2026年高考数学一轮复习：集合 （含解析）

2026年高考数学一轮复习：专题L1集合

题号—•二三总分

得分

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合力={xI10x<202S,iEN],B=[y\y=2X),则/A£?=()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{1,2}D.⑵

2.已知集合M={a|六且aWZ},则M等于()

A.{2,3}B.{1,2,3,4}C.{1,2,3,6}D.{-1,2,3,4)

3.设全集〃={X|0V%V10,%WZ},A,8是U的两个真子集,(Q4)八(C心)={1,9},4nB=2,

")C8={4,6,8),则()

A.5€力，且508B.5c4且5cB

C.5£力，且5WBD.5CA,且5WB

4.集合M={x|x=2k,kEZ},N={x\x=2k+lfkEZ],0={x\x=4k+lfkEZ],则对任意的mE

M,nEN,oE0,有下列四种说法：©m-nG0；@m+nG0：③o—mWN：(4)o-nG0,其中一定正

确的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2

5.已知U=R,A={x\x-4x4-3<0},B={x\\x-3|>1],则{U(Cu^)=()

A.{x|l<x<4]B.{x|2<x<3]C.{x|l<x<2]D,{x|2<x<3}

6.已知集合力={x|3x2-14x+15<0],B={x\y=Jlogo,5(4x-7)}则力nB=

A.[1,2]B.[2,3]C.3]D.(,2]

7.设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{斯},所有被4除余1的自然数从小到大组成数列出工，设这

两个数列的公共项构成集合人则集合4C{ng4202S,n£N=中元素的个数为()

A.167B.168C.169D.170

8.集合4={%[%<-1或％工3},5={x|ax+l<0},若8G4则实数a的取值范围是()

A.昌,1)B.卜别

C.(-00,-1)u[0,+8)D.[-i,0)U(0,l)

9.已知集合M={x\x2-2mx-3m2<0},N={x\x2+mx-2m2<0},定义b-Q叫做集合

{x|aWxWb}的长度若集合MCN的长度为2,则MUN的长度为（）

A.3B.4C.5D.6

10.设集合A={x\x2+2%-3>0},集合8={x|x2-2ax-1<0,a>0},若An8中恰含有一个整数，则

实数a的取值范围是（）

34

"-

A..3B.（0,1）D.（l,+s）

11.记R⑷为非空集合4中的元素个数，定义4*8={溜二歌爆恭温・若，={1.2}，B=

{%|(x2+ax)(x2+ax+5)=0},且4*8=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则R(S)等于()

A.1B.2C.3D.4

12.已知集合P,Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P,Q中的元素都为正数；②对于任

意G,bWQ(a丰b),都有蓝WP：③对于任意a,bWP(aHb),都有abWQ,则下列说法正确的是()

A.若P有2个元素，则Q有3个元素B.若P有2个元素•，则PUQ有4个元素

C.若产有2个元素，则PAQ有1个元素D.存在满足条件且有3个元素的集合P

二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

13.已知集合力={xeR\x2-3x-18<0},B={xeR\x2+ax+a2-27<0},则下列命题中正确的是

()

A.若/—B,则a——3

B.若4cB,则Q=-3

C.若B=0,则Q<-6或Q>6

D.若B茎川甘，则一6<a<一3或a>6

14.设集合时={%|。<x<3+a},N={x|xV2或%>4},则下列结论中正确的是()

A.若。<一1,则MGN8.若。>4,则MGN

C.若MUN=R,贝jil〈以<2D.若'MCN#。，W>J1<u<2

15.已知非空数集M具有如下性质：①若%,yGM,则②若y则x+y€M.下列说法中

正确的有()

A.-1GMB.20256M

C.若x,yGM,贝I］无y€MD.若％,yGM,则％—y€M

16.设集合/={无氏2一%一6<0},B={x\x2+bx+c<0},若ACB=（-2,2],则（）

A.p>0B.b<0C.c<-4D.2b+c=-4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

17.a,beR,集合{l,a+b,a}={0,，，b},Ma2024+b2025=.

18.已知集合A={0,2a-La?},8={。-5,1-。,9},且9€04门3),Ma=.

19.已知集合A={%eN|<V3/iV27},B={x\x2-3x+m=0},若贝i〃U8的子集的个数

为.

20.设〃=/?,力={x|m/+4%+2=0}若QA=U,则m的取值范围为:集合力中有两个元素的充

要条件是.

•••56i4,5cB.

故选A.

4.【答案】A

【脩析】【分析】

本题主要考查元素与集合的关系，较难题.

根据集合M,N,。中元素的性质：分别判断mn,m+n,o-m,on,即可得出结论.

【解答】解：因为m=2h，n=2k2+1,o=4k3+1,kltk2,li3eZ,

所以m-n=2k1•(2k2+1)=2(2七七+k。,且2自七十自€Z,

所以m-neM,m-nOi

又m4-n=2(Zq+k2)+1EN,又如+七不一定是2的倍数，

所以m+九不一定属于集合0：

因为。—Tn=2(2七—kJ+1,且2自—k]WZt所以o—?nEN；

因为。,n=(4自+1)(2々2+1)=2(4k2k3+&+2k3)+1，4k2k3+眺+2k3€Z,

所以0•九EN,乂4k2k3+攵2+2七不一定是2的倍数，所以。•八不一定属于集合。.

所以只有③一定正确，

则一定正确的个数为1.

故选:A.

5.【答案】4

【解析】【分析】

本通考查集合交并补混合运算，属于基础题.

先化简集合人儿再利用集合的补集和并集运算求解.

【解答】

解：因为A={x|l<x<3},B={x\x>4或％<2},

所以Q8={x\2<x<4},A\J(QB)={x|l<x<4},

故选:A.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查集合的交集运算，对数型函数的定义域问题，属于基础题。

【解答】

解：,•T={x|3x2—14%+15<C}=Jx||<x<3^,

B=My=VTogos（4"7j}={*<%<2卜

4nB<x《2}.

7.【答案】C

【解析】解：由题意可知,数列{an}：2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、

数列{b,J：1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、...»

将集合4中的元素由小到大讲行排序，构成数列{q}：5、17、29、…，

易知数列{cn}是首项为5,公差为12的等差数列，则7=5+125-1）=12九一7,

由d=12n-7<2025,可得nW浮=169+J,

因此，集合力n[n\n<2025,neN*}中元素的个数为169.

故选:C.

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查集合间的包含关系，求解参数范围，考查了分类讨论思想，属于中档题.

根据集合3中参数a与0的关系分类讨论，以及子集关系确定a的范围.

【解答】解：4={x|x<-1或x>3},F={x\ax+1<0},

当a=0时，1W0不成立，

所以B=。，所以8GA满足；

当G>0时，因为QX+1W0,所以X<——a>

又因为BG4

所以一工<一1,所以OVQ<1；

a

当a<OlbJ,因为QX+1W0,所以x>——a,

又因为所以一:二3,所以一;WQVO,

综上可知：Q€[—g,l).

故选:A.

9.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查集合的运算以及新定义问题，题目较难。

先求出一元二次不等式对应方程的根，再讨论根的大小确定两个集合，进而求出两集合的交集，通过长度

求出m值，再求集合的并集及其长度.

【解答】

解：/-—3m2=0的两根为一?n,3m,

/+rnx-2m2=0的两根为m,-2m；

当n=0时，易知MCN={0}；

当m>0时，M={x\-m<x<3m},N={x\-2m<x<mJ.

MCiN={x\—m<x<TH)；

当n<0时，M={x\3m<x<-m},N={x|m<x<-2m},

MCN={x\m<x<-m].

由MnN长度为2得，2m=2或-2m=2,

•••m=1或m=-1,

当m=1时，M={x|-1<x<3},={x|-2<x<1},

MuA/={x|-2<x<3};

当n=-1时，M={x|—3<%<1},N={x\—1<x<2],

MUN={x\-3<x<2].

・•.MUN的长度为5.

故选：C.

10.【答案】A

【解析】【分析】

这个题目考查的是已知函数的零点，求参的问题，在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为

方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问

题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论.

求出4中不等式的解集确定出力，由4与B交集中恰有一个整数，求出Q的范围即可.

【解答】

解：由A中不等式变形得：(x-l)(x+3)>0,

解得：x<一3或%>1,即A={x\x<-3或%>1},

函数y=/(%)=x2-2ax-1的市称轴为％=Q>0,

/(-3)=6Q+8>0,

/(-I)=2a>0,

/(O)<0,/(1)<0,

故其中较小的根为(-1,0)之间，另一个根大于1，

要使4G夕恰有一个整数，即这个整数解为2,

A/(2)<。且/(3)>0,

解得:

a<i

即那吗

则G的取值范围为

故选A.

11.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查元素与集合的关系判断、方程根及其应用，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中

档题.

根据给定条件可得R(B)=1或R(B)=3,然后由集合8中的方程的根的个数，对参数a进行分类讨论，求得

实数a的所有可能取值，即可得到本题的答案.

【解答】

解：由定义得R(H)=2,结合A*B=1,可知R(B)=1或R(8)=3,

由方程(7+ax)(x2+ax+5)=0,得/+=0或/+Q%+5=0,

当R(B)=1时，方程(%2+ax)(%2+ax+5)=0只有一个实数根，

而方程/+QX=0有一根为0,则另一根必为o,—a=0,此时工2+QX+5=0无实根，因此a=0.

当R(B)=3时，必有a00,方程/+QX=0有两个不相等的实数根%1=0,x2=-a,

并且=0,%2=一。都不是方程.1+ax+5=0的根，

显然方程/+ax+5=0有两个相等的实数根，且异于/=0,x2=一a,

于是4=a2—20=0,解得a=2，5或—2，^.

当c=2，^时.方程(丫2+。柒)(乂2+a*+K)=0的根为0,——A/~S.满足题意，

当&=一2\/3时，方程(7+。无)(7+QX+5)=0的根为0,26，，亏，满足题意，

因此Q=2，§或Q=-2V~5»

综上5=｛0,-26,2隗｝,故H⑸=3.

故选：C.

12.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查元素与集合之间的关系，属于较难题.

若P有2个元素•，设口=包,匕｝,根据集合的性质和题设进行分析推导，可以判定48C；假若P有3个元素•，

设「=｛。,瓦。｝,根据题设条件推导，可以得到P还会有第四个元素，得到矛盾;从而判定D.

【解答】

解：若P有2个元素,设。=｛上与，(a>0,b>0,a^b)Mabe(?.

vQ至少有2个元素，.•.集合Q中除"外至少还有一个元素，

不妨设％WQ，xab,则X>0,且*WP,g£P,

若金=*则产=(血)2,

x>0,ab>0,x=ab,与假设矛盾，

Lxabxab.x,ab

+故茄H工，•••m=a，T=b或而=b,：=a.

若余==b,则％=Q,ab=1,«••b=-,

若G=1,则b=Q=l,与QHb矛盾，,QH1,同理bH1.

此时P={a,3,Q=Q={a,：,l},PnQ={a}；

若京=8,g=a,则无=b,ab=1,•••a=p

若G=1,则b=a=l,与QHb矛盾，aH1,同理b区1.

1

也1pnQ

一=

此时P={b,3,Q={b,l}/UQb

综上，若P有2个元素，则Q有2个元素，PUQ有3个元素，20(2有1个元素，

故A错误，8错误，C正确；

假若P有3个元素，设「=｛见6,可，则a,b,c为互不相等的正数.根据③，有MEQ,bcEQ,acEQ.

由于a,b,c都是正数，且两两不相等，所以ab,be,ac两两不相等.

由条件②可得，95H**都是集合P=｛见仇G的元素.

va,b,c为互不相等的正数，.•—5,2,2,£,：都是不等于1的正数.

cbacan

abbc

*：b,c为不相等的正实数，W工第o,考虑到”押

若mi则壮?为互不相等的正数，由岗:两边取到数得

所以£是与g2,2不相等的正数，由于二［2,2都是集合户的元素，所以集合户至少有四个元素，与初始

abacabac

假设矛盾；

同理可得2H3,时矛盾.

abac

因此考虑2=2,-=£='的情况，所以a?=反，同理可得力2=ac,c2=ab,所以M=

acabac

ubc,

所以a=>=c,这与集合中元素的互异性矛盾，所以集合P有3个元素不可能成立，故。错误.

故选：C.

13.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题考查含参数的集合关系的问题，解一元二次不等式，属于一般题.

求出集合A,根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断.

【解答】

解：由题意得4={%£划一3cx<6},

若人=B,则a=-3且小-27=-18,解得a=-3,故A正确；

故当a=-3时，A=B,故。不正确；

若AEB,则(-3)2+。.(-3)+。2-2740且62+6。+。2-2730,解得Q=-3,故3正确；

当8=0时，得小一4(Q2—27)40,解得Q4一6或a之6,故C正确.

故选：ABC.

14.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题考查了集合的包含关系，交集及并集的运算，属于中档题.

由题意利用集合子集的概念以及交集，并集的定义逐项分析即可.

【解答】

解：对于力，若Q<-1,则3+Q<2,则M£N,故人正确；

对于B,若Q>4,显然对于任意x6M,x>4,MXG/V,故MGN,故B正确；

对于C,若MUN=R,则{屋：'、4解得1<Q<2,故C正确；

1"/1f

对于。，若MCN=。,则2，不等式无解，故若MnNH。，则aWR,故。错误.

故选ABC.

15.【答案】BC

【解析】解：对于4若一1WM,令％=y=-l,则x+y=-2EM,

令x=-Ly=l,则j=x+y=0EM,令x=l,y=0,不存在即y00,矛盾，所以

一1WM,故A错误；

对于B,由于集合M非空，取任意元素％EM,根据性质①，得再根据性质②，

得1+1=26M,进而1+2=3€M,…，2024GM,20256M,故8正确；

对于C,因为1€M,x€M,所以因为y6M,所以q=xy£M,故C正确；

对于D,若x=l,y=2,则%—？=一1£M,故。错误.

故选：BC.

16.【答案】ACD

【解析】解：4={x|x2-x-6<0}={x|-2<x<3},

若HnB=(-2,2],

说明2是方程/+bx+c=0的一个根，

设方程/+匕％+c=0的另一个根为则B={x|x0<x<2},

由于rn8=(-2,2],所以&W-2,

则根据韦达定理可得：2+无。=-b，2x0=c,

因为右工一2,b=—(2+%o)>那么b=-2—乃0之0,所以A正确，8错误；

由2&=c且凡W-2,可得c=2nW-4,C正确；

由方程/+bx+c=0有一个实数根为2,得4+2b+c=0,UP2b+c=-4,故。正确，

故选:ACD,

17.【答案】2

【解析】解：由分母不为0可知aH0,

所以a+匕=0,则。=一从即2=—1,

a

所以集合{l,0,Q}={