专题4.10相似三角形几何模型探究（一线三等角）2025-2026学年（北师大版）九年级数学上册（含答案）

模型．前三个图形相等的角在同侧，后三个图形相等的角在°,则ΔABC∽ΔCDE:ΔABC∽ΔCDE.1．如图，在四边形ABCD中，点E为边AB的中点，连接CE，DE．已知(1)求BC的长；连接AE，过点E作AE的垂线，交BC边于点F，则若DE=x，△BEF的面积为y，则y与x的函数关系式为．3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，点B(m,0)是x轴点C顺时针旋转90°得到线段CP，点A的对应点是点P，连接OP．(2)如图2，若OP与x轴正半轴夹角是45°,求m的值．:ΔABC∽ΔCDE4．如图，在△ABC中，AB=AC，点D,E分别在边BC,AC上，∠ADE=∠ABC．【拓展延伸】（1）如图2，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E（2）如图3，在四边形ABCD中，DEⅡBC，交AB于点E，CFⅡAD，交AB于点F，:ΔABC∽ΔCDE8．如图，菱形ABCD的边长为4，上ABC=60°,点E、F分别是边AD、CD上的动点，上BEF=120°,则线段DF长度的最大值为．°,则ΔPBD∽ΔCAP°,°,:ΔPBD∽ΔCAP垂线，垂足分别为点D,E，延长BD交AC于点F，若CE=3，DE=1，求△BΔPBD∽ΔCAP5图:ΔPBD∽ΔCAP①如图2，求AD的长．@如图3，M，N为直线BC上两点（M在B点左侧，N在C点右侧在Rt△AMN中，E，连接BE．则．【灵活运用】【拓展延伸】14．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分AD=3AB，则点C的坐标是()交CD于点F，连接AF并延长AF交BC的延长线于点G，若CG=3，则正方形的边AD长为()16．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边AD上，且AE=2作EF丄BE，交CD于点F，则DF的长为()的面积为()18．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且若19．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，点F是CD上一点，连接BE，BF，为顶点的三角形与以P,A,B为顶点的三角形相似时，求BP的长．22．如图，矩形ABCD中，点E是BC边上的点，且AB=2，BC=5，EC=1．上，点E在AC上，点F在BC上，且上EFD=45°.24．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若上AEF=90°,则一定有A．△ADE∽△AEF与A、B重合过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则把y表示为x的函数解析式为：作MN丄AM交AB于点N，当点M从点C运动到点B的过程中，点N经过的路径长是．），拓展3）在（2）的条件下如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．似三角形所需角的相等条件，利用全等或相【证明体验】【思考探究】【拓展延伸】上，点E在AC上，点F在BC上，且上EFD=45°,若求CD的长．设计者想在该花园内设计一个四边形AEFD区域来种植花卉，其他区域种植草皮．要求E、F分别位于BC、CD边上，AE丄AD，且AD=2AE，CF=20米．为了美观，要求DE平分7AEC，求种植花卉区域四边形AEFD的面积．在△ABC中，上A=90°,将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DETAB交AB 的延长线于点E．(3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，求的值；【感知问题】【探究问题】【知识应用】（2）当△CPE是等腰三角形时，求AP的长．①如图2，求AD的长．@如图3，M，N为直线BC上两点（M在B点左侧，N在C点右侧在Rt△AMN中，:上ADE=上BEC，:△AED∽△BCE，:AE=BE=6，:BC=12；:△AED∽△ECD．作EG丄AD于G，延长GE交BC于H，可证明四边形ABHG是矩形，得到，HGDGAD3DGAD3EGAB4【详解】解：如图所示，过点E作EG丄AD∵四边形ABCD是矩形，ADⅡBC，:四边形ABHG是矩形，:△DEG∽△DBA，:∠GAE=∠HEF，:△AGE∽△EHF，:BF=BH-HF=3-3a-a=3-a，:S△BEF=BF.EH=(2)m的值为2或-6．【分析】本题考查坐标与图形的变化-旋转，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的过点C作MN∥x轴交OA于点M，交PE于点N．:四边形ODCM和四边形CDEN均是矩形．:OM=CD=NE，CM=OD，CN=DE．又AB=BC，:△AOB≌△BDC．:DE=CN=4-m．:OE=PE．:8=2m+4．:m=2．过点P作PQ丄MC交MC的延长线于点Q，设PQ交y轴于点H．:BM=AO=4，CM=BO=-m，AN=CQ，CN=PQ．:OM=OB-BM=-m-4．:AN=CQ=OM=-m-4，CN=PQ=4-m．:PH=PQ-QH=4-m-(-m-4)=8，:OH=PH．:-2m-4=8．:m=-6．综上，m的值为2或-6．:△ABD∽△DCE．:CE=AC-AE=1，:DC的长为2或4．证明△DAE∽△CFB∽△ECB，即可得出代入数据求出BC=2，根据 AEBC262:△ABE∞△DEF，:=，解得：DF=3；:△ACD∽△DBE，CDAC:=，BEBD2BC-3∵ADⅡCF，:△DAE∽△CFB∽△ECB，:此时AP=2；APABDPDC综上所述，AP的长为2或．则AE=t-4，AE2=t2-8t+16，转化成二次函数的最值即可求解．【详解】解：如图，在AD上截取DG=DF，连接GF，:△DGF是等边三角形，:上EGF=120°,:上DEF=上ABE，Q菱形ABCD的边长为4，:线段DF长度的最大值为12-82，故答案为：12-8．:BD=AE,DA=EC，:△DBA∽△EAC:BF=DF,BD=2DF,CE=2EG:△DBA∽△EAC:DA=EC=EC=EG=3-DF=3-BD，,再证明△ABD∽△FBA，利用相似三角形的性质进一步求解即可.:△ABD≌△CAE，:△ABD∽△FBA，（2）①由等腰直角三角形的性质可求BE，CF的长，通过证明△ABE∽△CAF，可得:△ABE∽△CAF；:DE=BD=2，DC=DF=3，:BE=2，CF=3，:△ABE∽△CAF，:AD=6，AD=-1（舍去即AD的长为6；QBM=x，CN=y，:BC=5-x-y，如图，作△ABC关于AB对称的△ABE，在AM上截取AF=AN=3，连接EF，并延长交MN于H，:MF=1:上BAM+上CAN=45°,:上CAN=上EAM，又QAF=AN，:△ACN≌△AEF(SAS)，:上M+上MFH=90°,:上MHF=90°,:上MHF=上BAC，:△MFH∽△MNA，QEH2+BH2=BE2，作BF丄AE延长线于点F，则上F=90°,可证△AEC≌△BF求出x，由此即可求解．:设AB=AC=2x，:△AEC∽△DAC，:△AEC≌△BFA(AAS)，△ABC∽△EDA；（2）过点B作BF⊥CD的延长线于点F，易证△ACE∽△CBF，△AED∽△BFD，从而得到ACAECE1ADAE CBCFBF2BDBF（3）在BD上取点E，使上DEC=120°,过点C作CF丄DB的延长线于点F，易证BF=EF-BE=x-2，CE=2BD=2x，然后利用勾股定理在Rt△EFC中表示出CF，即可在Rt△BFC中求得EF，最后在Rt△DFC中即可求得CD．:上BCA=上DAE，:上BAC=上DEA，:△ABC∽△EDA．（2）解：过点B作BF⊥CD的延长线于点F，:上ACE=上FBC，:△ACE∽△CBF，:EF=BF，:△AED∽△BFD，（3）解：在BD上取点E，使上DEC=120°,过点C:上ECF=90°-上FEC=90°-60°=30°,:△ABD∽△BCE，:BD=EF，:在Rt△EFC中:在Rt△DFC中【点睛】本题考查了三角形外角的定义，相似三角形的判定与性质，【详解】解：过C作CE丄y轴于E，:△CDE∽△ADO，故选：C．【详解】解：:四边形ABCD是正方形，:△ABE∽△ECF，:△ABG∞△FCG，:AB=AD=CD=6,ÐA=ÐD:△BAE∽△EDF，:AE=4,DE=2，:AE=BE=2，:△AEF∽△BCE，先根据BM=x得出CM=4-x，再由CN=CD得出CN=1，再分△ABM∽△MCN与:CM=4-x.当△ABM∽△MCN时，ABBMCNCM解得x=，:△ABE一△DEF，设DP＝x,则BP＝BD-x＝28-x,根据垂直的定义得到上B＝上D＝90°,再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABP∽△CDP，即:BP=28-11.2=16.8；@当时，△ABP∽△PDC，:BP=28-4=24或BP=28-24=4．综上所述，当以P,C,D为顶点的三角形与以P,A,B为顶点的三角形相似时，BP的长为16.8或24或4．【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其:△ABE∽△ECD；【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和矩形的性质．:△ABE∽△ECD；:AE丄DE．:上BAD=上EDF，:△ABD∽△DFE；ABAD:=，DFDEAD1DE2:=DE2AB1DF2:=DF2:DF=2，:△EFC∽△DEC，:DC:EC=EC:CF，即EC2=FC.(2+FC)，:3=FC(2+FC)，【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，先根【详解】解：:四边形ABCD是矩形，△AEF与△ABF、△ABF与△ECF、△ADE与△AEF都是只有一对相等的直角，所以都不【分析】先求解BC=1,AC=，如图，作EQ丄AB于Q，作CG丄AB于G，可得相似三角形的性质建立函数关系式即可.:BC=1,AC=，如图，作EQ丄AB于Q，作CG丄A:BG=BC=，:AE=-y,:△DEQ∽△CDG，【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的定与性质，函数解析式，作出合适的辅助线是解本题的关键.9【分析】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的判别式等知识，过点N作NJ丄BC于J，设BN=y，CM=x，构建一元二次方程，利用判别式求出y的最大值，【详解】解：过点N作NJ丄BC于J，如图所示：设BN=y，CM=x，:△BNJ∽△BAC，y，NJ=y，:MJ=BC-CM-BJ=6-x-y，:△ACM∽△MJN，:9y2-820y+900≥0，:(9y-10)(y-90)≥0，:BN的最大值为，当点M从点C运动到点B的过程中，开始时，点N从点B开始向左运动，BN达到最大值时，然后点N应该是再往右运动，然后回到点B，:点N经过的路径长是2倍的BN的最大值，:点N经过的路径长是，27．感知1应用2）①见解析；②3.6；拓展3）2或【详解】感知1）:△ABC一△DAE，BCAE:=，ACDE应用2）①:∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，:AB=AC，:∠B=∠C，:△ABP一△PCD；:BP=PC=6，·:△ABP一△PCD，拓展3）当PA=PD时，△ABP≥△PCD，:PC=AB=10，:BP=BC-PC=12-10=2；:AP≠AD；:△BCA一△ACP，理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理C再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求在△BEP和△CPF中，:△BEP≥△CPF，:EP＝PF，:△EPF是等边三角形．:GC＝2CF＝8，:GB＝GC-BC＝2，:EH＝BE•PE÷BP=,:∠EPF＝60°,:∠BEP=∠FPC，又:∠B=∠C，:△BPE一△CFP，,,:PH＝0，:PE＝4．291）见详解（2）成立，理由见详解（3）5:△BPC∽△ADP:AD.BC=AP.BP；:△BPC∽△ADP:AD.BC=AP.BP；（3）:Rt△ADE是等腰三角形DE2:AB=2:DF=4:△DEC∽△EFC301）见解析2）43）4500平方米:△ABE∽△ECF；:AB=BC，（3）过D作DG丄BA于G，连接DE，:四边形BCDG是矩形，:DG=BC，BG=CD，∵DE平分ÐAEC，:△ADE≌△CDE，又BC=80，:BE=80-a，:△GAD∽△BEA，:AG=160-2a+40=2a，:四边形AEFD的面积为即种植花卉区域四边形AEFD的面积4500平方米．（3）过点N作NM丄AF于点M，证明△ABC∽△MNB得出证明:将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE丄AB交AB的延长线于点E．:AB=DE；:DE=AB，BE=AC，:DE=2，BE=6:DEⅡAC，2EF:=，:EF=4，（3）解：如图所示，过点