一元一次方程的应用.

【专题】一次方程（组）及应用：一元一次不等式（组）及应用：运算能力；应用意识.

【答案】（1）A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；

（2）最多能购买4种材料20件.

【分析】（1）设人种材料的单价为x元，则8种材料的单价为（x-3）元，根据购买4件A种材料与

购买6件B种材料的费用相等，列出一元一次方程，解方程即可；

（2）设能购买A种材料件,则能购买8种材料（50-〃?）件，根据总费用不超过360元,列出一元

一次不等式，解不等式即可.

【解答】解：（1）设4种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x-3）元，

由题意得：4x=6（x-3）,

解得：x=9,

Ax-3=6,

答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元：

（2）设能购买A种材料机件，则能购买B种材料（50-/»）件，

由题意得:9〃1+6（50-m）W360,

解得：6<20,

答：最多能购买人种材料20件.

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，

正确列出一元一次方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式.

3%+1>x—3

11.（2025•苏州）解不等式组：“—I^

【考点】解一元一次不等式组.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】Q3.

【分析】先根据解一元一次不等式的i般步骤，求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式组解集的

口诀“同大取大”，判断不等式组的解集即可.

3x+l>x-3®

【解答】解:

号冶②’

由①得：3x-x>-3-1,

2v>-4,

x>-2.

由②得：3(x-1)>2x,

3x-3>2AS

3x-2x>3,

Q3,

・•・不等式组的解集是x>3.

【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤.

4T—3Vx

!,并写出它的所有负整数解•

【考点】一元一次不等式组的整数解.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】-3VxWl.负整数解有：-2、-1.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小

找不到确定不等式组的解集.

4x-3<x①

【解答】解:

・3(x+l)>2x②'

由①得，xWl,

由②得，x>・3,

・•・不等式组的解集为-3VxWl.

负整数解有：-2、-I.

【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取

大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

2%+3>-5

13.（2025•甘肃）解不等式组：*+4.

“一92

【考点】解一元一次不等式组.

【专题】i元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】-4«5.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小

找不到，确定出不等式组的解集.

2%+3>-S(D

【解答】解:

(X-2<—(2)

由①得，-4,

由②得，xV5,

・•・不等式组的解集为：-4WxV5.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知确定不等式组解

集的原则是解答此题的关键.

14.（2025•烟台）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、

乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路

灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.

（1）求甲、乙两种路灯的单价；

1

（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的请通过计

算设计一种购买方案，使所需费用最少.

【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）设甲种路灯的单价是x元，乙种路灯的单价是），元，根据“购买1盏甲种路灯和2盏乙种

路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元”，可列出关于％,y的二元一次方

程组，解之即可得出结论；

（2）设购买〃？盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费卬元，则购买（40-机）盏乙种路灯，

利用总价=单价X数量，可找出卬关于机的函数关系式，由购买甲种路灯的数量不超过乙种路灯数最

的事可列出关于〃?的一元一次不等式，解之可得出〃?的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决

最值问题.

【解答】解：（1）设甲种路灯的单价是X元，乙种路灯的单价是y元,

根据题意得:器3片2

解律忧案

答：甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是8。元；

（2）设购买〃?盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费卬元，则购买（40-7//）盏乙种路灯，

根据题意得：卬=60胆+80（40-〃?）=-20m+3200,

•••-20<0,

，卬随机的增大而减小,

又m<i（40-）,

J

，机W10,

・・・当〃?=10时，w取得最小值,此时40-〃?=40-10=30（盏）.

答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键

是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组：（2）根据各数量之间的关系，找出w关于机的函

数关系式.

'皿•连云港）解不等式组庾言言

【考点】解一元一次不等式组.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】-4<x<2.

【分析】先求出每个不等式的解，再根据大小小大中间找，求出答案.

3x-2<x+20

【解答】解:

5x+5>2x-7@.

解不等式①得x<2,

解不等式②得”>-4,

所以不等式组的解集为：-4VxV2.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是根据运算方法来解答.

16.（2025•遂宁）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、8两种型号的新型垃圾桶.现

有如卜材料:

材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个8型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型

号的新型垃圾桶和购买4个3型号的新型垃圾桶共700元.

材料二：据统计该社区需购买A、4两种型号的新型垃圾桶共20（）个，但总费用不超过15300元，且8

型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的

请根据以上材料，完成下列任务：

任务求A、6两种型号的新型垃圾桶的单价？

任务二：有哪几种购买方案？

任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？

【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用.

【专题】-一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用：应用意识.

【答案】（任务一）A型号的新型垃圾桶的单价是60元，4型号的新型垃圾桶的单价是10（）元：

（任务一）共3种购买方案，

方案I：购买118个4型号的新型垃圾桶，82个B型号的新型垃圾桶；

方案2：购买119个4型号的新型垃圾桶，81个B型号的新型垃圾桶；

方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶，80个8型号的新型垃圾桶；

（任务三）方案3更省钱，最低购买费用是15200元.

【分析】（任务一）设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，3型号的新型垃圾桶的单价是），元，根据“购

买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个4型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶

和购买4个8型号的新型垃圾桶共7（X）元”，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（任务二）设购买m个4型号的新型垃圾桶，则购买（200-///）个B型号的新型垃圾桶，根据“总费

用不超过15300元，且8型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的：'，可列出关于

的一元一次不等式组，解之可得出机的取值范围，再结合，〃为正整数，即可得出各购买方案；

（任务三）利用总价=单价义数量，可求出选择各方案所需费用，比较后，即可得出结论.

【解答】解：（任务一）设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，8型号的新型垃圾桶的单价是y元，

根据题意得：倒沈翳

解得:{y：W0-

答：A型号的新型垃圾桶的单价是60元，8型号的新型垃圾桶的单价是100元；

（任务二）设购买〃，个A型号的新型垃圾桶，则购买（200・〃?）个8型号的新型垃圾桶,

60m+100(200-m)<15300

根据题意得:2

200-m>

J

解得：---120,

又•・•〃?为正整数，

・・・m可以为H8,119,120,

••・共3种购买方案，

方案I：购买118个A型号的新型垃圾桶，82个B型号的新型垃圾桶；

方案2：购买119个A型号的新型垃圾桶，81个6型号的新型垃圾桶；

方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶，80个B型号的新型垃圾桶；

（任务三）选择方案1所需费用为60X118+100X82=15280（元）；

选择方案2所需费用为60X119+100X81=15240（元）；

选择方案3所需费用为60X120+l（X）X80=15200（元）,

715280>15240>1520（）,

••・方案3更省钱，最低购买费用是15200元.

【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关犍是：（任务

一）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（任务二）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次

不等式组：（任务三）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需费用.

17.（2025•成都）（1）计算：（-）'1-x/9+2cos45°+|V2-2|；

5x-l>3(x+l)①

（2）解不等式组:竽-狂］②

【考点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值；实数的运算；负整数指数累.

【专题】实数：一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】（1）3；

（2）2VxW8.

【分析】（1）利用负整数指数制，算术平方根的定义，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算后再算

加减即可；

（2）解各不等式得到对应的解集后再求得它们的公共部分即可.

【解答】解：（1）原式=4・3+2x?+2-鱼

=4-3+V2+2-V2

=3；

（2）解不等式①得：工>2,

解不等式②得：xW8,

故原不等式组的解集为2<xW8.

【点评】本题考查解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数基，特殊锐角三角函数值，熟练掌握

解不等式组的方法及相关运算法则是解题的关键.

2x-2<x®

18.（2025•重庆）求不等式组：xi的所有整数解.

【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】-lWx<2,所有整数解为-1,0,1.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，由两不等式解集的公共部分可得不等式组的解集，从而得出所

有整数解.

（2x-2<x®

【解答】解：121分，

解不等式①，得工<2,

解不等式②，得X、-1,

，原不等式组的解集为-1«2,

所以不等式组的所有整数解为・1，0,1.

【点评】此题考查了••元•次不等式组的整数解.，以及解一元•次不等式组，熟练掌握不笨式组的解法

是解本题的关键.

：工鼠一’并在数轴上表示其解集.

19.（2025•自贡）解不等式组:

-2-10123

【考点】解一元一次不等式组；在数釉上表示不等式的解集.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】-l〈xV2；在数轴上表示出解集见解析.

【分析】依据题意，根据(3"+3>0①由①得，七>7：由②得，xV2,进而可以判断得解.

.4%-3<3x-1②

3x+3>00

【解答】解:

4x-3<3x-1②'

,由①得，-I;

由②得，xV2.

・••原不等式组的解集为：-1VXV2,在数轴上表示出解集如下.

-2-10123

【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题时要熟练掌握并能准

确计算是关键.

20.(1)计算：(V2025-I)°-(-1)*2+3|-2|：

(2)解不等式：,并把解集表示在数轴上.

23

-3-2-10123

【考点】解一元一次不等式；实数的运算；零指数幕；在数轴上表示不等式的解集.

【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力.

【答案】(1)2：

(2)xWl,数轴表示见解答.

【分析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；

(2)按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答.

【解答】解：(1)(V2025-1)°-(-1)2+|-2|

=1-1+2

=2：

3X-12X+1

(2)-------<---------,

23

3(3x-1)W2(2x+l),

9x・3W4x+2,

9A-4XW2+3,

5A<5,

xW1,

・•・该不等式的解集在数轴上表示如图所示:

-4-3-2-1012345

【点评】本题考查了解一元一次不等式，实数的运算，零指数幕，在数轴上表示不等式的解集，准确熟

练地进行计算是解题的关键.

考点卡片

1.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，

又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算

加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、暴的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三

角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘力，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运

算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

2.零指数累

零指数暴：『=1（〃#0）

由""+"”=1,"”+/=4〃厂用=〃°可推出4°=1（。=0）

注意：O°W1.

3.负整数指数第

负整数指数用:（g0,〃为正整数）

注意：①

②计算负整数指数幕时，一定要根据负整数指数鼎的意义计算.避免出现（-3）-2=（-3）X（-2）

的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

4.解一元一次方程

（I）解一元一次方程的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为I,这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，

灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化.

（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括

号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号.

（3）在解类似于“办+/u=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（/力x=c.使

方程逐渐转化为依=方的最简形式体现化归思想.将如=〃系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，

方程两边除以的是。还是江尤其。为分数时.：二要准确判断符号，，、。同号x为正，.、〃异号x为负.

5.一元一次方程的应用

（-）一元一次方程解应用题的类型有：

（I）探索规律型问题：

（2）数字问题；

（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=粤、100%）；（4）工程问题（①工作量=人均效率X人数

进价

X时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；

G）行程问题（路程=速度X时间）；

（6）等值变换问题；

（7）和,差,倍,分问题;

（8）分配问题;

（9）比赛积分问题;

（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）.

（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知最和所有的己知最，直接设要求

的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、

求解、作答，即设、歹I」、解、答.

列一元一次方程解应用题的五个步骤

1.审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系.

2.设：设未知数（x）,根据实际情况，可设直接