七年级数学下册知识点总结

※1．互为余角和互为补角的有关概念与性质注意：这两个概念都是对于两个角而言的，而且两个概念强调的是两个角的数量关系，与两个角的相互位置没有关系。它们的主要性质：同角或等角的余角相等；都是两直线相交对顶角没有公共边而邻补角有一条公共边；两条直线相交时，一个有的对顶角有一个，而一个角的邻①两条直线相交面成的角②有一个公共顶点③没有公共边①两条直线相交面成的角②有一个公共顶点③有一条公共边其中一条直线对另一条直线的命名。如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一(2)判断以下两条直线是否垂直:①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;②两条直线相交所成的四个角相等;③两条直线相交,有一组邻补角相等;④两条直线相交,对顶角互补.垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.两点间线段最短.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.二、同位角、内错角、同旁内角我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。c151a43a4bb在截线的同旁，被截直线的同方向（同上或同下）.具有这种位置关系的两个角叫做同位角。在截线的两旁，被截直线之间。具有这种位置关系的两个角叫做内错角.在截线的同旁，被截直线之间。具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角.二、平行线定义表示法1平行定义:同一平面内,存在一条直线a与直线b不相交的位置,这时直线a与b互相平行.换言之,同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.直线a与b是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号.平行线定义的本质属性,第一是同一平面内两条直线,第二是设有交点的两条直线.2.同一平面内,两条直线的位置关系从同一平面内,两条直线的交点情况去确定两条直线的位置关系.在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:相交或平行,两者必居其一.即两条直线不相交就是平行,或者不平行就是相交.（1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线平行。（2）平行公理的推论：如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行。（3）两直线平行的条件：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.平行线具有性质:性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简称为两直线平行,同位角相等.性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,简称为两直线平行,内错相等.性质3:两条直线按被第三条线所截,同旁内角互补,简称为两直线平行,同旁内角互补.判断一件事情的语句,叫做命题.①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.②命题的形成，可以写成“如果……，那么……”的形式。命题的正确性是我们经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，作为真命题，定理也可以作为继续推理的依据.平移:(1)把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.(2)新图形中的每一点,都是由原图形中的某一个点移动后得到的,这两个点是对应点.(3)连接各组对应的线段平行且相等.图形的这种变换,叫做平移变换,简称平移对顶角相等垂线及其性质4如果正方形的面积分别是1、9、16、36、，那么正方形的2学生会求出边长分别是1、3、4、6、5上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。怎样用两个面积为如图，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个设大正方形的边长为x，则x2=2，由算术平方根的意义可知，1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：如求一个数的平方根的运算，叫做开平方．1.探索：设这种包装箱的边长为xm，则x3=27，这就是要求一个数，使它的立方等于27.一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。如果x3=a，那么x叫做a的立方根。记作，3a读作三次根号a。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(3),5)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(7),8)反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，把无限不循环小数叫做无理数。1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。有理数{（有限小数或无限循环小数）l无理数（无限不循环小数）正实数{实数{实数{零EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up16(〔),l)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up16(负),负)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up16(有),无)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up16(理),理)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up16(数),数)归纳：①实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。画弧，与数轴正半轴的交点就表示5。通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识。①会求实数的相反数和绝对值；②会进行实数的加减法运算；③会进行实数的近似计算。1、相反数：有理数a的相反数是-a。3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。1.实数的相反数：数a的相反数是-a。2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.3、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负实数的开方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也适2.当a=0时，它的平方根只有一个，也2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：a≥0(a≥0)。3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平【无理数】1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π2.有理数与无理数的区别1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为【实数】1.有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。12.实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0实数a的绝对值a,它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的过比较它们的平方或者立方的大小。4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算3．某人买了一张8排6号的电影票，二.概念确定有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这序数对，可以很准确地表示出一个位置。三.方法归类常见的确定平面上的点位置常用的方法（1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。（2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。2．如图，以灯塔A为观测点，小岛B在灯塔A北偏例2如图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图,对我方舰艇来说：1）北偏东方向上有哪些目标？要想确定正确画坐标和找对应点.一.利用已有知识，引入1．如图，怎样说明数轴上点A和点B的位置，北45°北A（灯塔）CCOD二.明确概念平面直角坐标系：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。点的坐标：我们用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标。表示方法为（a,b）.a是点对应横轴上的数值，b是点在纵轴上对应的数值。教学目标：1．了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义及主要过程；培养学生解决实际问题的能力．2．通过学习如何用坐标表示地理位置，发展学生的空间观念．3．通过学习，学生能够用坐标系来描述地理位置．4．通过用坐标系表示实际生活中的一些地理位置，培养学生的认真、严谨的做事态度．重点：利用坐标表示地理位置．难点：建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题．教学过程一、创设问题情境今天我们学习如何用坐标系表示地理位置，首先我们来探究以下问题．二、师生互动，探究用坐标表示地理位置的方法（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图外（1）如图将点A23）向右平移5个单位长度，得到点A1，在规律：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应教师说明：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移．例如图（1三角形ABC三个顶点坐标分别是A（4，3B（3，1C（1，2（1）将三角形ABC三个顶点的横坐标后减去6，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、C1，依次连接A1、B1、C1各点，所得三角形A1B1C1（2）将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得三角形A2B2C2引导学生动手操作，按要求画出图形后，解答此例题．解：如图（2所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到．类似地，三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到．二、平面直角坐标系1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系.平面直角坐标系，水平的数轴叫做x轴或横轴(正方向向右)，铅直的数轴叫做y轴或纵轴(正方向向上)，两轴交点O是原点．这个平面叫做坐标平面．2、不同位置点的坐标的特征：点P（x,y）在第一象限x＞0，y＞0；点P（x,y）在第二象限x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限x＞0，y＜0.（3）点P（x,y）到原点的距离是4、关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：三、坐标方法的简单应用1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向.（说清楚以什么为原点，什么所在的方向为x轴的正方向，什么所在的方向为y轴的正方向）.2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度.3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个点的名称.1、图形的平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这种图形的运动称为平移.2、图形的移动引起坐标变化的规律：3、点的变化引起图形移动的规律：（1）、将点（x，y）的横坐标加上一个正数a，纵坐标不变，即（x+a，y则其新图形就是把原图形向右平移a个单位.（2）、将点（x，y）的横坐标减去一个正数a，纵坐标不变，即（x-a，y则其新图形就是把原图形向左平移a个单位.（1）、将点（x，y）的纵坐标加上一个正数b，横坐标不变，即（x，y+b则其新图形就是把原图形向上平移a个单位.（1）、将点（x，y）的纵坐标加上一个正数b，横坐标不变，即（x，y+b则其新图形就是把原图形向下平移b个单位.5、决定平移的因素：平移的方向和距离.6、画平移图形，必须找出平移的方向和距离、画平移图形的依据是平移的性质.7、在实际生活中，同一个图案往往可以由不同的基本图案经过平移形成的，选取了不同的基本图案之后，分析这个图案的形成过程就有所不同.一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,•可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,•可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,•合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,•常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．二、探究三元一次方程组的解法【解法探究】怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？(展开思路，畅所欲言)例1.解方程组分析2：方程③是关于x的表达式，确定“消x”的目标.【方法归纳】根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型一：有表达式，用代入法.针对上面的例题进而分析，例1中方程③中缺z,因此利用①、②消z,可达到消元构成二元一次方程组的目的.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组类型二：缺某元，消某元.教师提示：当然我们还可以通过消掉未知项y来达到将“三元”转化为“二元”目的，同学可以课下自行尝试一下.（一）不等式、一元一次不等式的概念在学生充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳得出：用“＜”或“＞”表示大小关系的式子叫做不等式；用“并”表示不等关系的式子也是不等式。（二）不等式的解、不等式的解集1、直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来1）x＋3>6（2）2x<8（3）x－2>02、不等式的解与不等式的解集；3、不等式的解集在数轴上的表示．不等式性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子不等号的方向不变．不等式性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．归纳解一元一次不等式组的步骤：(1)求出各个不等式的解集；(2)找出各个不等式的解集的1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5．用数轴表示不等式的解集。二、不等式的基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式三、一元一次不等式1．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2．解一元一次不等式的一般步骤1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。练习题：P133数据的描述为了更直观地看出上表中的信息，我们还可以用条形统计图和扇形统计图来描述数据。绘制条形统计图[投影7]5840节目类别节目类别绘制扇形统计图我们知道，扇形图用圆代表总体，每一个扇形代表总体的一部分。扇形图通过扇形的大小来反映各个部分占总体的百分比。扇形的大小是由圆心角的大小决定的，所以，我们只要知道圆心角的度数就可以画出代表某一部分的扇形。因为组成扇形图的各扇形圆心角的和是3600，所以只需根据各类节目所占的百分比就可以算出对应扇形圆心角的度数。新闻：3600×10%≈360，体育：3600×25900，动画：3600×20720，娱乐：3600×451620.在一个圆中，根据算得的圆心角的度数画出各个扇形，并注明各类节目的名称及相应的百分娱乐体育25%10%可以抽取一部分学生进行调查.这种只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况的方法就是抽样调查。这里要考查的全体对象称为总体，组成总体的每一个考查对象称为个体，被抽取的那些个体组成一个样本，样本中个体的数目称为样本容量。上面问题中全校学生是总体，每一名学生是个体，我们从总体中抽取的部分学生是一个样本，抽取的学生数就是样本容量。例如三、样本的抽取抽样调查的关键是样本的抽取，如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则，抽样调查的结果会偏离总体情况。上面的问题，抽取样本的要求是什么呢？一、抽取的学生数目要适当。如果抽取的学生数太少，那么样本就不能很好地反映总体的情况；如果抽取的学生人数太多，那么达不到省时省力的目的。我们可以取100名学生作为一二、要尽量使每一个学生抽取到的机会相等。例。表格中的数据也可以用条形统计图和扇形统计图来表示描述。8%8%娱乐娱乐24%24%体育体育节目类别1、对于总体量大，个差异程度较大的问题，需要采取分层抽样的方法确定样本，这样可使2、对样本进行分析、归纳，得出的结论可以用来估计总体的情况，这就是统计的思想。收集数据、整理数据、描述数据是统计的一般过程。我们学习了条形图、折线图、扇形图等描述数据的方法，今天我们学习另一种描述数据的统计图——直方图。二、频数分布直方图计算最大值与最小值的差（极差）最小值是149，最大值是172，它们的差是23。说明身高的变化范围是23㎝.2、决定组距与组数把所有的数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组===7注意：①根据问题的需要各组的组距可以相同或不同；②组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经验和所研究的具体问题来决定；③当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5～13、频数分布表对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数（叫做频数）。用表格整4、画频数分布直方图为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据上表画出频数分布直方图。76543210小长方形的面积＝组距×组距＝频数.可见，频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的多少。等距分组时，各小长方形的面积（频数）与高的比是常数（组距）。因此，画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通