2025-2026学年湖南省永州某中学高二（上）入学数学试卷（含解析）

2025-2026学年湖南省永州一中高二（上）入学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.直线y=-/3x+3的倾斜角为（)

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.复数z的虚部为（）

«3"i*

A21

A-ioD--io1i

3.已知cos2a=e(0,勺，则cosa=()

oZ

B.?c-4

4.已知命题甲：“实数，y满足?=$乙”实数x,y满足/=y2”，则甲是乙的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

04

5.已知Q=4°，3,b=(O.l),c=log40.1,则()

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

n一am、

6.将函数f(x)=cos(2(ox+乂G>0）的图象所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数

4

g。）的图象，若g（x）在区间G，TT）上单调递减，则3的最大值为（）

A」D.1

7.由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次

买50元猪肉.下列说法正确的是（）

A.采用第一种方案划算B.采用第二种方案划算

C.两种方案样D.采用哪种方案元法确定

8.%表示不超过实数%的最大整数,已知奇函数/⑺的定义域为R,f（%+2）为偶函数,/（-2）=-8,对

于区间［0,2］上的任意.，孙都有“必+—2+4）>0,若关于％的不等式/（%）>6a2-19a对任意的％GR恒

x2-xl

成立，则［a］的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设向量W=（3,k）,b=（2,-1）,则下列说法错误的是（）

A.若五与3的夹角为钝角，则A>6

B.圆的最小值为9

C.与石共线的单位向量只有一个，为（年,-苧）

D.若|矶=3|方|,则k=±6

10.随机抽取8位问学对2024年数学新高考1卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97,98,

99,100,101,103,104,106,则下列关于该样本的说法正确的有（）

A.均值为101B.极差为9

C.方差为8D.第60百分位数为101

11.阳马和鳖膈g泡成。］是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模

一样的三棱柱（图2,图3）,称为壁堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4）,得四棱锥和三棱锥各一个.

以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）.余卜的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面

体，称为鳖嚅（图6）.若图1中的长方体是棱长为1的正方体，则下列结论正确的是（）

B.堑堵的表面积等于阳马与鳖膈的表面积之和

C.鳖脯的体积等于阳马体积的一半

D.鳖癌的内切球表面积为（3-26n

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若力，B,。三点共线,对仟意一点。，有2瓦（一区=2cosa•赤（a为锐角）成立,则a二

13.直线mx+(m+2)y-1=0与直线(m-l)x+my=0互相垂直，则m=

14.如图已知点4B在圆锥S。的底面圆周上，S为圆锥顶点，。为圆锥的底面中心，

且圆锥SO的底面积为4笈，LASB=30°,若AB与截面SAO所成角为60。，则圆锥S。的

侧面积为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤。

15.(本小题13分)

已知直线心kx-y+1+2k=0(/ce/?).

(1)若直线，不经过第四象限，求k的取值范围；

(2)己知P(l,5),若点P到直线1的距离为d,求d最大时直线1的一般式;方程.

16.(本小题15分)

△/.BC的内角4B,C的对边分别为mb,心知成“13”(；-%)=(；871(苧匕-3匕0

(1)求4

(2)若炉+c2—=4,求△力BC的面积.

17.(本小题15分)

随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很

重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是20%至25%,男性的正常范隹是15%至

18%这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险某市有关部门对全市100万名

成年女性的体脂率进行•次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图

如图.

(1)求Q;

(2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过

胖”各约有多少人？

(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数

那么谁的体脂率更低？

18.(本小题17分)

如图，四棱锥48。。的底面为正方形，尸0_L底面力8。。.设平酉P40与平面PBC的交线为心

(1)证明：/，平面PQC；

(2)已知PO=AD=1,Q为/上的点，求P8与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

19.(本小题17分)

在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为以0＜。V1).猜是反面的概率为1-。；

当硬币出现反面时，猜是反面的概率为/?(0＜夕＜1),猜是正面的概率为1-/?.假设每次扔硬币相互独

立.

(1)若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部借误的概率分别为匕，七，试匕较P1，22的

大小；

(2)若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率，

⑴从下面①②③④中选出一定错误的结论：

①a+/?=,；@a+p=1；@ap=©a/?=i

4*T

(ii)从(i)中选出•个可能正确的结论作为条件.用X表示猜测的正反文字串，将X中正面的个数记为n(X),如

X二"正反正反”，则？i(X)=2,若扔四次硬币分别为“正正反反”，求P(〃(X)=2)的取值范围.

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：直线y=—Cx+3的斜率为一，I,

则倾斜角为120。，

故选：C.

直接利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.

本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，基本知识的考查.

2.【答案】A

,和+二丫初7i2U-7i2

【解析】解：Z=—==—211+7,

故虚部为系

故诜：A.

利用爱数除法法则计算出z=若，得到虚部.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：因为cos2a=2cos2a-1=：,

o

所以cosa=，或cosa=—又aE（0居），所以cosa=

故选:A.

根据余弦二倍角公式可得结果.

本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了充分必耍条件的判断，属丁基础题.

1=X=/=y2,充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案.

“y

【解答】

解：2=±=M=y2,充分性成立，

xy

但/=丫2不能得到［二三，比如当％=y=0时，满足/=y2,

“y

但不满足l=z必要性不成立，

xy

故甲是乙的充分不必要条件.

故选:B.

5.【答案】C

【解析】解：va=403>4°=1,

Q<b=(O.l)04<0.4°=1,

c=log40.1<0,

：•a>b>c.

故选：C.

利用指数函数与对数函数的性质进行大小比较即可.

本题考查对数值的大小比较，考查指数函数与对数函数的性质，是基础题.

6.【答案】0

【解析】解：g(x)=cos(a)x+与竺)(3>0),

__MII、,n—a)n_,nn+3a)n.

%W("兀)，3%W(丁，3乃)，+—^―e(-,---),

要想g(x)在区间弓,兀)上单调递减，则止泮W叫

解得3工1，故3的最大值为1.

故选：D.

先根据伸缩变换得到g(%)=cos(3x+m”)(G>0),求出3X+手工誓)，结合函数单调性得到

不等式，求出得到答案.

本题主要考查了三角函数图象的变换及单调性的应用，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解：不妨设两次购买猪肉的价格分别为a,b,a>0,b>0,

第一种方案，均价为主芸=竽，

第二种方案，均价为四=黑，

a十bQ+匕

其中竽工/前,当且仅当。=加寸，等号成立，

推工瑞=，而，当且仅当a=b时，等号成立,

故笔■W审,当且仅当Q=b时，等号成立,

a+bL

所以采用第二种方案划算.

故选:B.

设两次购买猪肉的价格分别为a,b,a>0,b>0,表达出两种方案购买的均价，结合基本不等式比较出

大小，得到答案.

本题主要考查了不等式及基本不等式在实际问题中的应用，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解:/(%+2)为偶函数，故/(%)关于1=2对称,/(-X+2)=/(%+2),

乂/(%)为奇函数，故/(-%)=-fix),即f(r+2)=-/(%-2),

所以/Q+2)=-f(x-2),

所以/'(%-2)=-f(x-6),故fQ+2)=f(x-6),

的一个周期为8,

区间［0,2］上的任意力，不都有“k4)二“攵+4)：n二八必+4)_/(也+4)I0,

(X1+4)-(Z2+4)、

令g(x)=f［x+4),则g(x)=f(x+4)在［0,2］上单调递减,

故/(均在［4,6］上单调递减，

因为/(%)为奇函数，所以/(%)在［-6,-4］上单调递减,

又/(均的一个周期为8,故/(外在［2,4］上单调递减,

又/。)关于％=2对称，故/(4)=/(0)=0,

故/(%)在［2,6］上单调递减,

由对称性可知〃乃在［-2,2］上单调递增，/(-2)=f(6),

且/(x)的一个周期为8,

故/(x)在R上的最小值为f(-2)=-8,

不等式/1(外>6a2-19a对任意的xGR恒成立，

故6a2—19a<—8,解得54Q4耳，

当^WaVl时，口］=0，当1WaV2时，［a］=1,

当24a工?时，［a］=2,

故⑷的最大值为2.

故选：C.

根据函数的对称性，奇偶性得到/(%)的一个周期为8,由£2也乎也2>0变形得到g(x)=f(x+4)在

［0,2］上单调递减，故”乃在［4,6］上单调递减，由函数周期，奇偶性，对称性得到/(%)在R上的最小值为

/(-2)=-8,故6a2一19。工一8,解得JWQW1求出［a］的最大值为2.

本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】BC

【解析】解：人选项，a与B的夹角为钝角，故vo且日是不反向共线，

则w-5=(3,^)-(2,-1)=6-k<01.-3-2k工0,解得k>6且k工一?，

综上，k>6,A正确；

8选项，|Q|=MTPZ3,当且仅当k=0时，等号成立，故园的最小值为3,8错误：

C选项，|方|=WFT=店，与%共线的单位向量有2个，

为土烧,意=±(半，一苧),c错误；

0选项，若|五|二3|旬，则/=3r，解得々=±6,。正确.

故选：BC.

A选项，五不<0且日是不反向共线，得到不等式，求出k>6；B选项，利用模长公式得到㈤的最小值为

3：C选项，求出|山=后，从而得到利用11T求出答案；D选项，利用模长公式得到方程，求出k=±6.

本题考杳向量夹角、向量数量积公式、模长公式、单位向量等基础知识，考查运算求解能力，属于基础

题.

10.【答案】ABD

97+98+99+100+101+103+104+106

【解析】解：选项，均值为101,A正确;

A8

B选项，极差为106-97=9,B正确;

(97-101)2+(98-101；2+-+(106-101)216+9+4+1+0+4+9+2517

。选项，方差为C错误;

88=~2

。选项，因为60%x8=4.8,故从小到大，选择第5个数作为第60百分位数，即101,。正确.

故选:ABD.

A选项，利用均值定义进行求解.：8选项，利用极差定义进行求解：C选项，在4选项基础上，利用方差公

式进行求解；。选项，根据百分位数的计算公式，并从小到大排列，得到答案.

本题考查平均数，方差，极差和百分位数的应用，属「基础题.

11.【答案】CD

【解析】解：由已知8C=CCi=入6=1,乙BCG=乙CJD1=乙BCR=乙BCD[=90°,

所以BCi=CDi=\[2,D$=<3,

所以aBCG和△BG2不全等，A错误；

堑堵的表面积Si=(1+1+/2)1+2xixlxl=3+/2,

由已知。2=DA=DC=1,乙CDD]=乙ADD1=Z.CDA=4B4D1=乙BCD[=90°,

所以COi=皿=<2,

阳马的表面积S2=lxl+2xixlxl+2xixlXAA2=2+/2,

鳖腌的表面积S3=2xixlxl+2xixlx/2=l+x<2,+yT2=S2+S3,

所以堑堵的表面积不等于阳马与鳖脯的表面积之和，8错误；

鳖膈的体积匕=,2G=2x：x1=',

阳马的体积匕=我BCD•DD1=11X1=1,

所以鳖膈的体积等于阳马体积的一半，C正确；

设鳖膈的内切球的半径为r,

因为鳖膈的表面积S3=1+72,鳖嚅的体积匕=又匕=k3r,

所由卜以j丁=12、，'标1=丁’

所以鳖嚅的内切球表面积为S=MW=47r(空>=(3-。正确.

故选：CD.

由条件，求鳖喘的各棱长，判断4结合多面体表面积定义及堑堵、鳖喘、阳马的结构特征求出它们的表

面积，判断从根据锥体体积公式求鳖膝和阳马的体积判断C；利用鳖麻的体积和表面积可求其内切球的半

径，结合球的表面积公式求球的表面积判断D.

本题考查了堑堵、鳖膈、阳马的结构特征和表面积与体积的计算，属于中档题.

12.【答案】I

【解析】解：因为力，B,C三点共线，

所以存在入使得而=4而，

即而一苏=a而-流,

故雨=+XOC,将其代入2OA-OC=2cosa■丽得,

(2-22)词+2入配一元=2cosa•加

即Q/l-1)OC=(2A+2cosa-2)♦08,

由于上式恒成立，故图｝番s；-2=0,解得入=呆””最

因为。为锐角，所以a=?

故答案为：三.

根据三点共线得到存在;I使得血=2瓦，故瓦5=(1-4)丽结合2e一沆^二2cosa•丽，得到

X=^,cosa=从而求得结论.

本题主要考查三点共线的应用以及向量的相关知识，属于基础题.

13.【答案】0或一;

【解析】【分析】

本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于-1,注意考虑斜率不存在的情况，属于基础

题.

通过讨论直线的斜率存在和不存在求出m的值即可.

【解答】

解：7九=0时»2y—1=0和％=0垂直；

m=—2时，2x4-1=0和3x+2y=0不垂直；

7n±0且mH-2时，由・叱工=-1,

解得：7H=—

故答案为0或-今

14.【答案】2(/64-72)TT

【解析】解：设圆锥S。的底面半径为r,母线长为，，

所以兀产=4兀,

故T=2,

过点8作8。J.40,垂足为D,连蚤80,

由已知S。J•平面力8。，8Du平面A80,

所以8。ISO,AOnSO=。，AO,SOu平面SAO,

所以80_L平面S4。，

所以/IB在平面S40上的射影为4。，

所以48力。为直线力/?与截面S4。所成的角，

由已知N84。=60°,又04=0B=2,

所以△。48为等边三角形，故人8=2,

因为z_ASB=30°,SA=SB=I,

由余弦定理可得4=~+~一2Z•1•cos30。，

所以/2=4(2+C)，

所以/=/5+讶，

所以圆锥S。的侧面积为71Tz=TTx2x(\/~6+V~2)=2(V-6+)万.

故答案为：2(x/~6+V2)7r.

设圆锥S。的底面半径为r,母线长为，，由底面面积为47r可求r,证明28力。为直线AB与截面S40所成的

角，解三角形求1,由此可求圆锥的侧面积.

本题主要考查了圆锥的结构特征，考查了直线弓平面垂直的判定定理，属于中档题.

15.【答案】［0,+8)；

3x+4y+2=0.

【解析】(1)直线Z：kx—y+l+2k=0化为k(x+2)—y+l=0,因此直线1恒过定点M(—2,1),

若直线!不经过第四象限，则k＞。.即ke［0,+8).

(2)由⑴知直线，恒过定点M(-2,1),

当且仅当PM_U时，d取得最大值，此时直线PM的斜率kpM=£^=:

L1一々O

因此直线1的斜率k=一［,直线M方程为一也一y+l+2(-4=0,即3x+4y+2=0,

•••直线，的一般式方程为3x+4y+2=0.

(1)根据方程求出直线2所过定点坐标，再由该直线不过的象限列式求解.

(2)确定d取得最大值的条件，进而求出直线方程.

本题考查直线方程的求法，点到直线的距离公式的应用，是基础题.

16.【答案】解：(l)si?zA(acosC-gb)=cos4(mb-asinC),

i&asinAcosC-^bsinA=bcosA-asinCcosA,

即asirMcusC+asinCcosA=bcosA+|bsinA,

由于sizMcosC+sinCcosA=sin(^4+C)=sinB,

故asiriB=bcosA+^bsinA,

由正弦定理得sivAsivB=^-sinBcosA+^sinBsinA,

因为86(0,〃)，所以sinBHO,

故sin4=浮cosA+^sinA,

即齐出力=^-cosAntanA=V_3,

因为4G(O,TT),所以A=3

(2)由余弦定理得cos力=二十7。,

XZ?2+c2-a2=4,i4=p故£=，解得加=4,

则SUBC=\bcsinA=1x4x=>f3.

【解析】(1)化简，结合正弦和角公式，诱导公式得到asinB=苧bcosA+/s)/1,由正弦定理得到

乙乙

^sinA=浮cos4=tanA=V3,求出4；

(2)利用余弦定理得到儿=4,利用三角形面积公式求出答案.

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.

17.【答案】Q=0.01；

全市女性“偏胖”的人数约为300000,“过胖”的人数约为100000；

小张的体脂率更低.

【解析】解：(1)由频率直方图可得，5x2a+5x0.03+5x0.07+5x6a+5x2a=1,

所以a=0.01.

(2)由频率分布直方图可得样本中女性“偏胖”的频率为5X0.06=0.3,

样本中女性“过胖”的频率为5X0.02=0.1,

所以全市女性“偏胖”的人数约为1000000x0.3=300000,

全市女性“过胖”的人数约为1000000x0.1=100000,

(3)调查所得数据的平均数为12.5x0.1+17.5x0.15+22.5x0.35+27.5x0.3+32.5x0.1=23.25,

设调查所得数据的中位数为x,

因为0.1+0.15=0.25<0.5,0.1+0.15+0.35=0.6>0.5,

所以20Vx<25,

所以0.25+(%-20)x0.07=0.5.

所以％=竽*23.57,

所以调查所得数据的中位数约为23.57,

所以小王的体脂率约为23.57,小张的体脂率为23.25,

所以小张的体脂率更低.

(1)由所有矩形条的面积和为1,列方程可求a；

(2)求出样本中女性“偏胖”，“过胖”的频率，由此估计全市女性“偏胖”，“过胖”的人数；

(3)求样本的中位数，平均数可得小王和小张的体脂率，由此可得结论.

本题考查频率分布直方图的性质，平均数与中位数的求解，属中档题.

18.【答案】解：(1)证明：过P在平面24。内作直线1〃力。,

由4D〃BC,可得，〃BC,即，为平面PAD和平面P8C的交线，

•••PD1平面力BCD,BCu平面力BCD,PDJ.BC,

又BC1CD,CDCPD=D,•••BCJ■平面PG),

v1//BC,二Z_L平面尸CO；

(2)如图，以0为坐标原点，直线D4DC,OP所在的宜线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D-xyz,

则D(0,0,0),4(1,0,0),6(0,1,0),P(0,0,l),8(1,1,0)，

设Q(m,0,l),DQ=(m,04)，PB=(1,1,-1)»DC=(0,1,0)»

设平面QCD的法向量为五=(a,b,c),

n-DC=0(b=0

取a=-1,可得亢=(-l,0,?n).

n-DQ=O，lam+c=0

n-PB—1—m

COS<不，丽>=

|n||PF|-

：,与平平QG?所成角的正弦值为U+闺=i2.庐蕈

/3-/1W371+7储

=号.11+4工空.17+1=^当且仅当m=l取等号,

3l+m£3Y23

二P8与平面QCD所成角的正弦值的最大值为学

【解析】⑴过P在平面PAO内作直线推得/为平面P4D和平面PBC的交线，由线面垂直的判定和性

质，即可得证;

(2)以D为坐标原点，直线D4,DC,DP所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。一孙z,设

Q(0,7TI,1),运用向量法，求得平面QC。的法向量，结合向量的天角公式，以及基本不等式可得所求最大

值.

本题考查空间线面垂直的判定，以及线面角的求法，考查转化思想和向软法的运用，考查运算能力和推理

能力，属于中档题.

19.【答案】解:(1)猜测全部正确的概率为网=磔,

猜测全部错误的概率为P2=(1-汉)(1一£)，

因为P2-Pi=(1—a)(l—/?)—«/?=1-(a+/?),

所以当OVa+夕VI时，Px<P2.

当a+0=1.时，Pi=B，

当1Va+6V2时,Pl>p2.

(2)(i)若不管扔硬币是正面还是反面，猜对的概率都大于猜错的概率,