2025-2026学年广西来宾某中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2025.2026学年广西来宾高级中学高二（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若复数z满足=则复数z的虚部为（）

A.1B.-1C.iD.-i

2.一个样本a,3,5,7的平均数是b,且a、b是方程二-5%十4=0的两根，则这个样本的方差是（）

A.3B.4C.5D.6

3.如图，4D为的边BC上的中线，且而二乙而^=3，那么荏为（）

C.2a+b

D.d+2b

4.已知在△ABC中，AB=4,AC=3,cosA=则△ABC的面积为（）

A.3B.3/3C.6D.6\<3

5.某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：

28,32,48,38,26,38,40,则这组数据的70%分位数为（）

A.26B.32C.35D.38

6.从1、2、3、4这四个数中一次随机取两个，则取出的这两数字之和为偶数的概率是（）

A.!B.JC.4D.

ooZ□

7.已知非零向量Z3满足同=2区且他一及1九则五与3的夹角为（）

A,B.3C.?D.^

b030

8.已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2,则球的体积为（）

9927

A.97rB.^TTC.^TC

248

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.以下关于统计学中数字特征的说法，正确的是（）

A.若一组数据与，上，心，…，事的平均数为。给这组数据中的每个数都加上一个常数a,新数据的平均

数为］+a

B.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，若数据石，x2,△，•••，川的方差为s2,则上石，%，kx3,

…，kf(k为非零常数)的方差为k2s2

C.众数是一组数据中出现次数最多的数.对于数据1,2,2,3,3,3,4,众数是3

D.数据1,3,2,4,3,3,4中位数是4：对于数据1,2,2,3,3,3中位数是2.5

10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为Q,b,c,则如下判断正确的是()

A.若4>B,则sirM>sinB

B.^sin2A=sin2B,则4力BC为等腰三角形或直角三角形

C.若si/A+sin2F>sin2C,则△48C是锐角三角形

D.若Q=10,b=9,B=60°,则符合条件的△4BC有两个

II.如图，在棱长为1的正方体ABCD-力iBiGA中，M,N分别为棱

G5,GC的中点，则()

A.直线8N与是异面直线

B.直线MN与4C所成的角是:

C.直线MN工平面AON

D.3M1DN

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.某单位有男职工450人，女职工300人，若根据性别采取分层抽样的方法，从中抽取一个容量为50的样

本，则女职工应抽取的人数为.

13.甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是短那么两人都解错的概率是—

14.锐角的内角力，B,C的对边分别为a,b,c,则£的取值范围为

4b

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知平面向量G=(2,4),b=(3,5),c=(—2,6).

(1)求2G-&与日十的夹角的正弦值；

(2)若苍+府在&-族上的投影向量是(5,5),求实数匕

16.(本小题15分)

记A4BC的内角4、B、C的对边分别为Q、b、c,已知bsinB+(匕+c)sinC=asi/M.

⑴求4

(2)若a=7,b+c=8,求△4BC的面积.

17.(木小题15分)

如图，在四棱锥P-A8CD中，PD1底面NBCD,底面NBCD是边长为2的正方形，PD=CD,F,G分别是

PB,AD的中点.

(1)求证：FG〃平面PC。；

(2)求证：FG_L平面尸8C：

(3)求GA与平面PGB所成角的正弦值.

18.(本小题17分)

为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生

参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据以该区间的中点值为代表).

(1)求a的值；

(2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数(结果保留两位小数)；

(3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数(结果保留两位小数).

频率

19.(本小题17分)

某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合

格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为09、0.8、0.7：在实验考核中

合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.

答案解析

1.【答案】A

【解析】解：因为zi=i-1,

所以z=?•=1+i,

所以虚部为1.

故选:A.

根据复数虚部的定义化简求解即可.

本题考查了更数的实部与虚部，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查平均数与方差，属于基础题.

先解方程求出a、b的值，然后根据方差的计算公式去求方差.

【解答】

解：方程%2-5%+4=0,解得%1=1,x2=4；

・•・a、b是方程％2-5x+4=0的两个根，

又:样本中其他数据都大于1,

••a=1,b=4.

则s2=i[(l-4)24-(3-4)2+(5—4)24-(7-4)2]=5.

故选：C.

3.【答案】A

【解析】解：根据题意，可得丽=而，即而一前二而一而，整理得标=2而一下=2五

故选:A.

根据。为8C中点，可得说=面，运用平面向用的线性运算法则算出用也日表示质的式子，可得答案.

本题主要考查三角形中线的性质、平面向量的线性运算法则等知识，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：在△48。中，AB=4,AC=3,cosA=

由于：0＜力＜7T,

所以力=孑

所以SMBC=1X4X3X^=3y/3.

故选:B.

直接利用三角函数的值cosA=J求出4的值，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角形的面积公式，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属

于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：已知中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下：28,32,48,38,26,38,40,

则从小到大的排列为26,28,32,38,38,40,48.

因为70%X7=4.9,所以这组数据的70%分位数为38.

故选：0.

根据百分位数的定义求解.

本题考查百分位数相关知识，属于中档题.

6.【答案】B

【解析】解：从1、2、3、4这四个数中一次随机取两个，共有废=6种结果，

满足取出的这两数字之和为偶数的有2和4,以及1和3,共2种，

则根据占典概型的概率公式可知取出的这两数字之和为偶数的概率P=^=1,

o3

故选：B.

根据古典概型的概率公式分别进行计算即可得到结论.

本题主要考查古典概型的概率计算，根据条件分别求出基本事件的个数是解决本题的关键，比较基础.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查平面向量的数量积运算，关键是向量垂宜的条件.属于基础题.

可先由向量垂直得到数量积等丁零，再结合夹角"算公式求解即可.

【解答】

解：设向量a与片的夹角为仇则由G_

得(Q—b)-h=a-b—b2=\a\\b\cos0—\b\2=2\b\2cos0—\h\2=0,

所以cos。=g,

因为U<U<TC,

所以0=卷

故选B.

8.【答案】B

【解析】解：因为正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，

又该棱锥的高为1,底面边长为2,

所以底面正方形中心到正方形顶点的距离为VI,

设该正四棱锥的外接球的球心到底面正方形的距离为d,

外接球的半径为R，

22

则(V~^)2+d=Rf且1+d=R,

解得R=L

所以球的体积为:兀&=^7TX^=^7r.

•53oZ

故选:B.

根据正四棱锥与球的对称性，建立方程，即可求解.

本题考查正四棱锥的外接球问题，属基础题.

9【答案】ABC

【解析】解：对于A，由题意可知，新数据为%i+a,x2+a,x34-a,­•■,xn4-a,

所以新数据的平均数为7+a，故人正确；

对于8,若数据X1，x2yx3,…，0的方差为S?,根据方差公式$2=，[(X1一%)2+(0一%)2+•.•+(出-

i)2].

对于数据心1，kx2,依3,…，匕n(A为非零常数)，其平均数为「，则方差为:

1__1__

22222222

-[(3-kx)+(kx2-kx)2+…+(kxn-kx)]=-\k(xx-x)+k(x2-x)+…+k(xn-x)]

22222222

-kx)+(kxz-kx)+…+(丘〃-层)2]=l[Ar(x1-x)+k(xz-x)+…+k(x,t-i)]=

22222

/cxl[(与-x)+(X2-1)2+…+(xn-X)]=kS,故氏正确•

对于C,在数据1,2,2,3,3,3,4中，数字3出现的次数最多，所以众数是3,故C正确.

对干0,对于数据1,3,2,4,3,3,4,从小到大排序为1,2,3,3,3,4,4,数据个数为7,是奇

数，中间的数是3,所以中位数是3,而不是4,

对于数据1,2,2,3,3,3,从小到大排序后，数据个数为6,是偶数，中间两个数是2和3,则中位数为

等=2.5,故。错误.

故答案为:ABC.

根据平均数、方差、众数、中位数的定义和性质，分别对每个选项进行分析判断.

本题主要考查了平均数、方差、众数和中位数的定义，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：在AABC中，若A>B,则a>匕，结合正弦定理得sMA>siziB,可知A项正确；

由si〃2/l=si7i28,且4、8为三隹形的内角，可得24=28或24+28=产，

所以4=B或4+B=*可得△力BC为等腰三角形或直角三角形，故8项正确；

△45C中，若siMA+sin28>sin?。，结合正弦定理得Q2十>c?,

所以cosC=a2；b>。2>0,可知C为锐角，但无法确定4、B是否为锐角，

2ab

因此不能判断出4是锐角三角形，故。项错误.

△4BC中，Q=10,8=9,8=60。，根据正弦定理可得sE4二竺学=>g,

b9I

所以<§=九一8,且为工土可知满足条件的△力8c有两个，故。项正确.

故选:ABD.

根据正弦定理与三角形中“大角对大边”，对A项作出判断；若sin2/l=s)28,结合诱导公式算出24=

22

28或24+28=a从而对B项作出判断；根据正弦定理得到a?+b>c,结合余弦定理对C预作出判

断；若Q=10,8=9,B=60°,根据正弦定理判断出A/IBC的解的个数，即可对0项作出判断.

本题主要考查三角形形状的判断、正弦定理与余弦定理、三角函数的诱导公式等知识，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：对于4由于BNu平面8&GC，MB】n平面881GC=&，&C8N,

故直线BN与MB1是异面直线，故A正确；

对干氏如图，连接CDi，因为M,N分别为棱G5，G。的中点，所以MN〃CDi，

所以直线MN与4所成的角即为直线CD1与AC所成的角，

又因为△AC。1是等边三角形，所以直线CD】与？1C所成的角为泉

故直线MN与AC所成的角是泉故8正确；

对于C,如图，假设直线MN1平面4DN,又因为DNu平面40M所以MN1ON,

而MN=号,DN=苧,DM=*这二边不能构成直角二角形，

所以ON与MN不垂直，故假设错误，故C错误；

对于。，连接以MC、MB、DN,

因为。C=CG，乙DCN=LCC'M,NC=MG，

所以ZkOCN会ZkCGM,MzCD/V4-Z.DCM=LC1CM+^DCM=90°,即DN1CM,

又因为8c_1面。6，DNcffiDCi，所以8C1DN,

因为BCnCM=C,所以。NJJSBCM,

乂因为BMu面BCM,所以DN1BM,。正确.

故选:ABD.

根据异面直线成角，线面垂直的判定定理逐项判断即可.

本题主要考查异面直线的判定、异面直线所成角、线面垂直、线线垂直等知识，属于中档题.

12.【答案】20

【解析】解：男职工450人，女职工300人，

则男女职工分层比为3：2,而抽取一个容量为50的样本，

则女职工应抽取的人数为50x义=20.

故答案为：20.

依据题意求出分层比，再得到抽取的人数即可.

本题主要考杳分层抽样的应用，属于基础题.

13.【答案】1

JLO

【解析】解.：甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是:，t

则两人都解错的概率为（1-|）（i-|）=n-

故答案为:,

根据相互独立事件的概率乘法公式可解.

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

14.【答案】（年

【解析】解：因为4=%所以。="一6+8),

所以由正弦定理可得：：=学=则竽=苧(1+4),

bsinBsinB2'tanB^

又因为△/18C为锐角三角形，

(0<B

所以。<。=上”「所以〜译‘

I42

所以tanB€(1,+8),则$6(0」)，

ICLYlu

所以"(年,/!).

故答案为：(等,>/2).

利用正弦定理边化角得：=苧(1-4)，再结合Be©A)和三角函数的值域求法可求范围.

I)ZCC171DqL

本颍考杳正弦定理和三角恒等变换，三角函数的值域求解，属于中档题.

15.【答案】答；

1

【解析】(1)因为五=(2,4),b=(3,5),1=(-2,6),

所以24-3=(1,3),a+c=(0,10),

所以cos〈2五一反a+2=喘翟二六，

所以sin(2/一氏方+办=J1一(急)；=吟,

即次-3与4+加勺夹角的正弦值为噂；

(2)由题意知五一7=(-1,-1),a+fcc=(2-2^4+6fc),

所以|a-b\=yj~2,

(a^-kc)-(a-b)=一(2—2k)—(4+6k)=-4k-6,

因为Q+km在五一3上的投影向量是(5,5),

所以=(叶？黑f).号=(zl2zll=(2k+3,2k+3),

\a-b\|a-b|v2v2

则2k+3=5,解得k=1.

(1)根据平面向量夹角的余弦公式的坐标表示求出cos(2日-瓦G+。，再结合平方关系求解即可;

(2)根据投影向量的定义及平面向量的数量积、模的坐标表示建立方程求解即可.

本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题.

16.【答案】~

15/3

4.

【解析】(1)根据题意可知,bsinB+(b+c)sinC=asinA及正弦定理可得川+(b+c)c=a2,

即/+c2-a2=-be,由余弦定理可得cosA="=一：，

ibc2

因为。＜4V7T,故/

(2)因为坟+c2-a2=-be,即尻=(b+c)2-a2=82-72=15,

所以△4BC的面积为SMBC=^besinA=1xl5x^=竽.

(1)利用正弦定理结合余弦定理可求出cosA的值，结合角4的取值范围可得出角4的值；

(2)利用余弦定理结合已知条件求出儿的值，再结合三角形的面积公式可求得△的面积.

本题考查了解三角形，属于中档题.

17.【答案】证明见解析：

证明见解析；

/6

T,

【解析】(1)证明：若E为PC的中点，连接DE,EF,又F,G分别是PB,4。的中点，

所以E尸〃BC且EF=：BC,而底面4BCD是正方形，

则。G〃8c且DG=通，

所以E尸〃DG,EF=DG,故EFGQ为平行四边形，即“〃ED,

由FGU平面PCD,EDu平面PCD,则尸G〃平面PCD：

(2)证明：由(1)及PD=CO,则OE1PC,而尸G〃E。，故FG_LPC,

由广。_L底面48。。，DGu底面48C0,则PD_LDG,

所以PG=y/PD2+DG2=y/m="，

由底面ABC。是正方形，则3G=AB2+AG2=/4+T=6,

所以PG=8G,尸是PB的中点，贝J/G1PB,

由PCCPB=P且都在面平面P8C内，故尸G1平面P8C；

(3)解：由PCI底面48CD,BD,CDu底面48C。，则PD18D,PD1CD,

又BD=PC=2/2»PD=2,FG=DE=：PC=/2,

所以PB=1RD2+PD2=VT+4=2/3，

则S“BG=^FG-PB=yf6,

令棱锥A-PBG的高为从又以_PBG=4-ABG，

所以芋h=^PD-S^ABG>

即苧h=[x2x；xlx2=:，解得力=年,

又4G=1,

故GA与平面PG8所成角的正弦值为上=学.

(1)若E为PC的中点，连接DE,EF,先证EFGD为平行四边形，即有“〃ED,再应用线面平行的判定定理

证明结论；

(2)根据已知有FG_LPC、FG1PB,再应用线面垂直的判定定理证明结论：

(3)应用等体积法求棱锥4-P8G的高，结合线面角的定义及已知求线面角的正弦值即可.

本题考查线面平行的判定定理的应用及线面所成的角的正弦值的求法，属于中档题.

18.【答案】a=0.024；

众数为65,中位数为67.69,平均成绩为67.60；

第70百分位数为75.83.

【解析】解：(1)由评论分布直方图的性质可得10x(0.002+0.008+0.02+0.026+a+0.016+0.004)=

1,解得a=0.024.

(2)由频率分布直方图知：众数为65,

•••0.02+0.08+0.2=0.3,0.02+0.08+0.2+0.26=0.56,

故中位数位于[60,70)内，设中位数为工,

则有0.3+(%-60)x0.026=0.5.解得％=67.69.

••