2026年中考数学几何模型解读与训练：三角形模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型（学生版+详解版）

专题08三角形中的重要模型

•平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全

等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

平分平行（射构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）

模型1、平分平行（射影）构等腰

1）角平分线加平行线必出等腰三角形.

模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题.平行线、角平分线

及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。

平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

条件：如图1,O。'平分NMOM过00'的一点。作PQ〃CW.结论：△OPQ是等腰三角形。

条件：如图2,△ABC中，BD是NABC的角平分线，DE〃BC。结论：△8OE是等腰三角形。

条件：如图3,在8c中，8。平分/ABC,C0平分过点。作的平行线与AB,4c分别相

交于点M,N.结论：2B0M、△CON都是等腰三角形。

2）角平分线加射影模型必出等腰三角形.

条件：如图4,BE平分NCBA,NACB=NCD4=90。.结论：三角形。石尸是等腰三角膨＜.

例I.（2025•河南濮阳•统考二模）如图，直线乙〃，2,点。、A分别在《、/?上，以点A为圆心，适当长为

半径画弧，交AC、于点。、E；分别以。、E为圆心，大于goE长为半径画弧，两弧交于点尸；作射

线A/交4于点6.若N8C4=130°,则N1的度数为（）

C.30°D.50°

例2.（2025.湖南长沙八年级期中）如图，点。为0A8C的（MBC和（MCB的平分线的交点，。。〃48交8c

于点。，OE〃AC交4c于点£若A〃=5cm,BC=10cm,AC=9cm,贝岫。。£的周长为（）

A.10cmB.9cmC.8cmD.5cm

例3.（2025•广东•八年级期末）如图，。438中,AB=3cmtBC=5cm,3E平分NA8C交于E点，CF

平分N8CO交AQ于F点，则EF的长为cm.

例4.例025.成都市青羊区八年级期中）如图,在八旬。中,N84c=90°,AQ_L6C于点。，NA5c的平

分线BE交AD于F,交AC于E,若AE=3,DF=2,贝ijAD=

例5.（2025.山东八年级期末）如图①，△A8c中，AB=AC,/B、NC的平分线交于。点，过。点作所〃8c

交A3、AC于£、足（1）图①中有几个等腰三角形?猜想:后厂与C”之间有怎样的关系.

⑵如图②，若4%AC,其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第⑴问中EF与BE、

C”间的关系还存在吗?（3）如图③，若△入8c中的平分线40与三角形外角平分线CO交于。，过。点作

OE〃BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?E尸与BE、C/关系又如何？说明你的理由.

A

A

模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型

1）内角平分线定理

图1图2图3

条件：如图1,在回ABC中，若AD是回BAC的平分线。结论：AB:AC=BD:CD

2）外角平分线定理

条件：如图2,在（3ABC中，加AC的外角平分线交BC的延长线于点D。结论：BD.CD=AB:AC.

3）奔驰模型

条件：如图3,的三边8C、AC、AB的长分别是a,b,c,其三条角平分线交于点。，将448C分

为二个二角形。结论：SAABO：Swo：Sa。=c：a：b»

例I.（2025秋•山东荷泽•八年级统考期中）如图，在中，ZA=90°,AB=2,BC=5,B0是NA8C

S.

的平分线，设△然£）和△加心的面积分别是H，5,则亍=.

2On

例2.（2025•广东惠州•八年级校考阶段练习）如图，的三边AB,BC,C4长分别是3,4,5,其三

条角平分线将金。分为三个三角形，则L即：5即：5©。为（）

图3

课后专项训练

1.12025春•山东淄博•九年级校考期中）如图,△AAC中，NABC=9O。，点/为“SC各内角平分线的交点,

过/点作AC的垂线，垂足为从若8C=3,A8=4,AC=5,那么〃/的值为（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

2.（2025春・湖南岳阳•八年级统考期末）如图，4EB。是“8c的角平分线，4及8。相交于点/1

于F,ZC=60°,下列四个结论：①幺。3=120。；②A£）+8E=A4；③若“8。的周长为见0尸二〃，则

S—=m〃；④若OE:OA=1:3,则8:08=2:3.其中正确的结论有（）个.

A.1B.2C.3D.4

3.（2025秋・四川南充•八年级校考期末）如图，内角/A8C和外角NACD的平分线交于点E,BE交

AC于点、F,过点E作反；〃8。交AA于点G,交AC于点“，连接人E,有以下结论；①BG-CH=GH；

②BF=EF；③若ZAC8=106。，则ZA£B=54。；®S^BCE:SABCE=BC:GE.⑤ZA£B+ZACE=90。.其中

正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2025秋•江苏宿迁•八年级校考期末）如图，在RSA8C中，ZACB=90°,CD1AB,垂足为。，4尸平

分/C48,交。。于点E,交C8于点F.若AC=3,AB=5f则CE的长为（）

5.（2025春•四川达州•八年级校考阶段练习）如图，在RtzMBC中，MCB=90。，CD^AB,垂足为。，AF

平分（3CA私交C。于点E,交CB于点F,则下列结论成立的是（）

6.（2025・贵州•中考模拟）如图，在酎8c中，0A8。和蜘C3的平分线交于点E,过点£作MN〃反?交A3

于交AC于M若BM+CN=9,则线段MN的长为（）

A.6B.7C.8D.9

7.（2025・河南开封•统考模拟预测）如图，在8c中，ZC=9€»°,ZB=30°,以A为圆心，任意长为半径

画弧分别交A4、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,

连接AP并延长交8C于点。，以下结论错误的是（）

A

A.4。是NBAC的平分线B.Z4ZX?=60°

C.点。在线段4K的垂直平分线上D.5»加：5"叱=1:2

8.（2025•江苏扬州•九年级校联考期末）如图，在Rt"8C中，MC8=90。，CD^AB,垂足为。,AP平分回。3,

交CD于点E,交CB于点F.若AC=6,48=10,则。£的长为（）

9.（2025•北京顺义•统考二模）如图，在△A8C中，AD,8。分别是/B4C,N4BC的平分线，过点。作

EF//AB,分别交AC,BC于点E,F.若AE=4,BF=6,则E产的长为.

1（）.（2025春•陕西咸阳•八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）如图，在“WC中，NB=60。,ZC=50°,

sAE

点。为的边8c上一点，点区G分别在边A3、AC上，连接A。、DE、DG,若产生二行，则

,△ADGAG

^ADC的度数为。.

II.（2025秋・安徽滁州•八年级统考期末）△A8C中，。是8C边上的点（不与点B,。重合），连接AO.

（1）如图1,当AO平分NA4c时，若48=5,AC=3,则22•=：（2）如图2,AO平分/B4C,

延长AO到E,使得49=D£,连接跖，如果AC=2,A4=4,可皿=6,则，枷=.

12.（2025.广东九年级期中）如图所示，在△ABC中,8c=6,E、尸分别是A3、4C的中点,动点P在射线

EF上,BP交CE于D,NCBP的平分线交CE于Q,当CQ=gcE时，EP+BP=.

13.（2025春•山东淄博•七年级统考期末）如图，在AABC中，ZAC25=90°,CE是斜边48上的高，ZABC

的平分线80交C£于点交AC于点。.（1）求证：VCQM是等腰三角形.（2）若A8=10,AC=8.求ME

的长度.

14.（2025秋•江苏•八年级专题练习）如图，在“BC中，ZACB=90°,C。是A4边上的高，AE是NB4C

的角平分线，AE与CD交于点F,求证：△CE厂是等腰三角形.

15.（2025广东江门八年级月考）（1）如图1,已知，在“BC中，AB=AC=10,8。平分N48C,C力平

分ZACS,过点。作石尸〃5C,分别交A8、AC于E、尸两点,，则图中共有个等腰三角形：EF

与BE、之间的数量关系是,ZsAE尸的周长是.

(2)如图2,若将(1)中ZABC中，AB=AC=10"改为"若"18。为不等边三角形，>4B=8,AC=10"

其余条件不变，则图中共有个等腰三角形：石尸与肱、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，

并求出的周长.

(3)已知：如图3,。在外，AB>AC,且8。平分/ABC,8平分的外角NACG,过点。

作DE〃次7,分别交A4、AC于E、F两点,则政与跖、C尸之间又有何数量关系呢？写出结论并证明.

图1图2图3

16.(2025秋•福建厦门•八年级厦门市湖里中学校考期中)如图，为A45C的角平分线.

AA

(1)如图1,若CELAD于点F,交AB于点、E,心=7,AC=5.则8E=；

(2)如图2,若A8=7,AC=5,AAC。的面积是10,求AA8C的面积；

(3)如图3,若NC=2/B,AB=m,AC=〃，请直接写出的长(用含加，〃的式子表示)

17.(2025・湖南长沙•统考二模)如图，AB//CD,按照下列步骤作图：

①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交A3、AC于£、F两点;

②分别以E、r为圆心，大于尸的长为半径画弧，两弧交于点P：③作射线人人交C。于点M.

(1)试根据作图过程，说明AM是/B4C的平分线的理由；(2)若NCM4=25。，求NC的度数.

18.(2025•宁夏石嘴山•统考一模)爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽经过思考

发现里面还有一个有趣的结论：

⑴【问题发现】如图】所示，若的角平分线，可得到结论：笔=卷

图I

小明的解法如下：过点。作小BAA于点。/工AC于点尸，过点A作4G_LBC于点G,

12AD是N84C的角平分线，且OE/A5,DFJ.AC,

0______________________

-ABxDEAD

Sc^BD=2=空,

%/)c-ACXDFAC

2

—［皿叫吗团丝二处

SQADC-CDXAGCDACDC

2

（2）【类比探究】如图2所示，若AO是/84C的外角平分线，A。与BC的延长线交于点。.求证：笑=丝.

ACDC

⑶【直接应用】如图3所示，Rt/XABC中，ZC=90°,A。是/胡C交8C于。，若应）=10,CD=6,在

不添加辅助线的情况下直接写出AB=.

⑷【拓展应用】如图4所示，在J13C中，ZABC=90,AB=6,BC=8,将“8C先沿NBAC的平分线

40折叠，8点刚好落在AC上的E点，剪掉重叠部分（即四边形ABQE）,再将余下部分（4ABC）沿NOEC

的平分线EF折叠，再剪掉重叠部分（即四边形OEGP）,求出剩余部分△R7G的面积.

19.（2025•河南驻马店•校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

《数学的发现》是2006年科学出版社出版的图书，作者是（美；乔治・波利亚.本书通过对各种类型生动而

有趣的典型问题（有些是非数学的））进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出「各种数学模型.

共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形.

共高定理：如图①，设点M在直线A3上，点尸为直线外一点，则有产L=

下面是该结论的证明过程：证明：如图①，过点尸作于点Q,

按要求完成下列任务:

图①图②图③

（1）请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明:

（2）即图②，△ABC,①画出N54c的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用28铅笔作图）;

②若NB4c的平分线交BC于。，求证：萼=黑；（3）如图③，E是平行四边形A8CQ边CQ上一点，连

/IZ-X

接跖并延长，交A。的延长线于点忆连接若VADE的面积为2,则△CEF的面积为二

20.（2025・安徽合肥•九年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的学习任务:

已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比

例，如图①,在中,A。平分NMC则黑=器.下面是这个定理的部分证明过程.

（1）证明：如图②，过C作CE/D4,交84的延长线于£请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.

（2）你还有其他的证明方法么？如果有，另外写出一个完整的证明过程。

专题08三角形中的重要模型

•平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全

等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

平分平行（射构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）

模型1、平分平行（射影）构等腰

1）角平分线加平行线必出等腰三角形.

模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题.平行线、角平分线

及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。

平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

条件：如图1,O。'平分NMOM过00'的一点。作PQ〃CW.结论：△OPQ是等腰三角形。

条件：如图2,△ABC中，BD是NABC的角平分线，DE〃BC。结论：△8OE是等腰三角形。

条件：如图3,在8c中，8。平分/ABC,C0平分过点。作的平行线与AB,4c分别相

交于点M,N.结论：2B0M、△CON都是等腰三角形。

2）角平分线加射影模型必出等腰三角形.

条件：如图4,BE平分NCBA,NACB=NCD4=90。.结论：三角形。石尸是等腰三角膨＜.

例I.（2025•河南濮阳•统考二模）如图，直线乙〃，2,点。、A分别在《、/?上，以点A为圆心，适当长为

半径画弧，交AC、于点。、E；分别以。、E为圆心，大于goE长为半径画弧，两弧交于点尸；作射

线A/交4于点6.若N8C4=130°,则N1的度数为（）

A.20°B.25°C.30°D,50°

【答案】B

【分析】根据作图可知A3是NC4E的角平分线，进而根据平行线的性质即可求解.

【详解】解：2，•••NBC4+NC4E=180°

VZBC4=130°,ANC4E=50。根据作图可知A8是/C4E的角平分线，

AZ1=-ZC/1B=25O,故选：B.

2

【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键.

例2.（2025.湖南长沙八年级期中）如图，点。为财8C的和财C8的平分线的交点，OQ〃A8交8c

于点。，OE〃AC交BC于点、E.若4B=5cm,BC=10cm,AC=9cm,则团0。石的周长为（）

A.10cmB.9cmC.8cmD.5cm

【答案】A

【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质，把三条边转移到同一条线段BC上，即可解答.

【详解】解：如图：

回。C、08分别是MC8、团48c的角平分线，035=06,01=02,

团0D2AB,OE0AC,瓯4=回6,01=03.

004=05,02=03,即OD=BD,OE=CE.

酿OOE的周长=OZ）+OE+OE=8Q+DE+CE=8C=10cm.故选：A.

【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，关键是证明回8。。，I3OEC都是等腰三

角形.

例3.（2025•广东•八年级期末）如图，口A8C。中，AB=3cm,BC=5cm,BE平分NA8c交4。于七点，CF

平分NBC。交人。于F点，则E/的长为cm.

【答案】1

【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE二AB,DF=DC,进而推

出EF=AE+DF-AD.

【详解】:四边形ABCD是平行四边形，AZAEB=ZEBC,AD=BC=5an,

・••BE平分NA8C,:・NABE=NEBC,则

.\AB=AE=3cm,同理可证：DF=DC=AB=3cm,

则E/=AE+・AO=3+3・5=lc〃?.故答案为：I.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边.

例4.（2025.成都市青羊区八年级期中）如图，在△/46C中，N84C=90。，八£>_1_8c于点。，NA8c的平

分线8E交A。于F,交AC于E,若AE=3,DF=2,则4）=.

【详解】由角度分析易知/4£产=/4庄，即AE=A/，

VAE=3/.AF=3VDF=2：,AD=AF+DF=5

【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型.

例5.（2025.山东八年级期末）如图①，AABC中，AB=4C,N8、NC的平分线交于。点，过。点作8c

交A8、4c于E、£（1）图①中有几个等腰三角形?猜想:后户与BE、Cf之间有怎样的关系.

⑵如图②，若A及4C,其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第⑴问中EF与BE、

。尸间的关系还存在吗?（3）如图③，若△ABC中的平分线B0与三角形外角平分线C。交于。，过。点作

OE//BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?"1与BE、C/关系又如何?说明你的理由.

【答案】（1）&AEF、△OEB.△OFC.△OBC.△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，AEOB、△FOC,

存在；（3）有，EF=BE-FC.

【分析】（1）由"=AC,可得NA8C二NAC3；又已知。8、0C分别平分NA/3C、NACB；故

ZEBO=ZOBC=ZFCO=ZOCBx根据石产〃AC,可得：ZOEB=ZOBC=ZEBO,ZFOC=ZFCO=ZBCO；

由此可得出的等腰三角形有：AAEF、△OEB.△OFC.20BC、ABC；

已知了△月。8和△尸0c是等腰三角形，则E0=8E,0F=FC,KlEF=BE+FC.

（2）由（1）的证明过程可知：在证A0EB、△0FC是等腰三角形的过程中，与A8=AC的条件没有关系,

故这两个等腰三角形还成立.所以（1）中得出的EF=8£+FC的结论仍成立.

（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了

【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEA△OEB.△0FC.△OBC.AABC；

EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC.理由如下：

VAB=AC,/.ZACB=ZABC,△ABC是等腰三角形；

•：B0、CO分别平分NABC和NAC8,

二NABO=N（）BC=gZABC,ZOCB=ZACO=^ZACB,

，：EF〃BC,:・/EOB=NOBC,NFOC=/OCB,

J^ABO=ZOBC=ZEOB=ZOCB=ZFOC=ZFCO,

:.&EOB、△OBC.AFOC都是等腰三角形，

♦：EF〃B3：,ZAEF=ZABC,NAFE;NACB,

:.NAEFnNAFE,.二△AEF是等腰三角形，

VOB、OC平分NA8C、NACB,:・NABO=NOBC,ZACO=ZOCB-

VEF//BC,:・/EOB=/OBC=/EBO,ZFOC=ZOCB=ZFCO；

BPEO=EB,FO=FC；：,EF=EO+OF=BE+CF；

（2）当△EOB.△尸OC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立.

•：0R、OC平分NA8C、NACB,A^ABO=^OBC,NACO=NOCB；

♦:EF//BC,；.NEOB=NOBC=/EBO,/FOC=/OCB=/FCO；

B|JEO=EB,FO=FC；：,EF=EO+OF=BE+CF；

（3）△£。3和△尸OC仍是等腰三角形，EF=BE-FC.理由如下：

同（1）可证得△以用是等腰三角形；・・・£0〃8C,・・・NRX>N0CG；

平分NACG,:・NACO=/FOC=NOCG,

：.FO=FC,故△R9C是等腰三角形；:・EF=EO-FO=BE-FC.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识.进行线段的等量代

换是正确解答本题的关键.

模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型

1）内角平分线定理

图1图2图3

条件：如图1,在（3ABC中，若AD是团BAC的平分线。结论：AB:AC=BD:CD

2）外角平分线定理

条件：如图2,在（3ABC中，回BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。结论：BI>.CD=AB.AC.

3）奔驰模型

条件：如图3,△ABC的三边BC、AC.AB的长分别是a,b,c,其三条角平分线交于点0,将仅43。分

为二个二角形.结论：Z皿:S"：Sqo=c：a：1八

例I.（2025秋•山东荷泽•八年级统考期中）如图，在“8C中，NA=90。，A8=2,BC=5,BD是N48C

的平分线，设△A5O和△8OC的面积分别是S-S2,则去=.

A

Si

Sz

B

2

【答案】y/0.4

【分析】过点。作OE_LBC于£根据角平分线的性质得出=再根据三角形的面积公式得出£与

邑即可求解.

【详解】解：如图，过点。作。£18。于E,

,/DA1BA,DELBC,BO是/A8C的角平分线，:・DE=DA,

I1sA829

VS^-ABAD,S'BCDE,：啜=旅二三,故答案为：j.

【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质得出OE=/）A是解题的关键.

例2.（2025•广东惠州•八年级校考阶段练习）如图，”18。的三边AB,BC,C4长分别是3,4,5,其三

条角平分线将△AAC分为三个三角形，则Sj即：S.BC。:S&CAO为（）

A.1:1:1B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5

【答案】D

【分析】过点。作。。_L8C于点。，作OEJLAC于点E,作OF1AB于点F,由Q4,OB,OC是"SC

的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF,然后利用三角形面积的计算公式表示出凡八加、

Sac。、S皿o,结合己知，即可得到所求的三个面积的比.

【详解】解：过点。作OD_LBC于点D,作OE/AC于点E,作。〃于点尸.

B

D

■.OA,OB,OC是"GC的三条用平分线，OD±BC,OEJ.ACT,OF工AB:.OD=OE=OF,

•••△ABC的三边人8、BC、AC长分别为3、4、5,

=(-xABxOF):(^BCxOD).(^xAC:<OE)=BA:CB'.CA=3：4：5.故选：D.

【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平

分线的性质定理解决问题.

例3.(2025春•江苏•九年级专题练习)请阅读以下材料，并完成相应的问题：

角平分线分线段成比例定理，如图1，在AABC中，A。平分N8AC,则=丝.

下面是这个定理的部分证明过程.

证明：如图2,过点C作CE〃加.交氏1的延长线于点石.…

任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；

(2)如图3,已知RtaABC中，AB=3,BC=4,N4BC=90。，4D平分/B4C,求△AB。的周长.

【答案】(1)见解析(2)—5

2

【分析】(1)过C作CE〃94,交区4的延长线利用平行线分线段成比例定理得到空=”，利用

CDEA

平行线的性质得N2=NACE,Nl=NE,由N1=N2得N4CE=NE,所以AE二AC,于是有空=空；

ACCD

(2)先利用勾股定理计算出AC=5，再利用(1)中的结论得到勺:累，即:=黑，则可计算出瓦)=],

ABBD3BD2

然后利用勾股定理计算由AD=^j5,从而可得到△ABD的周长.

【详解】（1）证明：如图2,过C作C石〃A4.交8A的延长线于E,

Dr\DA

VCE//AD,・•・一=­，Z2=ZACE,N1=NE,

CDEA

ADRfy

VZ1=Z2,/.ZACE=ZE,，AE=AC,:.—=—

ACCD

(2)解：如图3,・・・A8=3,8c=4,N4BC=90°,AC=y/B^+AB2==5»

•・Z£＞平分/BAC.即?=CD

ABBD3~BD

/.5D=^C=|x4=-|,/.AD=\lBD2+AB2==三亚，

的周长=3+3+3逐=9+35.

222

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线

分线段成比例定理是关键.

例4、0ABe中，团BAC的外角平分线交BC的延长线于点D,求证：BD:CD=ABAC.

证明：过C作AD的平行线交AB于点E.

0EC//AD田BD:CD=AB:AE,因=团3,02=04

0AD为团BAC的外角平分线001=（32033=01=02=134

0AE=ACI3BD:CD=AB:AC

例5.（2025秋・北京•八年级北京八十中校考期中）在418。中，D是8C边上的点（不与点8、。重合），连

接AD.

（1）如图1,当点。是边的中点时，S&ABD：S&ACD

(2)如图2,当A。平分/8AC时，若A8=〃?，AC=n,求5入伸,：5小6的值(用含加、〃的式子表示);

⑶如图3,AD平分N3AC,延长A。到E.使得4)=0石，连接应f,若AC=3,A8=539圮=1。，求

的值.

【答案】⑴1:1⑵〃?：〃⑶16

【分析】(1)过4作AE_L3C于E,根据三角形面积公式求出即可：

(2)过短作小工钻于E,DFJ.AC于F,根据角平分线性质求出。E=0F,根据三角形面积公式求出

即可；(3)根据已知和(1)(2)的结论求出△A3。和△ACD的面积，即可求出答案.

【详解】(1))过A作AEIBCFE,,・,点。是3C边上的中点，・,・“O=DC,

S^ABD:S△皿=(^xBDxAE):(|xCDxAE)=1:1故答案为：1:1：

(2)过。作小工人A于E,1AC于立:4。为/班C的角平分线，：.DE=DF,

VAB=m,AC=n,S^ABl>:S^ACD=(-xABxDE):(-xACxDF)=in:n；

(3)•AD=DE>*,*111(1)知：S&A8。：5.0=1:1,=10,=10,

;AC=3,A8=5,A。平分NA4C,••・由(2)知：：S“g=AS:AC=5:3,

••SaAco=6,二%八8c=l°+6=16，故答案为：16.

图3

【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据(1)(2)得出规律是解此题的关键.

课后专项训练

1.12025春•山东淄博•九年级校考期中）如图，AABC中，ZABC=90。，点/为AABC各内角平分线的交点,

过/点作AC的垂线，垂足为从若BC=3,AB=4,AC=5,那么〃/的值为（）

35

A.1B.-C.2D.—

22

【答案】A

【分析】连接小、出、IC,过/作于M,/N_L8C于M利用角平分线的性质，以及等积法求线

段的长度，即可得解.

【详解】解：连接小、IB、/C,过/作/M_LA8『M,INIBCJ-TV,

•・•点/为“8c各内角平分线的交点，/M_LA3，INIBC,1HLAC,：.IH=IM=IN,

VBC=3,AB=4,AC=5,S^Aftc=-^x3x4=6,

•:S&ABC=S△襁++5A4/c,；.6=；XABXIM+；XBCXIN+；XACXJH,

VBC=3,AD-4,AC=5,IH=IM=IN、ZZZ-1,故A正确.故选；A.

【点睛】本题主要考查角平分线的性质，等积法求线段长度.热练掌握角平分线的性质，利用等积法求线

段的长度是解题的关键.

2.（2025春・湖南岳阳•八年级统考期末）如图，AE,8。是“18。的角平分线，AE,BO相交于点O.N_LA8

于F,ZC=60°,下列四个结论：①403=120。；②A/7+4E=A4；③若的周长为孙。尸二〃，则

S^c=mn.④若OE：Q4=1:3,则00:08=2:3.其中正确的结论有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据三角形内角和定理可验证结论①；如图所示，在川上截取AK=AD,可证

△AOOZ△AOKISAS),△BO£0Z\8OK(ASA),根据全等三角形的性质可验证结论②；如图所示，连接0C,

过点。分别作OGJ_AC「点G,作。”上于点〃，根据角平分线的性质，三角形的面积计算方法可验证

结论③；结合结论②，③，图形结合，等面积法等知识可验证结论④.

【详解】解：结论①408=120°,

,/ZR4C+NC+Z4BC=180。,zC=60°,Zfi4C+ZABC=120°,

•・•是AABC的角平分线，AZCAE=Z.EAB=-ZCAB,/CBD=NDBA=L/ABC,

22

・・・NE48+NOR4='(NCA4+NC3A)=LXI20O=60。，在△AOA中，ZOAI3+ZOBA+ZAOB=180°,

22

:.£AOB=180°-(ZOAB+/OBA)=180°-60°=120°,故结论①正确；

结论②乂O+H月=42,由结论①正确可知，408=120°,

:^AOD+ZAOB=\^f,：.ZAO£>=180°-ZAOB=180°-120°=60°,

,rZAOD=ZBOE,ZBOE=60°,如图所示，在AB上截取AK=A。，

•；AE,BD是&ABC的角平分线，••・NDAO=NKAO,

AD=AK

・•・在△AORAAOK中，\^DAO=^KAO,；.△AOD^Z\AOK(SAS),

AO=AO(公共边)

・•・ZDOA=ZKOA=60°,/.ZBOK=ZAOB-ZAOK=120°-60°=60°,

AAD=AK,4BOK=NBOE=3,・•.在△8OE,Z\BOK中,

/BOK=/BOE

OB=OB(公共边)，・•・△8OEg/\8OK(ASA),:.BE=BK,

4)BK=NOBE

AAK+BK=AD^BE=AB,故结论②正确：结论③若的周长为〃?,。/=〃，则2八除=加〃，

如图所示，连接OC,过点0分别作OGJ_AC于点G,作OHJBCT点H,

•••。。平分/人口，OF=OG=OH=n,且AB+AC+8C="?,

VW=S》oc+S)°B+Sgoc=；A&°G+；AMF+；BC。”，

JS&mc=；OF^AB+8C+AC)=Jnui*nm,故结论③错误；

结论④若OE：O4=1：3,则。。:O4=2:3,

如图所示，连接。C，过点。分别作OG_LAC于点G,作0”，3C于点”,

-BE・nnc

■S△+”.：2

S^BOE=gBE.OH,S&AOI)=gAB.OF，口.二0尸=〃，

§△2344B・〃AB

2

如图所示，过点。作4MJ_AE于点例，

।]s-OE^BMOF

^S^OB=-AOBM,SAB°E=3EO・BM,：•产/-----------=—.且O£OA=1:3,

22-OA.BMUA

2

.BEOE\ADOP

==如图所示

''\B~'OA~3同理,~AB~~OB,

由结论②正确可知，AD=AK,BE=BK,且学二院十.•翳二彩j

.AK2.ADAK2,ODAD2生…，cfm

,­«—=—=T»故结论@止确;

AB3ABAB3(JDAD3

综上所述，正确的有①②④，3个，故选：C.

【点睛】本题主要考查三角形的综合知识，掌握角的和差计算方法，角平分线的性质，三角形全等的判定

和性质，角平分线交的性质，线段之间比例的计算方法等知识的综合是解题的关键.

3.（2025秋•四川南充•八年级校考期末）如图，内角N43C和外角NACD的平分线交于点E,BE交

AC丁点尸，过点E作EG〃也）交A6丁点G,交AC丁点〃，连接AE,有以下结论；®BG-CII=G/I；

②BF=EF；③若ZAC8=106。，则ZA£B=54。；®S^BCE:S^BG£=BC:GE；⑤ZAEB+ZACE=90。.其中

正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】①根据知相等推出线段相等，再将线段进行转化，即可证明；

②AHEF与NCBF不能得出全等的结论，无法证明BF=EF；

③若NAC8=106。，无法推出NAE8=54。；④利用三角形面枳的公式即可证明；

⑤通过设未知数找到等量关系，从而证明NAEB+ZACE=90。.

【详解】①EG//BDZ.GEB=NEBC,Z.GEC=NECD

•・•内角N4AC和外角N4Q）的平分线交于点E

：."BE=/EBC，ZACE=NECD/.ZABE=Z.GEB,ZACE=4GEC

:・BG=GE,CH=HE：.BG-CH=GE-HE=GH：,BG-CH=GH,故①正确.

②zJ/所与VC6厂只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所以不能得出全等的结论，不能推

出质=所，故②错误

③若NAC8=106。，贝iJ/AC£）=74。，则NACE=NGEC=37。，无法推出N4£B=54。，故③错误

®LBCE的面积为BC乘以点E到线段BC的距离乘以\

/\BGE的面积为GE乘以点8到线段8C的距离乘以g

点E到线段BC的距离与点8到线段8C的距离相等，SgcE:SMQE=BC.GE,故④正确

⑤过点E作EN14C于MED1BC于D,EM上BA于M,如图，

:跖平分/ABC,：.EM=ED

•・・CE平分NACO,:・EN=ED：.EN=EM,.,.A£平分NC4M,

设ZAC石=NDCE=x,ZABE=NCBE=y,ZMAE=ZCAE=z,

则/8AC=1800-2z,ZACB=180-2x,

VZABC+ZACB+ZBAC=180°,Z.2y4-l80°-2z+180o-2x=180°,...x+z=），+90°。，

Vz=y±ZAEB,x十）'十/AE8=y+90°,/.x+ZAEB=SK）a,

即ZACE+ZAE8=90。，故⑤正确；故选C

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形

内角和定理，三角形外角的性质等多个知识点，解题的关键是灵活运用相关的定理进行求解.

4.（2025秋•江苏宿迁•八年级校考期末）如图，在Rld8C中