2024人教版八年级数学上册第十三章《三角形》每课时导学案汇编（含六个导学案）

13.1三角形的概念导学案

一、学习目标

1.理解三角形的定义、基本元素及符号表示，能准确对三角形按角和边进行分类.

2.掌握等腰三角形、等边三隹形的概念，区分其各部分名称，理解二者的包含关系.

3.通过观察、对比、归纳，经历从一般到特殊的认知过程，发展几何直观与逻辑推理能力，体会分类思

想在数学研究中的作用.

重点：掌握三角形及其相关概念.

难点：能准确对三角形按角和边进行分类.

二、学习过程

（一）情境引入

三角形是一种基本的几何图形，从古埃及的金字塔到现代的建筑物，从巨大的高压输电塔到微小的分子

结构，到处都有三角形的形象.

（二）合作探究

三角形的定义

由的三条线段所组成的图形叫作三角形.

组成三角形的线段叫作三角形的,相邻两边的公共端点叫作三角形的,

相邻两边所组成的角叫作三角形的________,简称三角形的_____.

如右图：

线段________,________,________是三角形的边；

点________,________，________是三角形的顶点；

H。

____,________,________是三角形的角.

探究我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.如何

按照边的关系对三角形进行分类呢?说一说你的想法，并与同学交流.

/△A\

①②③④⑤

三边都不相等：__________:两边相等：___________;三边相等：___________.

等腰三角形的定义

的三角形叫作等腰三角形,,其中相等的两边叫作，另一边叫作，两腰

的夹角叫作,腰和底边的夹角叫作

等边三角形的定义

的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.

三角形的分类,

「三边都不相等的三角形(

三角形.一一…［底边和腰不相券的七腰二角形

I等腰.角形V小”，・.皿\(

(三)典例分析

例1如图，在aABC中，点。在边BC上，BD=AD=DC=AC.

(1)写出以点。为顶点的三角形；

(2)写出以A3为边的三角形；

⑶找出图中的等腰三角形和等边三角形.

例2如图，在AAbC中，AB-BOCA,点O在AAbC内，04=06=0。,

找出图中的等腰三角形和等边三角形.

0

B

（四）巩固练习

1.下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（）

2.有下列两种图示均表示三角形的分类，下列判断正确的是（）

A.图（1）对，图（2）不对B.图（2）对，图（1）不对

C.图（1）、图（2）都不对D.图（1）、图（2）都对

3.如图，在AABC中，NBAC是直角，AD±BC,垂足为。，点£在线段8。上，找出图中的锐角三角形、

直角三角形和钝角三角形.

4.如图，写出以N4为角的三角形，写出以8C为边的三角形.

5.图中有几个三角形?用符号表示这些三角形.

（七）小结梳理

三角股

三角彩的边、顶点、（内）角

三角后的有关

概念及分类锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

三边都不相等的三角册

等腰三角影等边三角彩

（A）布置作业

1.必做题：习题13.1第3题，第4题.

2.探究性作业：习题13.1第5题.

13.2.1三角形的边导学案

一、学习目标

।.探索并掌握三角形的三边关系，能运用该关系判断三条线段能否组成三角形，或已知两边求第三边的

取值范围.

2.通过实验操作，理解三角形稳定性的原理，能解释其在生活中的应用.

3.在探究过程中，经历观察、猜想、验证的数学活动，发展准理能力与几何直观，体会数学与生活的联

系.

重点：探索并掌握三角形的三边关系.

难点：能运用三角形的三边关系判断三条线段能否组成三角形，或已知两边求第三边的取值范围.

二、学习过程

（一）复习引入

1.填空如右图:

线段是三角形的边:

占

八、、.是三角形的顶点;

是三角形的角.

2.三角形的分类如图:

按角分按边分

（二）合作探究

探究任意画一个△4BC,从点B出发，沿三角形的边到点C,有几条线路可以选择?各条线路的长有什

么美系?这说明三角形的边之间有什么关系?能证明你的结论吗？

这样，我们就证明了，.

进一步，由不等式②③，移项可得.

这就是说，.

思考上面的结论表明了三角形三边之间的关系.反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三

条线段能组成三角形？

信息技术验证几何画板.

探究如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗?

可以发现，____________________________，这就是说，_____________________________.

追问在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架结

构，起重机的起重再，钢架桥结构等，你能再举一些例子吗?

(三)典例分析

例用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.

⑴如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？

⑵能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？

(四)巩固练习

1.下列长度的三条线段能否组成三角形?为什么？

(1)3,4,8；(2)5,6,11；(3)5,6,10.

2.一根4dm长的木条和两根Idm长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根4dm长的木条和一根Idm长

的木条呢？

3.三角形的三边长分别为2,7,a,则。的取值范围是.

4.如图，为了估计池塘两岸4,8的距离，琪琪在池塘的一侧选取一点。测得。4=9米，08=6米，则

A,B间的距离不可能是()

A.3米B.14米C.5米D.9米

5.如图是折叠凳及其侧面示意图.若4C=8C=19C7〃，则折叠凳的宽AB可能（)

第4题图第5题图第7题图

6.若实数。，b,c分别表示△ABC的三条边，且“，〃满足VH』+|b-8|=0,则AABC的第三条边c

的取值范围是（)

A.c>4B.c<\2C.4<c<l2D.4W22

7.在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说

明这样做的依据是:

（七）归纳总结

三角形的边

三角彩两边的和第三边.

三角形的边

三角彩两边的差第三边.

如果三条统段中,那么这三

三角形的存在性条线段能组成三角彩；如果三条线段中

,那么这三条线段不能组成三角历.

三角形的稳定性三角彩是具有的图肪.

（A）感受中考

1.,由一根小木棒与两根长度分别为3cm、5cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（)

A.9cmB.7cmC.2cmD.1cm

2.下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（)

A.Icm,2cm,3cmB.3cm,8cm.5cm

C.4cm,5cm,10cmD.4cm,5cm,6cm

3.如图，数轴上A,8两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（)

A.-5B.4C.7D.8

4.下列图形中有稳定性的是（

A.三角形B.平行四边形

C.长方形D.正方形

5.如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如

图2所示的三棱柱形物体，则图中。的值可以是（）

（七）小结梳理

与三角形

有关的线段

"小、,""7^1^

（A）布置作业

1.必做题：习题13.2第5题，第6题.

2.探究性作业：

①用不同长度的小棒（或吸管）尝试拼三角形，记录哪些能拼成，哪些不能，验证”三角形两边之和大

于第三边

②找一找生活中体现“三角形具有稳定性”的例子，拍照或画下来，下节课分享！

13.2.2三角形的中线、角平分线、高导学案

一、学习目标

1.理解三角形中线、角平分线和高的定义，掌握其画法.

2.认识三角形重心的概念，理解不同类型三角形高的位置特点.

3.通过观察、操作和推理，体会三种线段在三角形中的作用，发展空间观念与数学思维.

重点：理解三角形中线、角平分线和高的定义，掌握其画法.

难点：理解不同类型三角形高的位置特点.

二、学习过程

(一)复习引入

1.三角形的两边之和第三边;两边之差___第三边.

2.三角形具有性

(-)合作探究

I.连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫作△ABC的边BC上的.

一个三角形有三条中线，坡三条中线相交干一点.三角形三条中线的交点叫作

2.画△ABC的乙4的平分线人。，交N人所对的边BC于点/),所得线段人。叫作△/WC的.

B

三角形的三条角平分线相交于一点.三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心.

3.从△A8C的顶点4向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AO叫作△4BC的边BC

上的.三角形的高线简称___________________.

三角形的三条高线相交丁一点.三角层条高线的交点向作当％修的垂心.

探究分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现?

(三)典例分析

例1如图，过△ABC的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高.

A

B二c

例2填空题.

1

(1)如图，AD,BE,C/是△A8c的三条中线，则____，AE=-______,AB=2_____.

2

AA

BDCBDC

(1)图(2)图

1

(2)如图，A。，BE,CT•、是△ABC的三条角平分线，则Nl=_____，Z3=_________，Z.ACB=2______.

2

(四)巩固练习

1.如图,在周长为20cm的△A6c中，AQ是边8任上的中线,已知CO=4cm,AC=7cm,则A3的长为

()

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

2.如图，△ABC中，AD.AE分别为角平分线和高，ZB=46°,NC=64°,则ND4E=

A

A

BDEC

第2题图

3.如图，在△ABC中，线段8E表示△ABC的边AC上的高的图是（)

C

A.

4.如图，CD、CE、CF分别是△A8C的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（)

A.BA=2BFB.ZACE=三/ACB

C.AE=BED.CDLAB

5.如图,在△ABC中,是中线.AO是角平分线,A厂是高.填空:

11

(1)BE=(2)ZBAD=

22

(3)NAFB二=90°.(4)若AC=8,AF=5,贝iJSoBU.

A

第5题图

6.已知：如图所示，在△ABC中，点D,E,”分别为BCAD,CE的中点，且Scc=4cm2,则阴影部分

的面积为cm2.

（九）归纳总结

三角形的中线、角平分线、高

三角形的连接AABC的顶,员4和它所对的HLBC的中，点J),

44*所得线段叫作&4BC的边5c上的_____.

三角形的囱ZV15C的乙4的平分线4Z),交N/所对的边5c

角平分线于点D,所得坟段AD叫作的__________.

从AESC的顶点/向它所对的边5c所在直线画垂

三角形的

线，垂足为Z),所得线,段工。叫作A45C的边方。

高线上的_____.三角形的高线简称三角脑的高.

(+)感受中考

1.如图，△ABC中，NBCO=3(T,NACB=80°,C。是边A4上的高，4E是/C4B的平分线，则NAXB

的度数是

2.如图，CO_LAB于点。，已知/A8C是钝角,则()

A.线段CO是AABC的AC边上的高线B.线段C。是△A8C的A8边上的高线

C.线段AQ是△A8C的BC边上的高线D.线段A。是△A3。的AC边上的高线

3.如图，A3是△A8C的中线，48=4,AC=3.若△AC。的周长为8,则△A8。的周长为

4.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、。、E、F、G在小正方形的顶点上，则

的重心是()

A.点。B.点EC.

第3题图

(七)小结梳理

三角形的边

与三角形

有关的线段

（八）布置作业

1.必做题：习题13.2第3题，第7题.

2.探究性作业：习题13.2第8题.

13.3.1三角形的内角（第一课时）导学案

一、学习目标

1.探索并讦明三角形内角和定理.

2.能运用三角形内角和定理解决简单问题.

学习重点：探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性.

学习难点：如何添加辅助线证明三角形内角和定理.

二、学习过程

（一）复习引入

问题在小学我们已经知道任意一个三角形的三个内角的和等于180。，你还记得是怎么发现这个结论的

吗？请大家借助手中的三角形纸片，回忆小学时的学习经历.

追问运用以上方法获得的结论可靠吗？

追问要证明“三角形的内角和等于180。“，你能写出已知、求证吗？

已知：是△A8C的三个内角，

求证：.

（二）合作探究

讨论你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明“三角形的内角和等于180。”的方法吗？请写出并

分享你的证明过程.

追问通过前面的操作和证明过程，你能想出其他方法证明比定理吗？

（三）典例分析

例1如图，在△ABC中，ZSAC=40°,ZB=75°,4D是AA8C的角平分线.求NAOB的度数.

例2如图是ABC三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50。方向，8岛在A岛的北偏东80。方向，C岛在

8岛的北偏西40。方向.从8岛看A,C两岛的视角/ABC是多少度？从。岛看A,8两岛的视角/AC8呢？

（四）巩固练习

I.如图，从人处观测C处时的仰角NC4O=30。，从8处观测。处时的仰角NC8O=45。.则从C处观

测4,8两处时的视角/ACB=°,

第（1）题图第（2）题图

2.如图，在△A8C中，N4=40。，则N8+NC+NAOE+NAEO=0

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.如图是某模具厂的一种模具.按规定，BA,CO的延长线的夹角应为61。，王师傅测得NB=42。，ZC

=79%则可以判断该模具（填“符合”或“不符合”）要求，理由是：,

6.如图，线段DG,EM,尸N两两相交于B,C,A三点，则ND+NE+N/+NG+NM+NN的度数是,

第4题图第5题图第6题图

（五）归纳总结

（I）本节课学习了哪些主要内容？

（2）为什么要用推理的方法证明“三角形的内角和等于180。”？

（3）你是怎么找到三角形内角和定理的证明思路的？

（六）感受中考

1.如图，在△A8C中，N8AC=60°,N8=50°,AD//BC,则N1的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

2.如图，分别过△ABC的顶点A,8作4O〃B£若NC4D=25°,NEBC=80°,则NACB的度数为（）

A.65°B.75°C.85°D.95°

3.如图，在△48C中，若DE//BC,FG//AC,ZBDE=\2Q0,ZDFG=\\50,则NC=°.

AD'I

/Ik

Bz-----------BDCBGC

第1题图第2题图第3题图

4.《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuan）,，一宣有半谓之概（zhu）…”.意思是：”…直

11

角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做搬…”即：1宣:二或矩，1摘=［宣（其中，1矩=90°）.

问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若NA=1矩，ZB

=1懒，则zc=度.

图⑴

（七）小结梳理

三角形的内角・三角形的内角和等于180・7

与三角形

有关的南

（八）布置作业

（1）基础性作业：习题13.3第1,3,7题.

（2）探究式作业：搜索资料，寻找更多三角形内角和定理的证明方法.

13.3.1三角形的内角（第二课时）导学案

一、学习目标

1.理解并掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能运用该性质进行简单的角度计算和推理.

2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法.

3.在探究性质与判定的过程中，体会数学知识的互逆性，增强逻辑推理能力和数学思维能力.

学习重点：理解并掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能运用该性质进行简单的角度计算和推

理.

学习难点：运用直角三角形的性质和判定解决较更杂的几何问题.

二、学习过程

（一）复习引入

1.三角形内角和定理的内容是什么？

2.你是怎么证明三角形内角和定理的？

(-)合作探究

利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系.

探究如图，在直角三角形ABC中，ZC=90°,那么NA和N8之间有什么关系呢？

结论.

直角三角形可以用符号表示，直角三角形A4C可以写成.

思考我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角

互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由.

(三)典例分析

例3如图，ZC=ZD=90°,AD,BC相交于点E比较NCAE与/O8E的大小.

£

A

（四）巩固练习

1.在AABC中，N4CB=90。，CDLAB,垂足为。.NACO与NB有什么关系？为什么？

2.如图，在AABC中，NG90。，点。，E分别在边A8,4c上，且N1=N2,4AOE是直角三角形吗？

3.一副三角板按如图所示放置，点A在OE上，点F在BC上，AD1AC,则/8FO的度数为（）

A.45°B.60°C.75°D.80°

4.如图，ACYBC,CDLAB,DEVAC,则结论：①N1=N2：②N2=NA；®DE//BC；④/8+NOCE

=9（）。中，正确的结论为____________（填序号）.

D

B

“尸*------------E_

第3题图第4题图

5.在下列条件中:

①N4+NB=NC：

②NA：NB：ZC=1：2：3；

③NA=90°-N8；

④N4=NB=2/C中，能确定△4BC是直角三角形的条件有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AO_L8C于点。，8E平分/ABC,AD.8E相交于点F.

(1)若NC4Q=36°,求NAE〃的度数;

(2)试说明：ZAEF=ZAFE.

（五）归纳总结

（六）感受中考

1.若三角形三个内角的比为1：2：3,则这个三角形是三角形.

2.如图，在中，ZC=90°,/B=56°,则NA的度数为（）

A.34°B.44°C.124°D.134°

3.如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出C。励角/0的大小，需将/0转化为与它相等的

角,则图中与NO相等的角是（）

A.ZBEAB.ZDEBC.ZECAD.ZADO

第2题图第3题图

4.在△人台。中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）

A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°

C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°

（七）小结梳理

三角形的内角“三角脑的内角和等于180°.

与三角形面角三角形的两个锐角互余.J

有关的角有两个角互余的三角形是直角三角影

?

（八）布置作业

（I）基础性作业：习题13.3第4,10题.

（2）探究性作业：搜索资料，寻找更多直角三角形的性质和证明方法.

13.3.2三角形的外角导学案

一、学习目标

1.理解并掌握三角形外角的定义，能在不同几何图形中准确识别三角形的外角.

2.深入探究并熟练掌握三角形外角的性质，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，能运用该

性质进行角度计算、角的大小比较以及简单的几何推理.

3.在探究三角形外角性质和外角和的过程中，体会数学知识的内在联系，增强逻辑推理能力和数学探究

能力.

学习重点：深入探究并熟练掌握三角形外角的性质.

学习难点：深入探究并熟练掌握三角形外角的性质.

二、学习过程

（一）复习引入

1.三角形的内角和定理:____________________________

2.直角三角形的两个锐角；

3.的三角形是直角三角形.

（-）合作探究

三角形的外角

如图，把△4BC的一边延长，得至UNACD

像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作.

思考如图，在△ABC中，N4=70。，/B=60。，/ACO是△的一个外角.能由NA,NB求出/AC。

吗？如果能，NACO与NA,NB有什么关系？

追问任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？你能证明吗？

结论.

（三）典例分析

例4N84E,4CBF,NACZ）是△48C的三个外角，它们的和是多少？

追问你还能给出其他解法吗?

(四)巩固练习

1.说出卜列各图形中N1和N2的度数：

A,

(2)(3)

(1)Zl=____；Z2=____.(2)Zl=____；Z2=____.(3)Zl=____；Z2=_

/A/

BCD

(4)($)(S)

(4)Zl=____；Z2=____.(5)Zl=_____：Z2=____.(6)Zl=____；Z2=_

2.(1)一个三角形最多有几个直角？为什么？

(2)一个三角形最多有几个钝角？为什么？

(3)直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？

3.如图，下列判断正确的是（)

A.Z2<Z1B.Z2>Z1C.N22N1D.Z2=Z1

4.如图，CE是△ABC的外角的平分线，CE交84的延长线于点E,ZB=35°,ZE=25°,则/

B4C的度数为（)

A.85°B.95°C.100°D.110°

5.将一副三角板按如图所示的方式叠放,则N1等于（