2026年高考数学一轮复习：均值不等式培优归类（题型清单）原卷版

专题05均值不等式培优归类

》称压轴•林高度4.

题型1公式基础

・■*■・■・■・・・・•・・・・・・■・・•■・・•・・■・・•・・・・・・・・・・■・・•■■•■・■・・・■・・・・•・•・・■・・・■・■・■■・■・■・■■•・・■・■・■・・

g艮

重要基础不等式

(1)a2+b2>_2ab(«,/?eR)；

(2)啖而(a/€R+)；

(3)-+->2(a,洞号)；

ba

(4)ab<(^\_或abW土止(a/eR)：

I2)2

（5）之而之

Vab

\---------------------------------------------------------------------------------

1.（2025•辽宁鞍山二模）已知（d，匕）、（巧，/）是函数y=e'的图象上两个不同的点，则（）

A,.I1n—X—+必<-X1——+X,JBc.I1n—乂—+—M>-%1——+X.

2222

C.In>:匕V玉+%2D.In>:”•>%+占

2.（24-25高三•安徽合肥模拟）S«=ln\/6,/2=Vln2ln3,c=ln>/3e,则4权c的大小关系是（）

A.c<a<bB.a<b<c

C.c<b<aD.b<a<c

3.（24-25高三湖南长沙开学考试）已知函数/（x）=ln尸,q=log23,〃=log34,c=l,贝IJ（）

J•人

A.</（c）B./（〃）</«）</（〃）

4.（24-25高二上•湖南长沙期末）已知数列也｝为等差数列，也｝为等比数列，织="=6,则(）

A.b4b6>44a6B./4+4？4+&

C.帅。<44D.仇+优K4+4

31—I

5.（24-25高三上•吉林长春阶段练习）设。=怆三/=施5诟,c=Rgl5,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD,b<c<a

题型2取等条件

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)"一正二定三相等”“一正"就是各项必须为正数；

(2)“二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须

把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就

不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

I

I

1'""(24-25高三下近赤阶段用为丁禾列说法正确的是V'j

A.函数y=x+，的最小值是2

X

B.函数/(x)=cosx+-^—,X€(O,力的最小值为4

cosxI2)

C."x>0且）>0"是“二+工之2”的充分不必要条件

yx

D.不等式"+〃N2（活与等之，万有相同的成立条件

2.（24-25高一上・北京・期末）若。力eR,且他>0,则下列不等式中，恒成立的是（）

A.a+b>2\[abB.2""+2人“22

「11、2

2D•丁铲刷

3.（24-25高三・全国•阶段练习）下列结论正确的是（）

4广1

A.若xeR,且工工0,则一+xN4B.当x>0时，>Jx+-=>2

X\x

C.当xN2时，x的最小值为2D.当0<xW2时，x-->-2

XX

4.（24-25高三・上海•模拟）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以

下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当。为，。均为正实数时，"产3痂，

当且仅当。=〃=c、时等号成立，利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（）,

A.若0<x<1,则

9

1?7

B.若x>0,贝lj2.vH--2—

x~8

C.若0<xvl,则_?（1一”之；

2

D.若x>0,贝IJ丁+—之3

X

5.（2023・河北•三模）已知x>（）,那么以下关于式子父+1的分析判断正确的选项是（）

X

（1）X2H--->2>/x

X

（2）上式当且仅当f=•!即X=1时，等号成立；

x

（3）所以当x=l时，f+」取得最小值2

A.以上全正确B.（1）错C.（2）错D.（3）错

题型3基本型：凑配对勾型

对勾型结构：

1b

t+—at+一

tt

2.（24-25高三云南昭通,阶段练习）函数y=二心出（x>l）的最小值为（）

x-\

A.2B.灰）C.4D.2>/2

已知人?],则纪包里的最小值为（）

3.（23-24高按安徽芜湖・模拟）

2x-1

A.7+66B.6+673

C.7+473D.6+46

函数/（力=去^（）的最小值为（）

4.（2025高三•全国・专题练习）0<]<2

?5

A.—B.12C.9D.3+2上

2

5.（24-25高三云南昆明•阶段练习）已知％<0,则函数）,=口也有（）

A-I

A.最大值-6B.最大值TC.最小值6D.最小值8

题型5"1”的代换：基础模型

“1”的代换

.利用常数Lxm=l代换法。多称之为“V的代换。

tn

结构特征：以下字母一般都是正实数。

1、若ax+by=m,则E+幺最小值:2+里=~5~・m・（E+%）=~!~«（ax+by）・（R+旦）展开即可。

xyxymxymxy

2、若E+幺=m,则ax+by最小值」・m・（ax+by）=L.（E+gMax+by）展开即可。

xymmxy

L......................................................................................................................................................

1.（24-25高三,贵州贵阳•阶段练习）若随机变量J〜N（1Q2）,且?传4〃）二尸（空〃Z）,其中机，〃>0,

则工+±的最小值为（）

2.（24-25高三黑龙江哈尔滨模拟）在各项均为正数的等差数列｛&｝中，若心=5,则'的最小值

a2%

为（）

42

A.—B.—C.4D.4\/2

14

3.（24-25高三重庆九龙坡阶段练习）已知〃+匕=2,a>0,b>0,则±+；的最小值为（）

ab

9

A.9B.-C.4D.6

2

34

4.（24-25高一下•贵州遵义期中）已知。>0/>0,且a+W=2,则士+；的最小值是（）

ab

27

A.6B.12C.—D.27

2

5.（2025・河南信阳•模拟预测）已知4+b=l（">0）,贝让+?的最小值为（）

ab

9

A.1B.2C.4D.-

4

题型6"「'的代换:单变量隐“和”构造型

?・■・■«■・■・一・・・■・・・・・■・・・・・一・・・・•一・■■・■■■・■・・・・・・・・・・・・■・■・■・・・■・■・•■・■■・■・■・■・一・・・・・■・・・・・・・■・一・・・■・・■・■■・■■・■・■・■■・■・■・■・■■・■・・■・■■・■・・・・・■・■■・■・・♦■・■■・■・■■・■・■・as・・・・i

i单变量隐“和”构造型：

\形如

—--+—-—型，可以构造（mqx+nq）+（nip-mqx）=nq+mp（定值），除x外其他字母皆是常数。

mx+np-qx

\再借助“1”的代换构造均值求最值。

I112

1.（23-24高三・陕西咸阳•阶段练习）已知实数工满足（）＜x＜，则已+丁土的最小值为（I

3x\-3x

A.9B.18C.27D.36

2.（24-25高三上湖北阶段练习）已知随机变量J-N0,，），RP^<-\）=P^>a）,则

14

_L+」_（O<x<a）的最小值为（）

xa-x

97

A.9B.3C.-D.—

23

3.（24-25高一_L•河北承德期末）已知入造（0,5）,则！十普的最小值为（）

x5-x

A.25B.6C.10D.5

4.（24-25高一上・浙江丽水・期中）设*2,则白+总的最小值为（）

A.81B.27C.9D.3

则乙1一Q一的最小值为（）

5.（24-25高三上•重庆阶段练习）已知实数“满足

xl-4x

A.20R.25C.30D.35

题型7的代换：“积、和”混合同除型

100^0

:“积、和”混合同除型原理：

|1.关系：如*，与a+2b=ab,可以通过同除（乘）ab互化。

：2.化归：如"22化为则复合T的代换模型结构。

匚…（2匚25高三禾说工期中厂匚知「且二玄二环「厕a+26的最不值为一「厂

A.12B.9C.8D.6

2.（24-25高三・广东广州模拟）已知（>0,y>0,且x+3yf=0,求％+3y的最小值为（）

A.9B.12C.15D.18

3.（22-23高三,新疆•阶段练习）已知x>0,y>（）,且4x+），=冷，，若x+），>1+8加恒成立，则实数利

的取值范围为（）

A.­mm>—•B.{〃*%<-3}C.{m\m>1}D.{川一9</〃vl}

4.（24-25高三上•四川成都模拟）已知a+2b-2cib=0,则8“+。的最小值是（）

B25

A.义6D.17

B,T

5.（24-25高三上•陕西西安期末）已知正数满足力+〃=2而，贝IJa+"的最小值为（）

A-iB4C.5D.9

题型8“1”的代换：“积、和”混合解不等式型

“积、和”混合解不等式型原理：

1.原理：如x+y-xy+S=Q有“和”有“积”，则结合所求的是和（或

积），则对积（或和）用均值，达到“消去”积（或和）的目的，

然后再解关于积（或和）的一元二次不等式。

於.易错：对于求和型，需要满足条件等式中的和的系数比与所求的

；系数比相等。如：满足冲+x+y=3,求工+八若冲+3x+y=3,求x+y型，则

|失败。需要用反解代入等其它方法

17'"（24-25高三湖南长*模拟厂已知；；。：，；汇；：；:6「厕》，）；的最小值是（

A.2B.3C.4D.5

2.（2025•云南昆明模拟预测）已知x>0,y>0,且x+y-个+8=0,则个的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

3.（24-25高三•云南昭通模拟）若正实数X，），满足冲+x+y=3,则工+），的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

4.（24-25高三上•山东泰安期末）若x,y>（My=4x+y+5,则4x+y的最小值为（）

A.12B.16C.20D.25

5.（24-25高三,山东滨州•模拟）若〃>0,/?>0,且必=船+6+5,则帅的最小值为（）

A.25+2及B.25C.5D.1

题型9构造分母型：单分母基础型

形如pa+b=t,求—!—+1•型，则可以凑配（pa+m）+（b•=t+m,再利用“1”的代换来求解。

pa+tnb

，其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。

311

1.（24-25高二下河北保定阶段练习）已知x>0,y>~\,z>0,2y+3z=2—x,则二十—^+一的最

••xy+1z

小值为（）

A.Z+nB.Zl"C.—DT+6

2222

41I

2.（24-25高三上山东临沂阶段练习）已知x>0,y>0,且x+y=l,若一;+二2彳，〃+4恒成立，则实

••-Viiyz

数阳的取值范围是（）

A.3B.（~°°U]C.（―co,5]D.（-co,10]

14

3.(19-20高二上天津・期中)已知x>0,y>0,Ig4x+lg2v=]g8,则丁[+一的最小值是()

•Zx+1y

946

A.3B.-C.—D.9

415

o1

4.（2024•安徽模拟预测）已知f（x）=e"eT,若正实数〃7，〃满足/（2〃。+“〃-3）=/（0）,则\+冷的

最小值是（）

94

A.-B.-C.2D.4

43

5.（24-25高三上•河北石家庄•阶段练习）已知非负实数尤y满足x+y=l,则~的最小值为（）

-2x1+y

A史/B.2C.4D.l

243

■■•■・■«■・■・■・・・・・・・・・・・・・・•・・■・■・・■・・•■・・・・・・・・•・・・・・•■・■・■■・■・・・・•・・・•■・・・・•・・■■・■・■■・■•■・・・・・・・・・・・・・・•■・・・・・・・・・・・・・・•■・・・・・・・・・・・■・■・■■・■・・•・・・・・,・・・・■・■・・，

题型10构造分母型：双分母基础型

形如a+b=t,求」_+」一型，则可以凑配(a+m)+(b+n)=t+m+n,再利用“1”的代换来求解。

a+mb+n

其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。

I9

1..（24-25高一上•重庆•期中）已知实数/>0,满足。+%=4,则一一+产;的最小值是（）

a+\h+2

A.-B.；C.1D.2

42

i4

2.（24-25高三浙江金华•阶段练习）已知力20且立一1=-2力，若一-+--2r/+10机恒成立,

a+b2a+b7

则阳的取值范围是（）

A.1</zz<9B.〃？W1或〃后9C.D.

12

3.（24-25高三河南漂河•阶段练习）已知实数。>0,b>0,满足，+助=4,则一；+丁二的最小值是

a+\h+2

（）

A.7B.；C.1D.2

42

4.（2025・福建泉州•二模）若x之0,y>0,且」y+丁二一印，贝Ij3x+4y的最小值为（）

x+12x+4y

A.2B.3C.4D.8

5.（24-25高三・福建三明•阶段练习）设正数满足2a+〃=l,则广1+自的最小值为（）

2-2a2-b

A-2x/2-2BC.2V2+2

4n4J

题型11构造分母型：三角函数型

三角函数型构造：

1.利用sin2a+cos2a=1定值结构构造求解。

2利用二角函数两角和与差等恒等公式求解

(■・■・■(・■■(・(・(・(・,・(・(・(・(・(・,・(・(・(・(・(・(・(・I・(・•・(・(・I・(・(・(■・・•■・■・■■■•■・・•■・・・■(・(・•■・・・■(・(・•・•■(・■■(・(・(・(・(■・・・・I・(・•・(■・・•■・■・■,・(・・・・・•・・・(■•■

1Q

1.(20-21高一上•山西临汾期末)若ae0,-,则_二+^^的最小值是()

I2/sin'acosa

A.16B.17C.18D.19

2.(20・21高三陕西安康•阶段练习)已知统角公夕满足。+夕=9则」--+—、的最小值为

bsinacospcosasinp

()

A.2B.4C.8D.18

3.（2023河南开封模拟预测）已知锐角a］满足a+6=R则.】々十—三的最小值为（）

3sintzcospcosasinp

A.2B.任C.且D.Sy/3

33

I2

4.（20-21高一上•黑龙江哈尔滨期末）函数一二十二^的最小值为（）

sinxcos'x

Q

A.-B.3

3

C-3+2夜D.2&

7r9i

5.（23・24高一上•浙江杭州期末）设x,），w（05），贝lJ-^+,.,——l的最小值为______.

2sinxcosxsinjcosy

题型12构造分母型：待定系数（凑配）型

型如一!一+—!—与cx+dy形式：

ax+bymx+ny

1.观察凑配。

2.如果不容易观察，则可以借助待定系数法来构造：

cx+dy=2（ax+by）+〃（mx+ny）

解系数方程即可

1（21-22高三上•河南•阶段练习）已知。/£（0,+8）,若^^+丁匚=2,贝IJa+。的最小值为

''5a+2b2a+5b

（）

1+五

c-7

2.（22-23高三上•河北保定•阶段练习）不等式丁一曲+心。的解集为何成火〃},其中0<〃?<4,则

+二的最小值为（）

10a+2b4b-4。

B.2C.-D.一

A-T

468

3.（22-23高一上・浙江杭州•期末）若,>。，），"且贵+/川则以+2,的最小值为（）

A.4B.4x/3C.l+2>/3D.4+2x/3

4、（22-23高二下•浙江温州期中）点A在线段8c上（不含端点），。为直线BC外一点，且满足

21

OA-aOB-2bOC=0.则:;一-+—十的最小值为（）

3。+4〃a+3b

c9八gc9

B.—C.—D.—

575

12

5.（23-24高三上•四川巴中•开学考试）已知x>），>0且4x+3y=l,则:——+—丁的最小值为（）

2x-yx+2y

A.10B.9C.8D.7

题型13构造分母：分离再构造型

1g@0

对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，

转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解

i.-（cx+d）+b--b--i

i分离常数技巧:竺曾.......—J+T

cx+dcx+dccx+d

lI

ii

1r3

1.（21-22高三上•辽宁•阶段练习）若实数x+3产3（x>l,y>-）,则［+/的最小值为（）

3x-l3y-\

A.6B.4C.3D.2

2.（2。22・安徽•模拟预溯若实数…满足2…斗则急+a的最小值为（）

A.6B.4C.3D.2

43X-7

3.（23-24高三・广东佛山•阶段练习）已知正数”,），满足，+k2,则77rm的最小值是（）

4.（23-24高三・江苏南通•阶段练习）已知x>0,y>0,且x+y=2.q,则丁一十一的最小值为

2x4-1y+\

（）

43

A.-B.1C.-D.2

52

5.（24-25高一上・贵州贵阳•阶段练习）若x>0,>'>0,且外=2工+儿则―+―的最小值为（）

x-\y-2

A.0B.3+2血C.26+1D.4

题型14因式分解型

11・■・■«0・■・■・・・■・■・■■・■•・•・•■・・•■・・・・•・・・・■・■・・•■・■・■■・■・・・・・・・・・■・・•■■・■・・・・・■・・・・・・・・・・・・・・・■・■・・・・・・・■・・・■・■・・•■・■■・■・■・・・・・■・・•・・■・・・・・・,■・■・■■・■・・・・・■•■・■,

ji.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原i

i理

I2.最常见的因式分解：a+b+ab+l=（a+1）（b+1）

ii

ii

1n5124高二工辐建莆田期中［巨如v;5m…石二巨石二石：贝而一+亍的最/卜值息「j

A.1B.4C.7D.3+717

2.（23-24高一上•福建龙岩期末）已知x>l,y>\,且x+y-v=则2x+y的最小值是（）

A.2&B.4C.4A/2D.5

3.（24-25高三上・江苏阶段练习）已知心…"则没总的最小值为（

•）

A.4B.5C.6D.3+2近

21

4.（24-25高三・河北石家庄•阶段练习）已知。>0⑦>0,且2a+b=ab,贝IJ上十丁二的最小值

67-1h-2

为.

5.（24-25高一上•河南•期末）设阳>1,n>3,且3m+〃=+一24,则log3（"Ll）」og3（"3）的最大值

为.

题型15齐次同除换元型

一般是齐次型分式，可以考虑同除，构造单变量型，或者构造对勾型。

\基本规律

j一般情况下，满足（1）分式；（2）分子分母齐次。则可以同除构造单变量来求最值。

3/+3A

1.（23-24高三・上海浦东新•模拟）已知实数攵＞0,则#+14*14犬+]的最大值为

2.（22-23高三上•江苏南通•阶段练习）已知A={x|m二+Zu+cW0（a＜））}中有且仅有一个元素，则

..a+3b+4c任日I/七4

M=—;-----的最小值为______.

b-a

3.（2021高三・浙江杭州,阶段练习）若x,ye（0,”）,x+W+»=4,则十丹匚^的取值范围

2x~y+2xy+17

4.（22-23高三•浙江模拟）已知a,b、c＞0,记7二(4fl+l)(9t7+/?)(4/?+c)(9c+I),贝U丁最大值

5.（22-23高一上•上海宝山•阶段练习）已知。力为正实数，则迈中五运的取值范围是

题型16反解代入消元型

条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。

?当题目中有2个字母时，利用题目的方程将所求式子进行消元是常用方法.

匚彳5655全国高三专题练为7巨如"交万J匚且满足ZN“；高；1「前2人入的最小值了二

2.（2020•江苏南京南京市第五高级中学校考模拟预测）已知正实数乂）、满足町+2x+y=4,则x+y的最

小值为.

3.（2021・天津蓟州•天津市蓟州区第一中学校考模拟预测）设。＞0,〃＞0,且5帅+。2=1,则a+b的最小

值为.

4.（2023•全国高三专题练习）若均为非负实数，且"+〃+力-1=0,则2a+b的最小值为.

5・（2。22秋.全国•高一专题练习）已知正数。、b满足%则含+言的最小值为一

题型17换元型

100^0

j换元型：

i1.二次配方型，可以三角换元

；2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元,

；3.齐次分式同除型，可以代数换元，

1.(22-23高三浙江阶段练习)已知〃>0S>0,c>0,则：+.J：+:的最小值为

a+b2b+3c2c+a

()

A.8B.9C.10D.11

38

2.（21-22高二下•河南洛阳•阶段练习）已知正数x,2满足（_+2y）/（3丫+2），）「2,则冷’的最小值是

（）

3.（22-23高一上・浙江杭州,期末）若y>0,且贵+占4则以+2），的最小值为（）

A.4B.C.1+2A/3D.4+2右

4.（2025•河北衡水•模拟预测）已知正数“，b,。满足2〃+〃+女=8,则学士+一匚的最小值为

b+ca+c

（）

A.20B.21C.372-1D.21

44

5.（24-25高三・河南新乡•阶段练习）已知正实数db满足5/+生b=1+〃,则初+〃的最小值为（)

A.-B.-C.-D.2

243

■・■・■«■・■・■・・・・・・・・・■・・・・•■・・・・・■・・・・・・・■・■・■・・•・・・•■・■・■・■・・・■・・・・•■・・・・・■・・・■・・・・•■・■・■・•■・■・■・■

题型18两次均值型

•・«■・■•■•・・・•・・・・・・・•・•■・・・・・・・・•・・・・・・・・・・・・・・・•・・・・・•■・・・・・・・・•■・・・・•・・・・・・■・・•・・■•・•■・■・■・■

混

一般情况下均值用两次，要保证相同字母“取等”条件和数值一致。两次均值，逐次消去，取等条件一

;致才能成立

1.（2022・全国•高一课时练习）已知心（）力>（）,则疝+1的最小值是（）

2ab

A.2B.242C.472D.6

2.（2021・全国•高三专题练习）已知4>O,b>0,且。+力+,+?=5,则4+6的取值范围是（）

ab

A.1<«+/?<4B.a+b>2C.\<a+b<4D.a+b>4

3.（2022秋・河南信阳•高三信阳高中校考阶段练习）设4>"">0,则2/+1+工:!一^-10雨+25c2取得

QD4（a一。J

最小值时，”的值为（）

A.V2B.2C.4D.2石

题型19万能“K”型

100^0

•设K法的三个步骤：

I团、问谁设谁：求谁，谁就是K；

\瓦代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；

:团、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），20确定最值

---4

1.（24-25高三上•山东聊城•阶段练习）已知正数不y满足x+y=-+-+8,则K+y的最小值

%y

为.

33

2.（24-25高三•河北•阶段练习）已知x>0,y>0,x+y---------=4,则x+y的最小值为_________.

xy

19

3.（22-23高二上•湖南怀化期末）已知正数%人满足：a+b+-+^-=\0,贝必+人的最小值

19

4.（22-23高三浙江丽水•阶段练习）若正数羽），满足x+V+15=—+—,且x+），Wl,则

A.X为定值，但y的值不定B.X不为定值，但），是定值

C.X,），均为定值D.X,y的值均不确定

题型20无条件：〃裂项〃型

1g艮

（24-25高三・上海阶段练习）设是正实数,则言等亲的最大值为

1.•

叵包亘的最大值为

2（2024.辽宁大连.模拟预测）已知），，z均为正实数，则