2026年中考数学压轴题专项练习-费马点（学生版+详解版）

几何模型之费马点

1.（2024秋•义乌市月考）已知点P是A48C内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫A44c的

费巧点（FemialpHnl）.已经证明：在三个内角均小于120。的AA8C中，当/AM=ZAPC=N8PC=120。时，尸就

是A44c的费马点.若点。是腰长为丘的等腰直角三角形DE户的费马点，则PD+PE+尸产=（）

A.2x/3B.1+6C.6D.

2.（2025秋•大冶市期末）如图，。走等边三角形A4C外一点，连接40,BD,CD,已知加＞=8,8=3,则

当线段4）的长度最小时，

①ZBDC=;

②4）的最小值是.

3.（2025秋•洪山区校级期中）如图，以等边AAHC的一边AC为底边作等腰,已知人笈=3,

CD=BD=43,且N8Z）C=120。，在凶8内有一动点尸，则尸8+PC+也）的最小值为

4.（2025•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果AA8C是锐南（或直角）

三角形，则其费马点尸是三角形内一点，且满足NAP8=4PC=NCR4=120°.（例如：等边三角形的费马点是其

三条高的交点）.若AB=AC=币，8c=26，P为A43C的费马点，则Q4+总+PC=:若

AB=2j3tBC=2,AC=4,。为M3C的费马点，购PA+PB+PC=

5.（2025•荷塘区模拟）在AA8c中，若其内部的点?满足NAP8=N3PC=NCQ4=120。，则称P为AA8C的费马

点.如图所示，在A48C中，已知44C=45。，设尸为AA8C的费马点，且满足NP84=45。，24=4,则此4C

的面积为

6.(2025•碑林区校级模拟)如图，在边长为6的正方形A8C。中，点M,N分别为AB、BC上的动点、,且始终

保持8W=CV.连接MN,以MN为斜边在矩形内作等腰RSMNQ,若在正方形内还存在一点尸，则点P到点

A、点。、点。的距离之和的最小值为.

7.(2025春•沈阳期中)如图，在平面直角坐标系中，点A,点4分别是y轴，x轴正半轴上的点，且。4=。/3,

&4OC是等边三角形，且点C在第二象限，/W为NAOB平分线上的动点，将。W绕点O逆时针旋转60。得到

ON,连接CV,AM,BM.

(1)求证：A4MO=AC7VO:

(2)若2点坐标为(0,4);

①当AV7+8W的值最小时，请直接写出点M的坐标；

②当AW+3M+QW的值最小时，求出点M的坐标，并说明理由.

备用图

8.（2024♦路南区一模）已知抛物线y=+法+4的对称轴为工=],与y交于点4,与x轴负半轴交于点C,

作平行四边形A/3OC并将此平行四边杉绕点O顺时针旋转90。，得到平行四边形NBOC.

（1）求抛物线的解析式和点A、C的坐标；

（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A汗OC重登部分^O。。的周长；

（3）若点尸为A4OC内一点，直接写出小+PC+PO的最小值（结果可以不化简）以及直线CQ的解析式.

9.（2024秋•汉阳区期中）（1）阅读证明

①如图1,在A44C所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点尸为A43C的费马点,

此时A4+依+PC的值为AAAC的费马距离.

②如图2,已知点P为等边A48C外接圆的8c上任意一点.求证：PB+PC=PA.

（2）知识迁移

根据（I）的结论，我们有如下探寻A48C（其中/A,ZB,NC均小于120。）的费马点和费马距离的方法：

第一步：如图3,在AA8C的外部以5c为边长作等边MCZ）及其外接圆；

第二步：在8C上取一点玲，连接兄A,R）B,E）C,PnD.易知

与A+《4+%C=《A+（《4+&C）=6A+；

第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出A4BC的费马点P,线段的长度即为AABC的费马距离.

（3）知识应用

已知三村庄A,B,。构成了如图4所尸

水井尸到三村庄A,8,C所铺设的输：

B

12.（2025春•周村区期末）如图①，〜为AABC所在平面上一点，且=NAPC=NCE4=120°,则点。叫做

AABC的费马点.

（1）如果点尸为锐角三角形ABC的费马点，且NA5C=60°.

①求证：MBP^/^BCP;

②若PA=3,PC=4,求28的长.

（2）已知锐角三角形A5C,分别以A3、AC为边向外作正三角杉A8E和正三角形ACQ,CE和BD相交于P

点，连结AP,如图②.

①求NCQD的度数；

②求证：2点为A4BC的费马点.

13.（2025•雁塔区校级模拟）【问题情境】

如图1,在A/WC中，ZA=I2O°,AB=AC,BC=56,则AAAC的外接圆的半径值为.

【问题解决】

如图2,点P为正方形44co内一点，且N3PC=90。，若A4=4,求AP的最小值.

【问题解决】

如图3,正方形A8CZ）是一个边长为的隔离区域设计图，CE为大门，点、E在边BC上,CE=®m,点P

是正方形AAC7）内设立的一个活动房哨，到4、E的张角为120。,即NAQE=120°,点A、。为另两个固定岗

哨.现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q,使得。到A、。、尸三个岗哨的距离和最小，试求

。4+QD+QF的最小值.（保留根号或结果精确到参考数据内~1.7,10.52=110.25）.

图I图2图3

14.（2025•山西模拟）阅读下列材料，完成后面相应的任务:

费马（尸“用以/,1601年8月17日-1665年I月12日），生于法国向部图卢兹（7b心必e）附近的波蒙•德•罗曼，被

誉为业余数学家之王.1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A,B,C,

求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位笈.另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1,MBC

（三个内角均小于120。）的三条边的张角都等于120°,即满足ZAPB=NBPC=ZAPC=12&的呈P,就是到点

A,B,。的距离之和最小的点，后来人们把这个点P称为“费马点

下面是“费马点”的证明过程：如图2,将绕着点8逆时针旋转60。得到△AP3,使得AA落在A44c外,

则△A/W为等边三角形，:.PB-PB-PP,于是24+。笈+尸。=PA+PP+PC.AC.........

任务：（1）材料中，判定△为等边三角形的依据是—.

（2）请你完成剩余的部分.

（3）如图，AA8C为锐角三角形，以AC为一边作等边A4C£>,。0是AACD的外接圆，连接8力交0。于点M,

求证：M是AA8C的费马点.

15.（2024秋•厦门期中）如图（1）,P为A48C所在平面上一点，且ZAPB=NBPC=NCPA=120P,则点尸叫做

△A6C的费马点.

如图（2）,在锐角A48C外侧作等边A4C8连接88.

求证：B8过AABC的费马点、P,且BR=PA+PB+PC.

16.数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.现定义：菱形对角线上一点到该

对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点.例如：菱形ABC。，产是对角线6。上一点，E.f是

边BC和CZ)上的两点，若点尸满足尸石与所之和最小，则称点尸为类费马点.

(1)如图I,在菱形A8CZ)中，AB=4,点、P是BD上的美费马点、

①E为8c的中点，尸为CD的中点，则PE+PF=.

②E为BC上一动点、,尸为8上一动点，且NABC=60。，则PE+PF=.

(2)如图2,在菱形A4C。中，AB=4,连接AC,点。是A/WC的费马点，(即RA,PB,PC之和最小)，①

当ZABC=60。时，BP=.

②当NA5c=30°时，你能找到AA5c的费马点P吗？画图做简要说明，并求此时Q4+QB+PC的值.

17.(2025春•渠县校级期末)如图1,。、E、”是等边三角形A3c中不共线三点，连接4)、BE、CF,三条

线段两两分别相交于。、E、F.已知AF=3Q,/瓦/'=60°.

(1)讲明：EF=DF：

(2)如图2,点M是团上一点，连接CM,以CM为边向右作ACMG,连接EG.若EG=EC+EM,

CM=GM,/GMC=/GEC,i正明：CG=CM.

(3)如图3,在(2)的条件下，当点M与点。重合时，若C£>_L4),GO=4,请问在AACD内部是否存在点P

使得「到AAC。三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值：若不存在，试说明理由.

HBH

图3

18.（2024秋•资中县期末）如图①，点M为锐角三角形A4C内任意一点，连接/W、BM、CM.以AB为一边

向外作等边三角形将8M绕点8逆时针旋转60°得到MV,连接£7V.

（1）求证：MMB三XENB:

（2）若AM+8W+CM的值最小，则称点A/为AA8C的费马点.若点M为A43C的费马点，试求此时aVWB、

ABMC、NCM4的度数；

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐南三角形费马点的简便方法：如图②，分别以A44C的A3、AC为一边向外

作等边AAM和等边,连接CE、BF,设交点为M,则点”即为A48C的费马点.试说明这种作法的依

据.

19.（2024•温岭市模拟）（1）知识储备

①如图1,已知点尸为等边AAAC外接圆的上任意一点.求证：PB+PC=PA.

②定义：在AA8C所在平面上存在一点。，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为A4BC的费马点，

此时E4+P8+PC的值为A4BC的费马距离.

（2）知识迁移

①我们有如下探寻AABC（其中NA,NB,NC均小于120。）的费马点和费马距离的方法：

如图2,在AAAC的外部以笈。为边长作等边ABCZ）及其外接闽，根据（1）的结论，易知线段的长度即为

AABC的费马距离.

②在图3中，用不同于图2的方法作出A4AC的费马点。（要求尺规作图）.

（3）知识应用

①判断题（正确的打4,错误的打x）：

i.任意三角形的费马点有且只有一个;

ii.任意三角形的费马点一定在三角形的内部

②已知正方形ABC。，P是正方形内部一点，且P4+P3+PC的最小值为"+拒，求正方形A8C£＞的

图3图4

图1

0B2

20.（2024秋•沙坪坝区校级期中）在平面直角坐标系中，二次函数），=o?+/u--8的图象与x轴交于A、8两点，

与），轴交于点C,直线y=h+g（Aw。）经过点4,与抛物线交于另一点R,已知OC=2CM,04=304.

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）如图1,若点尸是x轴下方抛物线上一点，过点尸作PH_LA/?于点H,过点尸作PQ/小轴交抛物线于点Q,

过点P作W_Lx轴于点“'，K为直线PH'上一点、,且PK=26P。，点/为第四象限内一点，且在直线尸。上

171

方，连接/P、IQ、IK,记l=*PH,PQ,m=IP+IQ+IK,当/取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此

24

时m的最小值.

（3）如图2,将点4沿直线AR方向平移13个长度单位到点也，过点M作轴，交抛物线于点N,动点。

为x轴上一点，连接MD、ON,再将AWAW沿直线MO翻折为AA/DM（点M、N、。、M在同一平面内），

连接河、AN'、NN',当4VW为等腰三角形时，请直接写出点。的坐标.

21.（2024•山西模拟）皮埃尔・德・费马，17世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王1638年勒•笛

卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的函数问题，费马经过思考并由此提出费马点的相关结论.

定义：若一个三前形的最大内角小于120。，则在其内部有一点，可使该点所对三角形三边的张角均为120。，此时

该点叫做这个三角形的费马点.例如，如图1,点尸是A43C的费马点.

请结合回读材料，解决下列问题:

已知：如图2,锐角ADEF.

（1）尺规作图，并标明字母.

①在位无尸外，以OF为一边作等边ADPG.

②作ADFG的外接圆QO.

D

③连接£G交G）O于点M.

（2）求证：（1）中的点M是ADEF的费马点.

120力20、

BE

图1图2

22.(2024秋•萍江区期末)背景资料：

在巳知AABC•所在平面上求一点〃，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.

这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为,啧马点”.

如图①，当AA8C三个内角均小于120。时，费马点尸在AA8C内部，此时ZBPC=NCP4=120°,此时，

A4+PB+PC的值最小.

解决问题：

(1)如图②，等边A44C内有一点户，若点尸到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求NAPB的度数.

为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到AAC9处，此时MCVwAAAP,这样就可以利用旋转变换，将

三条线段抬，PB,PC转化到一个三角形中，从而求出44/归=;

基本运用：

(2)请你利用第(I)题的解答思想方法，解答下面问题：

如图③，A48C中，ZC4B=90°,AB=ACtE,F为BC上的点、,且N£A尸=45。，判断EF,PC之间

的数量关系并证明；

能力提升：

(3)如图④，在RtAABC中，ZC=9O°,AC=\,ZABC=30。，点P为RtAABC的费马点，连接AP,BP,

CP,求曰+28+尸。的值.

23.（2024春•安徽月考）如图（1）,。为A4AC所在平面上一点，且NAPA=NAPC=NCE4=12O°,则点夕叫做

AABC的费马点.

（1）如点尸为锐角A4BC的费马点.且NA8C=60。，B4=3,PC=4,求PB的长.

（2）如图（2）,在锐角AABC外侧作等边A4C8连接8s.求证：即过MBC的费马点P,且

BB=PA+PB+PC.

（3）已知锐角AA6C,NAC4=60。，分别以三边为边向形外作等边三角形A5£）,BCEtACF,请找出A44。的

费马点，并探究SM的与SMM的和，S.%6与Sub的和是否相等.

图⑴图⑵

24.（2024•宝堆区二模）如图，在平面直角坐标系x0y中，点8的坐标为（0,2）,点。在x轴的正半轴上，

NOD4=30。，OE为MOD的中线,过4、E两点的抛物线y=aP+正x+c与x轴相交于A、F两点（A在尸的

左侧）.

（1）求抛物线的解析式：

（2）等边AOMN的1页点、M、N在线段AE上，求A£及/W的长；

（3）点尸为A48O内的一个动点，设〃?=Q4+P8+PO,请直接写出机的最小值，以及〃［取得最小值时，线段

（备用图）

AP的长.

25.(2010•郅州区模拟)如图。是2MBe所在平面上一点.如果〃依=NBPC=NCE4=120°,则点P就叫做费

马点.

(1)当AA4c是等边三角形时，作尺规法作出A48C费马点.(不要求写出作法，只要保留作图痕迹)

(2)已知：AA3C是等腰直角三角形，ZC=90°,AC=BC=6四边形CDQE是正方形，8在AC上，CE在

BC上，p是AABC的费马点.求：P点到AB的距离.

(3)已知：锐角A43C,分别以A8,AC为边向外作正AA屏:和正AACD,CE和BD相交于P点.

①求NCQD的度数；

②求证：2点为AABC的费马点.

R

26.(2009•湖州)自选题：若夕为A4AC所在平面上一点，且ZAPB=NBPC=NCPA=12/,则点P叫做AABC的

费马点.

(1)若点尸为锐角A4BC的费马点，且NA8C=60。，B4=3,PC=4,则PB的值为:

(2)如图，在锐角A48C外侧作等边AACB连接府.求证：而过AA8c的费马点尸，且88=24+尸C.

27.已知A48c中，I3C=a,AB=c,々=30%尸是A44C内一点，求R4+P4+PC的最小值.

1.（2024秋•义乌市月考）己知点P是MAC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则尸点叫AA6C的

费马技（Femiaipoim）.已经证明：在三个内角均小于120。的A46C中，当NA尸6=NAFC=N6PC=120。时，尸就

是AAAC的费马点.若点夕是腰长为及的等腰直角三角形。所的费马点，则PO+PE+P尸=（）

A.2GB.1+V5C.6D.3G

【解答】解：如图：过点D作DM上EF于点M,在内部过E、尸分别作“£尸=乙必尸尸=30。，则

NEPF=NFPD=/EPD=120。，点P就是费马点,

在等腰RtADEF中，DE=DF=41,DM上EF,

:.EF=42DE=2

;.EM=DM=\,

故330。=空，

PE

解得：PE=—,则

33

故DP=\—立,同法可得;＞尸=拽

33

贝IJPO+PE+尸尸=2x^+1—走=有+1.

33

故选：13.

二.填空题（共5小题）

2.（2025秋•大冶市期末）如图，。是等边三角形ABC外一点，连接AD,BD,CD,已知BO=8,6=3,

则当线段4）的长度最小时，

①ZBDC=_60。—；

②AT＞的最小值是.

【解答】解：如图所示，以BD为边向外作等边三角形BDE,连接CE,

•/ABDE,AA3C均为等边三角形，

：.BE=BD,AB=BC,ZABC=/QBE=&H,

:.ZABD=^CBE,

在AABD和AC8E中,

AB=CB

,NABD=4CBE,

BD=BE

:.AABD=ACBE(SAS),

\CE=AD.

•;BE=BD=DE=8,8=3,

.•.当C,D,石三点共线时，CE有最小值,

:.CE=DE-CD=S-3=5,

.•.A£＞的最小值为5,此时N4DC=6(儿

故答案为：①60。；②5.

E

3.（2025秋•洪山区校级期中）如图，以等边AABC的一边8C为底边作等腰MCD,已知48=3,

CD=BD=6且N3DC=120。，在ABC。内有一动点P,则依+PC+P。的最小值为_26_.

【解答】解：如图，将AP8C绕点3逆时针旋转60。后，得到△PfiA,连接PP、AD,

A

根据旋转的性质得，Z™/y=60°,PB=PB,PC=PfA,

：.MBP为等边三角形,

：.PB=PP,

：.PB+PC+PD=PP+PA+PD,

-PP,-^PA+PD..AD,

.•.当A、产、P、。四点共线时，尸B+PC+叨有最小值,

AA8C为等边三角形，

/.ZABC=60°,

•.♦AfiCD为等腰三角形，NBDC=12。）,

.\ZCBD=30°,

/.ZABD=ZAHC+NCBD=90°,

在RtAABD中，A8=3,BD=M，ZABD=90。，

由勾股定理得AD=y/AB2+BD2=,3二+（后=2g.

/.PB+PC+PD的最小值为26.

故答案为：2G.

4.（2025•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果AA8C是锐角（或直角）

三角形，则其费马点户是三角形内一点，且满足NAP3=4PC=NCR4=120°.（例如：等边三角形的费马点是其

三条高的交点）.若AB=AC=y/j,BC=26,P为A4AC的费马点，则勿+？4+尸。=5；若AB=2百,

BC=2,AC=4,P为AA3C的费马点，^]PA+PB+PC=.

【解答】解：如图，过A作AO_L4C,垂足为D,

过B,C分别作NO4P=NOCQ=30°,则夕4=PC,。为A44C的费马点，

AB=AC=>/7,BC=20

：.BD=DC=>BC=Q,

2

-3。。=丝=立，

BD3

：.PD=\,

?.PB=——=2,

sin30°

/.AD=ylAB--BD2=77^3=2,

:.PA+PB+PC=5；

②如图：

•:AB=26,BC=2,AC=4,

AB24-BC2=16,AC2=16,

/.Alf4-HC2=AC2,ZABC=90°,

,/sinZ.BAC==—=sin30°，

AC2

/.ZE4C=30°»

将MFC绕点A逆时针旋转60°,

由旋转可得：AAPC=AAPV,

:.Ar=AP,PC=PC,AC=AC.ZC4C=ZMP/=60°,

「.AAP。是等边三角形，

ZZM(7=90°,

•.•P为MBC的费马点，

即3,P,P',C'四点共线时候，PA+PB+PC=BC,

:.PA+PB+PC=BP+PP'+P'C=BC'=JAB?+AC?=«2而+甲=25,

故答案为：5,25/7.

BC

A

5.（2025•荷塘区模拟）在AA4C中，若其内部的点P满足NA依=N3PC=N84=120。，则称P为AA3C的费马

点.如图所示，在AWC中，已知〃4C=45。，设P为AA/3C的费马点，且满足NP/M=45。，M=4,则APAC

的面积为_4G_.

A

【解答】解：如图，延长AP交AC于。,

A

•.•/郎。=/2加=45。，

:.ZADB=9GP，AD=BD,

•.•?为AA8C的费马点，

：.ZAPB=ZCPA=\2O0,

.•.ZBAP=180°-120。-45。=15。,

.•./9。=45。-15。=30。，

/.ZAPD=ar,

RtAPAD中，•.•B4=4,

:.PD=2,AD=26

•.•4PC=12O°,

/.ZCPD=120°-60°=60°，

RtAPDC中，ZPCD=30°,

:.CD=20,

AC=A£>+CD=2石+2x/5=4>/5,

.•.A/<4C的面积为』AC/O='X4&X2=4G.

22

故答案为：4石.

6.（2025•碑林区校级模拟）如图，在边长为6的正方形ABC。中，点M,N分别为45、8C上的动点，且始终

保持AM=CV.连接M*,以MN为斜边在矩形内作等腰RtAMNQ,若在正方形内还存在一点尸，则点尸到点

A、点。、点Q的距离之和的最小值为_3+36_.

【解答】解：设则BN=6-x,

•;MN?=BM?+BN。

.\MN2=X2+（6-x）2=2（x-3>+18,

.•.当x=3时，MN最小，

此时Q点离仞最近，

・.•BM=BN=3,

.・。点是4。和8。的交点，

...AQ=DQ=与AD=3日

过点Q作Q"_L/A。于点心，在A4OQ内部过4、。分别作NM7）尸=NM=30°,则

/APD=/APQ=〃收=1即，点尸就是费马点，此时/<4+〃。+"Q最小，

在等腰RtAAQD中，AQ=OQ=3&,QM」AO,

?.AM=QMf=^AQ=3,

故cos3（T=旦，

PA

解得：PA=2&,则尸"=G，

故QP=3-75,同法可得叨=26,

则PA+PD+PQ=2x2s/3+3-y/3=3+3y/3,

.•.点尸到点A、点。、点。的距离之和的最小值为3+3班,

故答案为3+3百.

三.解答题（共21小题）

7.（2025春♦沈阳期中）如图，在平面直角坐标系中，点A,点8分别是y轴，x轴正半轴上的点，且。4=03,

△4OC是等边三角形，且点C在第二象限，M为NAO3平分线二的动点，将QM绕点O逆时针旋转60。得到

ON,连接av,AM,BM.

?备用图

（1）求证：MMO三NCNO;

（2）若A点坐标为（0,4）；

①当AM+BM的值最小时，请直接写出点M的坐标：

②当AW+8M+QM的值最小时，求出点M的坐标，并说明理由.

【解答】（I）证明：・.・。以平分NAO8,

/.ZAOM=45°,

由旋转的意义可知：NMQV=60。，OM=ON,

ZNOA=ZMON-ZAOM=60。-45°=15°,

•.•A4OC为等边三角形，

:.OA=OC^404=60。，

NCQV=NCO4-ZMM=60°-15。=45。，

:.ZAOM=/CON,

在AAAYO和△CNO中,

OM=ON

-ZAOM=ZCON,

OA=OC

;.AAMO二ACNO(SAS).

(2)解：点M的坐标为(2,2),理由如下：

•.•点M为NAOB平分线上的动点，

.•.当AW+8W为最小时，点A、何、8在同一条直线上，

当点A、M、区在同一条直线上时.

•.•点A的坐标为(0,4),OA=OB,

.•Q=03=4,

•.•OM平分NAIM,

.•.点M为为44的中点，

.•.点”的坐标为(2,2).

(3)解：点M的坐标为J6一2。),埋由如下：

33

连接MN,过点M作M£_Lx轴于点E,作线段4M的垂直平分线交x轴于点尸,

则班'=萩，

由(1)可知：AWO二△CVO,

:.AM=CN,

由转转的性质可知：OM=ON,NMON=60。，

:.\OMN为等功三角形，

：.OM=MN,

：.AM-BM+OM=CN+BM+MN,

当AW+3用+OM的值最小时，就是CV+8W+MN的值为最小，

当CV+ZM7+MV的值为最小时，点B,M,N,C在同一条直线上,

...ZOMB=180°-60°=120°,

平分N4OA,

：.BOM=45°,

4OBM=180°-45°-120°=15°,

又MF=BF,

:.^FMB=Z.OBM=\50,

ZMFE=4FMB+4OBM=30°，

设ME=a，则OE=a，

在RtAMEF中，ME=a,ZMFE=30°,

;.MF=2ME=2a,

由勾股定理得：EF=qM产一ME'=&勿)2_片=瓜，

：.FB=FM=2a,

：.OB=OE+EF+FB=4,

即：a+\[3a+2a=4,

6-26

解得:

丁

上j,.1,AL/6—25/36—2

.••点M的坐标为(----,———).

33

8.（2024•路南区一模）已知抛物线y=-g/+法+4的对称轴为x=l,与），交于点A,与x轴负半轴交于点C,

作平行四边形ABOC并将此平行四边形绕点O顺时针旋转90。，得到平行四边形ABOC.

（1）求抛物线的解析式和点4、C的坐标；

（2）求平行四边形A4OC和平行四边形A/K7。重叠部分△OC7）的周长；

（3）若点产为A4OC内一点，直接写出丛十尸C十尸O的最小值（结果可以不化筒）以及直线b的解析式.

【解答】解：（1）由已知得，x=—-彳=1，贝》=1，抛物线的解析式为y=—g/+x+4,

.•.A(0,4),令)，=0,W-^X2+X+4=0,

二.内=-2,x,=4,

C(-2,0)；

(2)在QABCD中，Z<M6=ZAOC=90°,则A8//CO,

/.08=^0^+AB2=275,OC=OC=2,

/.^OCD=Z.OCA=ZZ?,NCOD=NBOA,

△COD^^BOA，

r

JcC—OD二__'n八c=_L=正

C^~~OB~45~~5~，

•.•AAOB的周长为6+2逐，

△COD的周长为（6十2\/5）x=2十多£；

55

（3）此点位费马点，设三角形AOB的三边为a,b,c,

•.­OC=2,04=4,AC=7F彳=2石，

PA+PO+PC=J；{a2+b2+c2+yj[3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a){c-va-b)\}

=24+2G.

直线CP解析式为y=（&-l）x+2夜-2.

9.（2024秋•汉阳区期中）（1）阅读证明

①如图1,在AA4C所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离•之和最小，则称点P为A48C的费马点,

此时PA+PB+PC的值为MBC的费马距离.

②如图2,已知点P为等边A48C外接圆的BC上任意一点.求证：PB+PC=PA.

（2）知识迁移

根据（1）的结论，我们有如下探寻A43C（其中/A,ZB,NC均小于120。）的费马点和费马距离的方法：

第一步：如图3,在AA8c的外部以8c为边长作等边ABC。及其外接圆；

第二步：在4c上取一点玲，连接庶A,《3,EC，RD.易知兄A+《3+《C=44+（A3+《C）=E）A+

第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出AAAC的野马点线段的长度即为A/UJC的静马距离.

（3）知识应用

已知三村庄A,B,C构成了如图4所示的AA4C（其中NA,ZB,NC均小于120。），现选取一点P打水井，使

水井尸到三村庄A,B,。所铺设的输水管总长度最小.求输水管总长度的最小值.

【解答】解：(1)如图2,延长4P至E,使PE=PC.

•.•在等边AAACH4,

.­.ZEPC=Z54C=60°,

♦;PC=PE,

;."CE为等边三角形,

:.PC=PE,NPCE=60。，

ZBCP+ZPCE=ZACB+/BCP，

ZACP=NBCE,

•.•在AACQ和MCE中，

BC=AC

<NBCE=ZACP,

CE=PC

.•.AACP=ABCE(SAS).

AP=BE=BP+PE=BP+PC；

(2)由(I)得出：第一步：如图3,在AA8C的外部以3c为边长作等边MCD及其外接圆；

第二步：在4c上取一点玲，连接几人，及B,庶。，玲。.易知4A+E4+《C=《A+(q/+《C)=《A+《。；

第三步：根据(1)①中定义，在图3中找出AA8C的费马点P,线段4>的长度即为A43C的费马距离.

故答案为：兄。；AD.

(3)如图4,以8C为边在AA8C的外部作等边ABCD,连接4).

AD的长就是AABC的费马距离.

可得ZA4Q=90。

/.AD=IAB2+BD2=5(km).

输水管总长度的最小值为5千米.

A

3

D

10.(2024•遵义模拟)如图1,「是锐角A4BC所在平面上一点.如果NA7汨=NBPC=NCR4=I2O。，则点夕就

叫做AABC费马点.

(I)当AA8C是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的跑离为-V3.

一31

(2)若点尸是AABC的费马点，ZABC=60°,八4=2,尸C=3,则q8的值为.

(3)如图2,在锐角A43C外侧作等边A48,连接府.求证：过AA8C的费马点P.

【解答】（1）解：延长A尸，交BC于D,

VAB=AC=BC,ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,

.•.P为三角形的内心，

：.AD1BC,BD=CD=2,ZPBD=30°,

，底，:迪，

cos3003

...AP=BP=—,

3

AD=y/AB--BD2=273,

：.PD=AD-AP=2y/3--=-y/3,

33

故答案为：2G.

3

(2)解：(1)•/ZE4B4-ZPE4=180°-ZAPB=60°,

NPBC+/PBA=ZABC=60°，

;.NPAB=/PBC,

又ZAPB=ZBPC=120°,

PAPB

・\---=---,

PBPC

：.PB2=PAPC,HPPB=x/2^3=>/6,

故答案为：x/6.

(3)汇明：在即上取点尸，使N3PC=120°

连接AP,再在尸方上截取庄=尸。，连接C£.

♦/ZBPC=120°,

...NEPC=60°,

「.APCE为正三角形.

;.PC=CE,NP比=60。，ZCE^=120°

•・・AA8为正三角形，

：.AC=B,C,ZAC8=60°

/.ZPC4+ZACE=ZACE+AECB=60°,4PCA=4ECB,

:.MCPwXBCE、

.♦.Z4PC="EC=12()。，PA=EEf,

ZAPB=ZAPC=4BPC=120°,

.•/为MAO的野马点.

二.所过A43C的费马点尸.

11.（2025春•兰溪市校级月考）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最

小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”.

【基础巩固】

(1)如图1,在等腰RtAABC中，NK4C=90。，A。为AC边上的高，已知上一点E满足N£)EC=60。，

AC=4x/6,求AE+8E+CE=_12+4X/5_；

【尝试应用】

(2)如图2,等边三角形ABC边长为46,E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60。得到三角

形"G，连接所，请你在此基础上雅续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；

【拓展提高】

(3)如图3,在菱形ABCD中，过的中点上作AB垂线交CD的延长线于点尸，连接47、DB.已知

ZBZM=75°,AB=6,求三角形A所“最近值”的平方.

图3

【解答】解：(I)-：AB=AC,NEAC=90°,AC=4#,

:BD=CD=AD=40

・.NDEC=60。，

CD

:.DE=—=4A,

出

AE=AD-DE=4>/3-4,CE=BE=2DE=8,

/\E+BE+CE=473-4+8x2=12+473；

故答案为：12+46；

(2)由题意可得：AE=AF,NE4尸=60°,

.•.AE4F为等边三角形，

:.AE=EF=AF.

:.AE+BE+C