专题3.5勾股定理（全章知识梳理+题型精析）2025-2026学年八年级数学上册（苏科版2024）含答案

的图形，能证明勾股定理的是()直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图【类比迁移】【能力提升】x，请求出x的值．4．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线交BC，AC于点F，N，△AEF的周长是14．(1)求BC的长度；AE=4，则△ABC的面积为()6．如图，点P是长方形ABCD边上的一个动点，从A点开始，沿A→D→C→B→A顺(1)求出AB与BD的数量关系(2)延长BC到E，使CE=BC，延长DC到F，使CF=DC，连接EF．补全图形，并证明(3)在（2）的条件下，作ÐACE的平分线，交AF于点H，延长BA，EF交于点M，延长CH交ME于点G．补全图形并证明AH=FH．8．如图，矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，过O作直线EF交AD于E，交BC于F．(2)如图：G为DC上一点，连接EG、OG，若AE2+CG2=EG上，连结AE，过点C作CF丄AE，垂足为点F，点F在线段AE上．(2)请直接写出BD、AD和DE之间的数量关系：______；(3)求证：BD=AD+2EFAB=25m．要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB(1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM；摆放正确的是()（2）已知EF是在AB边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计则直线AD上被摄像头监控的公路长度为米．装一个监控摄像头来监测观光车行驶情况，已知摄像头3．规律：当n正整数时，2n+1，2n2+2n，2n2+2那么ma，mb，mc（m为正整数）也是勾股数．14．定义：a,b,c为正整数，若c2(1)判断填空：数17__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”(2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0．求证：c是“完美勾股中．下列各组数中，是“勾股数”的是()18．在探索勾股定理的实践课上，同学们发9，40，41…，则第n组勾股数的第(1)如图1，长方形纸片ABCD中，AB=上，折痕为AE（点E在边BC上点B落在点B¢处，求CE的长度；(2)如图2，有一张长方形纸片ABCD，AB=6，AD=13，F为AD边上一点，AF=3，E为BC上一点．将纸片折叠，折痕为EF，使点B恰好落在线段DE上的点B¢处，点A落在21．如图，点B，C，D在同一直线上，△DCE沿CE折叠，点D恰好落在Rt△ABC的直角顶点A处．若上则BD-AB的值为()点（不与B、C重合连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处．①BC的长为；@当△BDE是直角三角形时，CD的长为．23．如图，Rt△ABC中，上ACB=90°,已知AC=4，BC=BD=6，E为BD上一点，且24．如图，BE、CD分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC=4，ÐA=60°,则△ADE面积的最大值是()上的动点，沿PQ将△DPQ折叠，则CD¢的最大值为，最小值为．若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为21cm，则该圆DETAB，垂足为E，交AC的延长线于点D．求证：OB=OD．直观判断图中存在多对全等三角形，逐一分析已知条如图：已知ÐAOB．(1)按照小颖的“思路梳理”，补全方框①所需的条件，并写出@这一步推理的依据．....(2)结合图2，按照小颖画角平分线的方法，求证：射线OP平分ÐAOB．(3)继续分析本题的图形结构及隐含的其它结△ABC的高，则AD的长为()A、B、C均为格点．（2）若点E、F分别在线段AB、BC上，满足AE=BF，则当CE+AF取得最小值时，请...30．如图，有两只猴子爬到一棵树CD上的点B处，且BC=2m，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树6m的A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳DA滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．(1)请用含有x的整式表示线段AD的长：m；31．如图，龙城初级中学操场上有两棵树AB和CD（都与水平地面AC垂直大小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为()BC的长为13m．(1)开始时，小船距岸A的距离为_______m；(2)若琪琪收绳5m后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离BD的长．34．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面35．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯足将外移的长度是()(2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端3m处，求AD的长．38．如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行1在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是．外面的长度可能是().A．4cmB．7cm41．如图，货轮M在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏西33°方向，且与货轮M相距6nmile．同时，在它的南偏东57°方向又发现客轮B，且与货轮M相距8nmile，求此时灯塔A与客轮B的距离nmile：海里）(1)求BC的长；43．如图，在高为6m，坡面长为10m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要()AB多2米，则河的宽度AB是米．(1)通过计算说明公路BD是否与AD垂直；(2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段BC并在大道BC上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段DE且BC，DE的总费用．前一条直线公路建成通车，在该路段MN限速5m/s，为了检测车辆是否超速，在公路MN47．如图所示，铁路AB和公路CD在点O处交汇，上BOD=45°,公路AB上E处距离O（）AC=300km，BC=400km，且AB=500km．根据实测数据下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由90km/h调整为型汽车限速值由80km/h调整为70km/h．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方120m的C处（即AC=120m过了8s小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200m．(1)求BC的长；50．下列各组数中，是勾股数的是()51．在Rt△ABC中，斜边BC=4，则AB2+BC2+AC2的值为()52．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C在小正方形的格点上，连接AB，BC，AC，则ÐACB的度数是()A．45°B．30°C．90°恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，那么折断处离地面的高度是()图形面积验证勾股定理的等式是()2222+4abD．a2+b2-2ab是直角三角形的是()256．如图，在△ABC中，上C=90°,点D为BC边上一点，将△ACD沿AD翻折得到57．如图，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为()部直径为8cm，杯子高为15cm，则筷子露出杯口部分长度的最小值为()A．6cmB．5c角形的面积为()过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点为C，那么点C表示的无理数是．————段长15cm，AB段比BC段长9cm，则BC段的长度为cm．测：先测得门的边AB和BC的长分别为2.4m和1m，又测得点A与点C间的距离为2.6m，处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的陶罐内壁底A处有一滴蜂蜜．则蚂蚁从B处沿内壁爬行到A股数”中的a为偶数，且其中一个数为8，则b对应的数为（写出一个符合题意的数即AB，BC两段构成，若BC段长度为8cm，点A，C之间的距离比AB段长2cm，则AB段70．如图，小岛A位于港口C北偏西39°方向上，小岛B位于港口C的北偏东51°方向上，航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，第三是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，在△ABC中，ÐB=90°,AM平分ÐBAC，MD丄AC．(2)连接BD，若AM=CM，判断△ABD的2(2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数(5,12,13)，请你计算他代入的正整数m边形有一组对角均为90°且这组对角中有一个直角的(1)用直尺和圆规作图：如图，以AD为边:△ABC≌△ADE(SAS):ÐADC=180°又AC=AE，小李再进一步研究发现，线段CD，DE，AE存在一定的数量关系，请你根据以上信息，直接写出CD，DE，AE三者之间的数量关系．中．下列各组数中，是“勾股数”的是()A．2，3，5B．6，8，10C．6，6，6能是()76．将一副直角三角尺和一把宽度为3cm的直尺按如图所示的方式摆放：先把60°和沿，这两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是()77．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是()形状是()有多长？”如图，若设秋千绳索的长OA为x尺，则可列方程为()(x-5)2+102=x260°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是()A．南偏西30°B．北偏东60°C．南偏东30°D．南偏西60°云梯顶端B到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台M，连接OM，现将云梯的底端A向外移动到A'处，则OM的长将()度为8cm，若勺子的长度为14cm，则勺子漏出杯子的部分至少为()A．4cmB．6cm圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数是．85．如图，小明用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小明折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE则此时△AEF的面积87．如图，△ABC中，AC:BC:AB=3:4:5，点D在BC上，点E为AB的中点，AD，CE88．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部890．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E，F分别是边AB，AC上的点，连接DE，上一点，连接BD、DE．将△CDE沿D92．如图，在△ABC中，AB=AC，AN，BM分别为BC，AC边上的高，连接MN，若在西北方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A，C之间的距）．AB于点D．地下管道AC的同侧，售卖机A，B之间的距离(AB)为500米，管道分叉口M与B之间的(2)珍珍认为：从管道AC上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，BM是这些分叉管道其中AB=AC．由于道路施工，由点C到A充电站的道路无法正常通行．该小区为了方便居民充电，决定在公路旁的点D处新建一个充电站（点A，B，D在同一条直线上）并新修（1）如图1，一架竹梯AB斜靠在墙角MON离BD；【探究迁移】（2）如图2，调整梯子顶端A离地面的高度，当底端B在端A下滑的距离AC相等时，求梯子滑动前、后与地面的夹角a与β之间的数量关系；【拓展应用】交AC于点O，分别以点A，F为圆心，以BF，AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，FD，OD．如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当点A，D，E在同一直线上时，连接BE，易线段CC¢的长为()荡起到最高点B处时距地面高度1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是()A．0.9mB．1.3mC．1.6mD．2m于点D2）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点F；7大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，AH，BH，CH之间的数量关系．重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；出AH，BH，CH之间的数量关系．CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；@△CMN面积的变化情况是()1．a2+b2=c2【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握【详解】解：根据题意得2【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等在图④中，连接BD，此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°,再向下平移得到．一方面，四边形ABCD的面积等于△ABC和Rt△ACD的面积之和，另一方面，四边形ABCD的面积等于b22:a2+b2=c2，:能证明勾股定理的是①②③④.31）见解析2）133）2:a2+b2=c2；（2）空白部分的面积=边长为c的正方形的面积-2个直角三（3）:设BD的长为x，则CD=BC-BD=6-x:AD是BC边上的高:AB2-BD2=AC2-CD2:42-x2=52-(6-x)2解得x=．定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两:BE=AE，FA=FC，:BC=4；:上BAC=135°,:上EAF=90°,:AE2+AF2=36，又AE:2AE.AF=(AE+AF)2-(AE2+AF2)=82-36=28:AE.AF=14:△AEF的面积为【分析】先在Rt△ADE中，由勾股定理求出DE=3，证明△ABE是等腰【详解】解：QBE，AF是△ABC的高，:ÐAEB=ÐBEC=ÐAFC=90°,:△ABE是等腰直角三角形，:AE=BE=4，:ÐADE=ÐC，:△ADE≌△BCE(AAS)，:DE=CE=3，:△ABC的面积为【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股求解得出AB的长度．:点P在BD的垂直平分线上，连接AC,BD,BP则长方形中BD的垂直平分线是过AC、BD交点O, :△POA≌△P1OC，:CP1即(AD-AP)2=AB2+AP2，:(30-AB-5)2=AB2+52，:EFⅡBD，:AB丄EF；:MEⅡAC，:ÐCGE=ÐACG，:ÐACG=ÐECG，:EG=EC，:EG=CB，:EF=BD，:AC=FG，:AH=HF．（1）由中点可得边相等，再利用矩形的性质可得ADⅡBC，根据两直线平行内错角相等可:OE=OF．（2）证明：连接FG，:CF2+CG2=FG2．:AE=CF．:AE2+CG2=FG2．:EG=FG，即△EGF为等腰三角形，（3）证明Rt△CGD≌Rt△CFE(HL)得DG=EF，由三线合一得BG=AG，:AC=BC，DC=ECQÐACB=ÐDCE=90o:上ACB-上ACD=上DCE-上ACD在△BCD与△ACE中:△BCD≌△ACE(SAS)．:AE=DB，:ÐEAC=ÐB=45°=ÐCAB:DE2=AE2+AD2=AD2+DB2．:AC平分ÐBAE:CG=CF:Rt△CGD≌Rt△CFE(HL):DG=EF:BG=AG:BD=BG+DG=AG+DG又QAG=AD+DG:BD=AD+2DG=AD+2EF10．(1)供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM为20m（1）在Rt△MNB中，先利用勾股定理求出BN，从而求出AN，再在Rt△ANM中，利用勾股定理求出AM；在Rt△MNB中，BN2=BM2-MN2=152-122=81，:BN=9m，:AN=AB-BN=25-9=16m，在Rt△ANM中，AM2=AN2+MN2=162+122=400，:AM=20m，:供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM为20m；:AM2+BM2=202+152=252=AB2，:△AMB是直角三角形，上BMA=90°.:以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，AB2+AC2=BC2，再根据勾股定理的逆定理可EM=EN=100m，即MN的长为直线AD上被摄像头监控到的公路长度．可证明【详解】解1）如图，连接AC．在Rt△ADC中，由勾股定理得AC2=AD2+CD2=20000，2:AB2+AC2=BC2，即MN的长为直线AD上被摄像头监控到的公路长度．:AG=EG．:AE=AB-BE=60m在Rt△AEG中，由勾股定理得:EG=60m，在Rt△GEM中，由勾股定理得:(2)被监控到的道路长度为70米形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定（2）过点C作CH丄AD于H，作点D关于CH的对称点F，连接CF，根据轴对称的性质:上BDA=45°.2702:CD2+BD2=BC2:上BDC=90°:ÐADC=ÐBDA+ÐBDC=135°.（2）过点C作CH丄AD于H，作点D关于CH的对称点F，连接CF，由轴对称的性质，得：CD=CF=70米，DH=FH，:△CDH是等腰直角三角形，DH=CH，:CH2+DH2=CD2，:DF=2DH=70米，答：被监控到的道路长度为70米22，:数17是“完美勾股数”（2）证明：Qa2+b2+c2-6a:(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=02:(a-3)2=0,(b-4)2=0,(c-5)2=0:c2=a2+b2:c是“完美勾股数”【详解】解：A均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符【分析】本题考查了勾股数．满足a2+b2=故答案为：11，60，61．(3)10，24，26；2n，n2-1，n2+1【分析】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键．2n2类勾股数的规律：2n，n2-1，n2+1n>1，且n为正整数）【详解】解：由勾股数组：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)，…,2，【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理与折叠的（1）由长方体形的性质可知AD=BC=12，ÐB=90°,由勾股定理得出AC，由折叠的性2求解即可得出CE．定理可得出CE，进一步可得出B¢E，最后根据线段的和差即可得出答案．:AD=BC=12，ÐB=90°,:CE的长是．（2）解：∵四边形ABCD是长方形，AB=6Rt△BEQ≌Rt△BEP，得BQ=BP，所以BD-DP=AB+AQ，求得BD-AB=8，即可求解．【详解】解：作EP丄BD于点P，EQ丄AB交BA的延长线于点Q，则:上QAE=180°-上BAC-上EAC=45°,:上QAE=上D，在△QAE和△PDE中，:EQ=EP，AQ=DP，:EP=DP，:AQ=DP=4，在Rt△BEQ和Rt△BEP中，:Rt△BEQ≌Rt△BEP(HL)，:BQ=BP，:BD-DP=AB+AQ，:BD-4=AB+4:BD-AB=8．ÐAED=ÐC=90°,ÐCAD=ÐEAD,AC=AE，推出点E在AB上，根据勾:上ABC=30°,:AB=2AC=12，故答案为：6；（2）:点D是BC边上的一点，:将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，:将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，:点E在AB上，如图，:AE=AC=6,BE=AB-AE=6,ÐCAD=ÐBAD，:CD=DE，:DE2+BE2=BD2，6-CD2，综上所述，CD的长为6或2，故答案为：6或2．23．4如图：取BC的三等分点，即连接AF；易证即连接AF,DF,EF，:E为BD上一点，且:BE=BF，:△CBE≌△DBF(SAS)，:CE=DF，:AD+DF≥AF，:当A、D、F三点共线时，AD+DF有最小值为AF，即AD+CE的最小值为AF．故答案为：4．【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、完用a、b表示出BD、CD和△ADE的面积，再在Rt△BCD中利用勾股定理，整理得到a22【详解】解：QBE、CD分别是△ABC的高，:AB=2AE，AC=2AD，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，22:a2-2ab+b2≥0，:a2+b2≥2ab，:△ADE面积的最大值为．PD的长为半径的圆弧上运动，再由Q是边CD上的动点和最短距离即可得解．【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点，将【详解】解：将圆柱的侧面展开，CE为上底面圆周长的一半，作点A关于CE的对称点在Rt△A¢BD中，由勾股定理可得故答案为：2．（2）用HL证明Rt△POM≌Rt△PON即可；:Rt△POM≌Rt△PON(HL)，:射线OP平分ÐAOB．角平分线的性质定理等知识，熟练掌握全等三角形【分析】根据题意利用割补法求得△ABC的面积，利用勾股定理算出BC的长，再利用等面积法即可求得AD的长．5【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最（2）取格点T，连接AT，ET，CT，CT交AB于点E¢.则CT==2，点E¢故答案为：5；方法：取格点T，连接AT，ET，CT，CT交AB于点E¢.:△TAE≌△ABF(SAS)，:TE=AF，:AF+CE=TE+CE，:CE+AF的最小值为2．故答案为：2(2)这棵树高3.2米．角形各边的长度，再利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求出树的高度即可．:AD=(8-x)m；在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2，:这棵树高3.2米．:DE丄AB【详解】解：旗杆长至少应为（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长；（2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．（2）∵琪琪收绳5m后，船到达D处，【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．分别在Rt△ABC，Rt△DEC中求出AC，BC，CD即可．:BD=CD+BC=0.7+1.5=2.2米，答：小巷的宽度为2.2米．在直角三角形ABC中，已知AB,BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC=AA1+CA1即:CA1=2m，:梯足将外移的长度为0.8m，36．4.2高度是x尺，则竹子顶端到折断处的长为(10-x)尺，根据勾股定理列方程并求解即可．【详解】设折断处离地面的高度是x尺，则竹子顶端到折断处的长为(10-x)尺，解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度是4.2尺．故答案为：4.2．【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定答：木杆折断之前的高度是8m．（2）解：设AD的长为xm，则CD=(8-x)m，2，解得：．:AD的长是．三角形PQR是直角三角形，从而求解．:上QPR=90°.:在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，:h的取值范围是：18-13≤h≤18-12，距离，再求出吸管露在杯子外面的长度的最长距离41．此时灯塔A与客轮B的距离为10nmile．答：此时灯塔A与客轮B的距离为10nmile．42．(1)BC的长为4m【分析】本题考查了勾股定理的应用．在Rt△ABC中，由勾股定理得答：BC的长为4m；【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知△ABC方程就可求出直角边AB的长度．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2，2:该河的宽度AB为15米．45．(1)公路BD与AD垂直，计算见解析:△ABD是直角三角形，且上ADB=:公路BD与AD垂直．:上BDC=90°.答：修建互通大道BC，DE的总费用是818万元．相关性质内容是解题的关键．先过点C作CH丄MN于点H．结合上CBN=60°,得证明△ACH是等腰直角三角形，然后算出AB的长度，以及小车平均速度，再进行比较，即:△ACH是等腰直角三角形，:小车平均速度:5-1:此车没有超速．【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形及勾股定理．如图，过点E作利用勾股定理求出GH、HF的长，即可得出GF的长，根据时间=距离÷速度即可得答案．【详解】解：如图，过点E作EH丄CD于H，点G、F在CD上，且GE=EF=150m，:EH=OE.sin45°=120m，:火车行驶时，周围150m以内会受到噪音的影响，:当火车行驶在E、F之间时，会受到噪音的影响，(2)25km/h（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出ÐACB的度数；利用三角:AC2+BC2=AB2，:△ABC是直角三角形:海港C受台风影响．又:t=8h，答：台风中心的移动速度为25(km/h)．（2）根据小汽车用8s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速:72(km/h)<80(km/h)；:这辆小汽车没有超速行驶．【分析】此题主要考查了勾股数，解题关键是252【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得AB2+AC2=BC2=16，即可求得AB2+BC2+AC2的值．【详解】解：:在Rt△ABC中，斜边BC=4，:AB2+AC2=BC2=16，22，即AB2+BC2=AC2，:△ABC是等腰直角三角形．:上ACB=45°.地面x尺，则斜边为(10-x)尺，利用勾股定理解题即可．解题的关键是利用题目信息构造【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10-x)尺，:折断处离地面的高度为3.2尺，【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出图形平方和等于第三边的平方，则此三角形为直角三角形，且b为斜边，对应ÐB=90°,符合条【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股:上C=90°,:AB==17cm，则筷子露出杯口部分长度的最小值为20-17=3cm，n2+1，其中2n=14，解得n:另一条直角边：n2-1=72-1=48，:三角形为直角三角形，故答案为：/29．61．a2+b2=c2:a2+b2=c2，62．2,利用勾股定理分别求出CE、AE的值，即可求解．过点C作CE丄AD于点E，Q在Rt△ACE中，AE2+CE2=AC2，:t=2．故答案为：2．【详解】解：由题意得，木杆的高度为的长度为xcm，则AB段的长度为(x+9)cm，再根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：设BC段的长度为xcm，则AB段的长度为(x+9)cm，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，2【分析】本题考查了勾股定理的逆用，解题的关键是得出三边满足勾股定理即可求解．【详解】解：QAB和BC的长分别为2.4m和1m，又测得点A与点C间的距离为2.6m，2:上ABC=90°,厘米，【详解】解：∵AB=12km，:AB2+BC2=AC2∵D地位于A，C两地的中点处:a2=28，综上所述：b对应的数为15或8，:AB2+BC2=AC2，【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2=22500，:AC=150．∵AB.CD=AC.BC，22:CD=120，在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD:AD=90，（2）先根据AM=CM得出角的关系，再结合角平分线的性质，:BC===8，QAM平分ÐBAC，MD丄AC，ÐB=90°（即MB丄AB:BM=MD，又QAM平分ÐBAC，:上BAM=上MAC，:Rt△ABM≌Rt△ADM（HL:AB=AD，:△ABD是等边三角形．【点睛】本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质、三角形全等的判定（HL等边三角形的性质．解题的关键在于（1）中利用勾股定理解出BC的长度，再通过角平分推导出AB=AD和上BAD=60°,从而判断△ABD是等边三角形．72．(1)(15,8,17)2:对应的勾股数是(15,8,17)．:mn=6．:△ABC≌△ADE(SAS)，:点C，D，E三点共线，又AC=AE，:上ACD=上AED=上ACB，:△ACE是等腰直角三角形，:CD+DE=AE．:不能构成直角三角形，不是勾股数，故此选项不符合题意；22，:能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，此选项符合题意；22，:不能构成直角三角形，不是勾股数，故此选项不符合题意；22，:不能构成直角三角形，不是勾股数，故此选项不符合题意；故选：B．【详解】解：Q在3×3的正方形网格中，小正方形的边长是1，:任意两个格点间的距离有根据等腰直角三角形的性质求出AC，根据含30°角的直角三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出BC，进而求出AB的长即可．利用面积的不同表示方法，列式证明结论a2+b2=c【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负性．由非负数的和为0可得各边长，再验证是否满足勾股定理的逆定理即可判断形状．922，设秋千绳索的长OA为x尺，利用勾股定理可得方程．(x-4)2=x2；根据方向角的定义画出相应的图形，根据勾股定理的逆定理可以得到△APB是直角三角形，再利用平角的定义即可求出PB的方向角即可．22，:PA2+PB2=AB2，:上APB=90°,即PB的方向为南偏西30°,【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，再根据勾股定理的逆定理，得上ADC=90°,从而上DAC=上ACD=45°,由ABⅡDE，得【详解】解：如图，连接AD，:AD=x，CD=x，AC=2x，:AD2+CD2=AC2，AD=CD，:上ADC=90°,由题意得，ABⅡDE，先利用勾股定理求出AB=25，梯子移动过程中长短不变，所以AB=A'B'=25，由M是A'B'的中点，所以Rt△A'OB'中，OM=12.5．M是A'B'的中点，:Rt△A'OB'中分最短，再利用勾股定理求出AC的长，则可得CD的长，由此即可得．:在Rt△ABC中，:CD=AD-AC=4cm，:勺子漏出杯子的部分至少为4cm，【详解】解：:点A在数轴上表示的数是2，:OA=2，:以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点C，:点C表示的数是·,知，△ADE≌△AFE，AF=AD，ED=EF，在Rt△ABF利用勾股定理可求得BF，从而知:AF=AD，ED=EFQ长方形ABCD，宽AB为8cm，长BC为10cm:AF=AD=10cm:CF=BC-BF=10-6=4cm:CF2+CE2=EF2:42+(8-x)2=x2:x=5:ED=5cm根据所求问题，利用小正方形的面积得到b-a=2，进一步求出a2+b2即可求解．2【分析】根据AC:BC:AB=3:4:5，可知△ABC为直角三角形，根据斜边上的中线等于斜QAC2:AC2+BC2=AB2，:上ACB=90°,:BE=CE=AE，:ÐECB=ÐB，【分析】设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为(x-3)尺，在Rt△ABC中，根据勾股定【详解】解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为(x-3)尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2-AB2=BC2，即x2-(x-3)2=82，答：绳索长为尺．:△ABD是等边三角形，:在Rt△BDC中延长ED到H，使DH=DE，连接FH，过点F作FP丄CH，交HC的延长线于点P，证明由勾股定理得则PH=4；在Rt△PFH中，由勾股定理得FH=5，证明DF是线段HE的垂直平分线，再根据线段垂直平分线性质即可得出答案．【详解】解：延长ED到H，使DH=DE，连接FH,CH，过点F作FP丄CH，交HC的延:ÐP=90°,:CD=BD，:△CDH≌△BDE(SAS)，:CH=BE=1,ÐDCH=ÐB，:ÐDCH+ÐACB=135°,:ÐFCP=180°-(ÐDCH+ÐACB)=45°,:△PCF是等腰直角三角形，:PC=PF，:DF是线段HE的垂直平分线，:EF=FH=5．故答案为：5．通过等腰三角形三线合一确定N为BC中点，再利用直角三角形斜边中线性质得出BC与MN的数量关系，最后借助勾股定理算出AN的长度．本题围绕等腰三角形和直角三角形的性质展开．已知△ABC是等腰三角形(AB=AC),AN、BM为高，需借助直角三角形斜边中线性质，建立MN与BC的联系，再结合勾股定理求解AN．:N是BC的中点．:BC=2MN=2，故答案为：3．分为两种情况，一种是点E在线段DC上，另一种是点E在DC，，:B，D¢,E三点共线.:BE=AB=17.综上，DE的值为9或25.故答案为：9或25.【详解】解：如图，过点C作CD丄AB于点D，在Rt△BCD中，即A、B之间的距离为(50+50)米．【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理.:AD=BD，:在Rt△BDF中在Rt△BMN中，BM=300m，MN=240m:AN=AB-BN=320m．在Rt△AMN中，∵AM2=160000，BM2=90000，AB2=250000，:AB2=AM2+BM2，:BM是垂线段，:BM是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确．(2)新路CD比原路千米．（1）点到直线的距离，垂线段最短，根据勾股定理，判断CD是否垂:新路CD比原路CA少千米．981）1.4m2）a+β=90°3）①见解析；②76.5°（2）连接BC．证明△BCD≌△CBA，等量代换，计算解答即可；解：在Rt△AOB中在Rt△COD中（2）连接BC．:△BCD≌△CBA，:四边形ABFD是平行四边形，∵ÐB=90°,:四边形ABFD是矩形；②如图，过点D作DM丄AC于点M，DN丄EF于点N，连接DE，DC．:S△ACD=S△EDF，:DM=DN．991）120°2）133）5ÐCDE=ÐCED=60°,再利用点A，D，E在同一直线上，可得ÐAD（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，可得△BEC≌△APC，证明△PCE是等边三角形，证明ÐBED=90°,再证明D、P、E在同一条直线上，求出DE，利用勾【详解】解1）①:△ACB和△DCE均为等边三角形，:ÐACD=ÐBCE．:△ACD≌△BCE(SAS)．:ÐADC=ÐBEC．:点A，D，E在同一直线上，:ÐADC=120°.:ÐACD=ÐBCE．ïï: