2026届人教版高三数学一轮复习 平面向量板块：平面向量

高三数学一轮复习平面向量专题

知识点•梳理

1、平面向量的有关概念

①向量：既有大小乂有方向的量叫向量；

②向量的模：向量的大小或长度；

③零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是任意的；

④单位向量：长度为1的向量；

⑤平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量；

⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量；

⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量；

注明：零向量的方向是任意的，零向量和任何向量平行。

2、平面向量的线性运算

①加减法运算（减法理解为加（-〃））：

法则图形表示

三角形法则

a

平行四边形法则

②平面向量的运算律

（1）力口法交换律：a++

（2）加法结合律:（a+b）+c=4+（〃+c）；

（3）数乘运算：①当4>0时，而表示方向和Q相同，但是模是同的九倍。

②当4<0时，然表示方向和。相反，但是模是同的风倍。

③当2=0时，

③向量的共线定理：若向量。与向量人共线，则存在唯一一个实数4,使〃=22,工6）。

④平面向量的数量积（。力）：

1）定义：我们把数量同似他。叫作a与〃的数量积，即〃力=MMCOS。。

2）运算律：①交换律：ab=ba；②数乘结合律：（％/）•〃=兄（〃/）=4•（劝卜③分配律:

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^a+b\-c=ac+bc；

3、平面向量的基本定理与坐标运算

①平面向量的基本定理

如果斗色是同一个平面内的两个非零向量，那么对于这一平面的任意向量。，存在唯一一对实数

4,4，使。=4^+4/；其中，不共线向量G，S叫作表示这一平面内所有向量的一组基底。

②平面向量的坐标表示与运算

1）向量的坐标求法：已知A（X］，x）］&,%），则

AB=（x2-x1,y2-y1,4=）+（必一y『。

2）向量的坐标运算：已知〃=（%方），"=（%，％）,则

①—+〃=（百+孙y+%）；②4一〃=（不一孙y—>2）；

4、平面向量坐标表示与向量表示的相关运算

已知两个非零向量a=（X,yI）,。=（%，，2），则:

向量表不坐标表示

向量"的模\a\=y[(^同

一

%〃的数量积ab=\a\-bcos。a-b=xx-^-yy

l2i2

a与b的垂直a±b<=>ab=0aLb«'巧+y1y2—0

a与b的平行a!Ihoa=kba/lb<^>x]y2=

cos6=&'cose=、3+）产

G与b的夹角

\a\'h｛汇+y「7七十方

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题型一平面向量中的坐标运算

【例1-1］（2024年真题）已知点4（2,2）1（-2,10）,点。满足84=24。，则C的坐标是

A、（4,-2）B、（0,6）C、（T14）D、（-6,18）

【例1-2】（2017年真题）已知向量4=（1,一1）,〃（一1,2）,则2〃+b=—

【例1-3】（2008年真题）已知平面向量〃=（1,1）,。=（一1,2）,贝“a+b）.（4—b）=

Ao-1BolCo-3Do3

【变式1】己知向量〃=（1,〃。,。=（见2）,若〃・/?=4,则实数桁等于（）

4

A.一、£B.0C.1D.-

【变式2】已知向量〃=（1⑼力=（T1）,则（）

A.a/；bB.albC.［a-b^HhD.R+方）

【变式3］已知4=（T2）,A=（2』），求：

⑴a-3b；（2）g"3o

【变式4】已知点A（3,2）、/7,5）、C（-l,8）,求A8-gAC.

题型二平面向量中的数量积问题

【例2-1】（2022年真题）若向量d,〃满足I司=2,|百=3,且d和〃的夹角为120。，贝16$=.

【例2-2］（2006年真题）设。与〃是平面向量，已知。=（6-8）汹=5,且。•力=50,则向量

（-3,4）B'（-4,3）C＞（3,-4）（4,-3）

【例2-3】已知等边三角形ABC边长为2,则".改?=（）

A.-2B.2C.-2x/3D.2G

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【例2-4】己知向量a与〃的夹角为120。，且|4=2,忖=5,I|1|J(2«-/?)-«=。

【变式1】己知向量〃、〃满足M=1，W=&,a与5的夹角为:，则(〃-碉24+8)=()

A.1B.3C.-1D.-5

【变式2】己知向量4,方满足同=6,网=2,且a_L(a-〃)，则〃与〃的夹角为

题型三平面向量中的夹角问题

【例3-1】(2023年真题)己知向量a=(l,l)为=(-2,0),则a与〃的夹角为()

A.30°B.45°C.120°D.135°

【例3-2】(2015年真题)若向量之匕满足同=明=2,出〃=-2,则—

【例3-3］(2011年真题)己知平面向量。=(1,2)/=(-1,3),则〃与〃的夹角是

A、乃B、乃C、乃D、乃

7777

【例3-4】已知向量。=(3,1)/=(2,2),贝ljcos(a+/?,”))=()

A.JB.姮C.好D.遗

171755

【例3-5】已知向量>=11,⑹>=(2,0),则cos(d»=()

A.也B.：C.；D.一近

2222

【变式1］己知非零向量。与〃满足1"1=2|〃|,若|4+2〃川/+m，则cos(a*〉=()

A.yB.C.BD.£

2422

【变式2］已知非零向量满足W=2百W，且a_L(3a十力)，贝必与〃的夹角为()

第4页共24页

A.£B.式「酎57

cD

6T-T-T

【变式3】已知〃泊为单位向量，且,+纠=w-司，贝儿与人的夹角为（）

题型四平面向■中的平行、垂直问题

【例4J】（2018年真题）已知平面向量。二1,手，单位向量〃满足（〃+/?）_!_〃，则。与人的夹角是

A、30B、60C、120D、150

【例42】（2016年真题）己知平面向量。=（5,-4）/（-3,。。=（2,1）,若2。+3〃与c垂直，则A

【例43】（2012年真题）己知平面向量。=（1,2）/=（2,1）,若（。十助）_L。，贝iJZ=

【例生4】（2009年真题）已知非零向量A/，满足网=4同,且2〃+人与4垂直，则％与匕的夹角为

A、150B、120C、60D、30

【例45】（2007年真题）已知向量〃=（5Y"=（—32），则与加+36垂直的单位向量是一

【变式1】设向量。=（1,一2）力=（—"?）,若a〃8,则〃?=o

【变式2】已知向量〃二（〃7,1）,〃=（3,6+2）.若则而=.

【变式3】已知向量4=（11）,〃=。,-1）,若48）-L（a+W）,则（）

A.2+//=1B.A+//=-1

C.沏=1D.M=T

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题型五平面向量中的长度（模长）问题

【例5-1】（2021年真题）若向量。/满足同=3"=5,4+b=7,则4功=

【例5-2】（2020年真题）已知向量〃/满足同=1,。+6=1,且力与人的夹角为150,则/?

【例5-3］（2019年真题）已知向量〃=（1,2）,。=（1,一3）,贝IJ3Q+〃=

A、5B、4C、3D、石

【例5-4】（2013年真题）若平面上单位向量mb的夹角为90，则囚-4可=

A、5B、4C、3D、2

【例5-5］（2010年真题）a,b为平面向量，己知同=明=2,碗夹角为120,则24十。=

【例5-6】（2005年真题）已知向量〃与〃的夹角为30同=6,卜2，则

a+b=

【变式1】已知向量〃满足I。1=1,|力|=G|a-2bl=3,则〃/=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【变式2］已知平面向量4,0满足卜-2*1,a.b=i,则卜务卜（）

A.石B.2及C.3D.273

1、设平面向量。=。,3),l〃l=2,§L\a-b\=x/fo,贝?|(25+b)(d-b)=()

A.1B.14C.V14D.x/10

2、平面向量。=(1,一2),〃=(2,/力，若a//b,则卜一〃卜()

A.V3B.2C.75D.76

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3、已知向量4=(x,l),力=(2,y),c=(x,y)。若(4+〃)_L(〃-9)，且4己,则©=()

A.血B.75c.行D."

4、已知点M（3,-2）、yV（-5,-l）,且=求点/，的坐标.

5、设xeR,向量a=(x,l),Z?=(1,-2),且万_£、，则cos(d+Ab)=()

A.除立CTD.在

102105

6、若向量满足6=（-□）,|*2,且（2〃+/?），〃，则。与力的夹角为（）

A.7B.C.手D.军

6446

7、向量〃，力满足卜|=4,网=1,（2«-3/?）/?=3,则向量a,力夹角的余弦值为（）

2332

A-5B-4C--7D-

8、（多选）设向量。=（1,5）,〃=（4,一6）,则（）

rrr

A.（〃+〃）！〃B.（〃-力）।b

C.（4〃-2力）〃（g/?-aD.a-2/?）〃（2a+68）

9、已知平面向量〃*,匕|=2,叫=【，且d与〃的夹角为T，则1-2〃|=（）

A.VsB.4C.2D.0

1O^已知向量d,力满足|。|=2,\h=3,a\a+b）=-\,则卜+2可=（）

A.6B.2x/5C.5D.20

11、已知向量。，力的夹角为60。，M=M=1,且向量。与劝-〃垂直，则实数义=（）

A.2、5B.GC.夜D.2

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12、已知向量叫力的夹角为14=1,W=2,则忸+3/：=

13、已知向量a=(T,2),〃=(3,-l),c=("),且(a+2〃)_Lc,则工=()

A.2B.1C.0D.-1

14、已知向量〃=(1.0),力=(2,4),则,+耳=()

A.V5B.5C.7D.25

15、已知向量〃=(/,2卜〃=(2,-1)。若。与力的夹角的余弦值为-平，则实数f的值为(

5533

A.-B.一:C.-D.一彳

2222

16>已知向量”=(5,5).〃=(2,-2),若("/“_!_〃，则机=()

A.-1B.1C.2D.-2

17、已知向量;i=(l，l),/7=(1,-2),c=(x,-l),若。_1,+23)，则尸()

A.1B.2C.-2D.-1

18、已知非零向〃/满足|〃-2ZH=m+b|,且。力=3,则向量〃的模长为()

A.2B.V6C.73D.3

19、已知向量〃的夹角为9，〃=(右」)，M=G,则,-23()

A.©B.21C.3D.9

20已知向量a,b满足）=2,忖=1,a+*有,则,-3

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平面向量

、知识点•藐塑印概念

①向量：既有大小又有方向的量叫向量：

②向量的模：向量的大小或长度；

③零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是任意的；

④单位向量：长度为1的向量；

⑤平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量；

⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量：

⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量；

注明：零向量的方向是任意的，零向量和任何向量平行。

2、平面向量的线性运算

①加减法运算(减法理解为加(-b))：

法则图形表示

三角形法则

a

平行四边形法则

____________a=_______________

②平面向量的运算律

(1)加法交换律：a+b=b+a；

(2)加法结合律：(〃+h)+c=〃+仅+c)；

(3)数乘运算：①当%>0时，而表示方向和。相同，但是模是同的4倍。

②当/IvO时,%。表示方向和。相反，但是模是同的风倍。

③当4=011寸，Aa=O.

③向量的共线定理；若向量a与向量〃共线，则存在唯一一个实数4,使4=仍仅工0)。

④平面向量的数量积(〃・〃)：

1)定义：我们把数量同似35夕叫作4与〃的数量积，即a为:同Wcos。。

2)运算律：①交换律：ab=ba；②数乘结合律：(崩)为=%,旬=4・(m)；③分配律:

(a-\-b\c=ac+be；

3、平面向量的基本定理与坐标运算

①平而向量的基本定理

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如果不色是同一个平面内的两个非零向量，那么对于这一平面的任意向量心存在唯一一对实数

4,4，使。=46|+4/；其中，不共线向量华.叫作表示这一平面内所有向量的一组基底。

②平面向量的坐标表示与运算

1）向量的坐标求法：已知0％），则

AB=（当一占，为一%），k4=一+（）'2一）1）2。

2）向量的坐标运算：已知〃=（4乂）］=（毛，％）,则

①-+〃=&+盯1+%）;②a—〃=（不一/，y-%;

4、平面向量坐标表示与向量表示的相关运算

已知两个非零向量a=（百,y）,力=（孙必），则：

向量表不坐标表示

向量行的模同=4^同=々+乂2

■

a，「的数量积ab=|47bcos。ab=xx+yy

i2i2

a与b的垂直aA.b<=>ab=0dLb<=>西9+y%=0

。与〃的平行a//boa=kha//bo%%=

abcos9=、中2+）产

。与人的夹角cos^=-

ki\-bJ/「十）f7%十丫2

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题型一平面向量中的坐标运算

【例1-1］（2024年真题）已知点4（2,2）,8（-2,10）,点。满足84=24。，则C的坐标是

A、（4,-2）B、（0,6）C、（＜14）D、(-6,18)

【答案】A

【解析】方法一:向量的运算。

A（2,2）,B（-2,10）,BA=A-B=（2-（-2）,2-10）=（4,-8）

设向量C（x,y）,AC=C-A=（x-2,y-2）

BA=2AC,（4,-8）=2（x-2,y-2）=（2x-4,2j-4）X

2x—4=4,x=4;2y—4=-8,y=-2»

所以C的坐标（4,-2）:一\•

方法二:向量的坐标表示。

在坐标系中找到8、A坐标

8A=2AC,C在第四象限，故选4

【例1-2］（2017年真题）已知向量4=（1,—1,2）,则2。+匕=—

【答案】（L0）

【解析】2z7+Z7=2（l,-l）+（-l,2）=（2,-2）+（-1,2）=（1,0）

【例1-3】（2008年真题）己知平面向量〃=（1/）力=（一1,2）,则（.+/?）•（%-〃）=

Ao-1Bo1Co-3Do3

【答案】C

【解析】方法一：。+h=（1,1）+（-1,2）=（0,3）,々+。=（1,1）一（一1,2）=（2,-1）

-Z?）=（0,3）（2,-l）=0x2+3x（-l）=-3

方法二：（4+/?卜（〃_匕）=42=同？-厂M同=0,。=（一1,2）,b二石

（4+。）.（。叫=同2_忖2=&2_后=_3

【变式1】已知向量。=（1,〃?）,〃=（小,2）,若a・b=4,则实数a等于（）

4

A.-V2B.0C.ID.y

【答案】D

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■■4

【解析】由题意：4仍=1X〃?+〃?X2=3〃?=4,「.〃I=Q；故选：D

【变式2】已知向量4=(1⑼泊=(-□),则()

A.a/：bB.albC.(d-b)/lbD.(a+〃)_L.

【答案】D

【解析】因为向量。=(l，O)/=(TI),所以〃+〃=(()/)，则(。+〃)。=0,即(a+〃)_L*故选:D

【变式3]已知3=(-1,2),6=(2]),求：

⑴”3〃；

【答案】(D(—7,—l)(2)Ed

【详解】(1)因为席=(-1,2),^=(2,1),所以〃-3)=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1)。

(2)因为4=(—1,2),力=(2,1),所以;-9=；(_1,2)_:(2,1)=，；,“一仔3)=，，外。

【变式4】已知点A(3,2)、B(7.5)、C(-l,8),求AB-gAC.

【答案】(6,0)

【详解】因为A(3,2)、氏7,5)、Cl-1,8),所以初=因,5)-(3,2)=(4,3),4C=(-l,8)-(3,2)=(-4,6),

所以AB—gAC=(4,3)—g(-4,6)=(6.0)。

题型二平面向量中的数量积问题

【例2-1】(2022年真题)若向量原「满足|同=2,|臼=3,且d和6的夹角为120。,则〃-b=.

【答案】-3

【解析】a-b=\a\-\b\-cosilO=2x3x(-g'=-3

【例2-2](2006年真题)设。与b是平面向量，已知。=(6.-8),问=5,且。/=50,则向量。一人=

A、(-3,4)B、(T,3)C、(3,T)D、(4,-3)

【答案】C

【解析】设匕=(%丁),网=5,gp^+y2=52;t7-/?=50,(6,-8)(x,y)=50,6x-8y=50

x2+=52,6x-8y=50,解得x=3,y=-4,所以〃一力=(6,_8)—(3,T)=(3,-4)

求解过程：x2+/=52,x2=52-y2,x2=25-y2,9x2=225-9y2

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6x-Sy=50,3x-4），=25,3x=25+4y,9x2=（25+4y『,=625+200y+16y

225-9y2=625+200），+16y?,25y?+200y+400=0,y?+8y+16=0,（y+4『=0

所以y=-4,6x-8y=50,x=3

本题可快速猜解：网=5,3,4,5;〃力=50,。=（3,-4）正好满足

【例2-3】己知等边三角形A8C边长为2,则（）

A.-2B.2C.-273D.2&

【答案】A

【解析】由向量的数量积的运算，可得4比8。=卜胤84cos（兀一m）=2x2x（-；）=-2。

故选：Ao

【例2・4】已知向量〃与匕的夹角为120。，且忖=2,忖=5,则仅a-/）〃=。

【答案】13

【答案】••响量a与匕的夹角为120。，且卜卜2,*5,

/.（2a-b^a=2a-ab=2x22-2x5x|--=13

\2）0

故答案为：13。

【变式1】已知向量a、b满足忖=1，忖=&,a与方的夹角为（，则（。叫・（2〃+Z?）=（）

A.1B.3C.-1D.-5

【答案】C

【解析】因为忖=i，w卜四，〃与"的夹角为?，

所以（a—力卜（2a+/?）=2a——=2x1?—=_],故选：C

【变式2】己知向量a,。满足|4=6,网=2,且a_L（a-。），则〃与〃的夹角为

【答案】I

【解析】设a与人的夹角为。，

因为a_L（a-^）,所以-方）=0,所以J—/.〃=（），卜|一。•力cos0=O,

因为|d=6,M|=2,所以3-2-73cos6=（）,cos0=,

因为。40,4],所以。=£,故答案为：2

66

题型三平面向■中的夹角问题

【例3-1】（2023年真题）已知向量〃=（1,1）,〃=（一2,0）,则a与人的夹角为（）

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A.30°B.45°C.120°D.135°

【答案】D

【解析】本题考查数量积公式

々=(1,1),同=JF+F=42

22

/?=(-2,0),|/?|=J(-2)+0=2

=(1,1)(-2,0)=1x(-2)+1x0=-2

d与6的夹角为135

【例3-2](2015年真题)若向量a1满足同=明=2*/=-：，则cos(a*”

【答案】一：

_2

【解析】33而=4=二=」

'1\a[b1x23

【例3-3】(2011年真题)已知平面向量。=(1,2)/=(-1,3),则〃与匕的夹角是

A乃71

A、—D、

26

【答案】C

ab_x,x2+y,y2_lx(-l)+2x3_5_\[1

【解析】设夹角为仇cose=同网J工；y；712+22^(-1)2+325&2

【例J3-4】已知向量a=(3,l),〃=(22),贝lJcos(a+Aa-4=()

A.JB.姮C.叵D.拽

171755

【答案】B

【解析】因为a=(3,1),6=(2,2),所以a+b=(5,3)M-b=(l,T),

则,+q=J52+32=取,,一6卜VTTT=拉,(«+/?)-(«-/?)=5x1+3x(-1)=2,

(a+b){a-b)2_V17

所以cos(a+b,a-Z>>=

卜+用”Nx/34x>/2-17

故选：故

【例3-5】已知向量&=(-1，6)，力=(2,0),则cosR,[?)=()

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【答案】C

/,\ab(―l)x2+\/3xO1

【解析】因为。二口如H2,。)，所以"叱丽二府稿羡帝口。

故选：Co

【变式1］已知非零向量。与〃满足1，1=2|〃|,若|a+2万Ha+/，l，则8sm。)=()

A.7B.C.旦D.一直

2422

【答案】B

【解析】因为|〃+2%|=|八/小所以|句2+4|必+4"$=|"|2+|必+2./,

所以3人『+2”力=0,而|川=2|〃|,所以31blZMSI2cos〈一力)=0,

所以cos(5,b)=-'o

故选：B

【变式2】己知非零向量也满足|“2刊4,且4M3〃+力)，则〃与〃的夹角为()

A£B-c—D—

A，6爪3C,36

【答案】D

【答案】因为〃」(3d+W，所以。・(3〃+力=3|a|2+〃》=(),

设。与力的夹角为8,所以广一络,所以故选：D

\a\\b\\a\x2>j3\a\26

【变式3】已知为单位向量，且忸+耽=|万一班贝为与力的夹角为()

A1-C—D-

A，6比B3C,3J6

【答案】C

【答案】由题意可得向=M=i,

将卜i+纪卜卜「可两边平方可得同*+4忖+446=问2+忖_2a./?；

可得6〃/=-3卜|=-3f可得「,"=_；；

___ab1

设。与人的夹角为。«0,可，则8s°=丽=-2，

所以0=年。

故选：C

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题型四平面向量中的平行、垂直问题

【例4~1]（2018年真题）已知平面向量W,单位向量满足+,则"与的夹角是

A、30B、60C、120D、150

【答案】D

（rr\

【解析】向量垂直，相乘等于0,即（。+b）.匕=0,"+〃=Q时例cos6+时=0,。=l,y,时=

\7

/4）=^^-,单位向量长度为1,|a悯cosO+时=o,^^xlxcose+F=0,3^cos0

=-l,cos6^=—^j==,所以。=150o

2

【例生2】（2016年真题）已知平面向量4=（5,-4）/（-3,*,c=（2/），若2a+3〃与c垂直，则x=

【答案】2

【解析】2d+豆=2（5,T）+3（-3㈤=（1,-8+3力,与^=（2,1）垂直

1x2+1-8+3x）xl=0,-6+3x=0,x=2

【例生3】（2012年真题）已知平面向量。二（1,2）力=（2,1）,若+妨）_L〃，贝1蛛=

A、--B、--C、--D、--

5432

【答案】A

【解析】。+的=（1,2）+Z（2,1）=（2左+1/+2）,（。+幼）JLb,（2左+l）x2+（Z+2）xl=0,5k+4=0/=—3

5

【例44】（2009年真题）已知非零向量A,b,满足忖=4同，且2〃+匕与Q垂直，则d与分的夹角为

A、150B、120C、60D、30

【答案】B

【解析】2a+b与。垂直，则（2々+/?）•〃=0,2〃?+〃/?=（）,2时2+|々悯cosa=0（a为两个向量的夹角）,

网=44,2]〃『+|^z|x4|^|cosa=0,cosa=--,故选B

【例生5】（2007年真题）已知向量々=（5,-4）/=（—3,2）,则与2〃+38垂直的单位向量是一

14

【解析】为+3b=2x（5T）+3x（-3,2）=（10,-8）+（-9,6）=（1,-2）单位向量长度为1,故（廿

X

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与(1,-2)垂直的单位向量为

管用或亨阁

【变式1】设向量。=(1,一2)力=(-1,〃7),若。〃6，则机=O

【答案】2

【解析】因为。〃人则1xm=(-2)x(7),解得帆=2。故答案为：2

【变式2】已知向量。=(〃7,1),〃=(3,6+2).若a&b,则小=.

【答案】1或-3

【解析】因为向量力=(，珥1),力=(3,利+2),a§b,

所以有〃Z(〃7+2)=1x3=>/??=1,或加=一3,

故答案为：1或-3

【变式3】已知向量〃1=(-1),若(。+血)则()

A.%+〃=1B.A+//=-l

C.即=1D.澳=-1

【答案】D

【解析】因为4=(11),。=。,一1),所以£+"=(1+41-4),=+,

由R+型_!_(，+〃〃)可得,(4+劝)•(〃+/力)=。，

BP(1+A)(1+A)+(1-2)(1-Z/)=0,整理得：力=—.

故选：D.

题型五平面向量中的长度(模长)问题

【例5-1](2021年真题)若向量。泊湖足闷=3,忖=5,卜+力卜7,则a・b=

【答案】y

【解析】思路，见到向量的模(两边有坚线)，先平方，后开方

,+厅二7

(\a+b\f=72=49

a?+2,必+/?2=49[完全平：方公式(。+8=a2+2ab+b2

|42+2〃h+M「=49(向量的平方就是向量长度、向量模的平方)

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32+2rz/?+52=49

9+2"+25=49

^=49-9-25=15

15

abf=——

2

【例5-2】（2020年真题）己知向量满足同=1,卜+可=1,且。与b的夹角为150,则1

【答案】G

【解析】思路:向量见模平方

,+4=1

h+〃「二产

a2+2ab+b?=1（完全平方公式）

\d\+2同网cosl50+\b\~=1

l2+2xlx|Z?|x--+|/?|2=1

\/

好一百问二0

例x（例-G）=o

网=0（舍去）或同=6

【例5-3】（2019年真题）己知向量。=（1,2）,〃=（1,一3）,则3〃+人=

A、5B、4C、3D、石

【答案】A

［解析］。=（1,2）,3。=（3,6）/=（1,_3）

3tz+Z?=（3,6）+（1,—3）=（4,3）="之+3?=5

【例5-4】（2013年真题）若平面上单位向量。力的夹角为90,则忸-48=

A、5B、4C、3D、2

【答案】A

［解析］先平方、后开方，|3々_锄2=|3a「_24|a悯cos0+16例2=9_0+16=25,|3々_蝴=5

【例5-5】（201（）年真题）。泊为平面向量，已知同=1，W=2,〃"夹角为120,则|2a”=.

【答案】2

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【解析】先平方、后开方：（|2a+.『=4a2+4H2+/=4+qaMcosl20+4=8+8x|-11=4,

74=2

【例5-6】(2005年真题)己知向量"与的夹角为30,同=6,网=2,贝小+人=

【答案】V13

【解析】方法一：画出向量，用勾股定理求解与

方法二：先平方、再升方：621

|〃+耳

=,侬+加~=\ja2+2ab+b2=+2p/||Z?|cos30+|/?|2=+2xGx2x*+2?

=x/3+6+4=y/\3

【变式1】已知向量满足|”|=1,|/小石,忆-26=3,则a»=()

A.-2B.-1C.ID.2

【答案】C

【解析】:la—2〃『=|〃|2-4小〃+4印，又・.,我|=1,2|=宕,|d-访|=3,

・・・9=1一4。》+4x3=13—4。匕，=1故选：Co

【变式2]已知平面向量a,b满足|〃-1=1,ab=\f则+叫=()

A.x/3B.2&C.3D.26

【答案】C

【解析】因为卜一训=1,ab=l，所以卜+2可=/+4〃。+4犷=/-4。〃+4/+8e〃=”一训+8。/?=9,

即w+2+3。故选：C

1、设平面向量。=(1,3),l〃l=2,^\a-b|=VFo,贝lj(2a+/?)(〃-/?)=()

A.1B.14C.V14D.X/10

【答案】B

【解析】因为。=(1,3),所以|。|=厢，又1以=2,则6|2=42一2〃/+/=14—2〃》=10,所以〃6=2,

贝1](2。-6)(。-6)=2。2一6〃一〃2=2。-2—4=14,故选：B.

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2、平面向量。=(1,-2),0=(2,/〃)，若&///?,则卜-可=()

A.x/3B.2C.V5D.x/6

【答案】C

【解析】因为a〃Z?,所以lx/〃=-2x2,解得"?=~4,所以=(-1,2),所以卜-可二石.

故选：C.

3、已知向量，=(*4),b=(2,y),c=(x,y)o若(4+〃)_L(a—8)，且6"b,则©=()

A.x/2C.V5D.R

【答案】C

【解析】因为〃=(m),力=(2,)，)，由(a+b)_L(a—〃)可得，(。+匕)(。-6)=。2—从=。,

即俨+1)一(4+力=0,整理得“2一产=3。

x=2„:二；故|.|=々+<2=石，故选C

乂因为a〃A,所以肛=2,联立.或彳

,二”问[y=i

4、已知点M(3,-2)、N(-5,-l),且MP=；MN,求点P的坐标.

\__5

【答案】3，-3

【分析】设点P的坐标为(x，A，利用平面向量的坐标运算与向量相等列出方程组，求解即可.

【详解】设点P("),由得,MP=(x-3,y+2),MN=(-8,1),

81

x-3

因为朋户4MN,所以•3,解得，3

>+2,_5

y~3

所以点尸的坐标为

5、设xeR,向量a=(x,l),Z?=(l,-2),§Lalb,则cos(a+〃力)=()

A.旦B夜D.旦

102c杀5

【答案】B

【解析】因为。=*/)，。=(1,-2),又a_Lb,所以工-2=0,得到X=2,所以4=(2,为得到a+b=(3.-l),

/,(a+b)b3+25x/2

所以8sgm=冏丽=标而7=电一，故选：B

6、若向量a,/?满足a=(fl),W=2,且仅〃+/"_1〃，则a与力的夹角为()

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【答案】C

【解析】贝“4=应，

由（2a+〃）_L/?,有（2d+B）石=2々.字+）2=0,得a.b=-2,

由cos”）=帚p-冬则4与〃的夹角为今。

故选：C

7、向量。，匕满足卜卜4,网=1,（2〃-3叶〃=3,则向量〃，〃夹角的余弦值为（）

933?

A.]B.7C.D,--

【答案】B

【解析】由题意知同=4,网=1,乂因为（2“一38）出=2〃/一劝，=2同阵05,,。）-训一=3,

解之得：cos（a,/?）=《，故B项正确。故选：B

8、（多选）设向量。=。,5）,〃=（4,—6）,则（）

rrr

A.（a+〃）_L“B.[a-l^Lb

C.^a-2b]//[^b-aD.（1+可〃（2a+6〃）

【答案】AC

【解析】对A,；3=（5,-1）,所以（；+斗；=5xl-5X1=0,所以小+力）J,故A正确；

对B,。-6=（-3」1）,所以（a-6”=-12-66=-7800,所以B错误；

对C,因为-4（*,=（4a-2〃），且a,〃为不共线的两向量，所以吐2〃）〃[；—｝故C正确;

26

对D,因为且为不共线的两向量，所以D错误。

3

故选：ACo

9、已知平面向最。力,|4|=2,屹|=1,旦”与〃的夹角为：，则卜-2〃卜（）

A.75B.4C.2D.0

【答案】C

【答案】因为卜-2//=/-4aA+4//=4-4x2xlxcosg+4=4,所以卜-2司=2,故选：Co

10、已知向量a,5满足仅1=2,=3,a-（a+b）=-\,则,+2司=（）

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A.石B.275