2026年中考数学高频考点突破：二次函数与四边形实际问题（学生版+详解版）

2026年中考数学高频考点突破一二次函数与四边形实际问题

1.如图，抛物线y=-x?+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点O为坐标原点，点E

在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2,EF=3,点D为直线AE上方抛物

（1）求抛物线所对应的函数解析式；

（2）求aADE面积的最大值和此时点D的坐标；

（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90。，点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上？请说明

理由.

2.小莉的爸爸一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）,其余三面用长为40m的塑料网围成矩形鸡

圈（其俯视图如图所示矩形ABCD）,设鸡圈的一边AB长为xm,面积ynR

D

------------------------IC

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）如果要围成鸡圈的面积为192m2的花圃，AB的长是多少？

3.现有成135。角且足够长的墙角和可建总长为15m围墙的建筑用料来修建储料场.

（1）如图1,修建成四边形ABCD的一个储料场，使BC//AD,4c=90。.新建围墙为BCD.

怎样修建围墙才能使储料场的面积最大？最大面积是多少？

（2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的围墙建成如图2所示的以A为圆心的圆弧BD,这样修建的

储料场面积会更大.聪明的你认为小聪的建议合埋吗？请说明埋由.

4.数学综合实践课上，老师提出问题；如图，有一张长为4dm,宽为3dm的长方形纸板，在纸

板四个角剪去四个相同的小正方形，然后把四边折起来(实线为剪裁线，虚线为折叠线)，做成一个

无盖的长方体盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大？为了解决这个问题，小明同学

根据学习函数的经验，进行了如下的探究：

(I)设小正方形的边长为xdm,长方体体积为ydm3,根据长方体的体积公式，可以得到y

与X的函数关系式是,其中自变量x的取值范围是

(2)列出y与x的几组对应值如下表:

s

11313795

x/dm・・・11・・・

848284884

3

y/dm・..1.32.22.73.02.82.51.509••.

—

(注：补全表格，保留1位小数点)

(3)如图，请在平面直角坐标系中描出以补全后表格中各对对应值为坐标的点，画出该函数图

象；

(4)结合函数图象回答：当小正方形的边长约为dm时，无盖长方体盒子的体积最

大，最大值约为.

5.如图，抛物线y=-劣x?+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B两点，与y轴交于点C(0,2),抛物

线的对称轴交x轴于点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求sinNABC的值；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接

写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点E当点E运动到什

么位置时线段EF最长？求出此时E点的坐标.

6.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的

长方形花圃.设花圃AB边为x米，面积为y平方米.

k-----10m-----J

AD

-----------------

（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）如果要围成面积为457n2的花圃，求AB的长度.

（3）如果要使围成的花网面积最大，求最大面积是多少m2.

7.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆

围成,个矩形花园ABCD（篱笆只围AB,BC两边），设AB=xm.

：B

\〃

/•

/

/

/

/

✓

J//，/////////，///J77，//

DA

（1）若花园的面积为192m-求x的值；

（2）若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内（含边

界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.

11.为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花屣活动.某公园想用一段长为80米的篱

笆，围成一个一边靠闱墙的矩形花圃48CQ,墙长36米.

（I）当A8长为多少米时所用成的花网面积最大？最大值是多少？

（2）当花圃的面积为350平方米时，A8长为多少米？

12.数学课外活动小组进行如下操作实验，把--根长20m的铁丝剪成两段.

（1）把每段首尾相连各围成一个正方形.要使这两个正方形的面积之和等于137n2,应该怎么剪

这根铁丝？

（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？

13.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用307n长的篱笆

围成•个矩形花园ABC。（篱笆只围48、8c两边），设46=x米.

（1）求花园的面积S与x的函数关系式；

（2）在P处有一棵树与墙CD、力。的距离分别是16m和6次，要将这棵树围在花园内；（含边界，

不考虑树的粗细）

①若花园的面积为216m2,求x的值；

②求花园面积S的最大值.

14.如图1是一块长为60cm的正方体薄铁片制作的一个长方体盒子，如果要做一个没有盖的长方体

盒子，可先在薄铁片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图2）,然后把四边折合起来.

（1）求做成的盒子底面积y（cm2）与截去小正方形边长x（cm2）之间的函数关系式;

（2）当做成的盒子的底面积为900cm2时，试求该盒子的容积.

is.某农场造一个矩形饲养场ABCD,如图所示，为节省材料，一边靠墙（墙足够长）,用总长为77m

的木栏围成一块面积相等的矩形区域：矩形AEGH,矩形HGFD,矩形EBCF,并在①②③处各留

1m装门（不用木栏），设BE长为x（m）,矩形ABCD的面积为y（m?）

（I）.「S掉形AEGH=S矩形HGFD=S掉彩EBCF,S肉形AEFD=2S妒彩EBCF，AE：EB=

（2）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.

（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积有最大值？最大值为多少？

答案解析部分

1.【答案】（1）解：

•••四边形OCEF为矩形，OF=2,EF=3,

，点C的坐标为（0,3）,点E的坐标为（2,3）,

把x=0,y=3；x=2,y=3,分别代入二次函数表达式得：

L「，解得：伫=：，

・••抛物线对应函数的表达式为：y=-x2+2x+3

•・•点D在直线AE上方的抛物线上，・・・D(x,-x2+2x+3),

令y=0,得：-x2+2x+3=0,

解得：x=-1或3,

・・・A(-1,0)、B(3,0),

AOA=1,OB=3,

/.SAADE=(SAADF+SADEF)-SAAEF

=1(1+2)(-x2+2x+3)+|x3x(2-x)-1x3x3,

在y=・X?+2x+3中，当x=4时，y=¥

•MADE面积的最大值是言，此时点D的坐标为(卜竽)

(3)解：△AOC绕点C逆时针旋转90。，OC落在CE所在的直线上，

由(2)知OA=1,

，点A的对应点G的坐标为(3,2),

当x=3时，y=-32+2x3+3=04,

・••点G不在该抛物线上.

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化■旋转；二次函数图象上点的坐标特征；二次

函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】(1)利用矩形的性质及矩形的边长，就可求出点C、E的坐标，再将点C、E的坐

标分别代入抛物线的解析式，求出b、c的值，就可解答此题。

(2)连接DF、DE、DA,点D在直线AE上方的抛物线上，因此设D(x,-x2+2x+3),由y=0,

解关于X的方程，求出X的值，就可得到点A、B的坐标，因此SAADE=(SAADF+SADEF)-SAAEF,

利用三角形的面积公式，就可求出S.ADE关于X的函数解析式，再将此函数解析式转化为顶点式，

利用二次函数的性质，就可求出^ADE的最大面积及点D的坐标。

(3)△AOC绕点C逆时针旋转90。，OC落在CE所在的宜线上，由A的坐标，就可取出对应点G

的坐标，再求出当x=3时的函数值，将函数值与点G的纵坐标比较大小，就可作出判断。

2.【答案】(1)解：由题意得：矩形ABCD的面积=x(40-2x),即矩形ABCD的面积y=-2x2+40x

(2)解：当矩形ABCD的面积为192时,-2x2+40x=192.

解此方程得xi=8,X2=12>11(不合题意,舍去).

・••当AB的长为8m时，花圃的面积为192m2.

【知识点】•元二次方程的实际应用-几何问题：二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】(1)用含x的代数式表示出BC的长，再利用矩形的面积公式，可得出y与x的函

数关系式。

(2)由y=192,建立关于x的方程，解方程求出x的值，再根据BCS11,确定出AB的长。

3.【答案】(1)解：过点A作AH1BC于点H.

*：LBAD=135°,BC//AD,Z.C=90°,

：.LABC=45°,CD1AD.

设CO=K,则AH=BH=CD=x,

：.AD=HC=15-2x,

设储料场的面积为S,则S=x(15-2x)4-i%2,

AS=-|(X-5)2+^.

・••当％=5时，储料场的面积最大，最大面积为37.5m2.比时40=15-2x5=5.

故当AD=DC=5米，BC=10米时，所建储料场的面积最大，最大面积为37.5m2.

(2)解：小聪建议合理.理由如卜：

由题意得-鹫*=15,

loU

・

••A5D=—20

n

y120150

・S=刁X15x——=——

27T7T

•••蜉右47.7>37.5,

・••小聪的建议是合理的.

【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；二次函数的实际应川-几何问题

【解析】【分析】（1）过点A作AH_LBC于点H,设CD=x，由NBAD=135。,BC/7AD,ZC=90°,可

得NABC=45°,

CD1AD.则AH=BH=CD=x,可得AD=HC=15-2x，设储料场的面积为S,可得S关于x的函数关系

式，配方，当x=5时，储料场的面积最大，求出这个最大面积即可；

⑵由扇形弧长公式求出AD的长，求出这个扇形面积，再和37.5nB比较即可.

4.【答案】（1）y=443—14X2+124；0<x<

(2)3.0；2.0

（3）解：补全表格如下表,

1353795

x/dm・・・1・・・

8884884

3

y/dm•••1.32.22.73.03.()2.82.52.01.50.9•••

根据补全的表格画出函数图象，如下图

（4）0.55；3.03

【知识点】二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【解答】解:（1）由己知得，y=x（4-2x）（3-2x）=4x3-14x2+12x

根据题意得4-2x>0解得：0<x<5

故答案为：y=4%3-14x2+12%,0<x<?

（2）当x=：时，户/x（4-2x1）（3-2x；）=3.0

当x=l时，y=lx（4-2xl）（3-2xl）=2.0

（4）根据图象，当x=0.55dm时，盒子的体积最大，最大值约为3.03dm3

【分析】（1）根据题意，列出y与X的函数关系式，根据盒子长、宽、高值为正数，求出自变量的

取值范围；

（2）把x=/,x=1分别代入（1）中所求的函数式，从而求出y的值；

（3）根据（2）求得的y的值补全表格，根据上表描点画出图象；

（4）利用（3）画出的图象求出盒子最大体积.

5.【答案】（1）解：•・•抛物线y=-1x2+bx+c过点A（-1,0）,C（0,2）,

3

b

(-之一b+c=0--

2•

2

Ic=2C-

13

-X-

・••解析式为y=-22+2

（2）解：当y=0时，・*x2+9x+2=0解得x=-1（舍），x=4,

点B的坐标为（4,0）,C（0,2）,

BC=yJoB2+OC2=2V5.

AsinZABC=sinZOBC=箓=第

（3）解:存在.

•・,对称轴是x=1,

，点D的坐标为（,，0），

'CD=y/0D2+0C2=f-

PD=CD=烹，得P（，,”或（9-1）,

PC=CD=1,即P点与D点关于底边的高对称，得

D点的纵坐标为4,即P（烹，4）,

综上所述：点P的坐标为（孔”或（力-1）,（1,4）

（4）解：设直线BC的解析式为y=mx+n

•・・B、C两点坐标分别为（4,0）、（0,2）,

4m^=°解得m=-i

,n=22.

・•・直线BC的解析式为y=-1x+2.

设E点坐标为（x,-ix+2）,则F点坐标为（x,--1x2+|x+2）,

2

EF=-1x+5x+2-(-/x+2)

=-1x2+2x

=-1(x-2)2+2,

当x=2时,EF最长,

.••当点E坐标为(2,1)时，线段EF最长

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据勾股定理，可得BC的长，根据

正弦函数的定义，可得答案；(3)根据等腰三角形的定义，可得P点坐标；(4)根据平行于y轴的

直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得

答案.

6.【答案】(1)解：由题可知，花圃的边4B为乃米，贝ljBC为(24-3%)米

这对面积y=x(24-3x)=-3x2+24%.

V(x>0

人l0<24-3x<10

解得：<x<8.

(2)解：把y=45代入函数解析式得：

-3x2+24%=45,即x2-8x+15=0

解得Xi=5,%2=3

•••等4%<8;x=3不合题意，舍去

即花圃的宽为5米.

(3)解：y=-3x2+24x=-3(x2-8x)

=-3(x2-8%+16-16)=-3(x-4)2+48%-a=-3,图象的开口向下，且竽WxV8,

・•・当x=竽时，y有最大值48-3(竽-4)2=461

此时24-3X竽=10,

所以当花圃的长为10米，宽为米，这时有最大面积461平方米.

【知识点】二次函数的实际应用•几何问题

【解析】【分析】(1)由题可知，花圃的边48为％米，则BC为(24-3%)米，利用矩形的面积

即可得到y=x(24-3x)=-3x2+24x；

(2)将y=45代入函数解析式求解即可；

(3)利用配方法将函数化简为y=-3x2+24%=-3(x2-8x)=-3(x2-8x4-16—16)=

-3(X-4)2+48,再利用二次函数的性质求解即可。

7.【答案】(1)VAB=xm,则BC=(28-x)m,7x(28-x)=192,

解得：xi=12,X2=16,答:x的值为12m或16m

(2)VAB=xm,.\BC=28-x,AS=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196,

•・•在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是16m和6m,

V28-x>15,x>6/.6<x<13，

・•・当x=13时.，S取到最大值为：S=-(1374)2+196=195,

答：花园面积S的最大值为195平方米.

【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】(1)AB=xm,贝IJBC=(28-x)m,根据矩形的面积等于长乘以宽列出方程，求

解即可；

(2)根据矩形的面积等于长乘以宽可得S与x的函数关系式，根据28-XN15、x次可得x的范围，

然后根据二次函数的性质进行解答.

8.【答案】⑴解：y=2x^(8-x)(6-x)=x2-14x+48

(2)解：由题意,得x-14x+48=6x8-13,

解得：x=l,x：=13(舍去).

所以x二l

(3)解：y=x2-14x+48=(x-7)2-l

因为a=l>O,所以函数图象开口同上，当x<7时，y随x的增大而减小

所以当x=0.5时，y最大.最大值为41.25

答：改造后油菜花地所占面积的最大值为41.25m3

【知识点】二次函数y=a(x-h)，2+k的性质；二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】(1)观察图形结合已知，可得出y二两个三角形的面积之和，列出函数解析式即可。

(2)由y=13,建立关于x的一元二次方程，求解可得出符合题意的x的值。

(3)将(1)中的函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质及0.5SXS1,求出改造后剩余油菜

花地所占面积的最大值。

9.【答案】(I)解：下部分矩形的长=弛#=5-7%.

由0<5-7%,得0c

二y=(5—7%4-2%)-2%=-10x2+10x(0<%<^)(2)解：y=-10%2+10x

1q

=TOO-2)2+2•

%=*在0vx<,范围内.

・••当时y取到最大值，

最大值为|zzi2.

答：x=\m时，透光面积最大，最大透光面积是fm2

【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】(1)根据边框材料的总长度为10先用x表示出下部分矩形的长，然后根据矩形面积

列式即可求出y关于x的函数表达式，注意x的取值范围；

(2)把二次函数式配方，结合x的范围，根据二次函数的性质求最值.

10.【答案】⑴解：设AD为X,则AB为464尹=24一聂,

依题意得(24-1x)xx=280,

解得x=20,x=28>a,故舍去,

AAD的长为20m；

(2)解：设矩形菜园ABCD面积S=ADxAB=-1x2+24x=1(x-24)2+288

当它24时，则当x=24时,S最大值为288平方米;

当0VaV24时，则当0Vxq归，S随x的增大而增大，

所以，当x=a时，S最大值为-£Q2+24Q.

【知识点】二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】(1)设AD为K,则AB为竺"二=24-/%，根据面积公式列出一元二次方程即

可求解；(2)设S=ADxAB,根据二次函数及自变量的取值范围即可求解.

11•【答案】(1)解：设长BC为x米，则宽AB为1(80-%)米，花圃的面积是y平方米，

111

y=2(80-%)•%=-+40x=-](x—40)2+800,

当工=40时，y有最大值，

,・,墙长36米,

2

Ax<36,则取x=36,ymax=-i(36-40)+800=792,

止匕时AB=1(80-36)=22m,

答：当AB长为22米时所围成H勺花圃面积最大，最大值是792平方米

(2)解：令y=350,则一J(x-40)2+800=350,

解得=10,%2=70(舍去)，

=1(80-10)=35m，

答：花圃面积为350平方米时，AB长为35米

【知识点】二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】(1)利用矩形的面积公式求出函数解析式，再将x=36代入计算求解即可;

(2)根据题意先求出一；(%—40)2+800=350,再解方程计算求解即可。

12•【答案】(1)解：设剪成的两段铁丝一段长为另一段为(20-x)m,由题意，得

(J+(牛与2=13解得：%1=8,%2=12，

当N=8时，20-工=12

当工=12时，20-%=8

答：应该把铁丝剪成8m和12E的两段.

(2)解：设剪成的两段铁丝一段长为xm,另一段为(20—x)m,

则两圆的半径分别为：厂1=/，&=绐

两圆的面积分别是：

_加声)2—已_(20-X)2

S1或2和47rs2--而一

2

两圆的面积之和：S[+s,=比7+(2°一”)

化简整理,得：Si+S2=1[/+(20—%)2]

=^(x2-20%+200)=/[。-10)2+100]当x=10时，两圆面积之和达到最小值，最小值是票

(单位：771)

【知识点】勾股定理：二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】(1)设剪成的两段铁丝一段长为xm,另一段为(20-乃加，根据题意列出方程

(分2+(线3)2=13求出X的值即可；

(2)设剪成的两段铁丝一段长为xm,另一段为(20-x)m,则两圆的半径分别为：n=^,r2=

警，再利用圆的面积公式求出S]=71(给2=翥$2=&片/，再相加可得SI+S2=2【7+

(20-%)2]=^-[(%-10)2+100]»最后利用二次函数的性质求解即可。

13.【答案】(1)解：设48=%米，则8c=(30—%)米，

•'S=ABBC=%(30-%)=-x2+30x(0<x<30)；

(2)解：①•・•要将这棵树围在花园内，且含边界，不考虑树的粗细，

•*.AB>6m,BC>16m,

.Jx>6

,*l30-x>16'

解得；6<x<14.

;花园的面积为216m2,

/.-x2+30%=216,

解得：x1=12,x2=18（舍），

・・・x的值为⑵

②・.・S=-x2+30x=-（x-15/+225,

XV-1<0,6<x<14,

・••当x=14时，S最大，最大值为一（14一157+225=224平方米，

，花园面积S的最大值为224平方米.

【知识点】二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】（1）设人8=乂米，则BC=（30-x）米，根据矩形