2026年中考数学几何模型解读与训练：三角形中的导角模型-平行线+拐点模型（学生版+详解版）

专题06三角形中的导角模型•平行线+拐点模型

近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的

•块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型：猪蹄模型（M

型）、铅笔头模型、牛角模型、羊用模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是•组平行线与•个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化，

模型1：猪蹄模型（M型）

【模型解读】

图1图2图3

如图1,①已知：AM//BN,结论：NAP8=NA+NB；②已知：ZAPB=ZA+ZB,结论：AM//BN.

如图2,已知：AM//BN,结论：ZPI+ZP3=ZA4-ZB+ZP2.

如图3,已知：AM//BN,结论：NP]+NP3+...+NP%+I=NA+N8+NP2+...+NP2〃.

例1.（2025・河南•统考二模）如图，AB//CD,4483=30。，ZCDM=45°,则的度数为（）

A.105°B.90°C.75°D.70°

例2.（2025春安徽蚌埠九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物

线有关.如图，从点。照射到抛物线上的光线。8,OC反射后沿着与P。平行的方向射出，已知图中

440=46。，ZOCD=88°,则/AOC的度数为（）

A.116°B.124°C.134°D.135。

例3.（2025春•四川泸州•七年级校考期末）如图所示，若AB回EF,用含。、£、7的式子表示工，应为（）

AB

A.a+0+yB.p+y-aC.180°-a-/+/yD.l80o+a+/7-/

例4.（2025・广东深圳•校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们

青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受•下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第•次走进

滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺

直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB//CD,当人脚与地面的夹角

NC£>E=60。时，求出此时上身人8与水平线的夹角N84厂的度数为（）

例5.（2025春•河南驻马店•九年级专题练习）己知/EAF\/EAB,NECF=-ECD,若

33

Z£=66°,则N厂为（）

A.23°B.33°C.44°D.46°

例6.（2025•浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断

口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫"木尺断口问

题〃.（1）如图（2）所示,已知A3//C。，请问E>4,/D，NE有何关系并说明理由；

（2）如图（3）所示，已知AB//CO,请问64,NE，N3又有何关系并说明理由；

（3）如图（4）所示，已知4B//CO,请问NE+NG与N4+N尸+ND有何关系并说明理由.

模型2：铅笔头模型

图1图2图3

如图1,①己知：AM//BN,结论：N1+N2+N3=360。；②己知：Zl+Z2+Z3=360°,结论：AM//BN.

如图2,已知：AM//BN,结论：ZJ+Z2+Z3+Z4=540°

如图3,已知:AM//BN,结论：/l+N2+...+N〃=（〃-1）180°.

例1.（2025・广东•统考二模）如图所示，已知〃所，那么ZBAC+NACE+NCM=（）

A.180°B.270°C.3600D.540°

例2.（2025・山西吕梁•校联考模拟预测）如图,这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平

行•若Nl=32。，Z2=62°,则N3的度数为（）

工作篮

3、

支撑平台//

I一

U

A.1180B.148°C.150°D.162°

例3.（2025•河南三门峡•校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸〃，可抽象为图2所

示的数学图形.已知CD垂直地面上的直线。尸于点力，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的8c段将绕

点C缓慢向上抬高，人笈段则一直保持水平状态上升（即44始终平行于O尸）.在该运动过程中，当

43。=112。时，N8C。的度数是（）

图1图2

A.112°B.138。C.158°D.128°

例4.（2025春•新疆•七年级校考阶段练习）如图，如果A3〃CD,那么团3+回厂+贴+团。=_。.

4C

例5.（2025春•河北保定•七年级校考期中）如图，已知则NA+N4+N4=，则

4+N&+…+4“等于（用含〃的式子表示）.

模型3：牛角模型

<1

如图I,已知：AB//DE,结论：a=0_y.如图2,已知：AB//DE,结论：a=/7+y-18O°.

例1.（2025・安徽滁州•校联考二模）如图,若ABUCD,则()

A.Z1=Z2+Z3B./l+N3=/2C.Zl+Z2+Z3=180°D.Z1-Z2+Z3=I8O°

例2.（2025•江苏•七年级假期作业）如图,若AB//CD,则团1+03G2的度数为

E

例3.（2025•湖北洪山•七年级期中）如图，AB//CD,P为直线A8,CD外一点，BF平分NABP,DE平

分/COP,8F的反向延长线交。£于点£,若NFED=a,试用。表示NP为.

例4.（2025春・广东深圳•九年级校校考期中）已知直线A8〃C。，点尸为直线AB,C。所确定的平面内

的一点，（1）问题提出：如图1,ZA=120°,ZC=130°.求NAPC的度数：

（2）问题迁移：如图2,写出NAPC,NA,NC之间的数量关系，并说明理由：

/H

（3）问题应用：如图3,ZE4H:Z/MB=1:3,ZECH=20°,ZDC/7=60°,求）的值.

NE

E

H

图3

例5.(2025•余干县八年级期末)已知直线AB〃CD,(1)如图1,直接写出NBME、NE、/END的数量

关系为:(2)如图2,NBME与NCNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探究NP与NE之间

的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3,ZABM=-ZMBE,ZCDN=-ZNDE,直线MB、ND交于点F,

n

模型4：羊角模型

如图I,已知：AB//DE,结论：a=Y-p.

如图2,已知：AB//DE,结论:a+Q+/=180。.

例1.(2025春•上海•七年级专题练习)如图所示，A的CD,0E=37°,0C=20°,则贴"的度数为

AB

D

E

例2.（2025•江苏七年级期中）如图所示，已知AB〃CD,ZA=50°,ZC=ZE.则NC等于（）

C.30°D.40°

例3.（2025春•浙江•七年级专题练习）已知A8〃CO,求证：35=0E+0D

例4.（2025・河南・统考三模）如图，己知ZA8c=150。，ZCDE=75°,则N3CO的度数为（）

例5.（2025•河北沧州•校考模拟预测）如图，ZA=58。，Z£>=122°,N1=3N2,N2=25。，点尸是8。上

一点.（1）NDEE的度数为：（2）若NMP=50°.则CE与P/（填“平行”或"不平行”）.

模型5：蛇形模型（“5”字模型）

基本模型：如图，AB//CD,结论：Zl+Z3-Z2=180°.

罗

/一

DED）E

图1图2

如图1,已知：AB//DE,结论：«=/7+180°-/.

如图2,已知：AB//DE,结论：ar=/+180°-/?.

例1.（2025・四川广元•统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C:、。三点，拐弯后与原来方向相同,

如图，若N43C=120°,ZBCD=80°,则NCQE等于（）

DE

8含「

120°/

A%

A.50°B.40°C.30°D.20°

例2.（2025•湖南长沙•九年级校联考期中）如图，若48〃CO,Na=65。，々=25。，则”口勺度数是（）

飞--------------------B

;

C------------------

A.115°B.130°C.140°D.1500

例3.（2025•河南周口•校联考三模）如图，AB//EF,ZB=1（X）°,/CDE=25。,则/BCD的度数是（）

B/

EDF

A.125°B.75°C.95°D.105°

例4.（2025•陕西西安•校考模拟预测）如图，AB//CD,CD//EF,CE平分，若N4BC=58。，贝I」NCEF

的度数为（）

A.131°B.141°C.1510D.161°

例5.（2025•江西•九年级校考阶段练习）如图N8AC=IO。，ZACD=125°,CD工EF于点D,将从4绕点4

逆时针旋转a，使A4〃E/，则。的最小值为

课后专项训练

1.（2025•山东临沂•统考二模）如图，a〃b,/l=45°,则N2的度数为（）

A.105°B.1250C.135°D.145°

2.（2025春・安徽•九年级专题练习）如图，已知：AB//EF,/B=NE,求证：BC//DE.在证明该结论

时，需添加辅助线，则以卜.关于辅助线的作法不正确的是（）

A.延长8C交EE的延长线于点GB.连接跳：C.分别作/BCD,NCDE的平分线CG,DH

D.过点C作CG〃A8（点G在点C左侧），过点D作DH〃EF（点〃在点。左侧）

3.（2025•浙江台州•统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若Nl=30。,

Z2=50°,则N3的度数为（）.

mu工作85

4.（2025•江苏•八年级假期作业）如图，两直线48、。平行，fflZl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=（）.

A.(530°B.720°C.800°D.900°

5.(2025•辽宁抚顺•统考三模)如图，若ZI=I5°,Z2=60°,那么ZBCE=()

A.1200B.1250C.130°D.135°

6.（2025・安徽芜湖•七年级期中）如图，A83C。，BF,DF分别平分0A8E和I3CDE,BF^DE,团F与互

补，则回尸的度数为

A.30°B.35°C.36°D.45°

7.（2025•内蒙古呼伦贝尔•统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中4=24。，N3=148。,

则/2的度数为（）

8.（2O2S春•重庆汀津•七年级校联考期中）如图.AR//CD.^ARE=^EBF,mCF=^ECF,设团ABE

J

=%回E=p,回尸=》，则a,夕，y的数量关系是（）

A.4^-tt+y=360°B.3/?-a+y=360°C.4^-a-y=360°D.3/7-2«-y=360°

9.（2025•江苏七年级期末）如图，AB//CD,则/1+/3—N2的度数等于.

10.（2025•湖南长沙•校联考二模）如图所示，AB//DE,Zl=130°,Z2=36°,则N3=—度.

11.（2025•四川成都七年级期末）己知直线47〃。石，射线。八0G分别平分/ABC,ZEDC,两射线

反向延长线交于点，，请写出N”，NC之间的数量关系：.

12.（2025•黑龙江一匕年级月考）如图，AB//CD,E是C7）上的点，过点、E作EFf/DF,若/PEF=々PEH,

13.（2025•浙江•九年级专题练习）如图，已知A8〃OE,ZBCD=30°,NCZ）E=138。，求/若8C的度数.

14.（2025春・重庆南岸•九年级校考期中）在数学课上老师提出了如下问题：

如图，ZB=160°,当NA与ND满足什么关系时，BC//DE?

小明认为NO-44=20。时8c7/。石，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作

图与填空:

解：用直尺和圆规，在OA的右侧找一点M,使NZMM=ND（只保留作图痕迹）.

^Z1）AM=ZD,

团①_________________

@ZD-ZZM«=20°

0ZBAM=②°,

[34=160。，

^ZB+ZBAM=③°,

00_________

中BC//DE.

所以满足的关系为：当N£>—44=20。时，BC//DE.

15.（2025春・河北廊坊•七年级校考阶段练习）（1）如图（1）猜想-3PD与NB、N。的关系,

说出理由.

（2）观察图（2）,已知AB//CD,猜想图中的/BPD与/B、NO的关系，并说明理由.

（3）观察图（3）和（4）,已知AB//CD，猜想图中的/两刃与N8、N。的关系，不需要说明理由.

16.（2025秋•广东江门•八年级校考阶段练习）（1）如图①，如果AB〃C£）,求证：ZAPC=ZA+ZC.

（2）如图②，AB//CD,根据上面的推理方法，直接写出4+NP+NQ+NC=.

（3）如图③，AB//CD,若ZABP=x,/BPQ=y,NPQC=z,NQCD=ln,贝ij〃?=（用工、

y.z表示）.

17.（2025春・山东淄博•九年级校考期中）如图，A8〃C。，点E为两宜线之间的一点.

⑴如图1,若N8AE=3（）°,ZZ）CE=20°,贝iJZAEC=；

如图1,若NBAE=a,4DCE=。,则/4EC=；

⑵如图2,试说明，NBAE+NAEC+NEa>=360。；（3）如图3,若的平分线与/ZX石的平分线相交

于点F,判断N4EC与乙4FC的数量关系，并说明理由.

18.（2025•湖南株洲市八年级期末）已知直线。〃b,直线EF分别与直线a,b相交于点£,F,点48分

别在直线。，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点£,F重合），设NP4£=N1,Z

APB=N2,NP8F=N3.

（1）如图1,当点P在线段"上运动时，试说明Z1+N3-N2；（提示：过点P作PM〃a）

（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出N1,Z2,N3之间的关系并给出证明.

②如图3所示，猜想Nl,Z2,/3之间的关系（不要求证明）.

19.（2025•内蒙古鄂尔多斯•七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中，AB//CD.

（1）分•别•说出图1、图2、图3、图4中,团1与©2、幽三者之间的关系.

（2）请你从中住期：个加以说明理由.

解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于。点的灯泡发出两束光线08、OC经灯碗

反射后平行射出.如果0AAO=S7。，［3DCO=44°,那么13AoG'

20.（2025春•湖北黄冈•七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AO〃8E

图①图②图③

(1)求证：ZB+ZC-ZA=180°：

⑵如图②，AQ、伙2分别为ND4C、/E8C的平分线所在直线，试探究NC与/AQ8的数量关系；

（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC〃Q4,直线A。、4c交于点p,QP上PB,直接写出

ZDAC：ZACB：ZCBE=.

21.（2025春•广东•七年级专题练习）（1）如图1,AB//CD,ZABE=45°,NCDE=21。,直接写出N8ED

的度数.（2）如图2,点E为直线A8.C7）间的一点，BF平分NABE,平分NCOE,写出N8£O

与//之间的关系并说明理由.（3）如图3,A4与。。相交于点G,点E为4G。内一点，BF平分NABE,

OF平分NCOE,若/BGQ=60°，/BFD=95。，直接写出N/正。的度数.

22.（2025春•福建三明•七年级校考期中）探索：小明在研究数学问题：已知AB//CD,AB和CZ）都不经

过点P，探索/尸与/A、/C的数量关系.

发现：在图1中，ZAPC=ZA+ZC；如图5

小明是这样证明的：过点尸作A2//AA

0ZAPQ=乙4

QPQHAB，AB//CD.

gPQHCD__________

团NCPQ=NC

团ZAPQ+ZCPQ=Z4+ZC

即ZAPC=Z4+ZC

(1)为小明的证明填上推理的依据;

(2)理解：

①在图2中，/2与/A、/C的数量关系为：

②在图3中，若乙4=30。，ZC=70°,则/尸的度数为：

(3)拓展:

在图4中，探究一夕与NA、/C的数量关系，并说明理由.

23.(2025春•山东•七年级专题练习)如图1,直线八8〃。。，点〜在两平行线之间，点石在AB上，点尸

在C。上，连接PE,PF.

(1)若团PEB=60°,0PFD=5O°,请求出(请写出必要的步骤，并说明理由)

(2)如图2,若点P,。在直线八B与CO之间时，01=30°,02=40%03=700,请求出回4=_.(不需说明理

由，请直接写出答案)

(3)如图3,在图1的基础上，作P/E平分田PE8,尸/尸平分由PPD,若设团^PFD=y\则回P尸(用

含上，y的式子表示).若巴石平分团P/必，巴/平分团P/FO,可得附2；PsE平分田PzEB,P./平分朋2五。，

专题06三角形中的导角模型•平行线+拐点模型

近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的

•块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型：猪蹄模型（M

型）、铅笔头模型、牛角模型、羊用模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是•组平行线与•个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化，

模型1：猪蹄模型（M型）

【模型解读】

图1图2图3

如图1,①已知：AM//BN,结论：NAP8=NA+NB；②已知：ZAPB=ZA+ZB,结论：AM//BN.

如图2,已知：AM//BN,结论：ZPI+ZP3=ZA4-ZB+ZP2.

如图3,已知：AM//BN,结论：NP]+NP3+...+NP%+I=NA+N8+NP2+...+NP2〃.

例1.（2025•河南洛阳•统考二模）如图，AR//CD,=30°,ZCDM=45°,则N8MD的度数为（）

A.105°B.90°C.75°D.70°

【答案】C

【分析】过点M作ME〃/V?，从而可得A5〃M£〃C4则有=NCDM=NDME,即可求NBMD

的度数.

【详解】解：过点〃作ME〃回，如图，

AB//CD,：.AB//ME//CD,/.ZABM="ME=30°,匕CDM=QME=45°,

;.NBMD=/BME+/DME="o.故选：C.

【点睛】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用.

例2.（2025春・安徽蚌埠•九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物

线有关.如图，从点。照射到抛物线上的光线OB,OC反射后沿着与夕。平行的方向射出，已知图中

440=46。，ZOCD=88°,则N80。的度数为（）

【答案】C

【分析】由平行线的性质即可得出4QP=46。，NCOP=88。，再根据4OC=ZBQP+NCQP即可求解.

【详解】由题意知4?〃PO〃CD团/8O尸=/4BO=46。，NCOP=/0C/）=88。

[3ZBOC=Z.BOP+ZCOP=134°^^：C.

【点睛】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键.

例3.（2025春•四川泸州•七年级校考期末）如图所示，若ABHEF.用含。、夕、/的式子表示工，应为（）

A.a+0+yB.p+y-aC.180。-a-y+万D.180。+。+4一7

【答案】C

【分析】过C作CD3AB,过M作MNI3EF,推出ABKD团MN团EF,根据平行线的性质得出a+QBCD=180。,

0DCM=0CMN,0NMF=r,求出团BCD=180°-a,0DCM=0CMN=/?,即可得出答案.

【详解】过C作CD0AB,过M作MN0EF,

0AB0EF,0AB0CD0MN0EF,0^+0BCD=18O0,0DCM=0CMN,0NMF=7,

团回BCD=1800”,0DCM=0CMN=/?-/,0x=[?]BCD+[?1DCM=180°-a-/+/7,故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力.

例4.（2025•广东深圳•校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励忐故事也激励着我们

青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受了奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第•次走进

滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺

直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB//CD,当人脚与地面的夹角

NC£>E=600时，求出此时上身A8与水平线的夹角N84/的度数为（）

A.60°B.45°C.50°D.55。

【答案】A

【分析】延长44交直线EO于点出，利用平行线的性质得出NC£>£=N£>，4=600,再由两直线平行，内错

角相等即可得出结果.

【详解】解：延长A8交直线瓦）于点•/AH//CD,：.ZCDE=ZDHA=60°,

•••根据题意得A尸〃.•.N£48=NOH4=60°,故选：A.

【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键.

例5.（2025春•河南驻马店•九年级专题练习）己知AB〃CO,NEAF=g/EAB,NECF=gNECD,若

33

Z£=66°,则NF为（）

CD

A.23°B.33°C.44°D.46°

【答案】C

【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得?EAB?ECD?AEC66,同样的方法

22

可得/尸=/力3+/穴7）,再根据角的倍分可得=-ZEAB.Z.FCD=-ZECD,由此即可得出答案.

JJ

【详解】如图，过点E作EG〃48,则

回？AEG彳iEAB,CEG=?ECD,\?EAB?ECD?AEG?CEG?AEC66°，

同理可得：ZF=ZFAB+4FCD,•/ZEAF=1/.EAB.ZECF=；/ECD,

22

0NFAB-NEAB、NFCD-±NECD,

33

2227

\IF?FAB1FCD-1EABECD-（?EAB?ECD）-?66?<l44,故选：C.

3333

【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

例6.（2025•浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断

口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问

题”.（1）如图（2）所示，已知4B//CD,请问DB，NO，/上有何关系并说明理由；

（2）如图（3）所示，已知A3//CO,请问BB,/E，N。又有何关系并说明理由：

（3）如图（4）所示，己知请问NE+NG与N8+NF+N力有何关系并说明理由.

(I)

【答案】见解析.

【解析】解：（1）ZF=ZB+ZD,理由如下：

过点E作直线a〃A8,则。〃48〃C。，则N8=N1,ZD=Z2,AZBED=Z1+Z2=ZB+ZD.

(2)ZE+ZB+ZD=360°,理由如下：

过点E作直线b〃人8,则b〃A8〃CD.・.NB+N3=180°,Z4+ZD=180°

:.N8+N3+N4+N。=360°即ZE+Z8+ZD=360°.

(3)NB+NF+ND=NE+NG,理由如下：

过点匕卜,G作直线C〃A8,d//AB,e//AB,贝ijC〃A8〃d〃e〃C。，

则N8=N5,Z6=Z7,Z8=Z9,Z10=ZD

AZB+ZfFG+ZD=Z5+Z7+Z8+Z10=Z5+Z6+Z9+Z10=Zef/:4-ZFGD.

模型2：铅笔头模型

图1图2图3

如图1,①己知：AM//BN,结论：N1+N2+N3=360。；②已知：N1+N2+/3=360。，结论:AM//BN.

如图2,已知：AM//BN,结论：/1+N2+N3+N4=540。

如图3,已知:AM//BN,结论：Zl+Z2+...+Zn=（〃-1）180°.

例1.（2025•广东•统考二模）如图所示，已知〃后尸，那么N84C+NACE+NCEb=（)

EF

A.180°B.270°C.360°D.540°

【答案】C

【分析】先根据平行线的性质得出NWC+NACD=180。，NDCE+NCM=18O°,进而可得出结论.

【详解】过点。作C。〃即，

ZBAC+ZACD=180°®,

QAB//EF,\AB//CD//EF,回

ADCE+NCEF=180。②,

由①+②得，ZBAC+ZACD+ZDCE+ZCEF=360°,

即？?ACE?CEF360?.故选：C.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补.

例2.（2025•山西吕梁•校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平

行•若Nl=32。，Z2=62°,则N3的度数为（）

C.150°D.162°

【答案】C

【分析】过点B作物〃工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可.

【详解】解：如图，过点8作B4〃工作篮底部，.•.N3+NM84=180。,

•••工作篮底部与支撑平台平行，6A〃工作篮底部「.取〃支撑平台，・•.NASN=/1=32。,

♦;〃=ZABN+/MBA,Z2=62°,/.ZMBA=30°,/.Z3=I5O°,故选：C.

【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等"、"两直线平行，同旁内角互补"是解题

的关键.

例3.（2025•河南三门峡•校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的〃曲臂直杆道闸〃，可抽象为图2所

示的数学图形.已知C7）垂直地面上的直线。尸于点。，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的/9C段将绕

点C缓慢向上抬高，A4段则一直保持水平状态上升（即A4始终平行于。尸）.在该运动过程中，当

【答案】C

【分析】如图所示，过点C作CM〃A4,利用平行线的性质得到

N/14C+N8CM=180。，NMCD-NCDF=T8（F,进而求出/比九/=68。，ZA/CD=90°,则

/BCD=NBCM+/MCD=158°.

【详解】解：如图所示，过点(：作CM〃AB,由DFUAB,^CM//AB//DF,

0ZABC+ZfiCM=18O°,ZMCD+ZCZ)F=180°,

0Z4BC=112°,CO_L。产即/6/=90。，aZBCM=68°,ZMCD=90°,

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.

例4.（2025春♦新疆•七年级校考阶段练习）如图，如果那么团8+（3/+团七+团。=_。.

I)

【答案】540

【分析】过点£作EM〃C力，过点尸作FN〃C。，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答.

【详解】过点E作项/〃CQ,过点F作FN〃CD,如图，

回AB〃C。，EM//CD.FN//CD,QAB〃FN,EM〃FN,

00^+0£?F/V=18Oo,I3^£M+SEFN=180°,0D+@D£M=18O°,

^DEF^DEM^FEM,⑦BFE=MFN+⑦EFN,

005+05FE+l3DEF+0D=0B+05F/V+0FE/W+[3EF^+{3D+（3DEM=54Oo,故答案为：540.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补.构造辅助线EM〃CO,FN//CD

是解答本题的关键.

例5.（2025春•河北保定•七年级校考期中）如图，己知4〃〃A。，贝IJNA十/4+NA-,贝lj

幺+/4+-♦+/4等于（用含〃的式子表示）.

X---------------C

【答案】360。/360度1：〃-1）」80。

【分析】过点外向右作4力〃A^,过点右向右作AE〃AB,得到A*〃4力〃…〃AB〃4C,根据两

直线平行同旁内角互补即可得出答案.

【详解】解：如图，过点%向右作人2。〃44，过点4向右作4后〃A8,

X--------------C

g）A8〃AC，0&E〃&力〃…〃4B〃A,c,

U

0Z41+Z4IA2/^=18O,4A3+N&4《=18U\…，

团幺+ZA14A+…+幺1AC=（«-1）-180°,

当〃=3时，Z^+ZA+ZA5=（3-1）-18O°=36O°故答案为：360。；（H-1）180°.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，根据题意作合适的辅助线是解题的关键.

模型3：牛角模型

如图1,已知：AB//DE,结论：a-p-y.

如图2,已知：AB//DE,结论：［=〃+7-180°.

例1.（2025・安徽滁州•校联考二模）如图，若ABUCD，则（）

A.Z1=Z2+Z3B./l+N3=/2C.Z14-Z2+Z3=180°D.Zl-Z2+Z3=180°

【答案】A

【分析】如图所示，过点E作防〃AB,则A8〃8〃口"由平行线的性质得到

Z3+ZCEF=18O°,Zl+ZAEF=180°,进一步推出N1=N2+/3.

【详解】解：如图所示，过点£作所〃A3,

中AB"CD,^AB//CD//EF,0Z3+ZC£F=180°,Z1+ZA£F=180°,

0ZAEF=18O0-Z1,Z3=180°-ZCEF=180°-Z2-ZAEF,

0Z3=18O°-Z2-18O°+Z1,0ZI=Z2+Z3,故选A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.

例2.（2025•江苏•七年级假期作业）如图，若AB//CD,则团1+（33-团2的度数为

【答案】180°

【分析】延长EA交CD于点F,则有02+团EFC=E）3,然后根据A8//CO可得（31WEFD,最后根据领补角及等量

代换可求解.

【详解】解：延长EA交CD于点F,如图所示：

/AB//CD,.,.01=0EFD,v02+[aEFC=03,N£FC=N3-N2,

•••AEFC+ZEFD=180°,Zl+Z3-Z2=180°；故答案为180°.

【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是

解题的关键

例3.（2025•湖北洪山•七年级期中）如图，已知A8〃CD,P为直线48,CD外一点，BF^ZABP,DE平

分NCDP,8F的反向延长线交OE于点E,若NFED=a,试用a表示NP为.

D

【答案】ZP=360°-2o

【分析】根据角平分线的性质得出N1=N2,Z3=Z4,平行线的性质得出N1=N5,N6="DC=2/3,

进而根据三角形内角和得出N5、/FED,再得到/P和。的关系，然后即可用。表示NP.

【详解】解：延长AB交PD于点G,延长FE交CD于点H,

;即平分N48P,平分NCDP,AZ1=Z2,Z3=Z4,

*：AB//CD,AZ1=Z5,N6=NPDC=2N3,

VZPBG=180o-2Z1,，NP8G=180°・2N5,.\Z5=90°-1ZPBG,

VZ/-tL?=18U0-ZHLD,Z5=1«UO-ZtHD,NEHU+NH七。+/3=18。°,

A180°-Z5+1800-NFEO+N3=180°,,NFED=180°-Z5+Z3,

AZFED=180°-(90°-ZPBG)+^Z6=90°+^-(ZPBG+Z6)=90°+-j(180°-ZP)=180°-^-Z

P,*：ZFED=a,・・・a=180。・g/P・・.NP=360°・2a.故答案为：ZP=360°-2a.

【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出处的关

系是关键.

例4.（2025春・广东深圳•九年级校校考期中）己知直线A8〃CO,点P为直线AB,C。所确定的平面内

的一点，（1）问题提出；如图1,44=120。，ZC=13O°.求的度数：

⑵问题迁移：如图2,写出NAPC,NA,NC之间的数量关系，并说明理由：

（3）问题应用：如图3,NEAH:NHAB=1:3,ZECH=20°,ZDCH=60°,求且的值.

Z.E

E

H

【分析】(1)过点尸作?。〃AB,易得A8〃PQ〃CD,由平行线的性质可得乙42。=60。，NbQ=50°,

即可求出/APC；⑵过点P作PQ//AB，易得A8〃PQ〃CO,根据平行线的性质可得ZAPC=ZA-ZC；

(3)过点七作以过点”作MV〃48,易得EM||CO,”N〃8,根据平行线的性质可得

/H

NCEA=NBAE-NDCE,NCH4=N/M〃-NDC〃，再由己知等量代换，即可求得r的值.

Z.E

【详解】(1)解：如图1所示，过点P作PQ〃A8,ZA+N4PQ=180°,

vZ4=120°,AZAP(2=180o-ZA=180o-120o=60o,-/AB//CD,/.PQ//CD,..NC+NCPQ=180。.

•/ZC=130°,ZCP0=180°-ZC=180°-130°=50°,/.ZAPC=ZAPQ+Z.CPQ=600+50°=110°:

(2)解：ZAPC=ZA-ZC,理由如下:

如图2,过点尸作PQ〃AB,AZAP(2=180°-Z4,­/AB//CD,PQ//CD,NCPQ=180。—NC,

AAPC=/CPQ-4APQ,/.ZAPC=l80o-ZC-(180°-Z4)=ZA-ZC；

(3)解：如图3,过点E作£M〃A3,过点〃作印V〃48,

•/ABHCD,EM||CD,HN〃CD,

...ZCE4=NCEM-ZAEM=180°-ZDCE-(180°-NBAE)=NBAE-ZDCE,

NCHA=NCHN-乙\HN=18WDCH-(1期一/BAH)=NBAH-/DCH,

vZE47/:Z/MB=1:3,NECH=20。,NOCH=60。，

Z.CEA=ZE4E-ZDCE=4ZEW-80°,ACHA=ZBAH-ZDCH=3ZEAH-60°,

NC7M_3NE47/-60。_3(NEA"_20。)_3

ACEA~4ZEA/7-8O0-4(ZE477-20°)-4

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键.

例5.（2025•余干县八年级期末）已知直线AB〃CD,（1）如图1,直接写出NBME、/E、NEND的数最

关系为;（2）如图2,NBME与NCNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探究NP与