2025年中考数学试题分类汇编：尺规作图

尺规作图

一.选择题（共5小题）

1.（2025•北京）如图，NMON=10（T,点A在射线OM上，以点。为圆心，04长为半径画弧，交射线

0N于点注若分别以点A,3为圆心，A8长为半径画弧，两弧在NW0N内部交于点C,连接AC则

NO4C的大小为（）

1001C.110°D.)20°

2.（2025•吉林）如图，在△ABC中，ZB=45°,ZA>ZACB>ZB,尺规作图操作如下：（1）以点B

为圆心，适当长为半径画弧，分别交边4A,BC于点、M,N；（2）以点C,为圆心，4N长为半径画弧,

交边CB于点N'；再以点M为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形

内部的点M'；（3）过点M'画射线CM'交边AB于点。.下列结论错误的为（）

A.NB=NDCBB.Z«DC=90°C.DB=DCD.AD+DC=BC

3.（2025•天津）如图，C。是△ABC的角平分线.按以下步骤作匆：①以点4为圆心，适当长为半径画弧,

与边A8相交于点E,与边AC•相交于点F；②以点8为圆心，AE长为半径画弧，与边8C相交于点G；

③以点G为圆心，E尸长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点〃；④作射线8",与C。相交于

点M,与边AC相交于点N.则下列结论一定正确的是（）

A.NABN=/AB.BNLACC.CM=ADD.BM=BD

4.（2025•湖北）如图，ZkAbC内接于。。，ZBAC=30°.分别以点A和点8为圆心，大于厘8的长为

半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点Q,连接8。并延长交。。于点E,连接OA,

OE,则乙4。£的度数是（）

C.60°D.75°

5.（2025♦眉山）如图，在四边形/18CD中，AD//BC,人8=6,BC=IO.按下列步骤作图：①以点人为圆

心，适当长度为半径画弧，分别交于£、尸两点；②分别以点K、尸为圆心，大于的长为

半径画弧，两弧相交于点P；③作射线人尸交8C于点G,则CG的长为（）

二,填空题（共5小题）

1

6.（2025•齐齐哈尔）如图，在OABCQ中，BC=2AB=8,连接AC,分别以点A,。为圆心，大于-AC的

2

长为半径作弧，两弧交于点£,F,作直线环，交A。于点M,交8C于点M若点N恰为BC的中点，

则AC的长为.

7.（2025•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点尸，A均在格点上.

（I）线段以的长为；

（II）直线PA与△46C的外接圆相切于点A,AB=BC.点、W在射线BC上，点N在线段BA的延长线

上，满足CM=24N,且MN与射线垂直.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M,N,

并简要说明点M,N的位置是如何找到的（不要求证明）

8.（2025•湖南）如图，在△A8C中，8C=6,点E是AC的中点，分别以点A,8为圆心，以大于1力8的

长为半径画弧，两弧相交于点“，N,直线MN交AB于点D,连接DE,则。七的长是

A

9.（2025•苏州）如图，NMON=60°,以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM,ON于A,B两点,再

分别以4,3为圆心，连为半径画弧，两弧在NMON内部相交于点C,作射线OC,连接AC,4C,则

tanNBCO=.（结果保留根号）

10.（2025•广安）如图，在△A8C中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC

于点。；（2）分别以点C和点。为圆心，大于三CO的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线4尸

2

交8c于点E.若NC=2N8,8。=23,80=13,则AE的长为.

三,解答题（共14小题）

11.（2025•长沙）如图，在△?13c中，AB=AC,ZB=72°,以点C为圆心，适当长为半径蚱弧，交C4

于点M,交CB于点N,再分别以点M,N为圆心，大于：MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P,作

射线CP交A8于点。.

（1）求N8CQ的度数；

（2）若8C=2.5,求AO的长.

12.（2025•绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）

【初步尝试】

如图（1）,用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线。匕使扇形OWN的面积被直线平分.

【拓展探究】

如图（2）,若扇形OMN的圆心角为30°,请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点。为圆心的弧CD,

交OM于点C,交ON于点。，使扇形OCO的面积与扇形0MN的面积比为1：4.

13.（2025•吉林）图①、图②均是6X6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.△A8C内接于。0,

且点A,B,C,O均在格点.匕只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图.

（1）在图①中找一个格点。（点。不与点。重合）；画出NAO3,使NAQ5=NAC3.

（2）在图②中找一个格点E,画出NAEC,使NAEC+N48c=180°.

图①图②

14.（2025•陕西）如图，已知乙408=50°,点。在边QA上.请用尺规作图法，在NAO8的内部求作

点尸，使得NAOP=25°,且C尸〃08.（保留作图痕迹，不写作法）

15.（2025•河南）如图，四边形A8CD是平行四边形，以8c为直径的圆交4。于点£

（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心。（保留作图痕迹，不写作法）.

（2）若点E是的中点，连接04,CE.求证：四边形AOCE是平行四边形.

16.（2025•新疆）如图，在四边形48CQ中，AD//BC,8。是对角线.

（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段8。的垂直平分线，垂足为点O,与边AQ,BC分

别交于点E，尸（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）；

（2）在（1）的条件下，连接8E,DF,求证：四边形80E为菱形.

17.（2025•威海）问题提出

已知Na,N0都是锐角，tana=劣，lan0=求Na+N0的度数.

问题解决

（1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出NZMO和NCAO,请你按照这个思路求Na+NB

的度数.（点A,B,C,。都在格点上）

9Q

（2）已知Na,N（3都是锐角，tana=于tan0=*则Na+/0=；

（3）已知Na,Zp,N6都是锐角，lana=tanp=y,Za+Zp=Z0,求tan。的值.

（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）

18.（2025•福建）如图，矩形A8CQ中,AB<AD.

（1）求作正方形EFG”,使得点E,G分别落在边人力，BC上，点、F,，落在8。上；（要求：尺规作

图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）若AB=2,AD=4,求（1）中所作的正方形的边长.

19.（2025•威海）（1）如图①，将平行四边形纸片A8CD的四人角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重

叠的四边形EFG”.判断四边形EFG”的形状，并说明理由；

（2）如图②，己知5BCQ能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ,其中，点

M在上，点N在A〃上，点〃在〃。上，点Q在C。上.请用直尺和圆规确定点M的位置.（不写

作法，保留作图痕迹）

图①图②

20.（2025•江西）如图，在6X5的正方形网格中，点4,B,C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要

求完成作图.（保留作图痕迹）

（1）在图1中作出8c的中点；

（2）在图2中作出△ABC的重心.

图1图2

21.（2025•甘肃）如图1,月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制

可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代

最完整的建筑技术典籍之一.如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞口的设计图,

月洞门呈圆弧形，用m表示，点。是:O所在圆的圆心，

AB是月洞门的横跨，CD是月洞口的拱高.现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图.如

图3,已知月洞门的横跨为46,拱高的长度为。.作法如下：

①作线段的垂直平分线MN,垂足为。；

②在射线DM上截取。。=“；

③连接4C，作线段AC的垂直平分线交C。于点。；

④以点o为圆心，。。的长为半径作;O.

则g就是所要作的圆弧.

请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）.

22.（2025•山东）在RiZXAbC中,ZA6c=90°,ZAC6=3（r,N6AC的平分线AD交AC丁点。，如

图1.

（1）求NAOC的度数;

（2）已知A8=3,分别以C,。为圆心，以大于色拉的长为半径作弧，两弧相交于点M,N,作直线

MN交BC于点、E,交4。的延长线于点F.如图2,求。尸的长.

图1图2

23.（2025•重庆）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作

法，并与她的同伴进行交流.现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以卜作图和填空：

第一步：构造角平分线.

小红在NAOB的边。4上任取一点E,并过点E作了04的垂线（如图）.请你利用尺规作图，在OB

边上截取OF=OE,过点尸作08的垂线与小红所作的垂线交于点P,作射线。尸，。尸即为NA08的平

分线（不写作法，保留作图痕迹）.

第二步：利用三角形全等证明她的猜想.

证明：*：PELOA,PFLOB,

・・.NOEP=/OFP=90°.

在RtAOEP和RtAOFP中,

俾)

、②()

/.RtAOEP^RtAOFP(HL).

工③_________________

平分NA08.

24.开启作角平分线的智慧之窗

问题：作NA03的平分线OP

作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线：丙同学也用尺规作

出了角平分线：工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上，即得0P

为NA08的平分线；

讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判

定全等的方法是;

时乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，A4S,A5人或，L,②

对丙同学的作法陷入了沉思.

任务：（1）请你将上述讨论得出的依据补充完整；

（2）完成对丙同学作法的验证.

已知NAEO=NAO8,EP=EO,求证：。「平分/AO8.

尺规作图

参考答案与试题解析

一.选择题（共5小题）

题号12345

答案BDDCA

一,选择题（共5小题）

1.（2025•北京）如图，NMON=100°,点4在射线0M上，以点。为圆心，长为半径画弧，交射线

ON于点、B.若分别以点4,/，为圆心，人8长为半径画弧，两弧在NMQV内部交于点C,连接AC,则

/O4C的大小为（）

【考点】作图一基本作图；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质.

【专题】尺规作图；几何直观.

【答案】B

【分析】连接AB,AC,BC,由作图可得。4=08,AC=BC=AB,则△ABC为等边三角形，可得NAC8

=60°.证明△QICg/XOBC,可得乙4co=NBCO="4CB=3；0。，/AOC=ZB0C=^LAOB=50°,

则可得NOAC=1800-ZAOC-ZACO=lOOQ.

【解答】解：连接A8,AC,BC,

o

由作图可得，OA=OB,AC=BC=AB,

•••△A8C为等边三角形，

AZACB=60°.

•：OC=OC,

•••△0ACH08C（SSS）,

/.ZACO=ZBCO=^ACB=30°,ZAOC=^BOC=^AOB=50°，

AZOAC=1800-ZAOC-ZACO=\SO°-30°-50°=100°.

故选：艮

【点评】本题考查作图一基本作图、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键

是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

2.（2025•吉林）如图，在AABC中，NB=45°,ZA>ZACB>ZB,尺规作图操作如下：（1）以点8

为圆心，适当长为半径画弧，分别交边84,BC于点M,N；（2）以点C为圆心，8N长为半径画弧，

交边CB于点N'；再以点N'为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点。为圆心的弧相交于三角形

内部的点；（3）过点M'画射线CM'交边A4于点。.下列结论错误的为（）

A.ZB=ZDCBB.NBDC=90°C.DB=DCD.AD+DC=BC

【考点】作图一基本作图：等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形.

【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】判断出选项A,B，C正确可得结论.

【解答】解：由作图可知NB=NOCB=45°,

；,DB=DC,N8OC=90°,

故选项4,B,C正确.

故选：D.

【点评】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形等知识，解题的关键是

理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

3.（2025•天津）如图，CO是△ABC的角平分线.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，

与边A8相交于点E,与边AC相交于点F；②以点8为圆心，4E长为半径画弧，与边BC楣交于点G；

③以点G为圆心，所长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线8",与CD相交于

点M,与边AC相交于点N.则下列结论一定正确的是（）

A.ZABN=ZAB.BNLACC.CM=ADD.BM=BD

【考点】作图一基本作图：角平分线的定义.

【专题】尺规作图；几何直观.

【答案】D

【分析】由作图过程可知，4CBN=/BAC,由角平分线的定义可得NACO=NBCO.根据NC4D+N

ACO+NAOC=180°,ZCBM+ZBCM+ZBMC=180°,可得NAOC=N8MC,进而可得NBZ）M=N

BMD,则8M=8。，即可得出答案.

【解答】解：由作图过程可■知，ZCBN=ZBAC.

,:CD是△ABC的角平分线，

，/ACD=NBCD.

VZCAD+ZACD+ZADC=\^O°,/aM+/ACM+/BMC=180°,

•••ZADC=/BMC,

/.4BDM=/BMD,

：・BM=BD,

故。选项一定正确.

故选：D.

【点评】本题考查作图一基本作图、角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题.

4.（2025•湖北）如图，△ABC内接于。。，NBAC=30°.分别以点A和点B为圆心，大于，B的长为

半径作弧，两弧交于M,N两点，作直线MN交4C于点D,连接BO并延长交。。于点E,连接OA,

OE,则NAOE的度数是（）

A.30°B.50°C.60。D.75°

【考点】作图一基本作图；线段垂直平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理：三角形的外

接圆与外心.

【专题】圆的有关概念及性质.

【答案】C

【分析】由MN是A8的垂直平分线，可得OA=O8,可得NBAD=NABD=30°,再进一步求解即可.

【解答】解：由作图可得：

•••MN是/W的垂直平分线，

:,DA=DB,而N8AC=30°,

，NB4O=NABO=30°,

・・・NAOE=2/ABO=60°,

故选：C.

【点评】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，掌握以上性质是解题的

关键.

5.（2025•眉山）如图，在四边形A3C。中，AD//BC,48=6,4c=10.按下列步骤作图：①以点A为圆

1

心，适当长度为半径画弧，分别交AB、A。于£尸两点；②分别以点以厂为圆心，大于5石尸的长为

半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G,则CG的长为（）

A\

BG\C

A.4B.5C.6D.8

【考点】作图一基本作图；角平分线的定义；平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图：几何直观.

【答案】A

【分析】由作图过程可知，AG为N84。的平分线，可得N，AG=ND4G.由平行线的性质可得NAG4

=ZDAG,则NZMG=NAG8,可得8G=43=6,则可得CG=BC-4G=4.

【解答】解：由作图过程可知，4G为N84O的平分线，

：.ZBAG=ZDAG.

'：AD//BC,

/.NAGB=NDAG,

：.ZBAG=ZAGB,

：•BG=AB=6,

，CG=BC-BG=10-6=4.

故选：A.

【点评】本题考查作图一基本作图、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行

线的性质是解答本题的关键.

二,填空题（共5小题）

6.（2025•齐齐哈尔）如图，在OABCO中，8C=2A8=8,连接AC,分别以点A,。为圆心，大于士4C的

2

长为半径作弧，两弧交于点E，F,作直线E凡交A。于点M,交BC于点N,若点N恰为3c的中点，

则4c的长为4a..

【考点】作图一基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形中位线定理.

【专题】尺规作图；几何直观.

【答案】4V3.

【分析】设交AC于点。，由作图过程可知，直线为线段AC的垂直平分线，可得点。为AC

的中点，NCON=90°,进而可得。N为△A4C的中位线，可得。N〃A8,则NC44=/CON=90°,

再根据勾股定理可得AC=7BC2-AB2=V82-42=4遍.

【解答】解：设A/N交AC于点0,

E

AD

由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，

，点。为AC的中点，ZCOA=90°.

•・•点N为BC的中点，

.'ON为△A8C的中位线，

：.ON//AB,

•••NC/W=NCON=90°.

'：BC=2AB=S,

・・・AB=4,

：,AC=\/BC2-AB2=V82-42=4技

故答案为：4

【点评】本题考查作图一基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理、勾股定理，解题的关

键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

7.(2025•天津)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P,A均在格点上.

(I)线段外的长为_戊_；

(II)直线用与AABC的外接圆相切于点A,AB=BC.点M在射线BC上，点N在线段B4的延长线

上，满足CM=24M且与射线84垂直.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M,N,

并简要说明点M,N的位置是如何找到的(不要求证明)直线力与射线8C的交点为M：取圆与网

格线的交点Q和E,连接QE；取格点尸，连接AP,与DE相交于点。连接BO并延长，与AC相交

于点G,与直线%相交于点心连接CH并延长，.与网格线相交了点/,连接A/,与网格线用交手点/；

连接GL与线段BA的延长线相交「点N,则点M,N即为所求.

【考点】作图一复杂作图；解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心.

【专题】作图题；三角形.

【答案】（1）&；（2）直线处与射线4c的交点为M：取圆与网格线的交点。和£连接。石；取格

点F,连接4F,与。5相交于点O；连接80并延长，与AC相交于点G,与直线附相交于点心连

接C”并延长，与网格线相交于点/，连接4/，与网格线相交于点/：连接GJ,与线段84的延长线相

交于点N,则点M,N即为所求.

【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可；

（2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确

定线段4C的中点G,利用网格确定点J为线段4的中点，则G,1为三角形的中位线，利用一组平行

线确定点N为线段AQ的中点，证明和得出AQ=CM,即CM=2AN,

最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出△AMQ为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出

MN_LAQ.

【解答】解：（I）由勾股定理得PA=VTTT=&，

故答案为：V2；

（2）如图所示，点M,N即为所求，

作法：直线用与射线BC的交点为M；取圆与网格线的交点。和E,连接DE；取格点F，连接A片

与。E相交于点。：连接30并延长，与AC相交于点G,与直线布相交于点〃；连接C”并延长，与

网格线相交于点/，连接4/，与网格线相交于点/：连接G./,与线段8A的延长线相交于点N,则点M,

N即为所求.

理由：VZDAE=90°,

为圆的直径，

〈A/为正方形的对角线，

.,.ZDAF=ZEAF=45°,

・・・A尸垂直平分线段DE,

•••点。为圆的圆心，

・・・OA=OC,

又*；AB=BC,OB=OB,

•••△AO哙△COBCSSS),

，NABO=NCBO,

:・BG平分/ABC,

，点G为线段AC的中点，

由网格可知点./为线段A/的中点，

为△AC7的中位线，

:,GJ〃CL

・••点N为线段4Q的中点，

：.AQ=2AN,

'：AB=BC,BH=BH,ZABH=ZCBH,

:.△ABH/ACBH(SAS),

:・AH=CH,ZBAH=ZBCH,

：.ZQAH=NMCH,

又，:NAHQ=/CHM,

：.AAHQ^ACHM(ASA),

：,AQ=CM,即CM=2AN,

延长BH交QM于点T,

VAB=BC,AQ=CM,

:・BQ=BM,

*：NQBH=NMBH,

：.DTLQM,

•「AM为圆的切线，

：.ZOAH=90°,

，NOA8+NQAM=90°,

*：OA=OB,

，N0ZM=/0A4,

即NQ4W+NO84=90°,

•.•NOZM+NAQM=90°,

:・NQAM=NAQM,

•••△AMQ为等腰三角形，

••・MN_LAQ,

；・点、M,N即为所求.

【点评】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中

位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用.

1

8.（2025•湖南）如图，在△A8C中，3。=6,点七是4c的中点，分别以点A,4为圆心，以大于5AB的

长为半径画弧，两弧相交于点M,N,直线MN交A8于点。，连接。E,则。E的长是.

【考点】作图一基本作图；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理.

【专题】尺规作图；几何直观.

【答案】3.

【分析】由作图过程可知，直线为线段A8的垂直平分线，可得点。为A/3的中点，进而可得

为aABC的中位线，则DE=在=3.

【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段A8的垂直平分线，

•••点。为的中点.

•••点七是AC的中点，

・・・。七为△A8C的中位线，

：.DE=^BC=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查作图一基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理，熟练掌握线段垂直平

分线的性质、三角形中位线定理是解答本题的关键.

9.（2025•苏州）如图，NMON=60°,以。为圆心，2为半径画弧，分别交OM,ON于A,3两点，再

分别以A,B为圆心，石为半径画弧，两弧在/MON内部相交于点C,作射线0C,连接AC,BC,则

角平分线的性质.

【专题】作图题：几何直观；推理能力.

【答案】£

【分析】过点B作BO_LO。于点。，由作图过程得OC平分MON,得/BOD=g"K）N=30。，然后

根据含30度角的直角三角形的性质求MB。，根据勾股定理求出CD,然后利用锐角三角函数定义即可

解决问题.

AZBOD=^Z-MON=30<>,

:,BD=16>B=1x2=l,

VBC-V6,

・•・CD=>/BC2-BD2=V677!=V5,

../i）mBD175

.・tan/BC°F=赤=亨

故答案为：

【点评】本题考查作图一基本作图，解直角三角形，勾股定理，掌握基本作图方法是解答本题的关键.

10.（2025•广安）如图，在△48C中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC

于点⑵分别以点C和点。为圆心，大于齐师长为半径画弧‘两弧相交于点F；⑶画射线AF

交8c于点E.若NC=2N8,8c=23,80=13,则AE的长为12.

【考点】作图一复杂作图：等腰三角形的性质；勾股定理.

【专题】尺规作图；几何直观.

【答案】12.

【分析】连接AO,由作图过程可知，AD=AC,AE1BC,可得/4OC=NC=2NE,NAED=90°,

DE=CE,进而可得NZMO=N/3,则40=80=13,CD=BC-BD=1。,DE=^CD=5,再由勾股定理

得y/AD2-DE2=12.

【解答】解：连接A。，

由作图过程可知，AD=AC,AELBC,

AZADC=ZC=2ZB,N4£O=90°,DE=CE.

*：NAOC=N4+N8AQ,

:・NBAD=NB,

：.AD=BD=\3）.

VBC=23,80=13,

：.CD=BC-BD=\0,

:・DE=3CD=5,

：,AE=>JAD2-DE2=V132-52=12.

故答案为：12.

【点评】本题考查作图一复杂作图、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用

所学知识解决问题.

三,解答题（共14小题）

11.（2025•长沙）如图，在△?13c中，AB=AC,NB=72°,以点。为圆心，适当长为半径咋弧，交C4

于点M,交CB于点、N,再分别以点M,N为圆心，大于：MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P,作

射线CP交A8于点。.

（1）求N8CQ的度数；

（2）若8C=2.5,求AO的长.

【考点】作图一基本作图：角平分线的性质；等腰三角形的性质.

【专题】作图题：等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力.

【答案】（1）36°；

（2）2.5.

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线定义即可解决问题；

（2）根据三角形内角和定理证明NA=NACQ,得AO=CD进而可以解决问题.

【解答】解：（1）'：AB=ACtN8=72°,

AZACB=ZB=12a,

由作图可知：CQ是NACB的角平分线，

・•・/BCD=ZACD=^ACB=36°；

（2）VZ^DC=1800-NB-NBCD=72°,4=72°,

/.ZBDC=NB,

：.CD=CB,

ZBDC=ZA+ZACD,NACZ）=36°,

：.ZA=ZBDC-ZACD=12°-36°=36°,

/.NA=NAC。，

：.AD=CD,

:・AD=BC=25.

【点评】本题考查作图-基本作图，角平分线定义，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作

图方法.

12.（2025•绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）

【初步尝试】

如图（1）,用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP,使扇形OMN的面积被直线OP平分.

【拓展探究】

如图（2）,若扇形OMN的圆心角为30°,请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点。为圆心的弧CD,

交OM于点C,交ON于点。，使扇形OCQ的面积与扇形OMN的面积比为1：4.

【考点】作图一复杂作图；垂径定理；相交两圆的性质；扇形面积的计算.

【专题】作图题；几何直观.

【答案】见解析.

【分析】（1）作OP平分NM0N即可；

（2）作线段ON的垂直平分线垂足为，以。为圆心，。。为半径作弧交OM于点C,弧C。即为所

求.

【解答】解：（1）如图，射线即为所求；

M

图（2）

（2）如图2中，弧CO即为所求.

【点评】本题考查作图-更杂作图，扇形的面积，线段的垂直平分线，角平分线的定义，解题的关键是

理解题意，正确作出图形.

13.（2025•吉林）图①、图②均是6X6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.内接于。0,

且点A,B,C,O均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图.

（1）在图①中找一个格点。（点。不与点。重合）；画出NAD&使

（2）在图②中找一个格点E,画出NAEC,使/AEC+NA8C=180°.

图①图②

【考点】作图一应用与设计作图；圆周角定理；三角形的外接圆与外心.

【专题】作图题；儿何直观.

【答案】见解析.

【分析】（1）利用圆周角定理作出图形；

图①图②

（2）如图②中，点E即为所求（答案不唯一）.

【点评】本题考查作图-一一与设计作图，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题

意，正确作出图形.

14.（2025•陕西）如图，已知208=50°,点C在边OA上.请用尺规作图法，在NAO8的内部求作一

点P,使得NAOP=25°,且CP〃。氏（保留作图痕迹，不写作法）

0B

【考点】作图一堂杂作图；平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观.

【答案】见解答.

【分析】先作NAOB的平分线，再以点C为圆心，0C的长为半径画弧，交射线0。于点P,则点P即

为所求.

【解答】解.：如图，先作NA08的平分线，再以点C为圆心，0c的长为半径画弧，交射线。。于点P,

1

,NCP0=/COP=/BOP="AOB=25°，

•'•NAO0=25°,CP//OB,

则点P即为所求.

【点评】本题考查作图一复杂作图、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问

题.

15.（2025•河南）如图，四边形A8CO是平行四边形，以8c为直径的圆交4。于点6

（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心0（保留作图痕迹，不写作法）.

（2）若点？是A。的中点，连接04,CE.求证：四边形AOCE是平行四边形.

【考点】作图一夏杂作图：平行四边形的判定与性质.

【专题】作图题；几何直观；推理能力.

【答案】见解析.

【分析】（1）作线段BC的垂直平分线，垂足为。，点。即为所求;

（2）证明AE=CO,AE〃C。即可.

【解答】（1）解：如图，点。即为所求;

（2）证明：•・•四边形ABC都是平行四边形，

，AQ=8C,AD//BC,

•・•£是A。的中点，。是3c的中点，

•：AE=DE=OC=（）B,

\'AE//OC,

•••四边形AOCE是平行四边形.

【点评】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题.

16.（2025•新疆）如图，在四边形A8CQ中，AD//BC,8D是对角线.

（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段8。的垂直平分线，垂足为点O,与边AD,BC分

别交于点E，〃（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）；

（2）在（1）的条件下，连接4E,DF,求证：四边形/好QE为菱形.

【考点】作图一基本作图：平行线的性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定.

【专题】线段、角、相交线与平行线：矩形菱形正方形；尺规作图：几何直观.

【答案】（1）见解答.

（2）见解答.

【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可.

（2）由线段垂直平分线的性质可得BE=DE,BF=DF,OB=OD,可证明△OOE之△OBF,得DE=

BF,则8E=OE=8/=。扛可得四边形8/7圮为菱形.

【解答】（1）解：如图，直线EF即为所求.

（2）证明：•・•直线E尸是线段8。的垂直平分线，

：・BE=DE,BF=DF,OB=OD.

'CAD//BC,

工ZEDO=NFBO,ZDEO=ZBFO,

:.△0DE@40BF（A4S）,

；・DE=H卜,

:・BE=DE=BF=DF,

・••四边形B/RE为菱形.

【点评】本题考查作图一基本作图、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定，解题的关键

是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

17.（2025•威海）问题提出

已知Na,N0都是锐角，tana=,,tanp=i,求Na+N。的度数.

问题解决

（1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出/BAD和NC4）,请你按照这个思路求/a+NB

的度数.（点4,B,C,。都在格点上）

备用图备用图

策略迁移

23

-⑶-

(2)已知/a,Np都是锐角,3IP245

(3)已知Na,Zp,都是锐角，tana=tan0=亍Za+Zp=Z0,求tan。的值.

(提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案)

【考点】作图一应用与设计作图；解直角三角形.

【专题】作图题；几何直观.

1

【答案】⑴45°；(2)90：(3)

【分析】(1)连接BC,利用等腰直角三角形的性质求解；

(2)构造等腰直角三角形A4C可.得结论，构造直角三角形QG〃可得结论.

【解答】解：(I)如图I中，连接8C,

*：AB=BC=yj5,BC=V10,

22

：.AI^+BC=ACf

，NABC=90°,

・・・N8AC=45°,

，Na+N0=45°；

由题意，a=N84。，p=Z/9z!C,

是等腰直角二角形，

Aa+p=90°.

故答案为：90；

(3)如图2中，a=NCDH,0=NHDF,

在RlaOG〃中，tan(a+p)=褪二右

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，解直角三角形，解题的关键是学会路数形结合的思想解决问

18.（2025•福建）如图，矩形A8CQ中，AB<AD.

（1）求作正方形EFG，，使得点E,G分别落在边A。，BC上，点、F,，落在上；（要求：尺规作

图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）若AB=2,AD=4,求（1）中所作的正方形的边长.

【考点】作图一复杂作图：勾股定理.

【专题】作图题；几何直观.

【答案】（1）见解析；（2）早.

【分析】（1）作线段8。的垂直平分线，垂足为O,交AD于点E,交8c于点G,以。为圆心，OE

为半径作弧交3。于点凡H,连接EF,FG,GH,即可；

（2）利用勾股定理求出8。，再根据tanNAQ8=^=需，求出OE可得结论.

【解答】解：（1）正方形EFGH即为所求；

，NA=90°,

:,BD=\/AB2+AD2=y]22+42=2疗

：.OB=OD=瓜

・tan/AOB=^=而'

：.OE=

丁四边形EFG”是正方形，

：,OE=OH=冬EOLOH,

:・EH=&0E=耳,

，正方形EFGH的边长为弓.

【点评】本题考查作图-复杂作图，勾股定理，正方形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握

相关知识解决问题.

19.（2025•威海）（1）如图①，将平行四边形纸片A8CQ的四八角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重

叠的四边形稗G”.判断四边形EFGH的形状，并说明理由；

（2）如图②，己知能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ,其中，点

M在AO上，点N在A8上，点P在上，点。在CO上.请用直尺和圆规确定点M的位置.（不写

作法，保留作图痕迹）

图①图②

【考点】作图一复杂作图；翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质.

【专题】作图题.

【答案】（1）四边形EFG”是矩形，理由见解析；

（2）见解析.

【分析】（1）结论：四边形EFG"是矩形，根据四个角是直角的四边形是矩形证明即可；

（2）分别以点。、。为圆心，大于为半径作弧，连接两个交点，即为。C的垂直平分线，与DC

交于点Q，同理作出A3的垂直平分线交于点M连接NQ、AC,交于点。，以点。为中心，。。长为

半径作弧交于点点M即为所作.连接交于点Z1,连接即为题目所求.

【解答】解：（1）结论：四边形EFGH是矩形.

理由：通过折叠的性质可知NAFE=NEFK,ZBFG=ZKFG,

VZAFB=180°,

：,2ZEFK+2ZKFG=\S0a,

：・NEFK+/KFG=90",即N£/G=90°,

同法可证/FGH=N£HG=90°,

・•・四边形是矩形；

1

（2）如图，分别以点。、C为圆心，大于3。。为半径作弧，连接两个交点，即为。。的垂直平分线，

与。C交于点Q,同理作出A6的垂直平分线交于点N,连接NQ、AC,交于点Q,以点。为中心，OQ

长为半径作弧交AO于点M,点闻即为所作.连接MQ交于点P,连接MNPQ即为题目所求.

【点评】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，翻折变换，解题的关键是掌握平行四边形的性

质.

20.（2025•江西）如图，在6X5的正方形网格中，点A,B,C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要

求完成作图.（保留作图痕迹）

（1）在图1中作出8c的中点；

（2）在图2中作出△A8C的重心.

图1图2

【考点】作图一应用与设计作图；三角形的重心；线段垂直平分线的性质.