2026年中考数学核心考点复习：图形的相似（含解析）

中考数学一轮复习图形的相似

一.解答题（共20小题）

1.【感知特例】

（1）如图1,点A,B在直线/上，ACYLDBU,垂足分别为A,B,点P在线段48上，且尸C

A.PD,垂足为P.

结论：AOBD=AP*BP

（请将下列证明过程补充完整）

证明：VAC±/,BDJJ,PCLPD

：-ZCAP=ZDBP=ZCPD=90°,

・・・NC+NAPC=90°,

.+ZAPC=90°,

・••=，（同角的余角相等）

・•・△APCs,（两角分别相等的两个三角形相似）

:.=，（相似三角形的对应边成比例）

即AC・BD=AP・BP.

【建构模型】

（2）如图2,点A,B在直线/上，点尸在线段A8上，且NCAP=NDBP=NCPD.结论AC・8O

=4P・8户仍成立吗？请说明理由.

【解决问题】

（3）如图3,在△4BC中，AC=BC=5,A5=8,点。和点。分别是线段43,4c上的动点，始

终满足NCPO=N4.设AP长为K（0<x<8）,当x=时，BD有最大值

图1图2图3

2.在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动.

【操作判断】

操作一：如图①，对折正方形纸片A8CQ,得到折痕AC,把纸片展平；

操作二：如图②，在边A。上选一点£,沿折叠，使点月落在正方形内部，得到折痕8E；

操作三：如图③，在边上选一点F,沿〃尸折会，使边3C与边8A重合，得到折痕3尸.

把正方形纸片展平，得图④，折痕8E、8尸与4c的交点分别为G、H.

根据以上操作，得N£BF=

图①图②图③图④

【探究证明】

（1）如图⑤，连接GF,试判断尸G的形状并证明;

（2）如图⑥，连接EA过点G作C。的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M.求证：EM

=MF.

【深入研究】

若空=i请求出黑的值（用含女的代数式表示）.

ACkHC

Q

F

B

图⑤图⑥

3.问题背景如图（1）,在矩形4BCD中，点E,尸分别是AB,BC的中点，连接80,EF,求证:

△BCDs△尸BE.问题探究如图（2）,在四边形A8CO中，AD//BC,N8CO=90°,点E是AB

的中点，点尸在边BC上，AD=2CF,EF与BD交于点G,求证：BG=FG.

EG

问题拓展如图（3）,在“问题探究”的条件下，连接AG,AO=CO,AG=FG,直接写出布的值.

4.数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个

纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片A8C和AOE中，A3=AO=3,

BC=DE=4,ZABC=ZADE=90°.

【初步感知】

Dn

（1）如图1，连接80,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究二7的值.

CE

【深入探究】

（2）如图2,在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点。恰好落在△A3C的中线BM的延长线上时，

延长EO交AC于点凡求CF的长.

【拓展延伸】

（3）在纸片AOE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直接写

出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由.

5.综合与探究：如图，N4O6=90，,点夕在NA04的平分线上，以_LOA于点A.

（I）【操作判断】

如图①，过点尸作~。_1_。^于点C,根据题意在图①中画出PC,图中N4PC的度数为度;

（2）【问题探究】

如图②，点M在线段4。上，连接尸M,过点尸作PNJ_PM交射线。8于点N,求证：0M+0N=

2PA；

（3）【拓展延伸】

点M在射线AO上，连接PM,过点P作PN1PM交射线OB于点N,射线NM与射线PO相交于

0P

点F,若ON=3OM,求H的值.

图①图②备用图

6.综合与实践

如图，在Rt^ABC中，点D是斜边A8上的动点（点。与点A不重合），连接CQ,以CO为直

CECB

角边在。的右侧构造RtACDENQ39。。，连接%-=-

特例感知

（1）如图1,当加=1时与A。之间的位置关系是，数量关系是

类比迁移

（2）如图2,当〃时，猜想8七与AO之间的位置关系和数最关系，并证明猜想.

拓展应用

（3）在（1）的条件下，点尸与点C关于。E对称，连接。凡EF,BF,如图3.已知AC=6,

设A£>=x,四边形COFE的面积为），.

①求y与％的函数表达式，并求出），的最小值;

②当8广=2时，请直接写出的长度.

图2

7.（1）【观察发现】如图1,在AABC中,点D在边BC上.

请证明;

（2）【灵活运用】如图2,在△ABC中,N84C=60°,点。为边BC的中点，C4=CD=2,点

E在A8上，连接AD,DE.若NAED=/CAD,求8E的长;

（3）【拓展延伸】如图3,在菱形A6c。中，AB=5,点、E,尸分别在边40,C。上，乙48c=2

8.综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动.

【特例探究】

（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与谀腰之积.

AA

A/.

BDCBD

图①图②图③图④

等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表

图序角平分线AD的长/84。的度数腰长两腰之和两腰之积

图①160°244

图②145°企2722

图③130。

请补全表格中数据，并完成以下猜想.

已知△AbC的角平分线AO=1,AB=AC,zLBM)=a,用含a的等式写出两腰之和A6+AC与两

腰之积4B・AC之间的数量关系：______________

【变式思考】

(2)已知△ABC的角平分线AO=1,ZBAC=60°，用等式写出两边之和A8+AC与两边之积A8

•AC之间的数量关系，并证明.

【拓展运用】

(3)如图④，△八以；中，A8=AC=],点。在边AC上，HD=8C=AD.以点C.为圆心，C。长

为半径作弧与线段BD相交于点E,过点E作任意直线与边AB,8C分别交于M,N两点.请补全

图形，并分析言+高的值是否变化？

9.主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图

【阅读理解】

任务：如图1,点。、E分别在△A8C的边AB、AC上，DE//BC,仅用一把无刻度的直尺作DE、

6c的中点.

AA

图1图2

操作：如图2,连接BE、CD交于点P,连接人。交OE于点M,延长AP交3c于点N,则M、N

分别为。山的中点.

DMAMEMAMDM

理由：由DE//BC可得AADMsAABN及AAEMsAACN,所以—=---,---=----,所以t---

BNANCNANEM

BN_„MPEMMP~DMCN

—,同理，由丛DMPs^CNP及AEMPs^BNP,可得一=—,—=—,所以一=—,

CNCNNPBNNPEMBN

BNCN

所以一=—,则BN=CMDM=EM,即M、N分别为DE、的中点.

CNBN

【实践操作】

请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹.

（1）如图3,“〃/2,点、E、尸在直线/2上.

①作线段E尸的中点；

②在①中作图的基础上，在直线/2上位于点尸的右侧作一点尸，使得

-----•---------•--------------I

EF-----------2

图3

（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…、女倍

（A为正整数）的线段.如图4,/1#/2,已知点灯、P2在/I上，他利用上述方法作出了P?P3=P3P4

=PlP2.点E、尸在直线/2上，请在图4中作出线段石厂的三等分点；

Plp2p,巳

—*-----------------L

EF2

图4

【探索发现】

请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹.

（3）如图5,是△A8C的中位线.请在线段£C上作出一点。使得Q£=（要求用两种

方法）.

B

图5

10.某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究.

(-)拓展探究

如图1,在△ABC中，NACB=90°,CDLAB,垂足为江

(1)兴趣小组的同学得出AC2=AO・4B.理由如下：

VZACB=90°・・・N4=NA

JNA+N8=90°:.XABCsXACD

AB

'JCDA.AB,就二②——

・•・NAOC=9()°

:.AC2=AD*AB

ZA+ZACD=90°

Z.N8=①

请完成填空：①;②_______________________:

（2）如图2,尸为线段CO上一点，连接AF并延长至点E,连接CE,当NAC£=NAFC时，请

判断△AE8的形状，并说明理由.

（二）学以致用

（3）如图3,△A8C是直角三角形，NAC8=90°,AC=2,BC=276,平面内一点。，满足人。

=AC,连接C。并延长至点E,月.NCEB=NC8。，当线段8E的长度取得最小值时.求线段CE

的长.

II.综合与实践

如图I,这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，

受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2,在△ABC中，ZA=90°,

将线段8C绕点8顺时针旋转90°得到线段8D,作交A8的延长线于点E.

c

（1）【观察感知】如图2,通过观察，线段与。石的数量关系是

（2）【问题解决】如图3,连接C。并延长交A8的延长线于点F,若A8=2,AC=6,求△3。/

的面积;

BN

（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接CE交BD于点、N,则前二

（4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线AB上找点P,使ian/BCP=£,请直接写出线段

4P的长度.

12.综合与实践

某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1,矩形A8CO中，且A8足够长）进行探

究活动.

【动手操作】

如图2,第一步，沿点4所在直线折叠，使点。落在上的点石处，折痕为4F,连接石凡把

纸片展平.

第二步，把四边形AEFQ折叠，使点A与点E重合，点。与点尸重合，折痕为G”，再把纸片展

平.

第三步，连接GF.

【探究发现】

根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论.

甲同学的结论：四边形AEFZ）是正方形.

乙同学的结论加72乙4FG=3

（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由.

【继续探究】

在上面操作的基础上，丙同学继续操作.

如图3,第四步，沿点G所在直线折叠，使点尸落在48上的点M处，折痕为GP,连接PM,把

纸片展平.

第五步，连接FM交G尸于点N.

根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论:

FN・AM=GN・AD.

（2）请证明这个结论.

D

A图1B

图3

13.数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新

能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）

产生了如下问题，请同学们帮他解决.

C

图2

图3

在△48C中，点D为边48上一点，连接CD

（1）初步探究

如图2,若乙4。。=/8,求证：AC2=AQ・AB；

（2）尝试应用

如图3,在（1）的条件下，若点。为AB中点，BC=4,求CZ）的长;

（3）创新提升

如图4,点E为CD中点，连接8E,若NCD8=NC8O=30°,/ACD=NEBD,AC=2y/7,求

BE的长.

14.数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题.如图L在AA8C中,

AB=AC,点。是AC上的一个动点，过点。作。石_L8C于点E,延长£7）交8A延长线于点E

请你解决下面各组提出的问题:

(1)求证：AD=AF\

DFAD

⑵探究法与而的关系;

DF2,AD4,DF8

某小组探究发现，当黄4寸,—.[[■,—Rvi*,■—

DE~3'OC-5'OE-5

请你继续探究:

An7DF

①当二=:时，直接写出言的值；

DC6DE

②当空=巴时，猜想啜的值（用含/〃，〃的式子表示），并证明；

DCnDE

（3）拓展应用：在图1中，过点尸作/7\LAC,垂足为点P,连接CR得到图2,当点。运动到

AD771AP

使NAC/uNACB时，若=一,直接写出大的值（用含加，〃的式子表示）.

DCnAD

（1）如图1,在△ABC中，DE是△ABC的中位线.连接C。，将△4OC绕点。按逆时针方向旋

转，得到△4'DC.当点E的对应点E'与点A重合时，求证：AB=BC.

【数学理解】

（2）如图2,在△A3C中〔ABVBC）,是△A8C的中位线.连接CO,将△AOC绕点。按逆

时针方向旋转，得到AA'DC1,连接A'B,C'C,作aA'4。的中线QP.求证：2DF*CD=

BD・CC'.

【拓展探索】

（3）如图3,在△A6C中，tanA-［，点在A6上，AD-过点。作£>E_L6C,垂足为石,

BE=3,CE=学.在四边形内是否存在点G,使得NAGQ+NCGE=180"?若存在，请给

出证明；若不存在，请说明理由.

16.问题提出如图（1）,E是菱形48CO边8。上一点，A4律是等腰三角形，AE=EF,ZAEF

=ZABC=a（a290°）,AF交CD于点G,探究NGC尸与a的数量关系.

问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2）,当a=90°时，直接写出/GC厂的大小；

（2）再探窕一般情形，如图（1）,求NGC/与a的数量关系.

DG1BE

问题拓展将图（1）特殊化，如图（3〉，当a-120°时，若二二，求二7的值.

17.【问题背景】

人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题I如下：如图，正方形ABCO的对角线相

交于点。，点O乂是正方形AiB.CiO的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形

A山绕点。怎样转动，两个正方形重叠部分的面枳，总等于一个正方形面积的匚想一想，这

是为什么？（此问题不需要作答）

九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形A3C。的对角线相交于

pA

点O,点户落在线段0C上，正二女。为常数）.

【特例证明】

（1）如图1,将RtZXPE*的直角顶点。与点0重合，两直角边分别与边A3,8c相交于点M,N.

①填空：k=;

②求证：PM=PN.（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△物MgZXPBN；

也可过点P分别作A&BC的垂线构造全等三角形证明.请选择其中一种方法解答问题②.）

【类比探究】

(2)如图2,将图1中的△尸EF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系(用含A的式子表

示)，并说明理由.

【拓展运用】

(3)如图3,点N在边灰?上，/BPN=45：延长NP交边C。于点E,若EN=kPN,求A的值.

18.【特例感知】

(1)如图1,在正方形48co中，点〃在边A8的延长线上，连结PQ,过点。作。M_LP。，交

6c的延长线于点M.求证：4DAPmXDCM.

【变式求异】

(2)如图2,在Rl△48C中，NA8C=9()°,点D在边AB上，过点。作QQJ_A8,交AC于点

。，点P在边4B的延长线上，连结PQ,过点。作交射线于点M.已知AC=8,

人C=10,AD=2DB,求丁的值.

QM

【拓展应用】

(3)如图3,在RlZXABC中，N84C=90°,点P在边AB的延长线上，点。在边AC上(不与

点A,C重合)，连结PQ,以Q为顶点作NPQM=NPBC,NPQM的边QM交射线8c于点M.若

图1图2图3

19.课本再现

思考

我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？

可以发现并证明菱形的一个判定定理；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

定理证明

(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”，请你完

成证明过程.

已知：在国ABCQ中，对角线垂足为。.

求证：团ABC。是菱形.

图I图2

知识应用

(2)如图2,在团ABC。中，对角线AC和8。相交于点。，4。=5,4c=8,BD=6.

①求证：团ABCZ)是菱形；

1OF

②延长8。至点E,连接OE交。。于点产，若/七=忘4亿7),求77的值.

ZEF

20.阅读下列材料，回答问题.

任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度八区远大于南北走向

的最大宽度，如图I.

工具：一把皮尺(测量长度略小于和一台测角仪，如图2.皮尺的功能是直接测量任意

可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)：测角仪的功能是测量角

的大小，即在任一点。处，对其视线可及的P,Q两点，可测得NPOQ的大小，如图3.

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度A8.其测量及求解过程如下：

测量过程：

(i)在小水池外选点C,如图4,测得AC=a〃?，BC=bm；

(ii)分别在人C,8C上测得CN=，；测得MN=c〃z.

求解过程：

由测量知，AC=a,BC=b,CM=CN=

CMCN1_

—=—=一，又＜①

CACB3

MN1

:.—=-

AB3

又,：MN=c,・・.A8=②.(〃?).

故小水池的最大宽度为**

图3图4

（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容;

（2）小明求得A8用到的兀何知识是

（3）小明仅利用皮尺，通过5次测显，求得A8.请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、

角度等几何量，并利用解宜角三角形的知识求小水池的最人宽度AH,写出你的测量及求解过程.

要求：测量得到的长度用字母。，b,c…表示,角度用a,P，丫…表示；测量次数不超过4次（测

量的几何量能求出A&且测量的次数最少，才能得满分）.

中考数学一轮复习图形的相似

参考答案与试题解析

一.解答题（共20小题）

1.【感知特例】

（1）如图1,点4,8在直线/上，AC.LI,DBLI,垂足分别为A,3,点P在线段A3上，且PC

LPD,垂足为P.

结论：A^BD=AP*BP

（请将下列证明过程补充完整）

证明：VAC1/,BDL,PCLPD

/.^CAP=ZDBP=ZCPD=90°,

・・・NC+NAPC=90°,

ZDPB.+ZAPC=90°,

ZC/DPB,（同角的余角相等）

：2PCs/XBDP,（两角分别相等的两个三角形相以）

ACAP

,（相似三角形的对应边成比例）

一BP一一BD一

即AC・BD=AP・BP.

【建构模型】

（2）如图2,点A,8在直线，上，点尸在线段上，一HNC4尸=/O8P=NCPD.结论入。・8。

=AP・8P仍成立吗？请说明理由.

【解决问题】

（3）如图3,在△48C中，AC=BC=5,A8=8,点P和点。分别是线段A8,BC上的动点，始

图

图12图3

【考点】相似形综合题.

【专题】几何综合题；推理能力.

ACAP

【答案】（1）NDPB,NC=NDPB,△BDP,

BP-BD'

（2）成立，理山见解答；

16

（3）4,

【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质填空即可；

（2）证明△APCs/^QR即可解决问题；

4cAP1-I

（3）证明△BPQS/XACP,得一=一，所以AC”Q=AP・6P,得40=（.”4）4苓，然

BPBD55

后根据二次函数的性质即可解决问题.

【解答】（1）证明：VAC±/,BDLl,PCLPD,

・•・ZCAP=NDBP=NCPD=9。。,

AZC+Z^PC=90°,

NDPB+NAPC=90°,

：・NC=/DPB（同角的余用相等），

：.MAPCS/\ROP（两角分别相等的两个二角形相似）.

ACAP

=—（相似三角形的对应边成比例），

BPBD

即4c-8O=AP・B尸.

i4cAP

故答案为：/DPB,ZC=ZDPB,4BDP,一=—：

BPBD

（2）解：成立，理由如下：

YNC+NC用=180'・/CAP,ZCPA+ZBPD=\SOa-ZCPD,

■:/CAP=/CPD,

:・/C=NBPD,

•：NCAP=NDBP,

:•△APCsRBDP（两角分别相等的两个三角形相似），

21PAC

=—（相似三角形的对应边成比例），

BDBP

：.AC-BD-AP-BPx

（3）解：•；AB=8,AP=x,

：.BP=AB-AP=S-x,

,:AC=BC=5,

；・NA=N8,

NCPD+NBPD=ZA+ZACP,

:.4BPD=4ACP,

:•△BPDSRACP,

•AC_A_P

•■—,

BPBD

：.AC*BD=AP*BP,

.\5BD=x(8-x)=Sx-x2,

：.BD=(x-4)2+焙

nJ

16

当x=4时,B。的最大值为三.

故答案为：4,当.

【点评】本题考查了相似形综合题，考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数最值的

求法等知识点，理解并掌握图1中提供的等式是解题的关键.

2.在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动.

【操作判断】

操作一：如图①，对折正方形纸片A8CQ,得到折痕AC,把纸片展平；

操作二：如图②，在边上选一点E,沿折直，使点A落在正方形内部，得到折痕BK：

操作三：如图③，在边CQ上选一点R沿8厂折叠，使边4c与边84重合，得到折痕BF.

把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、8尸与AC的交点分别为G、H.

根据以上操作，得/EBF=45°.

图①图②图③图④

【探究证明】

(1)如图⑤，连接GR试判断△8FG的形状并证明；

(2)如图⑥，连接石尸，过点G作的垂线，分别交A3、CD.EF于点P、。、M.求证：EM

=MF.

【深入研究】

Ar-1rLJ

若77=:，请求出才的值(用含攵的代数式表示).

ACkHC

AED

C；

P

B

图⑤图⑥

【考点】相似形综合题.

【专题】几何综合题；三隹形；图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与府称；图形的相

似；展开与折叠；儿何直观；运算能力；推理能力.

【答案】【操作判断】45；

【探究证明】（1）48尸G为等腰直角三角形，证明见解答;

（2）证明见解答:

•、、GHk2-2k+2

【深入研究】瑞=》与T

【分析】【操作判断】根据折叠的性质即可解答;

【探究证明】（1）证明凡/\BHCS4GHF,得到N8C〃=NG/77=45°,即可解

答;

（2）根据等腰直角三角形的性质证明△P8G0QG尸（/XS）,利用平行线的性质及折香的性质,

即可得证;

【深入研究】根据旋转的性质及勾股定理证明人S）,设AP=PG=DQ=FQ=a,

分别求出C”，GH,即可解答.

【解答】【操作判断】解：如图,

由题意可得N1=N2,N3=N4,

V2Z2+2Z3=90°,

・・・N2+/3=45°,

AZEBF=45°,

故答案为：45；

【探究证明】（1）解：方法一：ABFG为等腰直角三角形，证明如卜:

由题意可得NEB尸=45°,

•・•正方形ABC。,

・・・NBCA=NACQ=45°,

VZEBF=45°,

:.△BHGs^CHF,

BHHG

••_•___,

CHHF

•_B_H__C_H

•.=,

HGHF

•；ZGHF=/BHC,

:.△BHCS/\GHF,

:・/BCH=NGFH=45°,

为等腰直角三角形；

方法二：•:NGBC=NGCF=45°,

・•・/?、C、F、G四点共圆.

・・.N8尸G=N8CG=45°,

：.ZBFG=ZGBF=45°,

即NAGr=90°,

为等腰直角三角形；

(2)证明：•・・AGS尸为等腰直角三角形,

•••NBG尸=90°,BG=FG,

：,ZPBG=ZQGF,

yPQLAB,PQ±CD,

・・・N4PG=NGQ~=90°,

:.APBGWQGF(A4S),

:・/PGB=ZGFQ,

•・•PQ//AD,

：・/PGB=/AEB,

•・•翻折，

・•・ZAEB=ZBEF,

.:4PGB=/EGQ,

:・NBEF=NEGQ,

•；/BEF+/EFG=/EGQ+/FGQ=90”,

：・NEFG=4FGQ,

：,EM=MG=MF；

【深入研究】解：方法一：将AAGB旋转至ABNC,连接”M如图,

AED

N

:.丛AGBW4CNB,

:./BAC=/BCN=45°,AG=CN,BG=BN,

VZACfi=45°,

:・/HCN=90°,

222

：,CH+CN=HNt

V/5=/6,/ERF=45°,

JZGBH=4NBH,

:.△GBHgANBH(SAS),

:,GH=NH,

：,CH2+AG2=GH2,

由(2)知凡四边形APQ。为矩形,

•・・/BAC=45°,

：.AP=PG=DQ=FQ,

设AP=PG=DQ=FQ=a,

.*.AG=V2t;»

AG1

•••~_=—，

ACk

.'.AC=yj2ka,

/.GH+HC=AC-AG=缶(2-1),

*:CH2+AG2=GH2,

：.GH2-CH2=(CH+GH)(GH-CH)=2次,

:.GH-CH=瞿,

僧华企a(必一2A+2)、以\_2k)

解侍GH-2^2，CH~-~~，

GH+2

・'CH~k2-2k.

方法二：如图，延长〃尸交PQ延长线于点M

^,GHGN

则--------,

CHBC

由于8C的长度已知，所以只需求出GN的长度即可,

由(2)知M为E广的中点，且尸。〃4。，

・••点。为。尸的中点,BPDQ=QF=AP=af

：,CF=CD-DF=ak-2a,

“BC-FC'

E、QNa

即---=--------,

ka(k-2)a

・・・02朗

*：QG=PQ-PG=ak-a,

；・GN=QG+QN=a(*,

*GHGNk2-2k+2

''CH~BC~k2-2k

【点评】本题考查相似形的综合应用，主要考查折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等腰更

角三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，掌握这些性质

定理是解题的关键.

3.问题背景如图(1),在矩形ABC。中，点E,产分别是AB,4c的中点，连接80,EF,求证：

ABCDsfBE.问题探究如图(2),在四边形/WCO中，AD//BC,NBCO=9()°,点七是

的中点，点尸在边上，AD-2CF,石尸与交于点G,求证：BG-FG.

EG

问题拓展如图(3),在“问题探究”的条件下，连接4G,AO=CQ,AG=FG,直接写出乱的值.

【考点】相似形综合题.

【专题】几何综合题；几何直观.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据中点可得出两边对应成比例且夹角相等得两个三角形相似：

(2)由中点和平行线可以联想作倍长中线全等，即延长FE交。A延长线于点作刊＜LAO于

点、H,证△AMEgZXBf'E(AAS),再证(SAS)即可得证；

(3)这一问是建立在第二问的基础上，所以很容易想到构造相似通过线段关系转化求解，过尸作

FMA.AD于点M,取BD中点H,连接AF,设CF=a,则AM=DM=CF=a,AD=CD=2a=MF,

AF=V5«,证五E垂直平分AB得到尸=代〃，再证即可求解.

【解答】⑴证明：•・•£、厂分别是A8和灰7中点，

•B_E1_B_F1

••=9=—9

AB2BC2

••・四边形A8CQ是矩形，

：.AB=CD,

•B_EBF

••,

CDBC

♦：NEBF=NC=9()°,

:•△BCDSAFBE：

(2)方法一：如图延长/E交04延长线于点M,作于点H,则四边形C。方尸是矩形.

〃AHn

BFC

•・•£是AB中点，

:.AE=BE,

・•・ZAME=ZBFE,ZMAE=NFBE,

:.MAMEqXBFE(AAS),

：.AM=BF,

9：AD=2CF,CF=DH,

:・AH=DH=CF,

：.AM+AH=BF+CF,UPMH=BC,

*：FH=CD,/MHF=/BCD=90°,

：・4MFHm4BDC(SAS),

・•・ZAMF=NC8D,

又：NAMF=NBFG,

:.NCBD=/BFG,

；.BG=FG；

•・•/?是八A中点,〃是8。口点.

,EH=%D,EH//AD,

'：AD=2CF,

：・EH=CF,

'：AD//BC,

：.EH//CF,

・•・四边形EHCF是平行四边形，

:・EF〃CH,

:・/HCB=/GFB,

VZBCD=90°,H是BD中点,

:.CH=』BD=BH,

・•・ZHCB=4HBC,

：.4GFB=/HBC,

:,BG=FG；

(3)如图，过尸作FM_L4Q干点M,取8。中点从连接AF,则四边形COM”是矩形,

，CF=DM,

'：AD=2CF,

：.AM=DM=CF,

设。尸=a,则4M=OM=C尸=〃，AD=CD=2a=MF,

：,AF=7AM?+MF?=底,

'：AG=FG,BG=FG,

：.AG=BG,

是AB中点，

•••PE垂直平分A8,

:,BF=AF=®i,

TH是6。中点，

・・・E〃是△ABD中位线，

：.EH=^AD=a,EH//AD//BC,

•••△EG”s△/GB,

BFC

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、直

角三角形斜边中线等于斜边的一半以及中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识和添加辅助线是

解题的关键.

4.数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个

纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片A8C和4QE中，AB=AD=3,

BC=DE=4,NABC=NADE=90°.

【初步感知】

BD

(1)如图1,连接8。，CE,在纸片AOE绕点4旋转过程中，试探究二7的值.

CE

【深入探究】

(2)如图2,在纸片AOE绕点A旋转过程中，当点£＞恰好落在△ABC的中线8M的延长线上时，

延长EQ交AC于点F,求的长.

【拓展延伸】

(3)在纸片AOE绕点A旋转过程中，试探究C,D,七三点能否构成直角三角形.若能，直接写

出所有直角三角形CQE的01枳；若不能，请说明埋由.

E

B

【考点】相似形综合题.

【专题】分类讨论；图形的全等;等腰三角形与直角三角形:矩形菱形正方形；图形的相似:

运算能力；推理能力；应用意识.

BD3

【答案】⑴指三

(2)。F=为70

48

（3）C,D,£三点能构成直角三角形，直角三角形COE的面枳为4或16或12或石・

【分析】（1）证明△AOE空△ABC（SAS）,求出AC=AE=5,可得NOAE=N8A