高考数学一轮复习 第二章　§2.13　实际问题中的函数模型 讲义

§2.13实际问题中的函数模型课标要求1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．知识梳理1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xα(α>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与______平行随x的增大逐渐表现为与________平行随α值的变化而各有不同2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数，k≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔．()(3)已知a>1，在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y＝logax的增长速度．()(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．()2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100 D．y＝100x3．(2024·南宁联考)有一组实验数据如表：x23456y1.402.565.311121.30则体现这组数据的最佳函数模型是()A．y＝ B．y＝log2xC．y＝eq\f(1,3)·2x D．y＝eq\f(1,2)x24．(2023·福州模拟)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为()A．26米 B．28米C．31米 D．33米题型一用函数图象刻画变化过程例1(1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是()A．首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用B．每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒C．首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用D．首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒(2)在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到散点图．由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bxC．y＝a＋logbx D．y＝a＋eq\f(b,x)跟踪训练1如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是()题型二已知函数模型的实际问题例2(1)(2023·南京模拟)目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8＋1.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的()A．6倍 B．102倍C．103倍 D．106倍(2)(2023·无锡模拟)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式μ(t)＝＋0.05(λ∈R)，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)()A．32天B．33天C．34天D．35天跟踪训练2(2023·西安模拟)某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为M＝M0e－kt(其中M0，k是正常数)．已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤掉60%的污染物所需的时间约为(参考数据：lg2≈0.301)()A．3hB．4hC．5hD．6h题型三构造函数模型的实际问题例3(2024·文山模拟)汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9)．阶段准备人的反应系统反应制动时间t0t1＝0.8st2＝0.2st3距离d0＝30md1d2d3＝eq\f(v2,20k)m(1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解．(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．跟踪训练3“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片