2026年中考数学几何模型解读与训练：全等与相似模型-半角模型（学生版+详解版）

专题16全等与相似模型.半角模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型上行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.半角模型

半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。

思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。

解魏思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明马

半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半

角关系）利用旋转一一证全等一一得到相关结论。

【模型展示】

1）正方形半角模型

条件：四边形A8C。是正方形，ZECF=45°；

结论：©ABCE^ADCG：②△（?£/经△CGF；③EF=BE+DF；④AAE/7的周长=2A8；

⑤CE、CF分别平分和

2）等腰直角三角形半角模型

条件：AA8C是等腰直角三角形，NOAE=45。；

结论：①②ADAE*/\GAE；③/ECG=90°：®DE2=BD2+EC2；

3）等边二角形半角模型（120。・6。。型）

AAA

条件：AA4C是等边三角形，△8QC是等腰三角形，且8O=C。，N8QC=120。，ZEDF=60°；

结论：①△3。七注△COG：②△££）尸治△GQF：③EF=BE+FC；④△4£产的周长=2A4：

⑤OE、DF分别平分NBEF和ZEFC.

4）等边三角形半角模型（60。・30。型）

条件：AABC是等边三角形，Z£AD=30°：

结论：①△8D4g/\C"；②△D4Eg△物E；③NECF=120。；@DE2=(jBD+EC)2+f2^

BD

5）半角模型（加・a型）

条件：ZBAC=2a,AB=AC,ZDAE=a；

结论：①△8AQ@Z\C4F；②△£AO丝③N£Cb=1800-2a。

例1.（2025•黑龙江•九年级阶段练习）已知四边形A8CO是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点

与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线AC,C。于M,N.

⑴如图1,当"，N分别在边4cCO上时，求证：BM+DN=MN

⑵如图2,当M,N分别在边3cC。的延长线上时，请直接写出线段3M,DN,MN之间的数量关系

⑶如图3,直线AN与BC交于P点,MN=10,CN=6,MC=8,求CP的长.

例2.（2025•北京四中九年级期中）如图，在048。中，I2ACB=900,CA=CB,点P在线段A3」：，作射线

CP（00<[MCP<450）,射线CP绕点C逆时针旋转45。，得到射线CQ,过点A作ADQ”于点。，交CQ于

点E,连接BE.（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段4。，DE,BE之间的数量关系，并证明.

C

例3.（2025秋•江苏扬州•八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形48c中，在AC边上取两点“、M使

/MBN=3。.若AA/=〃7,MN=X,CN=n,则以乂以〃为边长的三角形的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随其相，〃的值而定

例4.（2025•广东深圳•八年级期末）如图，0ABC+，（3840=120。，A8=4C,点。为8c边上一点.点E

为线段CQ上一点，且CE=2,AB=4逐,WAE=60°,则。E的长为

（3）如图3,在四边形ABC。中，AB=BC,MBC+（MOC=180。，点M、N分别在OA、C。的延长线上,

若试探究线段MN、AM、CN的数量关系为

模型2.半角模型（相似模型）

【常见模型及结论】

1）半角模型（正方形中的半角相似模型）

条件：已知，如图，在正方形48C。中，（3E4F的两边分别交8C、CD边于M、/V两点，且（3£4F=45。

AfATFFl

结论：如图1,△AMNs/XAFE且工=空=匕二夜.（思路提示：4ANM=4AEF,NAMN=NAFE）；

AMANMN

结论：如图2,△MANS/XMDA,ANAMsANBA；

结论：如图3,连接AC,则△AMBS/^AFC,△AM）S/^AEC.

AMAH

图3图4

结论：如图4,/\BMEsXAMNs2DFN.

2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）

（1）含45°半角模型

B

图2

条件：如图1,已知/8AC=90°,ZABC=ZACB=ZDAE=45°；

结论:①△ABEs/\O4EsZ\oc4；②竺=生=乌；③(AB?=BECD)

BEAEAC

（2）含60“半角模型

条件：如图1,已知/84C=120°,ZADE=ZmE=60°；

结论:①△AB£)s/^CAEs/\C8A；②生=g=生；③A£)AE=4£)C£：(DE?=BDCE)

BDAEAB

例1.（2025•山东济南•九年级期中）如图，在正方形A8C。中，点、E、F分别是8C、。。边上的两点，且

ZE4F=45°,AE."分别交8。于M,N.下列结论：①A8?=8NQW;②质平分NZWE;③

AMAE=ANAF；⑥BE+DF-^MN.其中正确的结论是《）

A.①②③④B.①②③C.①③D.①②

例2.（2025•山西晋城•校联考模拟预测）如图，在矩形ABCO中，AO=9,AB=6,E,尸分别为，CO边

上的点.若㈤尸=45。，AE=3j5,则。尸的长为

例3.（2025秋•江苏泰州•九年级统考期末）如图，已知△48。中，N4C4=90。，AC=5C,点。、E在边

上，CE2=13EDE.（l）^ilE：/£>CE=45。；（2）当AC=3,AD=2BD时,求。石的长.

例4.（2025•江苏无锡•九年级期中）如图，在“8C中，AB=AC=4>/3,N8AC=120。，点E都在边8C

上，N的e=60。.若以A2CE,则OE的长为.

例5.（2025秋•江苏泰州•九年级校考期末）（1）如图1,。、E为等边△ABC中BC边所在直线.上两点，

Z/ME=120°,求证：△AAOSAECA；（2）VAQE中，ZD4E=I2O°,请用不含刻度的直尺和圆规在OE

上求作两点4、C,点4在点C的左侧，使得“3。为等边三角形；

（3）在（1）的条件下，〃为BC边上一点，过〃作，/〃A。交A3延长线于点尸，”G〃AE交AC延长

nr

线于点G,若AB=6,BD=a,44石=60。，求；■的值.（月含有。的代数式表示）

例6.（2025•江西吉安•统考一模）综合与实践

数学实践活动，是一种非常有效的学习方式.通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓

展思推空间，丰富数学体验.让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我俏的乐趣.

折一折：将正方形纸片ABC。折叠，使边A8、4。都落在对角线4c上，展开得折痕AE、AF,连接七人

如图1.

（1）ZEAF=L写出空中两个等腰二角形：（不需要添加字母）;

转一转：将图1中的一£4"绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CO于点P、Q,连接尸。，如图2.

（2）线段3P、PQ、。。之间的数量关系为；（3）连接正方形对角线30,若图2中的NPAQ的

边AP、4Q分别交对角线友）于点M、点N.如图3,则盥=________:

BM

剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线3。剪开，如图4.（4）求证：BM?+DN?=MN?.

例7.（2025•湖北武汉•校考模拟预测）在矩形A8CO中，AD=iiAI3,AEAF=a（0°<«<%°）,点E、F

分别是边8C、CD上的点，过点尸作尸G〃3C,交直线AE于点G.

(1)如图L若AO=6,//=1,a=45°,BE=2,则&7・'=»SjEF~

⑵如图2：若〃=2,a=45。，过点F作尸G〃3C,交AE于点G,过£作即〃A8,交加、于点〃，求证:

尸G=2E”；⑶如图3：若〃=2,BE=E，。r=6过点尸作/G〃8C,交AE于点G,FG=5上，直

接写出tana的值.

课后专项训练

1.（2025・成都市•八年级期末）如图，在边长为4的正方形4ECO中，对角线AC,BD交于点O,E在BD

上，连接CE,作Eq1CE交于点片交4c于点G,连接C尸交于点儿延长CE交4。于点连

接则下列结论：①点E到八从8c的距离相等；②MCE=45。；③团。例C=（3KWC；④若DM=2,

3

则BF="正确的有（）个.

A.1/

F

B

A.1B.2C.3D.4

2.12025•广东深圳•统考一模）如图，正方形ABC。中，E是的中点，尸在CO上，CF=2DF,连接AE,

A尸与对角线8。交于点M,N,连接MREN.给出结论：①㈤?=45。；②AN_LEN；③tanNAMV=3；

@DN:MN:BM=丘:也:也.其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

3.如图，在矩形纸片人8C力中，点石、尸分别在矩形的边人“、人力上，将矩形纸片沿CE、CF折会，点"

落在”处，点。落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AS=6,4。=4,BE=2,则DF的长是（)

3&

D.3

~2~

4.（2025春・广东河源•八年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形A8CD内作NE4"=45。，AE交BC

于点E,AF交CD于点F,连接即，将△ADF绕点A顺时针旋转90。得到△A8G,若BE=2,则EF的长

5.（2025・浙江绍兴•校联考三模）矩形48co中，AB=6,AD=\2,连接BO,E,尸分别在边"C,C。上,

连接AE,"分别交BO于点M,N,若NE4"=45。，8E=3,则DV的长为

6.12025•成都市•九年级专题练习）如图，在RrtMBC中，AB=AC,。、石是斜边上两点，且皿4E=45。，

将（L4QC绕点A顺时针旋转90。后.得至胞4尸8,连接EF,下列结论：①财ED的4ER②空二空；③的WC

BECD

的面积等于四边形”8。的面积；④BE2+DC2=DE2；⑤BE=EF-DC；其中正确的选项是（填

序号）

八力3

7.（2025•上海宝山•校考一模）如图，在团ABC中，AB=AC，点D、E在边BC上，0DAE=EB=3O°,且一=-,

AE2

那么当DF的值是,

oC

8.（2025•江苏南京•九年级专题练习）（1）阅读理解：如图1,在正方形A/TCO中，若£,少分别是C。，8C

边上的点，0EAF=45°,则我们常会想到：把绕点4顺时针旋转90。得到的WG.易证即1E距,

得出线段8凡DE,E尸之间的数量关系为；

（2）类比探究：如图2,在等边中，D,E为BC边上的点，I3DAE=30°,80=3,EC=4,求线段QE

的长；（3）拓展应用：如图3,在财BC中，AB=AC,0B4C=150。，点O,E在8c边上，（3D4E=75。，若

。石是等腰的腰长，请直接写出BD：CE的值.

9.（2025•湖北十堰•中考真题）【阅读材料】如图①，四边形48co中，AB=AD,N8+N£>=180。，点E,

产分别在8C,CD上,若284。=2/石4尸，则EF=BE+DF，

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形48co.已知CO=CB=l（X）m,

ZD=60°,ZABC=120°,ZBC£>=150°,道路A。，AB上分别有景点M,N,且DW=100m,

用V=50（6-l）m,若在用，N之间修一条直路，则路线MfN的长比路线MfAfN的长少

m（结果取整数，参考数据：x/3«1.7）.

图①

10.（2025•山东青岛九年级期中）【模型引入】

当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型"

【模型探究】（1）如图1，在正方形A3CO中，E、r分别是A&3C边上的点，且团EOr=45。，探究图中

线段EF,AE,FC之间的数量关系.

【模型应用】（2）如图2,如果匹边形ABC。"AB=AD,^BAD=^BCD=9Q°,0EAF=45°,且8c=7,

DC=13,CF=5,求BE的长.

【拓展提高】（3）如图3,在四边形ABC。中，AB=AD.（3ABC与财。C互补，点E、尸分别在射线CB、

0c上，^EAF=LWAD.当BC=4,DC=1,C尸=1时，ACE厂的周长等于.

2

（4）如图4,正方形ABC。中，“4MN的顶点M、N分别在8C、C。边上，A砸MM且A”=A8,连接

8。分别交4M、AN于点E、F,若MH=2,N"=3,DF=2后,求EF的长.

（5）如图5,已知菱形ABCD中，姐=60。，点E、?分别是边BC,CD上的动点（不与端点重合），且目£4尸=60。.连

接8。分别与边AE、A/交于M、N,当回D4F=15°时，求证：MN2+DN2=BM2.

图4图5

11.（2025•江西九江•一模）如图（1）,在四边形/WCO中，NA+NO=180。，A3=4）,以点人为顶点作/£4尸，

且NE4"=；/8A。，连接EE（1）观察猜想如图（2）,当N8AD=N8=/。=90。时，

①四边形48C。是（填特殊四边形的名称）；②BE,DF,EF之间的数量关系为.（2）类比探

究如图（1）,线段BE,QRE户之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若木成立，请说

明理由.（3）解决问题如图（3）,在/MBC中，NBAC=90。,A3=AC=4,点Q,E均在边BC上，且

ZZME=45°,若BD=6，求DE的长.

B

BB

（图1）阀3）

12.（2025•福建泉州•统考二模）（1）如图1,在正方形A8CO中，E,尸分别为DC,3c边上的点，且满

足NE4/=45。，连接EF,则DE,BF,E尸之间的数量关系为.

（2）如图2,将RtA48C沿斜边翻折得到△ADC,E,尸分别为。C,B。边上的点，且=

试猜想。石，BF，E尸之间的数量关系，并证明你的猜想.

（3）将两个全等的等腰直角皿?。和△Af'G按如图3所示摆放在一起，A为公共顶点，ZZMC-ZAGF-900,

AF,AG与边BC的交点分别为。，E,求证：DE?=BD2+CE?.

13.（2025•陕西西安•九年级校考期中）问题研究，如图，在等腰“WC中，4B=AC,点。、E为底边BC

上的两个动点（不与。、C重合），且4M£=NB.

（1）请在图中找出一个与相似的三角形，这个三角形是;

（2）若N8AC=90°,分别过点0、E作A8、AC的垂线，垂足分别为尸、G,且。尸、EG的反向延长

线交于点M，若AB=1,求四边形ABWG的面积；

D

问寇解决（3）如图所示，有一个矩形仓库A8C。，其中A8=40米，4。=30米，现计划在仓库的内部的E、

尸两处分别安装监控摄像头，其中点E在边BC上，点尸在边。C上.设计要求㈤b=45。且CE=b,则CE

的长应为多少米？

14.（2025•陕西汉中•九年级统考期末）如图，MBC+，NB4c=120。，AB=AC,点、D为BC边上一点.

nrj

⑴如图1,若AD=/W,ND4M=120。.①求证：BD=CM；②若NCMO=90。，求而的值.

⑵如图2,点E为线段C。上一点，旦CE=4,A8=6百，ZZ>4E=60o,求OE的长.

15.（2025•辽宁沈阳•九年级统考期末）【教材呈现】

（1）如图1,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，^BAC

=l?G=90o,BC=6,若固定不动，将财产G绕点A旋转，边4尺4G与边分别交于点/5,E（点。

不与点B重合，点E不与点C重合）①求证：AE2=DE^BE；②求BE・C。的值;

【拓展探究】⑵如图2,在中，呢=9。。，点D,E在边8C上』"的A3。。，且仞=白£,

请直接写出D票E的值.

LJX--

A

A

B/DE\~

CDEB

F

ffll图2

16.（2025秋•广东•九年级校考期中）如图①，在正方形中，点N、M分别在边3C、CD上，连接

团MAN=45。,将绕点A顺时针旋转90°,点。与点3重合，得到财8£易证:西MWmMNE,

从而得DM+BN=MN.

【实践探究】⑴在图①条件下,若CN=6,CM=8,则正方形48C。的边长是.

⑵如图②，点M、N分别在边CD、AB±,口BN=DM.点£尸分别在区例、ON上，（3EAF=45\连接

EF,猜想三条线段ERBE、。尸之间满足的数量关系，并说明理由.

（3）【拓展应用】如图③，在矩形A8C。中，A8=6,AO=8,点M、N分别在边DC、BC上,连接AM,

AN,已知（3M4N=45。，BN=2,求。M的长.

17.（2025•浙江杭州•九年级期中）已知正方形A8CO的边长为4,一个以点A为顶点的45。角绕点A旋转,

角的两边分别与边BC、QC的延长线交于点&F,连接环.设CE=o,CF=〃.

图1图2（备用图）图3

（1）如图1，当/E4f被对角线AC平分时，求人力的值；（2）当AAE尸是直角三角形时，求。、匕的值;

（3）如图3,探索NE4尸绕点A旋转的过程中，△CEF的面积是否发生变化？请说明理由.

18.（2025•内蒙古赤峰•统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①，把一个含有45。角的

三角尺放在正方形A3CO中，使45。角的顶点始终与正方形的顶点。重合，绕点。旋转三角尺时，45。角的

两边CM,CN始终与正方形的边AO,A4所在直线分别相交于点M,N,连接MN,可得ACMN.

【探究一】如图②，把VC/加绕点C逆时针旋转90。得到△CM,同时得到点〃在直线A3上.求证：

NCNM=NCN〃；【探究二】在图②中，连接8。，分别交CM,CN干点、E,F.求证：ACEFs^CNM；

【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置.，直线8。与三角尺45。角两边CM,CN分别交于点E,F.连

接AC交于点。，求名的值.

NM

图③

图①

专题16全等与相似模型.半角模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型上行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.半角模型

半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。

思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。

解魏思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明马

半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半

角关系）利用旋转一一证全等一一得到相关结论。

【模型展示】

1）正方形半角模型

条件：四边形A8C。是正方形，ZECF=45°；

结论：©ABCE^ADCG：②△（?£/经△CGF；③EF=BE+DF；④AAE/7的周长=2A8；

⑤CE、CF分别平分和

2）等腰直角三角形半角模型

条件：AA8C是等腰直角三角形，NOAE=45。；

结论：①②ADAE*/\GAE；③/ECG==90°；@DE2=BD2^EC2；

3）等边二角形半角模型（120。・6。。型）

AAA

条件：AA4C是等边三角形，△8QC是等腰三角形，且8O=C。，N8QC=120。，ZEDF=60°；

结论：①△3。七注△COG：②△££）尸治△GQF：③EF=BE+FC；④△4£产的周长=2A4：

⑤OE、DF分别平分NBEF和ZEFC.

4）等边三角形半角模型（60。・30。型）

条件：AABC是等边三角形，Z£AD=30°：

结论：①△8D4g/\C"；②△D4Eg△物E；③NECF=120。；@DE2=(jBD+EC)2+f2^

BD

5）半角模型（加・a型）

条件：ZBAC=2a,AB=AC,ZDAE=a；

结论：①△8AQ@Z\C4F；②△£AO丝③N£Cb=1800-2a。

例1.（2025•黑龙江•九年级阶段练习）已知四边形A8CO是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点

与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线AC,C。于M,N.

⑴如图1,当"，N分别在边4cCO上时，求证：BM+DN=MN

⑵如图2,当M,N分别在边3cC。的延长线上时，请直接写出线段3M,DN,MN之间的数量关系

⑶如图3,直线AN与BC交于P点,MN=10,CN=6,MC=8,求CP的长.

【答案】(1)见解析；(2)BM-DN=MN；(3)3

【分析】(1)延长CA到G使AG=DN,连接AG,先证明MGB三AAND,由此得到AG=AN,NGAB=ND47V,

再根据NM4N=45。，ZBA£>=90°,可以得到NG4/=ZA^=45。，从而证明△AMV且△4WG,然后根据全

等三角形的性质即可证明8M+DV=MN；(2)在3M上取一点G,使得3G=AW,连接AG,先证明

△4GBWA4M),由此得到AG=AN,NGAB=NDAN,由此可得NG/W=N&V)=9(r,再根据NM4N=45。

可以得到NG4M=ZM4M=45。，从而证明八两空"MG,然后根据全等三角形的性质即可证明

BM-DN=MN：(3)在QN上取一点G.使得。0=8”,连接4G,先证明△A8A/9AADG,再证明

△AMNW3GN,设ZX；=8W=x,根据。C=8C可求得x=2,由此"J得A8=8C=CQ=aV=6,最后再证明

由此即可求得答案.

【详解】(1)证明：如图，延长CA到G使8G=ON,连接4G，

(3四边形48CD是正方形，^AB=AD,〃\BG=ZADN=4BAD=4,

AB=AD

在与△”加中，J/48G=/4ON,:.^AGB^^AND(SAS),AG=AN,NGAB=/DAN,

BG=DN

vZAWV=45°,ZBAD=90°,0^DAN+ZBAM=ABAD-ZMAN=45°,

/.ZGAM=ZGAB+ZBAM=ZDAN+Z.BAM=45°,:"GAM=ZNAM,

AM=AM

在2kAMN与△AMG中，＜/GAM=/NAM,:.^AMN^/\AMG(SAS),:.MN=GM,

AN=AG

穴RM+GB=GM,BG=DN、:BM+DN=MN；

(2)BM—DN=MN,理由如卜.：如图，在BM上取一点G,使得8G=ON,连接AG,

AB=AD

在^ABG与中，)/ABG=ZADN,AAGB^A/WD(必S),:.AG=AN,NGAB=ZDAN,

GB=DN

ZG/\B+ZGAD=ZDAN+ZGAD,Q]ZaW=Z/i4D=90o,

又•jNM4N=45°,Z.GAM=ZGAN-ZMAN=45°=AMAN,

AM=AM

在AAMN与△AMG中，｛/GAM=/N4M,.•.△AMN/△AMG(S4S),:.MN=GM,

AN=AG

yj!BM-BG=GM、BG=DN,国BM-DN=MN,故答案为：BM-DN=MN；

(3)如图，在。N上取•点G,使得。G=BM,连接AG,

回四边形ABC。是正方形，^AB=AD=BC=CD,ZABM=ZADG=ABAD=^°,ABHCD,

AB=AD

在6ABM与^AOG中，•NABM=NADG,"8用冬△AOG(S人S),

BM=DG

：.AM=AG,ZMAB=ZGAD,0+Z£MG=ZG4D+ZftAG,EZMAG=NZMD=90°,

又•.•/MAN=45°,:.^GAN=ZA^iG-ZMAN=45°=ZMAN,

AM=AG

在2kAMN与AAGN中，＜/MAN=/GAN,/.AAMN乌AAGNISAS),/.MN=GN=1(),

AN=AN

设DG=8W=x,团CN=6,MC=8,0DC=7X7+G^-C7V=x+lO-6=x+4,BC=MC-BM=^-x,

^DC=BC,0x+4=8-.r,解得：x=2,^AB=BC=CD=CN=6,田AB〃CD,g/BAP=NCNP,

ZAPB=ANPC

在AABP与ANCP中，NBAP=£CNP,;.AAB2aNCP(AAS),;.CP=BP=；BC=3,[3CP的长为3.

AB=CN

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，能够作出正确的辅助线并能灵活运用全等

三角形的判定与性质是解决本题的的关键.

例2.（2025•北京四中九年级期中）如图，在（MBC中，（MC8=90。，CA=CB,点P在线段AB上，作射线

CP（0°<[MCP<45o）,射线CP绕点C逆时针旋转45。，得到射线C。，过点人作AD0”于点D,交CQ于

点E,连接（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段A。，OE,/法之间的数量关系，并证明.

【答案】⑴作图见解析.⑵结论：AD+BE=DE.证明见解析.

【分析】（1）根据要求作出图形即可.（2）结论：AD+BE=DE.延长D4至尸，使DF=DE,连接CE.利用

全等三角形的性质解决问题即可.

（1）解：如图所示：

c

(2)结论：AD+BE=DE.

理由：延长。A至凡®DF=DE,连接CKaADHCP,DF=DE,0CE=CF,00DCF=aDCE=45o,

回0ZC6=9O°,困ACD+MECB=45。,^DCA+^ACF=SDCF=45°,^FCA^ECB,

CA=CB

在(L4CF和团BCE中,NAC尸=N4C£,^ACF^BCE(SAS),^AF=BE,^AD+BE=DE.

CF=CE

【点睛】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

例3.(2025秋•江苏扬州•八年级校考阶段练习)如图，在等边三角形A8C中，在AC边上取两点M、M使

NAIRN=3(f.若AM=〃?，MN=x,CN=n,则以乂〃?，〃为边长的三角形的形状为()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随及〃?，〃的值而定

【答案】C

【分析】将"BM绕点8顺时针旋转60。得到△C8”,连接"M根据等边三角形的性质及各角之间的等屋

关系可得：©NBM=®NBH,然后依据全等三角形的判定定理可得△N8M0z\N8”,由全等三角形的性质可将x、

小、〃放在△NC”中，即可确定三角形的形状.

【详解】解：如图所示：将△ABM绕点8顺时针旋转60。得到△C8H,连接HN,

由旋转性质可知，CH=AM,ZABM=NCBH,NBCH=ZA,

团是等边三角形，鹿L48C=。4cB=®4=60°,时/8/V=30。，盥1ABM+团C8N=30。,

回回N8H=回CB"+(3CBN=a48M+团CBN=30°,物N8M=(3N8”，

BN=BN

在么NBM与ANBH中,'NNBM=NNBH,醍NBM^ANBH(SAS),®MN=NH=x,

BM=BH

团团8C”=a4=60°,CH=AM=mf豳NCH=120°,

团以x,/小〃为边长的三角形ANCH是钝角三角形.故选：C.

【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利

用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，

例4.(2025•广东深圳•八年级期末)如图，。中，084c=120。，48=4C,点。为8c边上一点.点、E

为线段O上一点，且CE=2,八£?=4百，^DAE=60°,则QE的长为.

14

【答案】y

【分析】将△ABO绕点八逆时针旋转120。至△ACM,连接过用作MQ_LBCj-Q,过A作4b_L/?C

于凡由旋转的性质得△•/注”107,设CQ=x,则CW=2x,QM=&,证明“U?比△AME(SAS),

得EM=OE=10-2x,最后利用勾股定理来解答.

【详解】解：如图，将△A8O绕点4逆时针旋转120。至AACM,连接ME,过M作MQJ_4C于Q,过A

作于尸，

团ZBAC'=120°,AB=AC,CE-2,AH=4石，

回Z4GV/=N8=30°=ZAC8.ZBAD=ZCAM,^ZMCQ=60\AF=-AB=-x4y/3=2y/3,

22

（3NCMQ=3O°,BF=CF7AB，-AF2=,（4石了一（2石J=6

在心△QMC中，CQ=-CM.0CE=2,13E=2BF-CE=\2-2=\O.

2222

设CQ=x,0GW=2x,QM=ylCM-CQ=>/（2x）-x=>/3x»®EQ=x-2.

团Ztt4E=60°=NFNC,ZBAC=120°.0ZEAC=ZEAC+ZC4M=60°.[>Z.DAF=ZEAG.

AD=AM

0ZDAE=ZE4M.在AADE和AAA/E中<NOAE=NEAM,gAADE^/SAME(SAS),

AE=AE

田EM=DE=BE—BD=BE—CM=10—2x,由勾股定理得：EM2=EQ2+QM2,

0(10-2X)2=(X-2)2+(X/3A-)\@J=1,即CQ=g/)E=10-2x=10-?=?.故答案为：号.

JJJJ口

【点睛】本题考查含30。角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形有判定和性质，勾股定理，

旋转的性质，作辅助线构造直角三角形是求解本题的关键.

例5.(2025・广东广州•二模)如图，点。为等边“8C外一点，N8DC=120。，BD=CD,点、M,N分别

在A4和AC上，NM£W=60。且八例=9,AN=4,MN=8,则△口(7的边长为.

【答案】10.5

【分析】先证明团。8M至QCN=90°,如图，延长AC至〃，使CH=4M,连接。从再证明团£>5M0[3DCH(SAS),

证明团MOA瓯，。N(SAS),可得MV=HN=〃M+CN,从而可得答案.

【详解】解：函4BC为等边三角形的48cMMc8=60°,AB=AQ

005DC=12O°,BD=CD,00DBC={3DCB=yx(180°-120°)=30°,^DBM=^DCN=9Q°,

如图，延长4c至H,使CH=BM,连接DH,

WDCH=90°,^DBM=^DCH,

IBM=CH

在住08M和(3OC”中,I?DBM?DCH,^DBM^WCH(SAS),^DM=DH,^BDM^CDH.

\DB=DC

团团8OM+0CON=6O°,OaCDN+SCD，=60°,盟MDN/HDN,

iDM=DH

在京MON和ta“ON中，\?MDN?HDN,励MDN^HDN(SAS),©MN=HN=BM+CN,

\DN=DN

•••AM=9,AN=4,MN=3,\AM+AN+MN=9+4+S=2]=AM+BM+CN+AN=AB+ACy

\ZB=-?2110.5.即等边三角形的边长为：10.5.故答案为：10.5

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形

是解本题的关键.

例6.(2025春•江苏•八年级专题练习)(1)如图①，在四边形ABC力中,AB=AD,4=/。=90。，E,F

分别是边BC,CQ上的点，且ZEAF=^ZI3AD.请直接写出线段EF,BE,之间的数量关系:___________:

心心口匚

[

0F、DFVayJD

图①图②篇用题名用麹

（2）如图②，在四边形48co中，AB=AD，ZB+ZD=180°,E,尸分别是边BC,C。上的点，且

Z£4F=1ZB4D,（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；

（3）在四边形A8C。中，AB=AI）,/8+NO=180。，E,尸分别是边BC,C£＞所在直线上的点，且

ZEAF=^BAD.请画出图形（除图②外），并宜接写出线段E尸，BE,尸。之间的数量关系.

【答案】（1）EF=BE+FDx（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析，EF=BE-FD

【分析】（1）延长E3到G,使5G=£＞「，连接AG.证明△树名皿尸，则AG=4〃，Z1=Z2,

Z1+Z3=Z2+Z3=ZE4F=-ZBAD,证明丝AAF£（SAS）,得出所二G石，由此可得样二GE,

2

EF=BE+FD；

（2）思路和作辅助线的方法同（1）；

（3）根据（1）的证法，可得出=8G,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.

【详解】解：（1）延长至G,使UG—D",连接AG,

^AB=AD,ZABG=ZABC=ZD=90P,BG=DF,团△ABGgAAOb(SAS),

^AG=AF,N1=N2,0Zl+Z3=Z2+Z3=ZE4F=-Zfi4D,EZG4E=ZE4F,

2

AG=AF

在&AGE和AAFE中，0'ZGAE=ZEAF,回△AGE且△月庄(SAS),©EG=EF,

AE=AE

^EG=BE+BG.RBG=FD^EF=BE+FD,故答案为：EF=BE+FD.

(2)解：(1)中的结论仍成立，证明：如图所示，延长C8至M,使8V=O/，

0Z4BC+ZD=18O°,Z1+ZABC=18O°.团N/=ZD，

AB=AD

在vABM和△4)“中，＜NI=ND,团AABW丝△AQF(SAS),^AF=AM,N2=/3,

BM=DF

0ZEAF=|zB4D,[UZ2+Z4=-zB/\D=ZE4F,0Z3+Z4=ZE4F,即ZM4E=NE4产，