2025人教版八年级数学上册同步训练（基础+提升）平方差公式（学生版+详解版）

14.2.1平方差公式

夯实基础篇

一、单选题:

1.计算（-2a-3b）（2a-3b）的结果为（

A.4«2-9b2B.9Z?2-4a2

C.-Acr-\2ab-9b1D.-4a2+\2ab-9b2

2.下列各式不能用平方差公式计算的是（)

A.（2x-\-b）（2x-b）B.(2X4-Z?)(/?-2X)

C.（2式一/?）（—2x—D.(2x+/?)(-2x-/?)

好三36的是()

A.B.(-6>+xX6y-x)

C.C-6.1…D.(-61-IK6>-V)

4.下列运用平方差公式计算，错误的是()

A.(a+h)(a-b)=a2-h2B.(.r+l)(x-1)=r2-1

C.(2x+l)(2x-1)=2x2-1D.(-3x+2)(-3x-2)=9^-4

22

5.(-2a+3b)()=4^-9M,括号I应填()

A.2〃+3分B.勿2_3分C.-2a2-3b2D.-2^+3^

6.从边长为。的正方形中剪掉一个边长为〃的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个

长方形（如图2所示）.根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（)

图1

A.(a-bf=cr-lab+b1B.a(a-b)=a2-ab

222

C.b(<a-b)=cib-bD.a-b=^a-¥b)^a-b)

7.若a2-b2=-,a+b=—,贝lja-/?的值为()

84

11

A.--B.-C.1D.2

22

二、填空题：

9.(x+1)(x-1)-(X-2)(A+2)=

10.若。，b互为相反数，则a2-b2=.

11.如图，在边长为。的正方形中剪去一个边长为〃的小正方形">〃)，把乘ij下的部分拼成一个梯形,

分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式.

12.计算：2008x2010-20092=.

13.若(T—4产)川=16.俨一日则A=.

14.若a2-b2=4,则(a-力)2(a+Z?)2=

三、计算题：

15.计算:(1)(x+y)(x-y)-(2x-y)(x+3y)

(2)(2a+5)(2a-5)-4a(a-2)；

(3)(3a+2b)(-3a+2b)(9a2+4b2)(结果用幕的形式表示)

16.用乘法公式简算

(1)199x201；(2)20132-2014x2012.

17.先化简,再求值(3〃+2份(2a-3力--2力(2a-。)，其中a=-1.5b=-.

f4

四、解答题:

18.已知3既是x-4的算术平方根，又是x+2)，-10的立方艰，求9-)2的平方根.

19.两个两位数的十位上的数字相同，其中一个两位数的个位上的数字是6,另一个两位数的个位上的

数字是4,它们的平方差是220,求这两位数.

20.大学生小李毕业后回乡自主创业投资办养猪场，分成成猪和仔猪两个互不相邻的正方形猪场，已

知成猪场的面积比仔猪场的面积大40〃R两个猪场围墙总长80〃?，求仔猪场的面积.

能力提升篇

一、单选题：

1.已知。+〃=2,则/—b?+4b的值是()

A.4B.3C.2D.1

2.(c严-〃)("+6)等于()

A.a2,"-b2nB.amr-btn1C.a2,n+b-nD.b?”-01m

3.2x(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是()

A.8B.6C.2D.0

二、填空题

4,计算I产隈(625严8二

20202-2018x2022

5.观察下列各式的规律：

(«-/7)(«+Z?)=«2-b2

(4-人)(/+々〃+7?2)=。3-

(a-h^ay+a2b+ab2+b^=a4-b4

可得到("一与卜产16+〃2。/+..+"刈5+力2。16)=.

6.求值：(，孰1-孰1-5)(1一自(，鬲=--------

三、解答题

7.观察下列算式：39x41=4()2-12,48x52=5()2-22,65x75=702-52,83x97=902-72...,请你把发现的

规律用字母表示出来.(给定字母小，〃)

8.阅读并完成下列各题：

A.(2x+Z?)(2x-Z?)B.(2x+Z?)(Z?-2x)

C.(2x—〃)(—2x—D.(2x+Z?)(—2x—Z?)

【答案】D

【知识点】平方差公式及应用

【解析】【解答】解：4、(2x+")(2x-〃)可以用平方差公式;

B、(2工+3(〃-2可=(。+2”(〃-2"，可以用平方差公戈

(2X-Z?)(-2A-Z?)=-(2X-Z2)(2X+Z?),可以用平方差公式;

D、(2X4-Z?)(-2X-Z?)=-(2x+/?)(2x+Z?),不能用平方差公式;

故答案为：D.

【分析】平方差公式：(。+〃〉(a-b)=a>-b>\其中。是完全相同项，〃是互为相反项，根据这个特征逐

一验证即可判断求解.

3.在下列各式中，运算结果是的是()

A.-X)B.(-6y+xX6y-x)

C.(x-6jXx+6j)D.(-63-XX6>-K)

【答案】D

【知识点】平方差公式及应用

【解析】解答：-1)=36.1*-v2,(-61*vX6\-x)=T6j-xy=-36『*12x3-

63)(丫♦6.1)=/+36『，(-6j-x)(6;-v)=-36i*+v，

故选D.

分析：根据平方差公式将各式展开.

4.下列运用平方差公式计算，错误的是()

A.(〃+/?)(a-h)=a2-b2B.(x+1)(x-1)=x2-1

C.(2x+l)(2x-1)=2x2-1D.(-3x+2)(-3x-2)=9x2-4

【答案】C

【知识点】平方差公式及应用

【解析】【解答】解：⑵・+1)⑵-1)=(2x)2-1,故C错误.

故选：C.

【分析】根据两数和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，可得答案.

5.(-2a2+3b2)()=4〃-9/咒括号内应填()

A.2a2+3〃B.勿2.3/C.-2a2-3b2D.-la^b2

【答案】C

【知识点】平方差公式及应用

【解析】【解答】解：・・《2a2+3b2)92a2-3b?)=4/-9况

故答案为：C.

【分析】根据平方差公式求解即可.

6.从边长为〃的正方形中剪掉一个边长为〃的正方形(如图1所示)，然后将剩余部分拼成一个

长方形(如图2所示).根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是()

图1

A.=a2-2ab+b2B.a(a-b)=a2-ab

C.b(a-b)=ab-b2D.a2-b2=^a+b)^a-b)

【答案】D

【知识点】平方差公式的几何背景

【解析】【解答】解：笫一个图形阴影部分的面积是a2-b2,

第二个图形的面积是，

则/一〃2=(々+〃)(。一〃).

故答案为：D.

【分析】利用正方形的面积公式和长方形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等

列出等式即可.

7.若犀-左二-,a+b=—,贝lja-〃的值为()

84

11

A.--B.-C.1D.2

22

【答案】B

【知识点】平方差公式及应用

【解析】【解答】解：Va2~吩=(a+b)(a-b)=—,a+b=—,

84

.*.(；-b=--r—=—,

842

故答案为：B

【分析】利用平方差公式进行拆分，计算出的值。

二、填空题：

4

【答案】,〃产

【知识点】平方差公式及应用

力2=1,2_2

【脩析】【解答】解：原式=nnQ

9

4

故答案为：—,“於-〃2。

【分析】根据平方差公式去括号，再根据积的乘方法则计算奏方即可。

9.(x+l)(x-l)-(x-2)(x+2)=

【答案】3

【知识点】平方差公式及应用

【解析】【解答】原示二(尸-1)-(”-4)=3

【分析】本题考查了平方差公式，掌握运算法则是解答本题的关键.

10.若a,b互为相反数，则a2-b2=.

【答案】0

【知识点】相反数及有理数的相反数；平方差公式及应用

【解析】【解答】，b互为相反数,

；・a+b=O

/.a2-b2=(«+/?)(«-Z?)=0,

故答案为：0.

【分析】由于互为相反数的两个数的和为0,可得，什力=0,利用平方差公式将原式变形为

"一加=(〃+〃)(〃-〃)，然后代入计算即可.

11.如图，在边长为。的正方形中剪去一个边长为〃的小正方形(。>〃)，把剩下的部分拼成一个梯形,

分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式.

【答案】a2-〃=(a+b)(a-b)

【知识点】平方差公式的几何背景

【解析】【解答】解：因为左图阴影部分的面积是由大正方形的面积减去小正方形的面积，即为a2-b2，

右图阴影部分的面积可利用梯形的面积公式可得：(2/2+2〃)x(〃—〃)xg=(a+〃)(a-〃).

故答案为：a2-b2-(«+/?)(«-/?).

【分析】易得左图面积为标62,右图面积为:(2"2a)xm/);(a+3(a功)，然后根据两图面积相等即可

得到等式.

12.计算：2008x2010-20092=.

【答案】-1

【知识点】平方差公式及应用

【解析】【解答】2008x2010-20092=(2009-1)*(2009+1)=20092-1-20092=-1

【分析】运用平方差公式标_〃=。+份(个份计算即可.

13.若(T—4尸)<=16犷一d,则A=.

【答案】-4/+x2

【知识点】平方差公式及应用

【解析］【解答】解：•晔/-X

-(X+4/)•A=(4)，2+x2)(4y2-x2)

AX=-(4y2-x2)=-4^+x2

故答案为：-4＞。+.壮.

【分析】将等式的右边利用平方差公式分解因式，然后两边同时除以(/+4.V2),即可得到A的值。

14.若a2-b1=4,则(。一人)2(。+6)2=.

【答案】16

【知识点】平方差公式及应用；积的乘方

【解析】【解答】(。一刀2(〃+历2=[(。一加(。+加]2=(^_/?2)2=42=16.

故答案为：16.

【分析】逆用积的乘方法则后，利用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可求出值.

三、计算题：

15.计算：(1)(x+y)(x-y)-(2x-y)(x+3y)

(2)(2a+5)(2〃-5)-4a(a-2)；

(3)(3a+»)(-3a+2b)(9a2+4b2)(结果用幕的形式表示)

【答案】(1)解：原式r2-)7-(2^+6盯・个-3月

=x2-y2-2x2-5/7+3)2

=-x2-5xy+2)2

(2)解：原式二4。2-25・4层+弘

=8。-25；

⑶解：原式二(-9。2+4/)(婿+4〃)

=16〃-81a4.

16.用乘法公式简算

(1)199x201；(2)20132-2014x2012.

【答案】(1)解：原式二(200-1)x(200+1)

=2002/2

=40000-1

=39999；

(2)解：20132・(2013+1)x(2013-1)

=20132-20132+1

=1.

【知识点】平方差公式及应用

【解析】【分析】利用平方差公式计算求解即可。

17.先化简，再求值(3〃+23(2〃・38)・(〃-2份(2。-勿，其中。=-1.5,b=-.

4

【答案】解：(3J+22Q-3b)-(a-2b)(2a-b)

=(6cr+4ab-9ab-6b2)-(2a2-4ab-ab+2b2)

=6a2+4ab-9ab-6b2-2a2+4ab+ab-2b2

=4a2~Sb2,

当q=-1.5=--，力二L时，

24

31

原式=4x(-->-8x(->

=9-1

2

17

~~2'

【知识点】多项式乘多项式：平方差公式及应用

【解析】【分析】根据多项式乘多项式、平方差公式化简式子，代入。和〃的值，得到答案即可。

四、解答题：

18.已知3既是x-4的算术平方根，乂是x+2y-10的立方根，求如-产的平方根

【答案】解：・・・3既是(片4)的算术平方根，又是(x4-2y-10)的立方根，

/.A-4=32=9,x+2y-10=33,

.*.A=13»尸12,

X2-3,2

=(R+y)(x-y)

=(13+12)x(13-12)

=25

・*-产的平方根为±5.

【知识点】算术平方根；立方根及开立方；平方差公式及应用

【解析】【分析】根据算术平方根的平方可得被开方数『4,根据立方根的立方可得被开方数x+2y-IO,

联立求出X、)，的值，然后根据平方差公式可得答案.

19.两个两位数的十位.上.的数字相同，其中一个两位数的个位上的数字是6,另一个两位数的个位.上的

数字是4,它们的平方差是220,求这两位数..

【答案】解：设这个两个数的十位上的数字是X则这两个两位数是(10x+6)和(10x+4),由题意得：

(10x+6)2-(10.v+4)2=220解这个方程得：45答：这两个两位数分别是：56和54.

【知识点】平方差公式及应用

【解析】【分析】根据题意列出方程，利用平方差公式将方程化为一元一次方程，解出既得.

20.大学生小李毕业后回乡自主创业投资办养猪场，分成成猪和仔猪两个互不相邻的正方形猪场，已

知成猪场的面积比仔猪场的面积大404,两个猪场围墙总长80〃?，求仔猪场的面积.

【答案】解：设小猪场的边长为“〃，则大猪场的边长为

可得：，-y2二40①〃

,4x+4y=80②

由①得(x+y)(x-y)=40

由②得x+)=20

.*.A-y=2

.p=H

一[y=9

A112=121,92=8l

•••成猪场的面积为121"P,仔猪场的面积为

【知识点】平方差公式及应用

【解析】【分析】设小猪场的边长为则大猪场的边长为)7〃，于是小猪场的面积为大猪场的面

积为)2,根据题意，得V-WEO,解此方程组即可.

能力提升篇

一、单选题：

1.已知a+b=2,则a?一〃+4b的值是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【知识点】平方差公式及应用

【解析】【解答】*：a+b=2,

*.a2-b2+4b=(a-b)(a+b)+4b,

=2Ca-b)+4Z?»

=2a-2b+4bt

=2(a+b)»

=2x2,

=4.

故答案为：A.

【分析】利用平方差公式分解因式，可将代数式转化为2(a-b)+44再代入可转化为2(a+b),然后

代人求值。

2.(心-护)(m+护)等于()

A.a2,n-b2"B.cun2-bm2C.a2,n+b2"D.b2,,-a2n,

【答案】A

【知识点】平方差公式及应用；鼎的乘方

【解析】【解答】解：原式=2-(加)2

二於"-即

故答案为：A.

【分析】根据题意，由平方差公式以及塞的乘方，计算得到答案即可。

3.2x(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是()

A.8B.6C.2D.0

【答案】D

【知识点】平方差公式及应用

【解析】【解答】解:(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)...(316+1)

=(32-1)(32+1)(34+1)...(3,6+1)

=(34-1)(34+1)...(316+1)

=332-1

•/31=3，32=9，33=27，3,=81，35=243，36*=729，3’=2187，38=6561

「•3”的个位是以指数1到4为一个周期，幕的个位数字重复出现,

32+4=8,故3-位与34的个位数字相同即为1,

/.332-1的个位数字为0,

・•・2x(3+1)(3?+1)(34+1)(38+1)(3%1)的个位数字是0.

故答案为：D.

【分析】先将2变形为（3-1），再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可.

二、填空题：

,在僧（-4产9x（025严8_

4・1T舁------------------—.

2020--2018x2022

【答案】-1.

【知识点】平方差公式及应用；积的乘方

(-4)2QI8X(0.25)20I8X(-4)

【解析】【解答】解.：原式=

20202-(2020-2)(2020+2)

_-4

202()2—202()2十4

-4

■

4

=-1

故答案为：-1.

【分析】分子运用积的乘方的逆运算进行化简计算，分母按平方差公式运算，可计算得结果.

5.观察下列各式的规律：

^a-b)^a-\-b)=cr-b2

^a-b){cr+ab+/)=a3-Z?3

(^a-b^a3+a2b+ab2+/?3)=tz4-b4

可得到（〃一3（产6+/。%++"刈5+产6）=

【答案】a20l7-P»17

【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用

【解析】【解答】（。一〃）（。+〃）二。2一屏：

(a~b)(a2+ab+b2)=4°-护；

3-。)(/+。2队川*+b')=a4-b4;

可得到(〃一。)(/。16+〃加5^2015^^2016尸^2017_^2017,

故答案为：a^-b20]1

【分析】根据己知等式，归纳总结得出一般性的规律（两个多项式相乘，第i个多项式相同，第二个

多项式的。的最高指数和式子的顺序数相同，且按降累依次排列，〃的指数与a刚好相反,结果为a"-b\

〃等于式子的顺序数加I）,写出所求式子的结果即可。

6.求值:得

【答案喝

【知识点】平方差公式及应用

【解析】【解答】解：（"颉塌（T）（"同1W

13243581()911

=­X-X-X-X-X—...X-X----X-----X—

223344991()1()

11

20