2026年中考数学几何模型解读与训练：解直角三角形模型之新定义模型（学生版+详解版）

专题23解直角三角形模型之新定义模型

解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试

题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数

学知识内容包装、初中试题命制技术设置.）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对

学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这

方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。

【知识储备】

模型1、新定义模型

此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也

可利用初中数学知识证明。

若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角/A、/8、NC,分别对应边a、b、

ab

1）正弦定理：如图I,=2R（其中R是三角形外接圆的半径）。

sinAsinBsinC

图2

2)余弦定理：如图2,a2=b2+c2-2/?ccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+h2-2abcosC.

3)正弦面积公式：如图2,=—<z/?sinC=—bcs\nA=—4;c'sinB.

222

,八si，附

4）同角三角函数的基本关系式：S加2夕+。/夕=1，tcuw=------

cos6

5）和（差）、二倍角角公式:

sin(a±/7)=sinacos/3±cosasin[3;sinlcc—fIsincccoscc.

cos(a±/3)=cosacos/3•sinasm/3;cos2a=cos~a-sin~a=2cos~a-1=1-2sin~a.

tana±tan(32tcma

tan(a±J3)=tanla=

\彳tcmatanp\-tatra

例1.（2025•湖南•中考真题）阅读卜列材料:

在4ABe中，44、DB、NC所对的边分别为“、b、c,求证：--=--

sinAsinB

证明：如图1,过点。作CO_LA8于点。，贝IJ：

在RtABCD中，CZAasinB；在RtAACD中，CD=bsinA

.,..ab

asmBD=Z?sinAx--------=-------

sinAsinB

省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一片二角形区域需美化，已如NA-67。,

4=53。，AC=80米，求这片区域的面积.（结果保留根号.参考数据：sin53°«0.8,sin67°«0.9）

例2.（2025•湖南湘西•统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的

数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这

样描述的：在财8c中，团4、回8、回。所对的边分别为a、b、c,则三角形中任意一边的平方等于另外两边的

平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.

用公式可描述为：。2=52+02_2bccosA；b2=a2~}-c2-2accosB：c2=a2-\-b2-2abcosC

现已知在mBC中，AB=3,AC=4,朋=60°,则BC=.

例3.（2025•山东青岛•校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积.

问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一股来进行探究.

探究一：如图1,在中，ZABC=90°,AC=b,BC=a,ZC=Z«,求“BC的面积.

在RlZ\A8C中，ZABC=90°,.,.sina=-^~..A3=〃《sina...5.时=Lz?C・A8='a・0sina.

探究二：如图2,J8C中，AI3=AC=b,BC=a,N8=Na,求“8c的面积（用含。、b、〃代数式

表示），写出探究过程.

探究三：如图3,中，AB=b,BC=a,N8=Na,求一A8C的面枳（用。、/八。表示）写出探究

过程.

问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：（用文字叙述）.

问题应用：如图4,己知平行四边形中，AB—b,BC-a，乙B—a,求平行四边形/WCD的面积（用

a、b、。表示）写出解题过程.

问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用〃、b、c、d、a、夕表示），

其中AB*BC=c,CD=d,4。=〃，Z4=a,

例4.（2025春•四川泸州•八年级校考期中）平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问

题，最后都转化到三角形中解决.古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积.具

体如下：设一个三角形的三边长分别为。、b、c,P=g（a+%+c）,则有下列面积公式：

22+/?2C：2

S=JP（P—a）（P-b）（P-c）（海伦公式）；S=Jl[aZ?-（-~）]（秦九貂公式）.

V42

⑴一个三角形边长依次是5、6、7,利用两个公式，可以求出这个三角形的面积；

⑵学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积.如图，在口，AB=\5,

BC=14,>40=13,求”笈。的面积和AC边上得高A。的长.

例5.(2025•北京市•九年级校考期末)关于三角函数有如F公式：sin(a+P)=sinacosP+cosasinP，sin(a

-P)=sinacosp-cosasinp；cos(a+3)=cosacosp-sinasinp,cos(a-p)=cosacosp+sinasinp；tan(a+p)

.cCDsinaACsinacosa、.

sin2a=——=-----：--------=---------：-------=2sina•cosa

OC11

22

阅读以上内容，回答下列问题：在Rt.AAC中，ZC=9O°,/1B=I.

（1）如图3,若BC=g,则sina=_,sin2a=；

（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2a的表达式（用含sina,cosa的式子表示）.

例9.（2025•重庆•校考一模）材料一：证明：sin2cr+cos2<z=1.

证明：如图，作团BAC=0d在射线AC上任意取一点Q（异于点A）,过点。作。胴4用垂足为E.

团0aM8于点E：.sinNBAC=—,cosZBAC=—sin2ZBAC=-^,cos2NBAC=

ADADAD2AD2

nj72Ap2nr2+AF2AD2

回在Rt^ADE中,DE\AE^AD2sin2ZBAC+cos2ZBAC=―=1

AD2AD2AD1AD2

005/4C=0fl0sin2a+cos2a=\.

材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道

直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度

数；由"SAS〃定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角

形的第三条边一定可以求出来.

应用以上材料，完成下列问题：⑴如图，在（M8C中，AC=4,806,0C=6O°,求A3的长.

B

⑵在（1）题图中，如果AC%，BC=a,0C=«,你能用a,5和cosa表示AB的长度吗？如果可以，写出推

导过程；如果不可以，说明理由.

例10.（2025春•湖北•九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，

即在图1所示的直角三角形A8C,NA是锐角，那么sin八=〃的对边+斜边，8sA=NA的邻边+斜边，

34=44的对边+24的邻边.为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设

有一个角。，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴。",建立直角坐标系（图2）,在角a

的终边上任取一点P，它的横坐标是八纵坐标是点P和原点（0,0）的距离为r=历了。总是正的），

然后把角a的三角函数规定为：s\na=-,cosa=2,tana=之.我们知道，图1的四个比值的大小与角

rrx

A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角a的大小有关，而与点P

在角a的终边位置无关.比较图1与图2,可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，

根据第二种定义回答下列问题：

⑴若90。<0<180。，则角a的三角函数值sin。、cosa.tana,其中取正值的是:

⑵若角a的终边与直线），=2x重合，则sina+cosa的值；

⑶若角a是钝角，其终边上一点P（x,2）,且cosa=3,求tana的值；

⑷若0。<aV90°,则sina+cosa的取值范围是.

课后专项训练

1.（2025秋•广东东莞•九年级校考阶段练习）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值

关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定

理是这样描述的：在58C中，/A、NB、/C所对的边分别为〃、b、c,则三角形中任意一边的平方等

于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为：

a2=b2+c2-2Z>ccosA：b2=a2+c2-laccosB：/=/+加一2时cosC；现已知在，.A5C中，AB=2,8C=4,

4=60。，则AC的长为（）

A.2GB.V13+IC.Vl3-1D.372

2.（2024•四川广元市•中考真题）规定:

sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny给出以下四个结论：⑴

sin(-30°)=--；(2)cos2x=cos2x-sin2x;(3)cos(x-y)=cosxcosy+sinxsin>；(4)

2

cos15。=XJZ其中正确的结论的个数为()

4

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2025年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九貂在他的著作《数学九章》一书中，给

出了这样的一个结论：三边分别为。、b、c的的面积为工二二,小片片一二"C的边

4、。、C所对的角分别是财、团8、团C,则S^ABC=^-ah<mC=^tzcsinB=1/?csin>1,下列结论中正确的是（）

22211

Aa+b-c,「（r+b--c__a-4-b--c

A.cosC=----------B.cosC=-----------C.cosC=-------------D.cosC=---------

2ablab2ac2bc

4.（2025•安徽滁州•校考二模）已知三角形的三边长分别为a、b、c,求其面积问题.中外数学家曾经进行

过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=Jp（p-a）（p-b）（p-c）,其中p=号上

我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式1sJ/。2Td,若

一个三角形的三边长分别为5,6,7,则其面积是（）

uG

A.6\/6B.6x/l5r

2

5.（2025•山东潍坊・统考二模）一般地，当a、B为任意角时，tan（a+B）与tan（a-p）的值可以用下面的

1&

公式求得：tan(a±B)产±吗.例如：.15。=丽(45。-3。。)―45-30=_号二冲

1^tanatan//l+tan45-tan30,^,733+V3

1+1x-----

3

（3一6尸

-2-73.请根据以上材料,求得tan75。的值为

-（3+V3）（3-5/3）

6.（2025•河北石家庄•九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题.

sin230°4-cos2300=___；

sin2450+cos2450=___；

sin260°4-cos260°=：

观察上述等式，猜想：对任意锐角A,都有siMA+cos2A=—.

7.（2025秋•山东济南•九年级统考期末）定义一种运算：sin（cz+/7）=sinacos/?+cosasin/7,

sin（a-/?）=sinacosp-cosasin/7N^||：当a=60。，/=45。时，sin（60°-45°）=#x#-；x^=娓

则sin75。的值为—.

8.（2025・湖南娄底•统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：

sin（a-^）=sinacos^-cos<zsinp,sin（«+/?）=sin<zcos/7+ccsasin/7,

cos(a-/7)=cosacos/+sinasin夕，cos(a+/7)=cosacos/?-sinasinp.例：

sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=.若已知锐角二满足条件sina=；,则

sinla=.

9.(2025•黑龙江绥化•统考中考真题)定义一种运算；sin(<z+fi]=sinacosfl+cosasinp,

sini6Z-/?)=sinacosfl-coscrsin/?.例如：当a=45°,夕=30°忖，sin(45°+30°)=

马与哈小色捍则加5。的值为

10.（2025・四川成都•成都外国语学校校考一模）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题

An

在锐角ZiABC中，团A、（3B、EIC的对边分别是a、b、c,过A作ADEIBC于D（如图（1））,则sinB=-^,即

bcb

AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即----=----,同理有:，所以

sinfisinCsinCsinA'sinAsinB

a_b_c

sinAsinfisinC

UP：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一

条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.

根据上述材料，完成下列各题.

图（1）图（2）图（3）

(1)如图(2),AABC中，0B=45°,0C-75°,BC=60,贝ljE)A=；AC-

（2）某次巡逻中，如图（3）,我渔政船在C处测得钓鱼岛A在我渔政船的北偏西30。的方向上，随后以40

海里/时的速度按北偏东30。的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75。的方向上，

求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.

11.（2025春・山东济宁•九年级校考阶段练习）定义：在中，若A8=c,AC=b,BC=a,则存在余弦

222222222

定理：a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,c=a+h-2ab-cosC,即三角形一边的平方等于

另两边的平方和减去这两边与这两边夹角的余弦的积的2倍.

例如：在图1中，AC2=AB2+BC1-2ABBC-cos£?=42+（3x/2）2-2x4x372cos450=10,（MC=V10

请你利用余弦定理解答下列问题：⑴应用新知：在图2中，①若。=2,b=3,0C=6O°,则。=；

②若a=20，/?=272»夜，求0A：

（2）迁移发散：如图3,某客轮在A处看港口。在客轮的北偏东50。方向上，在A处看灯塔8在客轮的北偏西

30。方向距离26海里处，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口。在客轮的南偏东80。距离6海

里处，求此时C处到灯塔B的距离.

…aD„ab

0sinA=,sinB——,@c=,c=,回=,

ccsinAsinBsinAsinB

根据你掌握的三角函数知识.在图②的锐角AABC中，探究V、工、—J之间的关系，并写出探究

sinAsinBsinC

过程.

图①图②

13.（2025・山东•一模）小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后,通过研究发现：如图1,在RWBC中,

如果(3C=90。，财=30。，BC=g,AC=b=+,A8=c=2,那么一二=，不=2.通过上网查阅资料，他又知

smAsinB

““•〃90。=1〃，因此他得到“在含30。角的直角三角形中，存在着的关系〃.

sin4sinBsine

这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：

(1)如图2,在MA46C中，0C=9O°,BC=a,AC=b,AB=c,请判断此时“£=々=三"的关系是否成

sinAsinBsinC

立？答：.

(2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角A/WC,上述关系还成立吗？“因此他又继续进行了如下的

探究：

如图3,在锐角A44C中，BC=a,AC=h,AB=cf过点C作。。L48于。，设CQM,

回在R0ADC和RILBDC中，^ADC=^BDC=90°,

^sinA=,sinB=.

ab

m回----=______________,—...=____________.

binAbinB

ab

回----=-----

sinAsinB

同理，过点人作人加8C于“，可证上二一^国仁二匕二三；

sinBsinCsin4sinfisinC

请将上面的过程补充完整.(3)运用上面结论解答下列问题：

①如图4,在△A8C中，如果财=75。,<8=60°,(8=6,求AC的长.

②在△4BC中，如果回8-30。，AB-2氏,AC-2,那么AABC内切圆的半径为

14.(2025•江苏扬州•九年级阶段练习)阅读材料：关于三角函数还有如下的公式:

/,小tanor±tan/?

sin(a±/?)=sinacos/?±cosasin/?：；tan(a±⑶=------------

1±tana'tan0

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值

tan45°-tan30°

例:tanl5°=tan(45o-30°>

I+tan450-tan30°

根据以上阅读材料，请选择适当的公式答案下面的问题

⑴计算sinl5。：⑵栖灵塔是扬州市标志性建筑之一（如图），小明殂利用所学的数学知识来测量该塔的高度，

小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75。，小华的眼睛离地面的距离。。为1.62米，请帮

助小华求出该信号塔的高度.（精确到0.1米，参考数据：73^1.732,加=1.414）

15.（2025秋•江苏常州•九年级统考期末）关于三角函数有如下的公式：sin（a+/3）=sin«cos^+co^/sin^；

cos（«+/?）=costzcos/?-sin«sin/7；tan«+tan/?=tana+（an,利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函

'I-tanatanp

数转化为特殊角的三角函数来求值

o

如：sin75°=sin（30+45°）=sin30°-cos45°4-cos30°-sin45°=lx—x—x—=—+^=

2222444

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：

⑴求cos75。的值；（2）激光测速是目前道路测速方法中最为精准的一种，它是对被测车辆进行两次有特定时

间间隔的激光测距，取得该一时段内被测车辆的移动距离，从而得到该车辆的移动速度.如图，在一条限

速为80千米/小时的国道边上有一个激光测速仪P,该测速仪与车道中心的垂直距离尸C=4米，在某一时刻

测得某辆汽车从点4到点B的时间间隔为0.5秒，而第一次的点A在点P的北偏东75°,第二次的B点在点

产的北偏东45。，请问该汽车是否超速？为什么？（6之1.732）

16.（2025•山东济宁•统考二模）在RlAiABC中，ZC=90°,财：回B,回。所对的边分别是a,h,c,利用锐

角三角函数定义很容易推导出一些关系式，如sin24+cos24=|,sinA=cos8等，这些公式在三角函数式

子的变形中运用比较广泛.设a,夕是锐角，定义：当用时，两角和的余弦公式:

cos(a+〃)=cosacos〃-sinasin夕

例：计算cos75。的值.

cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos300-sin45°sin30°=x-x1=^--="一丁

72222444

两角差的余弦公式：cos(a-/?)=cosacos^+sinasin^.利用类比的方法运用公式求解.

(1)计算cosl5o=.(2)iIcos80°cos35°+sin800sin35°的值；

⑶一副斜边长均为16的三角板拼成如图所示的图形，求过A、8、C、。四点的矩形A8E/的面积.

专题23解直角三角形模型之新定义模型

解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试

题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数

学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对

学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备送入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这

方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。

【知识储备】

模型1、新定义模型

此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也

可利用初中数学知识证明。

若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角NA、NB、NC,分别对应边。、氏c；

b

1）正弦定理：如图1,=2R（其中R是三角形外接圆的半径）。

sinAsinBsinC

图2

2)余弦定理：如图2,a2=h2+c2-2/?ccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+kr-labcosC.

3)正弦面积公式：如图2,S.=—absinC=—bcs]nA=—acsmB.

“222

4)同角三角函数的基本关系式：+=tune=—,

cosO

5）和（差”二倍角角公式:

sin(a±/3)=sinacos/3±cosasin/3;siiiXcc=2sincccoscc.

cos(a=cosacosfl.sinasinp;cos2a=cos~a-sin~a=2cos~a-1=1-2sin~a.

tana±tan/3「2tana

tan(a±J3)=lan2a=--------.

1孑tanatanp\-tan~a

例L（2025•湖南•中考真题）阅读下列材料:

在;.48。中，乙4、DB、NC所对的边分别为“、b、c,求证：--=--

sinAsinB

证明：如图1,过点。作CO_LA8于点。，贝IJ：

在RtABCD中，CZAasinB；在RtAACD中，CD=bsinA

.,..ab

asmBD=Z?sinAx-------=------

sinAsinB

根据上面的材料解决下列问题：

hc

⑴如图2,在AA席中，4、风"所对的边分别为。、b、c,求证：而=砧；⑵为了办好湖南

省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一片二角形区域需美化，已如NA-67。,

4=53。，AC=80米，求这片区域的面积.(结果保留根号.参考数据：sin53°«0.8,sin67°%0.9)

【答案】⑴见解析(2)180073

【分析】(1)作8C边上的高，利用三角函数表示A。后，即可建立关联并求解;

(2)作BC边上的高，利用三角函数分别求出A£和8c即可求解.

(1)证明：如图2,过点A作AOL8C于点。，在RMBD中,AD=csinB,

bc

在R/AACZ?中，AD=bs\nC，csin4=〃sinC,-=-；

sinBsinC

(2)解：如图3,过点A作AE_LBC于点E,vZB/AC=67°,N3=53。，/.ZC=60°,

在心AACE中，AE=4Csin60=80X*=40G(〃?)

又.%「，即白=焉一•.3C=90(〃?)，.•.S“c=；x90x406=1800回叫

smBsinN84c0.80.92''

【点睛】本题考杳了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问

题的前提.

例2.(2025•湖南湘西•统考中考真题)阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边K：度与一个角余弦值关系的

数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这

样描述的：在中，M、团8、窗。所对的边分别为a、b、c,则三角形中任意一边的平方等于另外两边的

平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.

用公式可描述为：a2=b2-\-c2-IbccosA；b2=a2+c2-laccosB；c2=a2~}-b2-2abcosC

现已知在财3c中，AB=3,AC=4,财=60。，MBC=.

【答案】Vl3

【分析】从阅读可得：B^AB^AC2-2AI^AC-cosA,将数值代入求得结果.

【详解】解：由题意可得，

4c2A8・AC・cosA=32+42-2x3x4・cos600=13,MC=而，故答案为：如.

【点睛】本题考查阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用.

例3.（2025•山东青岛•校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积.

问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究.

探究一：如图1,在/8C中，ZABC=90°,AC=b,BC=a,NC=Na,求的面积.

在RtZXAKC中，ZABC=90°,：.sina=—:.AB=b»sina.：.BC-AB=a./?sina.

AC22

探究二：如图2,JISC中，AB=AC=b,BC=a,/B=/a,求的面积（用含〃、b、。代数式

表示），写出探究过程.

探究三：如图3,中，AB=b,BC=a,NB=Na,求一ABC的面积（用。、b、。表示）写出探究

过程.

问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面枳方法是：（用文字叙述）.

问题应用：如图4,已知平行四边形48co中，AB=b,BC=a,4B=a,求平行四边形A8CD的面积（用

a、b、。表示）写出解题过程.

问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论更接写出任意四边形的面积（用。、b、c、d、a、夕表示），

其中AB*BC=c,CD=d,AD=a,Z4=a,ZC=/7.

【答案】g他sina,见解析；1^sina,见解析；一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一生；他sina；

S四边形AKD=；而sina+gcd•sin/7

【分析】探究二：如图2中，作A〃_LC8于”.求出高A”，即可解决问题：

探究三：如图3中，作于”.求出高4”,即可解决问题；

问题解决：S=^abs\nZC（/。）是〃、〃两边的夹角）：

问题应用：如图4中，作AM3C8于，.求出高即可解决问题；

问题拓广：如图5,连接5。，由探究三的结论可得出答案.

【详解】解：探究二：如图2中，作于，.

1

△zk之DAD

7R

BCBHCCBC

图2图3图4图5

AB=AC=b,BC=a,Z.B=Na,:.Z.B=Z.C=a,

AH

在心..A”C中，ZAHC=90°,.-.sina=—,AH=Z>sina,S^BC=；BC・AH=g（而sina.

AC

探窕三：如图3中，作人”_LCB于〃.

AU

在我忆AWC中，ZAHC-900.^ina=--AW-Z>sina-.5=g"C・4H=gaZ>sina.

ACt

问题解决：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半.

故答案为：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半.

问题应用：如图4中，作A”J_C8于”.

在R『AH5中，ZA//B=90°.-.sina=—,..4"=/>sina•.S平行四边形Mm=BC4〃=absina.

AB

问趣拓广：连接80，由探究三的结论可得：Sxwli=^xABxADxs\na=^ab>sina.

5=QXBCXCD=Qcdsin0.S|q边'例8cA=-absina-¥-cd-sinp.

【点睛】本题考查四边形综合题、三角形的面积、平行四边形的面积，锐角三角函数知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

例4.(2025春•四川泸州•八年级校考期中)平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问

题，最后都转化到三角形中解决.古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积.具

体如下：设一个三角形的三边长分别为。、b、c,P=^(a+b+c),则有下列面枳公式：

S=y]P(P-a)(P-b)(P-c)(海伦公式)；5=也而一(八-)2](秦九韶公式).

⑴一个三角形边长依次是5、6、7,利用两个公式，可以求出这个三角形的面积；

⑵学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积.如图，在348。口，A4=15,

BC=14,AC=13,求丛的面积和8c边上得高A。的长.

【答案】⑴66⑵“1BC的面积为84；边上得高AD的长为12

【分析】(1)利用两个公式分别代入即可；

(2)设BO=x,则DC=14T,利用勾股定理得AD?心=6_附,EP132-(14-x)2=152-x2,

求解得x=9,即80=9,再利用勾股定理求解，然后利用三角形面积公式求出其面积即可.

【详解】(1)解：P=：(a+A+c)=；x(5+6+7)=9,

由海伦公式可得s=QP(P-a)(P-b：(P-c)=79X(9-5)X(9-6)X(9-7)=6娓;

由秦九昭公式可得S=『2)=6瓜.

(2)解：设8O=x,则DC=I4—x,AD上BC,/.AD2=AC2-CD2,AD2=Aff-ffD2,

.-.132-(14-X)2=152-X2,解得X=9；m30=9

⑦AD7AB2-Bb2=652-92=12•0SABc=：BCAD=gxl4xl2=84.

【点睛】此题考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积公式,和勾股定理是解题的关键.

例5.(2025北京市•九年级校考期末)关于三角函数有如下公式；sin(ai3)=sinacosP1cosasinp,sin(a

-P)=sinacosp-cosasinp；cos(a+p)=cosacosp-sinasinp,cos(a-p)=cosacosp+sinasinp：tan(a+p)

=tana+tan(1_tanatan^O),合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数

1-tanatanp

来求值，$IJsin90°=sin(30°+60°)=sin300cos600+cos30°sin60(,=—x—+—x—=1,利用上述公式计算下

2222

列三角函数①sinl05°=亚这，②taniOS*-2-石，③sinl5』、一二,④cos9CT=0,其中正确的

44

个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案.

【详解】①sinl05°=sin(600+459)=sin600cos450+cos600sin45°=—+=舟&,故此选项正确；

22224

©tanlOSMan(6。。+45。)=警黑嚓=上哮=空包=2-6,故此选项正确：

I一〃〃!45°〃560°1-V3-2

(>00

③sinl50=sin(60°-45°)=sin600cos45-cos60sin45=^Ex--ix—=,故此选项正确：

22224

00<>0

(4)cos90°=cos(45°+45°)=cos45cos45-sin45sin45=2/lx---x—=0,故此选项正确；

2222

故正确的有4个.故选D.

【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键.

例6.(2025年四川省广元市中考真题数学试题)“一缕清风银叶转〃，某市20台风机依次克立在云遮雾绕的

山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户.某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长

度进行了实地测量.如图，三片风叶两两所成的角为120。，当其中一片风叶。8与塔干0。叠合时，在与塔

底。水平距离为60米的七处，测得塔顶部O的仰角NOED=45。，风叶。4的视角NO£A=3(T.

⑴已知。，夕两角和的余弦公式为:cos(«+/?)=cosczcossinczsin/?,请利用公式计算cos75。；

(2)求风叶。4的长度.

【答案】⑴写史（2）风叶0A的长度为（606-6。）米

【分析】（1）根据题中公式计算即可；（2）过点4作A/1/无，连接AC,OGA.AC,先根据题意求出OE,

再根据等腰对等边证明OE=4石，结合第一问的结论用三角函数即可求所，再证明四边形DEG是矩形,

即可求出.

【详解】（1）解：由题意可得：cos750=cos（45°+30°）.

小（45。+30。）=—。…45。5访3。。邛＞4考十学

（2）解：过点连接AC，OGA.AC,如图所示,

0E-DE_60"

由题意得：DE=60米，NOED=45。,0-cos/45。一四一~米，/DOE=45。,

V

团三片风叶两两所成的角为120。，（3/004=120。，0ZAOE=12O°-45°=75°,

XUZOEA=30°,0Z.OAE=180°-75°-30°=75°,©NOAE=ZAOE,回OE=AE=60无米,

SZOEA=30°,NOED=45。,0ZAED=75°,由（1）得：cos75°=^~―,

4

团»=AExcos750=306—30米，0£>F=DE-EF=60-（30>/3-30）=90-3073

团AF10E，OGA.AC,0D1DE,团四边形。州G是矩形，［3AG=D尸=90-3M米，

回三片风叶两两所成的角为120。，且三片风叶长度相等，团NO4G=30°,

n4_^4G__90-30^/F\

团嬴而—一忑-—（。山…叼米，田风叫OA的长度为阿75-60）米.

T

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键.

例7.（2025•四川宜宾•校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边

长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角

之间的联系.我们定义