2026人教版中考九年级数学上册基础训练：《圆》全章复习与巩固（培优篇）附详解

专题24.42《圆》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）

一、单选题

1.如图：已知是。。的直径，点。在。。上，点。在半径04上（不与点0,4重

合）.若NCQ4=60。，ZCDO=70°,N4C。的度数是1）

2.如图，在平面直角坐标系中，过格点A,B,C作一圆弧，点B与下列格点的连线

中，能够与该圆弧相切的是（）

C.点（5,I）D.点（6,I）

3.如图.将一块等腰心AAB。的直角顶点。放在。。I-.绕点。旋转二角形,使边人。

经过圆心0,某一时刻，斜边人B在0。上截得的线段06=25?,且6c=7cm,则OC的

长为（）

A.3cmB.ycmC.>/10cmD.2&cm

4.已知，如图，3,O）,C（O,3x/5）,点/，在第二象限运动乙4P8=30,求PC

的最小值为（）.

A.36-4B.1C.4^-4D.2

5.如图，在④中，点。在弦AB上移动，连接OC过点。作CZ）JLOC交④于点Z）.若

人4=2,则C。的最大值是（）

6.如图，已知：点A、B、。、。在。。上，AB=CDf下列结论：①NA0C=N80。；

®ZBOD=2ZBAD；®AC=BD；④NG4B=N8OC；⑤NC40+/。。。=180。.其中正确的个

数为（）

7.如图，48是的直径，C。分别是OAO8的中点，MC_LA8,NO_LA民在。O

上.下列结论：①MC=ND：②AM-A4N-NB:③四边形MCDN是正方形:④MN」.其

2

中正确的结论有（）

D.4个

8.如图，在。O中，点C在优弧A3上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若

0O的半径为石，AB=4.则BC的长是（）

9.如图，已知AA8C,AB=AC,以A4为直径的圆交AC于点。，过点。的。。的切

线交3c于点E若。0=5,CE=4,则。。的半径是（）

10.如图，在^4ABC1中，ZC=90°,AB=6,八。是加。的平分线，经过A,。两

点的圆的圆心O恰好落在人8上，分别与八8、AC相交于点E、F.若圆半径为2.则

阴影部分面积（）.

9

石

D.2--

11.已知。。的直径为10cm,AB,CD是。O的两条龙，AB//CD,48=8cm,CZ）=6cm,

则4B与。。之间的距离为cm.

12.如图，AB、CD是回。的两条弦，若0AoB+（3C=180°,0COD=0A,则I3AOB=

17.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0,2）、＜4,0）,点P是直

线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与田AOB的一条边所在直线相切时,

点P的坐标为.

18.如图，。。为aABC的内切圆，ZC=90°,AO的延长线交BC于点D,AC=4,

DC=1,则。O的半径等于.

19.如图，中，A/3为直径，弦CD交AB于P,且OP=PC,试猜想斗。与CB之

间的关系，并证明你的猜想.

20.如图，在中，AB=AC,以为直径的半圆O分别交8C,AC于点。，E,

连结力E,OD.

(1)求证:BD=ED'

(2)当次石，8E的度数之比为4:5时，求四边形四个内角的度数.

21.如图，A8是。O的直径，户为A8上一点，弦C。与弦EF交于点P,P8平分NOPF,

连。尸交A3于点G.

(1)求证：CD=EF；

(2)若/。尸b=60。，PE：PF=1：3,A8=2jil,求0G的长.

22.如图，以48为直径的上有一动点C,0。的切线CO交的延长线于点，

过点A作8Mli交。。于点M,连接AM,OM,BC.

(1)求证：AMHCD

(2)若。4=5,填空：

①当AM=时，四边形0C8M为菱形；

②连接MD,过点。作QV_LMO于点M若BD=5五一5，则。N=.

23.正方形ABCD的四个顶点都在。。上，E是00上的一点.

(1)如图①，若点E在A8上，F是DE上的一点，DF=BE.求证：△ADFgZ\ABE；

(2)在(1)的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=&

AE.请说明理由;

(3)如图②，若点E在48上.连接DE,CE,已知BC=5,BE=I,求DE及CE的长.

图①图②

24.在R/ZkABC中，NBCA=90。，CA=CB,点。是△ABC外一动点(点从点D位

于AC两侧)，连接CO,AD.

(1)如图1,点。是A8的中点，连接OC,0D,当AAO。为等边三角形时，NADC的

度数是：

(2)如图2,连接BQ,当乙4。。=135。时，探究线段8。，CD,QA之间的数量关系，

并说明理由；

(3)如图3,是△ABC的外接圆，点。在4c上，点E为A8上一点，连接CE,DE,

当AE=I,BE=7Hj,直接写出△CQE面积的最大值及此时线段的长.

参考答案

1.D

【分析】根据CO=AO,NCCM=60。，可得AACO为等边三角形，所以可得乙4co=60°,

再根据三角形的外角等于剩余两个内角之和，即可求得NACD

解：\'OA=OC,NCOA=60°,

・•・△ACO为等边三角形，

AZCAD=60°,

ZACD=ZCDO-ZCAD=10°.

故选D.

【点拨】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的任意一个外角等于剩余两个内角之

解：•・•过格点A,B,C作一圆弧，，三点组成的圆的圆心为：0（2,0）,•・•只有

NOBD+NEBF=90。时、BF与圆相切，当△BOD且ZXFBE时，.,.EF=BD=2,F点的坐标

为：（5,1）,・••点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5,I）.故选C.

a1oDX

3.A

【分析】利用垂径定理得ME=DM=1,利用勾股定理和等腰三角形的性质得OM与DO

的关系式，解得结果.

解：过O点作OM_LAB,

/.ME=DM=lcm,

设MO=h,CO=DO=x,

•••△ABC为等腰直角三角形，AC=BC,

・•・ZMAO=45°,

.*.A0=V2h

VAO=7-x,

V2h=7-x,

在RMDMO中，

h2=x2-1，

.*.2x2-2=49-14x+x2,

解得：x=-17(舍去)或x=3,

故选A.

【点拨】本题主要考直了勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，作出适当的辅助线,

数形结合，建立等量关系是解答此题的关犍.

4.D

【分析】根据题意知点P的运动轨迹是以点M为圆心，半径,=2的圆弧，当点P在

BC上时，PC有最小值，据此可求解.

解：如图,

VA(-1,0),B(-3,0),

AAB=2,

VZAPB=30°,

二点P的轨迹是以M为圆心，半径r=2的圆弧；

易得圆心M坐标为(-2,6)，CM=7(-2)2+(3^->/3)2=4,

'■PCnin=CM-r=4-2=2,

故选D

【点拨】本题考查了线段最短问题，确定点P的位置是解本题的难点.

5.D

【分析】连接OD,如图，利用勾股定理得CD,利用垂线段最短得到当OC_LAB时,

OC最小，再求出CD即可.

解：连接O。，如图，

VCD1OC,

r.ZDCO=90%

・•・CD=yjonr-OC1=yjr2-oc2，

当。c的值最小时，co的值最大，

而OCJ_AB时，0C最小，此时D.B两点重合,

CD=CB=；x2=1.

即C。的最大值为I.

【点拨】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，求出点C的位置是

解颍的关键.

6.C

【分析】根据圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系逐个判断

即可.

解：f：AB=CD,

:'CBD=RCA，

・'・AC=BD，

；・NAOC=NBOD,故①正确；

•・•圆周角NBAD和圆心角ZBOD都对着BD,

・・・NBOD=2NB4£),故②正确；

,**AC=BD，

：,AC-BD,故③正确；

•・•圆周角NCAB和NBDC都对着BC，

・・・NC4B=NBDC,故④正确；

延长。。交。。于M.连接AM,

•・・。、C、A、M四点共圆，

JZCDO+/C4M=180。(圆内接四边形对角互补),

•••/C4M>NCAO,

•••NC4O+NCQOV180。，故⑤错误；

即正确的个数是4个，

故选C.

【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等

知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.

7.C

【分析】根据题意连结OM、ON,易得OC=；OM,OD=；ON,利用含3()度的直角三角

形三边关系得N0MO30。，ZOND=30°,所以MC=®)C,ND=6(2,MC=ND,则可对

①进行判断；再计算出NMOC=NNOD=60。，则NMON=60。，于是根据圆心角、弧、弦的

关系对②进行判断；先证明四边形MCDN为平行四边形，加上NMCO90。，则可判断四边

形MCDN为矩形，由于A/C=GOC,则MC=@C。，于是可对③进行判断；由四边形MCDN

2

为矩形得至MN=CD,贝IJMV=，A8,则可对④进行判断.

2

【详解】解：如图，连接OM,ON.

•••C。分别是QAOB的中点,

;.OC=OD,OC=；OM,OD=；ON.

:.MCA.AB,NDLAB,

NOMC=30",NONO=30°,

/.MC=上OC,ND=瓜）D,MC=ND,故①正确.

/MOC=/NOD=6d、

ZMQN=6。,

：.AM=MN=NB'故②正确・

•.•CMI/ND、MC=ND,

・•・四边形MCDV为平行四边形.

•・•NMCO=90°，

・•・四边形Maw为矩形.

MC=—CD,

2

・•・四边形MCDV不是正方形，故③错误.

•・•四边形MCDV为矩形，

；.MN=CD、

故④正确.

综上，①②④正确.

故选：C.

【点睛】本题考查圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系，注意掌握在同圆或等圆中，同弧

或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对

的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

8.B

【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE_LAB于E,OFJ_CE于F,如图，利用

垂径定理得到OD_LAB,则AD=BD=^AB=2,于是根据勾股定理可计算出OD=1,再利用

折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AC=CQ，所以

AC二DC,利用等腰三角形的性质得AE=DE=1,接着证明四边形ODEF为正方形得到

OF=EF=1,然后计算出CF后得至l|CE=BE=3,于是得至l]BC=30.

解：连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE_LAB于E,OF_LCE于F,如图,

•••D为AB的中点，

AOD1AB,

AAD=BD=^AB=2,

在RSOBD中，OD=J（可_2?=1,

•・•将弧BC沿BC折盖后刚好经过AB的中点D,

・••弧AC和弧CD所在的圆为等圆，

•**AC=CD^

AAC=DC,

/.AE=DE=1,

易得四边形ODEF为正方形，

AOF=EF=1,

在RiZkOCF中，CF=J（可一F=2,

・・・CE;CF+EF=2+1=3,

而BE=BD+DE=2+1=3,

・•・BC=30,

故选B.

【点拨】本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质，若出现圆的切线，必连过切

点的半径，构造定理图，得出垂直关系，熟练掌握相关的定理和性质是解题的关键.

9.D

【分析】由题意可得DEJ_BC,由勾股定理可得DE=3,利用面枳法结合勾股定理求得

BC的长，利用等腰三角形的性质求得AB的长，即可求。。的半径.

解：如图，连接OD、BD,

D

•••AB是OO的直径，

AZADB=90°,

，BD_LAC,

XVAB=BC,

AAD=CD,

XVAO=OB,

・・・0D是△ABC的中位线，

，OD〃BC,

・・・DE是。O的切线，

:.DE±OD,

ADE1BC,

VCD=5,CE=4,

***DE=\jCD2—CE2=>J52—42=3，

,・&BCD=GBD・CD=!BC・DE,

22

A5BD=3BC,

.\BD=|BC,

■:BD2+CD2=BC2，

Af-Bcl+52=叱，

(5)

25

解得：AC=3，

4

VAB=BC,

的半径是：V

O

故选：D.

【点拨】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理的应

用，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

10.C

【分析】连接OD,OF.首先证明OD〃AC,推出5阴=5扇形OFA,再证明AAOF是等

边三角形即可解决问题.

解：连接OD,OF.

・・・AD是NBAC的平分线，

AZDAB=ZDAC,

VOD=OA,

/.ZODA=ZOAD,

AZODA=ZDAC,

・・・OD〃AC,

AZODB=ZC=90°,

•••SAAFD=SAOFA,

••S阴=S娟彩OFA»

VOD=OA=2,AB=6,

/.OB=4,

AOB=2OD,

・・・NB=30。，

AZA=60°,

VOF=OA,

•••△AOF是等边三角形，

；・ZAOF=60°,

AS阴=S扇形OFA=鲤2=生.

3603

故选：C.

【点拨】本题考查扇形的面枳，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题

的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题.

11.7或1.

【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧

时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案.

解：分两种情况考虑:

当两条弦位于圆心0一侧时，如图1所小，

过O作OEJ_CD,交CD于点E,交AB于点F,连接OC,OA,

VAB/7CD,AOE1AB,

・・・E、F分别为CD、AB的中点,

JCE=DE=yCD=3cm,AF=BF=AB=4cm,

在Rt^AOF中，0A=5cm,AF=4cm,

根据勾股定理得：OF=3cm,

在RsCOE中，0C=5cm,CE=3cm,

根据勾股定理得：OE=4cm,

则EF=OE-OF=4cm-3cm=1cm；

当两条弦位于圆心0两侧时，如图2所示，

同理可得EF=4cm+3cm=7cni,

综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm.

故答案为：7或1.

【点拨】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，热练掌握垂径定理

是解本题的关键.

12.108°

解：设NCOD=NA=x。，表示出/AOB=(180-2x)。和,

然后利用三角形内角和定理求解(更产),+180-2x=180,解得：x=36,可求NAOB=(180

-2x)°=108°,

故答案为108°.

13.6也

【分析】连接OA、08、OP,根据圆周角定理求得/AP8=NC=30。，进而求得/%B

=ZAPB=30°fZABP=120°,根据垂径定理得至U08_LAP,AD=PD,ZOBP=ZOBA=

60。，即可求得△404是等边三角形，从而求得。4=04=6,解直角三角形求得PQ,即可

求得力.

解：连接0人、OB、OP,

VZC=30°,

・•・NAP8=NC=30。，

•:PB=AB，

:・PB=AB,

：.ZPAB=ZAPB=3^

：,Z4BP=120°,

PB=AB,

：.OBLAP,AD=PD,

・・・NOBP=NOBA=60。，

•：OB=OA,

•••△AO3是等边三角形，

.*.AB=0A=6,

则RtNB。中，PD=皂PB=立义6=3+,

22

:・AP=2PD=6y/j,

故答案为6Q.

c

【点拨】本题主要考查垂径定理，关键在「根据题意做出辅助线，构造直角三角形，结

合三角函数的特殊角进行计算，这是这类题目的通常解题思路.

14.

4

解：分析：如图，连接AC、BD交于点0，.当点P与B或C重合时，aPAD的外接圆

的圆心与O重合，当PA二PD时，设^PAD的外接圆的圆心为O,PO的延长线交AD于E,

设P0=0D=x,因为APAD的外心在线段AD的垂直平分线上，

观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，AADP的外接圆的圆心。的运动路径长是

200，，由此即可解决问题；

解：如图，连接AC、BD交于点0、

当点P与B或C重合时，4PAD的外接圆的圆心与0建合，

当PA=PD时，设z\PAD的外接圆的圆心为0,PO的延长线交AD于E,设PO=OD=x,

RsODE中，VOD2=OE2+DE2,

x2=(4-x)2+32,

解得x=2§5,

o

957

.*.OE=4--=-.

88

•••O'B=O'D,AE=DE,

.\0,E=^AB=2,

9

.\OO,=O,E-OE=-,

8

VAPAD的外心在线段AD的垂直平分线上，

观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，^ADP的外接圆的圆心0的运动路径长是

9

200'=一.

4

故答案为：;9.

4

【点拨】本题考查轨迹、矩形的性质、三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确寻找

点0的运动轨迹.

15.4

【分析】由已知条件可得到ID=BD=DC,可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过

点D做DFJJC与点F,可得四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF,即可求出IE的长.

如图：I为I3ABC的内心，可得/BAD二NCAD,「.BD;CD,

XZDIC=ZDAC+ZACI,ZICD=ZICB+ZBCD

其中NDAC=/BAD=NBCD,ZACI=ZICB,

•••ZDIC=ZICD

二.ID=CD,，ID=BD=DC=5,可得AI=2CD=10

••・可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DFJJC与点F,

可得IF=FC(垂经定理)，

2222

在RTAIFD中，DF=1JlD-(^/C)=A/5-3=4,

乂在△AIC中，AE=EC,IF=FC,

EF为△AIC的中位线，

・•.EF〃AD、即EF〃ID.且EF二!A/=5=ID,

2

二四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF=4,

故答案：4.

【点拨】本题主要考查圆的垂经定理，圆周角定理及平行四边形相关知识，难度较大,

需综合运用各知识求解.

16.(75,0)

【分析】根据题意，找到当OP与大轴相切于点。时，乙4。最大，作出相应辅助线,

可得出Q4=l,AB=2,再由等腰三角形三线合一性质可得0”=2,根据切线定理确定四

边形PCO”为矩形，最后根据勾股定理即可得出.

解：过点4、B作。P,。尸与x轴相切于点C时，ZAC8最大,

连接力、PB、PC,作PH_Ly轴于〃，如图，

•・•点A、8的坐标分别是(0,1)、(0,3),

:.OA=1,AI3=3—1=2,

/.AH=BH=1,

/.0/7=2,

•・•点。P与K轴相切于点C,

."C_Lx轴，

・•・四边形PC。”为矩形，

PC=OH=2,

・•・PA=2,

在R^PAH中,PH7PN-AH。=5

・・・C点坐标为(6,0).

故答案为(6,0).

【点拨】题目主要考查隐圆模型，涉及知识点包括直线与圆的位置关系、等腰三角形性

质、勾股定理、矩形的判定和性质等，理解题意,找准当。。与x轴相切于点C时，ZACI3

最大，作出相应辅助线是解题关键.

17.(0,2),(-1,0),(-1).

【分析】先求出点C的坐标，分为三种情况：圆P与边A0相切时，当圆P与边AB

相切时，当圆P与边BO相切时，求出对应的P点即可.

解：•・•点A、B的坐标分别是(0,2)、(4,0),

・•・直线AB的解析式为y=-yx+2,

•・•点P是直线y=2x+2上的一动点，

；・两直线互相垂直，即PA_LAB,且C(-l,0),

当圆P与边AB相切时，PA=PO,

・・・PA=PC,即P为AC的中点，

・・・P(4,1);

当圆P与边AO相切时，PO1AO,即P点在x轴上，

・・・P点与C重合，坐标为(-1,0)；

当圆P与边BO相切时，PO1BO,即P点在y轴上，

・・・P点与A重合，坐标为(0,2)；

故符合条件的P点坐标为(0,2),(-1,0),1),

故答案为(0,2),(-1,0),(，，1).

【点拨】本题主要考杳待定系数法确定一次函数关系式，一次函数的应用，及直角三角

形的性质，直线与圆的位置关系，可分类3种情况圆与AAOB的三边分别相切，根据直线

与圆的位置关系可求解点的坐标.

18.-

5

【分析】设圆O与AC的切点为M,圆的半径为r,先证得△AOMS/\ADC,再根据

相似三角形的对应边成比例即可求得结果.

解：设圆O与AC的切点为M,圆的半径为r,

如图，连接OM,

,/ZC=90°

ACM=r,

VAAOM^AADC,

AOM：CD=AM：AC,

即r：1=(4-r)：4,

4

解得r=］，

J

4

故答案为彳.

【点拨】本题考查了三角形的内切圆和内心，解答与题的关键是作出辅助线OM,证得

△AOM-AADC.同时熟练掌握相似三角形的对应边成比例的性质.

19.AD=3BC

【分析】连接OC、OD,根据OC=OZ),8=/＞。推出/。一/。一/。。2根据外角的

性质证得/人OD=3NCOP,即可得到结论AO=38C.

解：连接。C\0D,

•：OC=OD,

•：OP=PC,

；・NC=NCOP,

:・ND=NC=NCOP,

•・•/AOD=4DP0+/D=/C+/COP+/D=3/COP.

••AD=3BC-

【点拨】此题考查同圆的半径相等的性质，等边对等角的性质，三角形外角性质，以及

弧、弦、圆心角定理，熟记各定理并应用解决问题是解题的关键.

20.（1）证明见分析；（2）ZB4E=50°.NB=65。,ZBDE=l30°,ZAED=115°.

【分析】（1）连接AD后，证明这两条弧所对的I员I周角相等，即N8AD=NCAO,该题

得证；

（2）由这两条弧度数之比为4:5,分别求出它们的度数，再根据BD=ED^求出,必和

康的度数，即可求出NBAC和N8,利用圆的内接四边形对角互补可以得到另外两个内角

的度数.

解：（1）如图，连结A。，

〈AB是直径，

ZADB=90。,

'：AB=AC,

：.ZBAD=ZCAD,

'BD=ED'

c

AOB

（2）VM£+»E=180°»"E与BE的度数之比为4：5,

4s

，海？=180°x—=80。，»E=180°x-=100°,

99

以、，JM=加='BE=50°，

nIJ=rJJ2

注。=4七+2。=130。，

AZBAE=-BE=5O0,ZB=-AD=65°,

22

VZ4ED+Zfi=180°,ZBDE+ZA=180°,

AZAED=115°,ZBQE=130°,

AZBAE=50°,ZB=65°,ZBDE=13O°,ZAED=115°.

【点拨】本题考查了圆中的弧和圆周角之间的关系，学生应在理解圆周角定理以及其推

论的同时，能熟练应用它们，解决本题的关键是通过连线，构造两弧所对的圆周角，通过角

的关系来证明弧的关系，同时应明白圆周角等「其所对孤的度数的二分之一，能由弧度求出

角度，只有牢牢记住它们的关系，才能灵活地在角与弧之间进行转化，求出答案.

21.(1)见分析(2)；

【分析】(1)过点。作。MJ_£尸于点M,ON工CD于点、N,连接OP、OD,利用HL

证明RsOFM经RSOQM可得FM=QN,进而可得结论；

(2)根据PE：PF=\：3,可以设尸E=x,PF=3x,则曰三PE+P”=4x,利用含30度角的

直角三角形可得OM二立工，0尸二毡X,然后证明RQOPMGRQOPM可得PM=PN,再

33

证明广是等边三角形，可得。QPF=3x,FG=；DF吟,然后根据勾股定理即可求出

OG的长.

(1)证明：如图，过点。作OMJ_E/于点M,ON上CD于点、N,连接OF、OD,

则NOMF=N0X0=90。，

TPB平分NDPF,OM1EF,ONVCD,

：.OM=ON,

在/?/△OFM和ODN中，

OF=OD

OM=ON

:(JbM^KtLODN(HL),

，FM=DN,

9：OM1EF,ONLCD,

：.EF=2FM,CD=2DN,

：・CD=EF；

(2)解：•:PE：PF=1：3,

・•・设PF=3x,

:.EF=PE+PF=4x,

■:OM1EF,

/.EM=FM=—EF=2xy

2

:.PM=EM-PE=2x-x=x,

〈PB平分NDPF,ZDPF=6O0,

；・ZFPB=DPB=-ZDPF=30°,

2

•ni/f6no-2后

..OM=——x,0P=---------x,

33

在/?/△OPM和RmOPN中，

OP=OP

'OM=0N'

OPM9R3OPN(HL),

:.PM=PN,

由(1)知：FM=DN.

：.PM+FM=PN+DN,

:.PF=PD,

NOP/=60。，

•••△尸。尸是等边三角形，

平分NDPF,

:.PBLDF,垂足为G,

：.DF=PF=3x,FG=-DF=—

22t

.•・PGNPF?-FG?=J(3x)2-gx)2=号,

二号一5瓜

~6~

•・・"=2如,

・・・。/=；人8=而，

在心△OFG中，根据勾股定理，得

OG2+FG2=OF2，

・・・（窄产+（当）2=（而产,

整理,得理=3,

解得4土6(负值舍去),

.八厂5\/3x5x/3x5/35

••<70=----------=------------------=—.

662

【点拨】本题属于圆的综合题，考查的是圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角

形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是

考查学生综合分析解决问题的能力.

22.(1)见分析⑵①5后；②地

3

【分析】(1)首先根据圆周角定理可得NM48+NA8W=90。，由切线的性质可得

ZDOC+ZC/X>=90°,再根据平行线的性质即可证得NM44=NCOO,据此即可证得结论；

(2)①根据菱形性质可得OM=O/1=M8=5,即可求得相，再根据勾股定理即可求得；②

首先可证得△OOC是等腰直珀三角形，再根据勾股定理及三角形的面积，即可求解.

(1)证明：・・・48是。。的直径，

,-.ZAMB=90°,

.•.NM43+ZA8M=90°,

是0。的切线，

.\OCLCD,

ZZX)C+ZCZX)=90°,

又•；BM〃OC,

/.ZABM=/DOC,

:.ZMAB=ZCDO,

/.AM//CD；

(2)解：①若四边形0C8M为菱形，

则OM=OA=MB=5,

〈AB是。。的直径，

・•・ZAM3=90°,

•；0A=08,

：.AB=2OA=\0,

-AM=ylAB2-MB2=V102-52=5x/3

当AM=5后时，四边形0C8M为菱形:

故答案为：5G;

②如图所示:

M

,:BD=5近-5,08=5,

•*-OD=OB+BD=5+5>/2-5=5y/2，

•・・c。是的切线，

Z(X7)=90°，

•：0C=0B=5,

，CD=dOD?-OC?=J(5⑹L52=5,

•••△OQC是等腰直角三角形，

JZDOC=45°,

又，：BM〃OC、

/.NO8M=NOOC=45。，

•：OM=OB,

，NOBM=/OMB=45°,

・•・NBOM=90%△OBM是等腰直角三角形,

在直角△OQM中，根据勾股定理可得用Q=Joa+oM?=J（5拉¥+52=56,

根据△OQM的面积可得OMDM=OM-OD,

八”OMOD5x5忘576

DM5百3

故答案为：巫.

【点拨】此题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质，平行线的性质与判定，菱形的

性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握和运用各图形的性质和判定是解

决本题的关键.

23.（1）证明见分析；（2）理由见分析；（3）DE=7,CE=4夜

【分析】（1）根据止方形的性质，得AB二AD：根据圆周角的性质，得NA8E=NA£>E，

结合DF=BE,即可完成证明；

（2）由（1）结论得AF二AE,NDAF=NBAE；结合/BAD=90。，得/EAF=90。，从

而得到4EAF是等腰直角三角形，BPEF=V2AE；最后结合DE-DF=EF,从而得到答案；

（3）连接BD,将4CBE绕点C顺时针旋转90。至ACDH：结合题意，得

ZCBE+ZCDE=180",从而得到E,D,H三点共线；根据BC=CD,得BC=CD，从而推

导得NBEC=NDEC=45。，即△CEH是等腰直角三角形；再根据勾股定理的性质计算，即可

得到答案.

解：（1）如图，Z1=Z4Z）E,N2=ZABE,Z3=ZDAF,Z4=ZBAE

在正方形ABCD中，AB-AD

在△ADF和△ABE中

AB=AD

Z1=Z2

BE=DF

AAADF^AABE(SAS)；

（2）由（1）结论得：AADF^^ABE

AAF=AE,N3=N4

正方形ABCD中，ZBAD=90°

/.ZBAF+Z3=90°

；・ZBAF+Z4=90°

/.ZEAF=90°

•••△EAF是等腰直角三角形

AEF2=AE2+AF2

Z.EFMAE2

/.EF=V2AE

即DE-DF=V2AE

•••DE-BE二拉AE；

(3)连接BD,将ACBE绕点C顺时针旋转90。至ACDH

•・•四边形BCDE内接于圆

/.ZCBE+ZCDE=180°

・・・E,D,H三点共线

在正方形ABCD中，ZBAD=90°

AZBED=ZBAD=90°

•・•BC=CD

:,BC-CD

・•・ZBEC=ZDEC=453

...△CEH是等腰直角三角形

在对△BCD中，由勾股定理得BD=&BC=5正

在RSBDE中，由勾股定理得：DE=V^D2-BE2=7

在RtZkCEH中，由勾股定理得：EH2=CE2+CH2

・•・(ED+DH)2=2CE2,即(ED+BE)2=2CE2

.\64=2CE2

・・・CE=4及.

【点拨】本题考查了正方形、圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的知识;

解题的关键是熟练掌握正方形、圆周角、正多边形与圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角

形、旋转的性质，从而完成求解.

24.(1)135。(2)8。=6。。+。4理由见分析(32。。£：面积的面积最大值为4,8。=匕普

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质得/COA=90。，CO=OA,再由等边三角形的

性质得0。=。4,ZODA=ZDOA=60\然后求出NODC=75。，即可求解；

(2)过点C作C〃_LCO交AO的延长线于点从证AACH且△BCD(SAS),得BD=

AH=HD+DA=41CD+AD；

(3)连接OC,由勾股定理得C