2026届高三数学一轮复习讲义（教师基础版）常用逻辑用语

§1.2常用逻辑用语

【课标要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、

数学定义与充要条件的关系2理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.

、・落实主干知识.

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若则一是〃的充分条件,。是〃的必要条件

P是，7的充分不必要条件pnq且户2

〃是,/的必要不充分条件p*q旦qnp

〃是q的充要条件

〃是g的既不充分也不必要条件pAq且夕吟？

2.全称量词与存在量词

⑴全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“乜”表示.

⑵存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“3”表

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x,p(x)成立存在切中的元素x,p(x)成立

简记V.rEM,p(x)p(x)

否定MEM,p(x)p(x)

3自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

⑴当P是9的充分条件时，夕是〃的必要条件.(V)

(2)“三角形的内角和为1X0。”是全称量词命题.(J)

⑶“Al”是“x>0”的充分不必要条件.（V）

（4）命题u3xGR,sin2^+cos2^=1,t是真命题.（X）

2.（2025•南通模拟）命题“VxWR,2%2-3x+4>0”的否定为（）

A.VxGR,2X2-3X+4<0

B.SxGR,2^-3^4-4>0

C.Bx^R,2?-3^+4^0

D.SxER,2/-3x+4<0

答案D

解析命题“Vx£R,2r2-3X+4>0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

所以所求否定是2F3X+4W0”.

3.设x>0,y>0,则“后>产是“x>y”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

4.设〃：14&4,夕：x。，〃是夕的充分条件，则实数〃?的取值范围是.

答案（4,+8）

解析由p是q的充分条件，且p：KW4,q：x<m,

可得｛x|1WxW4｝是｛x[x</n｝的子集,

所以心4.

口微点提醒

1.谨记两个常用结论

⑴〃是夕的充分不必要条件，等价于飞是的充分不必要条件.

（2）命题〃和「p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.

2.理清一个关系

“力的充分不必要条件是8”是指8能推出4,且力不能推出8；而“力是8的充分不必要条件”则是指4

能推出伉而8不能推出人要注意区别上述两种说法的不同.

---------------------------探究核心题型---------------------------

题型一充分、必要条件的判定

例1(1)(2025•福州模拟)设直线/i：(q+IJr+a2y.3=0,/?：2x+ay-2a-\=0,则“a=0"是"l\〃h"的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析因为则〃5+1尸2/,解得4=0或4=1.

若则/1：x-3=0,&：2r-l=o,两直线平行，符合题意；

若。=1,则/i：2x+y-3=0,h：2x+y-3=Q,两直线重合，不符合题意.

综上所述，八〃/2等价于。=0.

所以％=0”是“八〃/2”的充要条件.

(2)(2024•北京)设风力是向量，则”(Mg尸0”是或。=力”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由m+方)•(。/)=0,

得〃〃力，

即同2.|砰=0,所以。|=网,

当Q=(1,1),b=(-\,1)时,

\a\=\b\,但a关，且。瓦

若{SJ是递增数列，如S尸凡则知=1,{端为常数列也为等差数列，且人0；

所以甲是乙的既不充分也不必要条件.

题型二充分、必要条件的应用

例2(1)已知p：xWl,q：xWa,若P是q的必要不充分条件，则实数。的取值范围

是；若P是<7的必要条件，则实数。的取值范围是.

答案(4,1)g1]

解析因为p：xWl,夕：xWa,

若p是q的必要不充分条件，则(-%〃]至(-8,1],因此"1,

即实数。的取值范围是(-8,1).

若〃是q的必要条件，则(-8,旬。(-8,]];

因此即实数。的取值范围是(-8,I],

(2)已知p：x>l或XV-3,4：x>4(4为实数)若fq的一个充分不必要条件是rp,则实数。的取值范围

是.

答案口，+8)

解析由已知得「p：-3WxWl,p：xWa.

设彳="卜31},8={x|?Wa},

若「p是，/的充分不必要条件，贝!bp=F，「夕3?,

所以集合力={43WxW1}是集合的真子集.

所以4L

思维升华求参数问题的解题策略

⑴把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不

等式(或不等式组)求解.

⑵要注意区间端点值的检验.

跟踪训练2(1)已知p：^>1,q：若〃是夕的充分条件，则实数〃7的取值范围是()

A.[0,+8)B.[l,+8)

C.(-8,0]D.(-8,1]

答案c

解析由卜1可得x(/l)<o,解得

记J={x|O<x<1},8={4r>〃7},

若p是q的充分条件，

则力是6的子集,所以，后0,

所以实数，〃的取值范围是（-8,0],

⑵设p：0«2,q：吁1«〃+2若〃是9的充分不必要条件，则实数〃，的取值范围

是.

答案[0,1]

—（m—1三0,

解析p：0«2,q：机-1«什2若〃是4的充分不必要条件，则（

[m+2>2,

且两等号不能同时取到，解得0W加W1.

题型三全称量词与存在量词

命题点1含量词的命题的否定

例3（多选）下列说法正确的是（）

A.“菱形是正方形”是全称量词命题

B."Vx,yGR,/+产20”的否定是“三丫，

C.命题”有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”

D.“A=B”是“sin4sin4”的必要不充分条件

答案AB

解析对于A,“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A正确；

对于B,由全称量词命题的否定知其否定是“土右y£R,9+产<（）"，故B正确；

对于C,命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除"，故C错误；

对于D,因为4=8时，sin/=sin8成立，而sin）=sin3时,力=8不一定成立，如5等,故“4=8”

JO

是“sin/=sin/r的充分不必要条件，故D错误.

命题点2含量词的命题的真假判断

例4（多选）下列命题中，为真命题的是（）

A.VxeR,2x-'>0

B.3xER,x2+1<2x

C.Vxy>0,x+y^2y［xy

D.Bx..y£R,sin(x+j，)=sinx+si”

答案AD

解析对于A项，VxeR,2%一吆0,A项正确；

对于B项，•.•f+l-2x=(x-1)220,.*+1223B项错误；

对于C项，当x〈0,产0时，x+y<Q<2yfxy,C项错误；

对于D项，取贝IJsin(x+y)-sinO-0-sinO+sinO-sinx+siny,D项正确.

命题点3含量词的命题的应用

例5(2025・台州模拟)若命题“VxWR,/-X-〃m0”是假命题，则实数〃?的取值范围是.

答案［一［+8)

解析方法一原命题的否定“3x£R,x2-x-m=0f，为真命题，

.*.J=l+4/zz20,解得m2［,

・••实数〃?的取值范围是［-1+8).

方法二若命题“Vx£R,x^-x-m丰0”是真命题，

则/=1+4/«<0,解得，〃<二，

4

故当原命题为假命题时，

・•・实数机的取值范围是卜1+8).

思维升华含量词命题的解题策略

(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.

当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.

跟踪训练3(1)(2024•新课标全国II)已知命题P：跟WR,|x+l|>l；命题9：3x>0,3=x,则()

A.p和q都是真命题

B「p和q都是真命题

C./?和F都是真命题

D.「p和「g都是真命题

答案B

解析对于命题P，取X=-1,

则有|:+1|=OV1,

故〃是假命题，〉是真命题，

对于命题9，取x=l,

则有3=13=1=x,

故夕是真命题，F是假命题，

综上，~1〃和q都是真命题.

（2）已知命题“土丫引・1,2],x2-3x+a>Off是假命题，则实数。的取值范围是.

答案（-8,-4]

解析由题意得，“必丫£[-1,2],x2-3x+aW0”是真命题，则对[-1,2]恒成立，在区间[-1,

2]上，-f+3x的最小值为_（」）2+3X（-l）=-4,所以。这（-x2+3x）min=4即Q的取值范围是（-8,-4].

课时精练

（分值:73分）

知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.“Y<0”是=7”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析值=・x=xWO,因为x〈O=xWO,但后0/<0,所以~<0”是“旧=・”的充分不必要条件

2.（2024•天津模拟）命题“力〃£N,府，TEN”的否定是（）

A.V/nEN,y/m24-1EN

B.V/zziN,/加+\/N

C.S/nEN,Vm2+1€N

D.V/weN,，*+1生N

答案D

解析由命题否定的定义得存在量词命题“力〃£N,42+1£解的否定是“V〃?£N,屈U"

故D正确.

3.“棱柱的相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若楼住的相邻两个侧面是矩形，则两侧面的交线必定垂亘于底面，所以该楼住为直楼住，满足充分

性；若棱柱为直棱柱，则棱柱的相邻两个侧面是矩形，满足必要性.故”棱柱的相邻两个侧面是矩形”是

“该棱柱为直棱柱”的充要条件.

4.下列叙述错误的是（）

A.命题0£R,xMW-1”的否定是“VxWR,

B.若喜函数尸（加-2〃?-2）R4，”在©十8）上单调递增，则实数〃1的值为-1

C.VxE（0,+8）,2v>log2X

D.设YR,则02>3”是，％>百”的充分不必要条件

答案D

解析对于A,命题u3x£R,f/wi”的否定是“VxWR,x2-l>-lM,A正确；

TH2—2m—2=1,

解得加=-l,B正确；

（2-4m>0,

对于C,当x>0时，函数尸2'的图象在直线尸x上方，函数产logM的图象在直线产x下方，贝!）2x>k）g2X,

C正确；

对于D,由冷3,得质-逐或心次，因此％2>3”是“心遮”的必要不充分条件，D错误.

5.（2024・玉林统考）已知命题p：VxG[l72],<+0¥-2>0,则命题p的一个必要不充分条件是（）

A.6f<-1

C.a>lD.6r>2

答案B

解析因为Vx£［l,2］,f+ox-2>0,所以在2,恒成立，

只需尸在［1,2］上的最大值小于a,

因为尸-田维［1,2］上单调递减，故当产1时，尸纸［1,2］上取最大值1,所以心1•则结合选项可得命

题p的一个必要不充分条件是心-2.

6.(2023・新高考全国I)记£为数列3｝的前〃项和，设甲：｛〃”｝为等差数列；乙：用为等差数列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案C

解析方法一甲：｛劣｝为等差数列，设其首项为公差为d,

则工=电受％,日招咛栏〃+瑞，鬻汨，

因此E｝为等差数列，则甲是乙的充分条件；

反之，乙：｛,｝为等差数列，

即5鲁5「吗+：,7用_砌为常数,设为即y

n+lnn(n+l)n(n+l)n(n+l)

则S“=〃a“+T・〃(〃+1),

有Sn.\=(n-\)an-tn(n-\),〃22,

两式相减得an=nan+\-(n-\)a,r2tn,

即a,^\-an=2t,对〃=1也成立，

因此｛，“｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

方法二甲：｛为｝为等差数列，设数列｛〃〃｝的首项为m,公差为力

即£=〃m筲％,

贝!］^=。111［,

nllL

因此｛"为等差数列，即甲是乙的充分条件；

反之，乙：｛+｝为等差数列，

设数列｛+｝的公差为。，

则翟将=Q，曰=5+(〃-1)。，

即Sn=nS]+n(n-\)D,

当〃22时,S"=(〃・1)S+(〃・1)(〃-2)D,

上边两式相减得S"$」=$+2(〃-l)仅

所以an=ai+2(n-l)D,

当〃=1时，上式成立，

又研”刊+2〃。-仙+2(〃-1)0=2。为常数，因此｛〃“｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

7.下列既是存在量词命题又是真命题的是()

A.BxGR,\x\<0

B.BxGZ,cos^x=-l

C.至少有一个x£Z,使x能同时被3和5整除

D.每个平行四边形都是中心对称图形

答案BC

解析选项A为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负，即|可20,所以A是假命题；

选项B为存在量词命题，当尸2时，满足COSC-2)=COSTT=-1,所以B既是存在量词命题又是真命题;

选项C为存在量词命题，15能同时被3和5整除，所以C既是存在量词命题又是真命题；

选项D是全称量词命题，所以D不符合题意.

8.下列说法正确的是()

A.命题r>1”的否定是AW1”

B."a>0且J=〃-4acW0”是“一元二次不等式af+Ax+cNO的解集为R”的充要条件

C.“力0”是的必要不充分条件

D.已知a,WR,则“|。+〃=同+|切”的充要条件是“ab>0”

答案BC

解析对于A,命题的否定是fWl"，故A错误；

对于B,若。>0且仁〃RocWO,则不等式的解集为R,充分性成立，若不等式的解集为R,则心。且

/=〃-4w<0,即必要性成立，故B正确；

对于C,若心0,不可以推出心1,例如招，即充分性不成立，若心1,可以推出心0,即必要性成立，

故C正确；

对于D,例如a=b=O,可以推出|。切=同+|例，即|a+b|=|a|+|b|不可以推出心。故D错误.

9.下列说法正确的为()

A."Vx>0,lnx>0”为真命题

B.若0£R,sinxq”为真命题,则实数。的取值范围为(-1,+8)

C.已知4=3-1«},B={x\2x-a<0}t若。是8”的充分不必要条件，则实数〃的取值范围是

。>4

D.已知p：0<xW1,q：4'+2"7WO,若p是q的充分条件，贝!J实数m的取值范围为〃?26

答案BCD

解析对于A,当0<丫<1时，lnx<0,A不正确；

对于B,“玉•£R,sinx<a”为真命题，则(sinx)min<<i,所以a>-1,故B正确；

对于C,由是的充分不必要条件，得集合力真包含于集合&所以》2,即A4,C正确;

对于D,由〃是夕的充分条件得p=g,即Vx£(O,1],4)+2、〃忘0恒成立，令/=2\«(1,2],则冽*+£

对于2(1,2]恒成立，又尸2+片。十号]w(2,6],贝」1〃自6,D正确.

三、填空题(每小题5分，共15分)

10.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：.

答案存在一个素数不是奇数

解析因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为

了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数.

11.(2025・连云港模拟)已知集合公训JWxWl},B={x\x>b-a},若％=2”是“4CB=4”的充分条件，则实

数b的取值范围为.

答案(-8,1]

解析若AC\B=4,则4GB,贝！|加aW・l,即bWa-1,

要使“斫2”是“力”=力”的充分条件，只需6W2-1=1,所以实数〃的取值范围为(-8,1].

12.已知命题“mxWR,af-ar+lWO”为假命题，则实数。的取值范围是.

答案［0,4)

解析由题意得原命题的否定“D«R,奴为真命题，

即不等式办2-0什1>0对X£R恒成立.

①当<7=0时，不等式1>0在R上恒成立,符合题意；

(a>Of

②当a^O时，若不等式ar2-av+l>0对x£R恒成立，则(解得0<a<4.

(1=a'—4aV0,

综上，实数。的取值范围是［0,4).

ID能力拓展

每小题5分，共10分

13.(2025•秦皇岛模拟)下列说法正确的是()

A.是“/>夕”的必要不充分条件

B.命题“Vx£(O,+8),xg>l”的否定是“Vx£(O,+8),

C.%)=兀”是“函数/(x尸2sin(①x+g))的最小正周期为2”的充分不必要条件

D."cos2a+sin2^=r,的充要条件是“W

答案C

解析对于A,“若c〉b,则4户，是假命题，

例如1>-2,而12<(-2)2,

“若。2>画则心6”是假命题,例如(-2)2»2,而一2V1,即是“冲2”的既不充分也不必要条件，

A错误;

对于B,命题“Vx£(O,+8),x+)l”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，因此它的否定是“太£

(0,+8),旧Wl”，B错误；

对于D,当“吟4号时，cos2a+sin2£=l成立，因此cos2a+sin2夕=1成立，不一定有°=夕，D错误；

对于C,当①=兀时，函数/(x)=2sin("+9)的最小正周期为2,

当函数.危尸2sin(切x+9)的最小正周期为2时，①=兀或折-兀

所以“所冗”是“函数小尸2sin3+s)的最小正周期为2”的充分不必要条件，C正确.

14.(2024•河南省学校联盟联考)已知p：止声1,q：^>1,r：2a.若/•是〃的必要不充分条件，且,•是夕

的充分不必要条件，则实数。的取值范围为.

答案［5,6)

解析由自力幅2°，

解得6Wx〈10,即p：6&<10.

记P，q,，,中x的取值构成的集合分别为4B,C,则力={x|6Wx<10},8={小>1},C={x\a<x<2a},

由于「是〃的必要不充分条件，，•是q的充分不必要条件，则力是C的真子集，C是的真子集，贝！J

2a>a,

a>l,

4解得5W〃<6,

a<6,

2a>10,

即实数。的取值范围是［5,6).

【课标要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、

数学定义与充要条件的关系2理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.

।・落实主干知识.

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q,则P是9的充分条件，。是。的必要条件

P是，7的充分不必要条件夕且“支

P是,7的必要不充分条件p》q且q0P

〃是夕的充要条件

P是q的既不充分也不必要条件夕40且

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.

⑵存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表

示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对A/中任意一个x,p(x)成立存在必中的元素X,p(x)成立

简记p(x)3xEMtp(x)

否定VxEM,F(x)

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

⑴当p是夕的充分条件时，夕是〃的必要条件.(J)

(2)“三角形的内角和为180。”是全称量词命题.(J)

⑶“41”是“入＞0”的充分不必要条件.(V)

(4)命题&£R,sin?/cos?号”是真命题.(X)

2.(2025・南通模拟)命题“VxWR,2丫2・3田4>0”的否定为()

A.VxGR,2^-3^+4^0

B.BxGR,2r2-3x+4>0

C.3x$R,2必・3x+4W0

D3xeR,2F-3X+4W0

答案D

解析命题“Vx£R,2x2-3x+4>0是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

所以所求否定是“三t£R,2x2-3x+4W0”.

3.设Q0,y>0,则“4严是“x>y”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

4.设p：1WXW4,q\x<m,〃是4的充分条件，则实数〃?的取值范围是.

答案(4,+8)

解析由p是1的充分条件，目p：1WXW4,q\x<m,

可得任|1WxW4｝是｛x[x<m｝的子集,

所以m>4.

口微点提醒

1.谨记两个常用结论

(1)〃是夕的充分不必要条件，等价于2是W的充分不必要条件.

(2)命题〃和小的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.

2.理清一个关系

“力的充分不必要条件是8”是指〃能推出4且4不能推出夕而〜是8的充分不必要条件”则是指4

能推出8,而8不能推出力，要注意区别上述两种说法的不同.

■探究核心题型•

题型一充分、必要条件的判定

2

例1⑴(2025福州模拟)设直线/1：(a+Dx+a产3=0,/2：2"@-2a-1=0,则“。=0”是的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析因为则。伍+1)=2/，解得〃=0或0=1.

若a=0,贝！J/i：x-3=0,，2：2x-1=0,两直线平行，符合题意；

若4=1,则/|：2x+y-3=0,/2：2%+广3=0,两直线重合，不符合题意.

综上所述，6〃/2等价于。=0.

所以％=0”是“"/2”的充要条件.

(2)(2024•北京)设%b是向量,则“他+好伍-勿=0”是“I或f的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由3+b)m/)=o,

得a2-lr-0,

即|叫肝=0,所以1aH0，

当。=[1,1),b=(-l,1)时，

同=|臼，但aW力且

故充分性不成立；

当a=-b或a=b时，

(a+b)(a-b)=O,

故必要性成立.

所以u(a+b)(a-b)=On是"a=-b或a=/>”的必要不充分条件.

思维升华充分、必要条件的三种判定方法

⑴定义法：根据夕十是否成立进行判断.

⑵集合法：根据〃，夕成立对应的集合之间的包含关系进行判断.

⑶等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立

为止.

跟踪训练1(1)(2024•海口市海南中学模拟)“件2E(k£Z)”是“cos哈的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若丐6Z),则cos伊cos(:+2klr)=cos^=y,k^Z,充分性成立；

若cos琉，则件2E或人,2skGZ,必要性不成立，所以“仇?2E(k£Z)”是“cos公苧’的充分

不必要条件.

(2)Q024・山东联考)已知等差数列｛〃“｝的公差为"，前〃项和为S,.设甲：力0；乙：⑸｝是递增数列,

则甲是乙的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D,既不充分也不必要条件

答案D

解析若公差冷0,如数列-10,-9,-8,-7,…,0,1,2,…，则数列的前〃项和S冼减后增；

若｛a｝是递增数列，如S尸〃，则。,尸1,｛〃”｝为常数列也为等差数列，且占0；

所以甲是乙的既不充分也不必要条件.

题型二充分、必要条件的应用

例2⑴已知p：xWl,q：x^a,若p是4的必要不充分条件，则实数。的取值范围

是；若”是夕的必要条件，则实数。的取值范围是.

答案（-8,1）（-8,1]

解析因为p：xWl,q\x^a,

若p是q的必要不充分条件，则（Q,E（-8,]],因此qvl,

即实数。的取值范围是（-8,1）.

若p是q的必要条件，则（-8,旬口-8,1],

因此qW1,即实数。的取值范围是（-8,1].

（2）已知P：x>l或xv-3,a为实数）若飞的一个充分不必要条件是A,则实数。的取值范围

是.

答案“，+8）

解析由已知得“：-3WxWl,「q：

设4={R-3WxW1},8={x|xW。},

若？是F的充分不必要条件，贝卜p=F，

所以集合4={.丫卜3WxW1}是集合8={x|xW”的真子集.

所以G1.

思维升华求参数问题的解题策略

⑴把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不

等式（或不等式组）求解.

⑵要注意区间端点值的检验.

跟踪训练2（1）已知p：q：x>m,若p是夕的充分条件，则实数〃?的取值范围是（）

A.[0,十3）B.[l,十^）

C.（-8,0]D.（.8,1]

答案C

解析由41可得入61）<0,解得（Krvl,

记J={x|O<¥<1},B=,

若〃是g的充分条件，

则4是8的子集，所以〃W0,

所以实数〃?的取值范围是（・8,0].

⑵设p：0WxW2,q："?_1«?+2.若夕是夕的充分不必要条件，则实数的取值范围

是.

答案[0,1]

一-1<0,

解析p：04W2,如.若〃是q的充分不必要条件，则（

[m+2>2,

且两等号不能同时取到，解得0W加W1.

题型三全称量词与存在量词

命题点1含量词的命题的否定

例3（多选）下列说法正确的是（）

A.“菱形是正方形”是全称命题

B."Vx,yGR,炉+产2（）”的否定是“缄，y^R,9+产^）”

C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”

D.，=夕是“sinZ=sinB”的必要不充分条件

答案AB

解析对于A,“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称命题，故A正确；

对于B,由全称命题的否定知其否定是，羽），£R,/+产0'故B正确；

对于C命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除"，故C错误；

对于D,因为4=8时，sin/=sinB成立，而sin4=sin8时，4=8不一定成立，如力三，8号，故“力=8”

是“sin/=sin8”的充分不必要条件，故D错误.

命题点2含量词的命题的真假判断

例4（多选）下列命题中，为真命题的是（）

A.VxeR,2x-'>0

B.3xER,x2+1<2x

C.V孙>（）,x+y^2y/xy

D.3X/y£R,sin(x+y)=sinx+siny

答案AD

解析对于A项，VxER,2XT>0,A项正确；

对于B项，•.,x2+l-2x=(x-l)220,，X2+］22X,B项错误；

对于C项，当x〈0,产0时，x+y<O<2Vxy,C项错误；

对于D项，取x=y=O,则sin(x+y)=sinO=O=sinO+sinO=sinx+siny,D项正确.

命题点3含量词的命题的应用

例5(2025・台州模拟)若命题“WrWR,必*〃?40，，是假命题，则实数〃?的取值范围是.

答案［—?/+8)

解析方法一原命题的否定“AWR,f*〃?=o，，为真命题，

/.A=1+4m20,解得2

4

・•・实数〃?的取值范围是［-］+00).

方法二若命题“VxGR,^-x-m丰0”是真命题，

则/=1+4加<0,解得加〈看

故当原命题为假命题时，

4

・••实数〃?的取值范围是［-1+8).

思维升华含量词命题的解题策略

(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.

当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

⑵由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.

跟踪训练3(1)(2024•新课标全国H)已知命题p：跟£R,|x+11>1；命题g：3x>0,xy=x,则()

A.p和q都是真命题

B「p和q都是真命题

C.p和「夕都是真命题

D「p和"都是真命题

答案B

解析对于命题p,取x=-1,

则有附

故〃是假命题，rp是真命题，

对于命题夕，取尸1,

则有7=13=1=、，

故9是真命题，F是假命题，

综上，「p和，/都是真命题.

(2)已知命题“八引-1,2],/_3,叶。>0"是假命题，则实数。的取值范围是.

答案(q,_4]

解析由题意得，2],也出后。”是真命题，则aW-f+3x对Vx£[-1,2]恒成立，在区间[-1,

2]上，-/+3x的最小值为・(・1)2+3X(-1)=4所以，W(-x2+3x)min=-4,即4的取值范围是(-8,-4].

课时精练

(分值：73分)

知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

L"x<0”是“疡=・x”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析值=-x=xW0,因为《0=启0,但x<0»xv0,所以:<0"是“小=-x”的充分不必要条件

2.(2024•天津模拟)命题“力"£N,J*十i£N”的否定是()

A.VweN,y/m24-1EN

B.V/n$N,Jm2+I/N

C.BwGN,Vm2+1$N

D.VweN,Vm2+1$N

答案D

解析由命题否定的定义得存在量词命题“力+i£N”的否定是“V〃?£N,dm?+1企N”，

故D正确.

3.“棱柱的相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若棱柱的相邻两个侧面是矩形，则两侧面的交线必定垂亘于底面，所以该棱柱为直棱柱，满足充分

性；若棱柱为直棱柱，则棱柱的相邻两个侧面是矩形，满足必要性.故”棱柱的相邻两个侧面是矩形”是

“该棱柱为直棱柱”的充要条件.

4.下列叙述错误的是（）

A.命题A-1WJ”的否定是“Vx£R,A41”

B若寻函数产（〃产-2〃?-2*2如在（0,+8）上单调递增，则实数〃?的值为-1

C.Vxe（0,+8）,2v>log2.v

D.设。£R,则％2>3”是的充分不必要条件

答案D

解析对于A,命题“五£R,F1W-1”的否定是“VxWR,娱1>-1”，A正确；

（mz—2m-2=1,

对于B,由<解得机=-1,B正确；

2-4m>0,

对于C,当x>0时，函数尸2、的图象在直线产r上方，函数尸log2X的图象在直线尸x下方，则2>log”

C正确；

对于D,由。2>3,得或心心因此“*>3”是“心V5”的必要不充分条件，D错误.

5.（2024・玉林统考）已知命题p：VxG[lz2],/+4.2>0,则命题p的一个必要不充分条件是（）

A.av-1B.a>-2

C.6f>lD.a>2

答案B

解析因为Vx£［l,2］,Ar+ar-2>0,所以。>-.什|在,2］上取过，

只需尸7■弓在［1,2］上的最大值小于明

因为尸在［1,2］上单调递减，故当尸1时，尸-X争［1,2］上取最大值1,所以心1则结合选项可得命

题p的一个必要不充分条件是。>-2.

6.(2023・新高考全国I)记£为数列5〃｝的前〃项和，设甲：｛小｝为等差数列；乙：｛m｝为等差数列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案C

解析方法一甲：｛小｝为等差数列，设其首项为公差为d,

贝!JS产£，

因此｛"为等差数列，则甲是乙的充分条件；

反之，乙：｛胃为等差数列，

.%―咻+1-5+1).%_啊+1—・++岩的+日口啊+1-5»1_,

----而用----而而为吊数，仅为乙即的+1)3

则S"=〃4"+l-/”(〃+l),

有Sn.\=｛n-1)a,rtn(n-1),//>2,

两式相减得an=nan^(n-1)a,,-2tn,

即a,^\-an=2t,对〃=1也成立，

因此｛小｝为等差数列，则甲是乙的必要条件,

所以甲是乙的充要条件.

方法二甲：｛〃“｝为等差数列，设数列｛飙｝的首项为m,公差为a

即S广〃m+"，)”,

贝！］纹。।+n~ld=^n+a1-^,

n222

因此｛引为等差数列，即甲是乙的充分条件；

反之，乙：图为等差数列，

设数列｛+｝的公差为D.

则翟岩=o,Hs+(〃-1)。，

即Sn=nS\+n(n-\)D,

当〃22时,)&+(〃・1)(〃-2)D,

上边两式相减得£-S"=$+2(〃-l)D,

所以。”=s+2(〃-l)£),

当〃=1时，上式成立，

又研”=0+2〃。-5+2(〃-1)0=2。为常数,因此又｝为等差数列,则甲是乙的必要条件,

所以甲是乙的充要条件.

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

7.下列既是存在量词命题又是真命题的是()

A.BxER,|x|<0

B.SxEZ,cosjv=-l

C.至少有一个x£Z,使x能同时被3和5整除

D.每个平行四边形都是中心对称图形

答案BC

解析选项A为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负，即|川20,所以A是假命题；

选项B为存在量词命题，当尸2时，满足cos《-2)=cos7r=-l,所以B既是存在量词命题又是真命题；

选项C为存在量词命题，15能同时被3和5整除，所以C既是存在量词命题又是真命题；

选项D是全称量词命题，所以D不符合题意.

8.下列说法正确的是()

A.命题AQ1,a>1”的否定是“DEI,AW1”

B.“60且J=//4acW0”是“一元二次不等式a占区+后0的解集为R”的充要条件

C.“力0”是的必要不充分条件

D.已知a,b^R,则“|a+〃=|a|+|切”的充要条件是“ab>0”

答案BC

解析对于A,命题的否定是“Vx21,fWl”，故A错误；

对于B,若心0&=〃247cW0,则不等式的解集为R,充分性成立，若不等式的解集为R,则。>0且

/=人4。。<0,即必要性成立，故B正确；

对于C,若AO,不可以推出例如片，即充分性不成立，若心1,可以推出。>0,即必要性成立，

故C正确；

对于D,例如。=6=0,可以推出|〃+〃=同+依，即|。+力|=同+|切不可以推出必>0,故D错误.

9.下列说法正确的为（）

A."Vx>0,lnx>0”为真命题

B.若FxWR,sin、3”为真命题，则实数。的取值范围为（-1,+8）

C.已知人{x|-14W2},B={X\2x-a<G},若匕£，'是“