2026中考数学核心考点复习：特殊的平行四边形（学生版+详解版）

考点18.特殊的平行四边形（精练）

限时检测1:最新各地模拟试题（40分钟）

1.（2025•上海浦东新•校考三模）下列命题中，真命题的是（）

A.两条对角线相等的四边形是矩形B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C.两条对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形D.两条对角互相平分的四边形是平行四边形

2.（2025•陕西西安•校联考一模）如图，在矩形A8CQ中，AB=4,DE工AC千点、E,AE=3CE,则OE的

C.272D.2百

（•河南濮阳•统考一模）如图，平行四边形的对角线。相交于点则下列说法不正

3.2025A8COAC,30,••

硬的是（）

A.当NA3C=90。时，平行四边形A8CO是矩形B.当AC=3O时，平行四边形A8C。是矩形

C.当AC上8O时，平行四边形48co是矩形D.当04=0。时，平行四边形A8CQ是矩形

4.（2024・福建三明•统考一模）如图，正方形A8C。的边长为4,点E为人。的中点，连接〃'，BE,点、M,N

分别在上，且CN’AN,则MN的长为（）

33

A.—B.：C.2x/2D.3

22、

5.（2025•广东阳江•统考一模）如图，在矩形ABC。中，AB=6,AD=3,连接AC,点E为AC上一个

动点，点广为BC上一个动点，连接BE、EF,且始终满足加E二ZBFE,则线段3尸的最小值为（)

3厂

A.1B.-C.x/3D.2

6.（2025•四川眉山•统考模拟预测）如图，将矩形纸片A8CQ折叠，折痕为MN,点M,N分别在边4£）,

8c上，点C,。的对应点分别为E,尸且点尸在矩形内部，M声的延长线交8C与点G,EF交边BC于点、

H,EN=2,A8=4,当点〃为GN三等分点时，的长为（）

A.2而B.4或2衣C.2V13-4D.4或2>/15-4

7.：2025•河南郑州•校考三模）如图，在菱形A8CQ中，对角线AC、8。相交于点。，点、E、尸分别是A8、

AO的中点，连接石/、BF.若AF=T,AE=6,则所的长为I：）

A.3&B.2&C.7D.3

8.（2025・江苏无锡•一模）如图，长方形A8CQ中，AB=3,4c=4,E为BC上一点,且应：=1,F为AB

边上的一个动点，连接笈尸，将EF绕着点石顺时针旋转45。到EG的位置，连接尸6和CU,贝l」CU的最小值

9.（2025・甘肃天水•校考模拟预测）如图，菱形A3。的对角线AC与3。相交于点。，七为AO的中点，连

接OE,ZABC=60°,BD=45则OE=.

10.（2025・吉林长春•校考模拟预测）如图，菱形A8C。的对角线4C、30相交于点O,过点。作

于点〃，连接O",若QA=3,OH=2,则菱形48co的面积为是—.

11.（2025•河南驻马店•统考二模）如图，矩形ABC。的对角线相交于点O,=乙40/）=120。，点E在

对角线8。上，。是AE的中点，PO+P8的最小值是.

12.（2025•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）矩形A8CO中，A3=3,8C=5,点E在直线人。上，若CE=CB,

则lanZAEB=.

13.（2025•浙江宁波•校考一模）妇图，矩形人BC。的两条对角线4C,8。相交于点。，OE±Af3,垂足为

E,尸是OC的中点，连接石尸交08于点儿那么竺二.

14.（2025•陕西西安•校考模拟预测）如图，在矩形A8CO中，AB=5,AD=12,点E是矩形内一动点，连

接BE、CE,18小=；%形八*°,尸为AO上一动点，连接E/L则BE+CE+尸石的最小值是

15.（2025•湖北武汉•校考模拟预测）如图，矩形48co中，AC,BO相交于点0,过点8作3F/AC交C。

于点凡交AC于点M,过点D作DE〃BF交AB于点E,交AC于点N,连接尸N,EM.则下列结论：

①DN=BM；②）EM〃FN♦,③DF=NF；④当AO=A。时，四边形OEB/是菱形.其中正确的结论

是,

16.（2025•江苏南通•南通田家炳中学校考模拟预测）如图，在菱形A8CO中，NABC=60。，48=26.按

下列步骤作图：①连接30,以。为圆心，适当长为半径画弧，分别交30,4。于点£、F；②以C为圆

心，。七长为半径画弧，交边BC于点G；③以G为圆心，E/长为半径画弧，交②中所作的弧于点〃；

④连接C”;⑤延长C“交8。于点N,连接。交BO于点M.

⑴根据小雅的作图步骤①②③④，可得作图结论：=.并证明结论成立；（2）求的长.

17.（2025•吉林长春•统考一模）如图，在平行四边形A8CO中，对角线AC,BD交于点、O,AS8C交C8延

长线于点E,C产〃AE交AO延长线于点F.（1）求证：四边形AEb是矩形.（2）若四边形A8CD为菱形，H

为AB中点,连接若DF=3,AE=4,则O”长为.

18.（2024•上海杨浦・统考一模）已知：如图，在等腰梯形A8CD中，AD^BC,AB=CO,点E在边48上,

AC与DE交于点F,NADE=NDC4.（1）求证：AF阴C=AEgS。；（2）如果点E是边的中点，求证：

AB?=2DFDE-

19.（2025♦河南周口•联考模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们以"正方形的折叠〃为主题开展实践活动.

图(6)图(7)

⑴操作判断

操作一：如图（1）,正方形纸片ABCO,点七是BC边上（点E不与点8,。重合）任意一点，沿AE折叠△A8E

到产E,如图（2）所示；

操作二：将图（2）沿过点尸的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN,点C的对称点记

为H,如图（3）所示；

操作三：将纸片展平，连接8M,如图（4）所示.

根据以上操作，回答下列问题：

①8,M,N三点一（填“在〃或”不在〃）一条直线上；

②AE和8N的位置关系是数最关系是_；

③如图（5）,连接AN,改变点E在8C上的位置，_（填“存在"或"不存在”）点E,使AN平分N7ME.

⑵迁移探究：苏钮同学将正方形纭片换成矩形纸片A8CO,AB=4,BC=6,按照（1）中的方式操作，

得到图（6）或图（7）.请完成下列探究：

①当点N在CD上时，如图（G）,6E和CN有何数量关系？并说明理由；

②当。N的长为1时，请直接写的长.

限时检测2：最新各地中考真题（40分钟）

1.（2025・湖南常德・统考中考真题）下列命题正确的是（）

A.正方形的对角线相等且互相平分B.对角互补的四边形是平行四边形

C.矩形的对角线互相垂直D.一组邻边相等的四边形是菱形

2.（2025•浙江金华•统考中考真题）如图，在Rt△人8c中，Z4CT=90°,以其三边为边在A3的同侧作三个

正方形，点尸在G”上，CG与EF交于点RCM与3E交于点0.若HF=FG,则学些竺竺的值是（）

》正方形A8EF

C.近D-卷

3.12025•湖北随州•统考中考真题）如图，在YA8c。中，分别以&。为圆心，大于;协的长为半径画弧,

两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线交8。于点O,交AD,8c于点E,R下列结论不至重的是（）

4.（2025•上海•统考中考真题）已知在梯形ABCO中，连接HC,BD,且AC上80,设4B==〃.下

列两个说法：①八C=f（"+力）；②与。=,Ja2M则下列说法正确的是（）

A.①正确②错误B.①错误②正确C.①②均正确D.①②均错误

5.（2025•内蒙占•统考中考真题）如图，在菱形A8co中，AB=4,ZA=120°,顺次连接菱形A8CO各边

中点E、尸、G、H,则四边形EPG”的周长为（）

A.4+25/3B.6+2>/3C.4+4>/3D.6+46

6.（2025・重庆•统考中考真题）如图，在正方形ABC。中，。为对角线4c的中点，石为正方形内一点，连

接BE,8石=刚，连接CE■并延长，与//WE的平分线交于点儿连接“'，若A4=2,则的长度为（）

C.1D.也

7.12025•浙江•统考中考真题）如图，已知矩形纸片A8CQ,其中人B=3,BC=4,现将纸片进行如下操作:

第一步，如图①将纸片对■折，使A8与。C重合，折痕为律，展开后如图②；

第二步，再将图②中的纸片沿对角线8。折叠，展开后如图③：

第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点。落在对角线3。上的点〃处，如图④.则。〃的长

为（）

8.（2025•江苏南通•统考中考真题;，如图，四边形A8CO的两条对角线AC,BO互相垂直，AC=4,BD=6,

则AD+BC的最小值是

9.（2025•山东枣庄•统考中考真题）如图，在正方形ABC。中，对角线AC与5。相交于点O,E为8C上一

点，CE=7,/为OE的中点，若△（:斯的周长为32,则OF的长为

10.（2025•黑龙江哈尔滨•统考中考真题）如图在正方形ABCD中，点七在C。上，连接AE,BE,F为BE的

中点连接C尸.若。尸=返，匹=3,则4石的长为.

EC2

11.（2025•黑龙江哈尔滨•统考中考真题）矩形A8CZ）的对角线八C,B7）相交于点。，点”在矩形A8CO边

上，连接。A若ZAO3=38。，"OF=30。,则.

12.（2025・陕西・统考中考真题）如图，在矩形48CO中，AB=3,AC=4.点E在边AO上，且EO=3,M、

N分别是边A3、AC上的动点，且3M=BN,P是线段CE上的动点，连接PM,PN.若PM+PN=4.则

线段PC的长为

13.（2025•浙江绍兴•统考中考真题）如图，在菱形ABCO中，ND48=40。，连接AC,以点A为圆心，AC

长为半径作弧，交直线A。于点E,连接CE,则/AEC的度数是

14.（2025•辽宁鞍山•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形AO8C的边OB,（M分别在4轴、丁

轴正半轴上，点。在BC边上，将矩形AOBC沿折叠，点C恰好落在边04上的点处.若OA=8,OB=10,

则点。的坐标是.

15.（2025・湖南•统考中考真题）如图，在矩形ABCO中，AB=2,AD=不，动点。在矩形的边上沿

AfC—OfA运动.当点尸不与点A4重合时，将尸沿AP对折，得到△A8'P,连接C8"则在点P的

运动过程中，线段C&的最小值为

16.（2025•黑龙江哈尔滨•统考中考真题）已知四边形A8C。是平行四边形，点石在对角线B。上，点尸在边

8c上，连接EF,DE=BF,5E=8C.（1）如图①，求记（2）如图②，若

AB=AD,AEHED,过点C作C"〃AE交跖于点〃，在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图②中

四个角（/84石除外），使写出的每个角都与N84E相等.

图①图②

17.（2025呐蒙古•统考中考真题）已知正方形A8CO,E是对角线AC上一点.

⑴如图1,连接8E,DE.求证：AABE合AADE；（2）如图2,尸是OE延长线上一点，。尸交A8于点G,

即小七，判断△的的形状并说明理曲⑶在第（2）题的条件下，BE=BF=2.求茄的值.

18.（2025・湖北襄阳•统考中考真题）【问题背景】人教版八年级下册数学教材第63页”实验与探究〃问题1

如E：如图，正方形A8CO的对角线相交于点。，点。又是正方形的一个顶点，而且这两个正方

形的边长相等，无论正方形44GA。绕点。怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面

积心想一想，这是为“么？（此问题不需要作答）

九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形48co的对角线相交于点。，点P

落在线段OC上，£=k（女为常数）.

【特例证明】（1）如图1,将RlZXPE"的直角顶点/，与点O重合，两直角边分别与边48,BC相交于点M,

N.①填空：k=；②求证：尸M=/W.（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明

二△P3N；也可过点P分别作人B,8C的垂线构造全等三角形证明.请选择其中一种方法解答问题

②.）

【类比探究】（2）如图2,将图1中的！正尸沿OC方向平移，判断与PN的数量关系（用含左的式子

表示），并说明理由.

【拓展运用】（3）如图3,点N在边上，ZBPN=45°,延长NP交边C。于点E,若EN=kPN,求k的

值.

19.（2025•浙江衢州•统考中考真题）如图1,点。为矩形A8CO的对称中心，AB=4,4。=8,点E为人。

边上一点（U<AE<3）,连接EO并延长，交BC1•点F,四边形他石与487芯关rEF所在直线成轴对称，

线段8/交AO边于点G.

图1图1备用图图2

⑴求证：GE=GF；（2）当AE=2DG时，求AE的长：⑶令AE=a,DG=b.

①求证：（4-。）（4-〃）=4；②如图2,连接Of,OD,分别交4。，于点〃，K.记四边形OKG”的

面积为5，aOGK的面积为邑.当。=1时，求今的值.

20.（2025•江苏•统考中考真题）综合与实践

定义：将宽与长的比值为＞2"+1T（〃为正整数）的矩形称为〃阶奇妙矩形.

2”

（1）概念理解：当〃=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1）,这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽

（A。）与长（C。）的比值是

（2）操作验证：用正方形纸片A8CO进行如下操作（如图（2））：

第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为律，连接CE；

第二步：折叠纸片使CO落在CE上，点。的对应点为点，，展开，折痕为CG：

第三步：过点G折叠纸片，使得点48分别落在边A。、8c上，展开，折痕为GK.

试说明：矩形GQCK是1阶奇妙矩形.

图（4）

（3）方法迁移：用正方形纸片ABCO折叠出一个2阶奇妙矩形.要求：在图（3）中画出折叠示意图并作

简要标注.

（4）探究发现：小明操作发现任•个〃阶奇妙矩形都可以通过折纸得到.他还发现：如图（4）,点E为正

方形A8CO边人B上（不与端点重合）任意一点，连接CK,继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE

的周长与矩形GQCK的周长比值总是定值.请写出这个定值，并说明理由.

考点18.特殊的平行四边形（精练）

限时检测1:最新各地模拟试题（40分钟）

1.（2025•上海浦东新•校考三模）下列命题中，真命题的是（）

A.两条对角线相等的四边形是矩形B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C.两条对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形D.两条对角互相平分的四边形是平行四边形

【答案】D

【分析】根据特殊四边形的判定方法即可判定.

【详解】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故为假命题；

B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故为假命题；

C、两条对角线相等的四边形不一定是矩形或等腰梯形，故为假命题；

D、两条对角互相平分的四边形足平行四边形，故为真命题；故选；D.

【点睛】本题考查了命题的真假.解决本题要熟悉常见四边形的判定方法.

2.（2025•陕西西安•校联考一模）如图，在矩形中，A/A4,DE上AC于点E,AE=3CE,则的

长为（）

【答案】D

【分析】由矩形的性质得出。4=OD=OC，得出=由已知条件AE=3C石得出OE=C£,

ZDE4=90°,由线段垂直平分线的性质得出OD=CO,得出为等边三角形，因此NDOC=60。，由

三角形的外角性质得出4"C=好，由含30。角的直角三角形的性质即可得出OE的长.

【详解】解：团四边形A8c力是矩形，

团OA=[AC=[B。，^OA=OD=OC,mNOA£）=NOAM,

22

^AE=3CE,^CE=^AC=^OC=^（OE+CE）

团OE=CE,又DEJ.AC故点、。在线段OC的垂直平分线匕

^\OD=CD,^OC=OD=CD,•国&OCD为绻边三角形,

0ZOCD=6O°,0ADAC=90°-ZOCD=30°,

团在RtzXACD中,CD=A5=4,0AC=2CD=8.

^AD=^AC2-CD1=\/82-42=473，团OE=；4Q=26.故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，

证明AOCD是等边三角形是本题的关键.

3.（2025•河南濮阳・统考一模）如图，平行四边形A38的对角线AC,〃。相交于点O,则下列说法不小

硼的是（）

A.当NA8C=90。时，平行四边形A8CQ是矩形B.当AC=B£）时，平行四边形A8CQ是矩形

C.当4C上BO时，平行四边形48co是矩形D.当。4=0。时，平行四边形A8CQ是矩形

【答案】C

【分析】根据矩形和菱形的判定性质分别对各项进行判断即可.

【详解】解：A、•••四边形A8CD是平行四边形，ZABC=90°,

・•・平行四边形48C。是矩形，故本选项不符合题意；

B、，•四边形480。是平行四边形，AC=BD,

二•平行四边形ABC。是矩形，故本选项不符合题意；

C、•••四边形48CO是平行四边形，ACJ.BD,

二平行四边形A8C。是菱形，故本选项符合题意；

D、•••四边形A8CO是平行四边形，:.AC=2OA,BD=2OD,

-OA=OD,.\AC=BD,••・平行四边形48C。是矩形，故本选项不符合题意，故选：C.

【点睛】本题考有矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定是解答本题的关键.

4.（2024・福建三明•统考一模）如图，正方形A8CQ的边长为4,点E为AO的中点，连接阳，点、M,N

分别在8E,AC上，且BM=；ME，CN=；AN,则MN的长为（）

AED

c.2V2

【答案】B

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质.设47,BE交手点、P,根据正方形的性

1111PMPN5

质可得从而得到=民人尸=：AC,再由CN=；AN,可得累==-=；,

3333PEPA4

从而得到AAPES&NPM，即可求解.

【详解】解：如图，设缴交于点P,

团四边形A8C。是正方形，且边长为4,^AD=BC=4,AD//I3Ct

ApppAT11

国4AEPSACBP,0—,但点E为AO的中点，^AE=-AD=-BC=2,

[?]—=—=-,0—=—=^PE=-BE,AP=-AC,

CPBP2ACBE333

1133

0B.W=-ME,CN=-AN,^ME=-BE,AN=-AC,

PMPN5

^PM=—BE,PN=—AC,----=-----=—

1212PEPA4

MNPN5MN55

@ZAPE-ZNPM,MAPEs^NPM，0—-=—=一，0—-=^MN=-,故选：B

AEPA4242

5.（2025•广东阳江•统考一模）如图，在矩形48co中，AB=BAD=3,连接AC,点E为AC上一个

动点，点F为8C上一个动点，连接8区EF,且始终满足/=ZB庄，则线段打•的最小值为（）

D

BFC

3「

A.1B.-C.石D.2

【答案】D

【分析】先利用矩形的性质及己知条件得出5c的长，再由勾股定理得出AC的长，然后利用三角函数得出

4cB=30。，从而4MC=600,再证得尸=90。，取M中点。，E在以8尸为直径的圆上，则当OE/AC

时，OE最短,设8O=x,则OE=x,CO=BC-BO=3-x,根据题意得出关于％的一元一次方程，解得

x的值，则答案可求.

【详解】解：团四边形A8CQ为矩形，0Z4BC=9O°,AB=CDtAD=BC,

团AB=&AD=3,EBC=3,团曰勾股定理得：AC=y/AB2+BC2=>/3+9=2x/3»

0taiiZACB=—,（21ZACB=30°,ZBAC=60°,

3

@ZABE=ZBFE,（?1ZABC=ZABE+ZEBF=ZBFE+ZEBF=90°,

0ZBEF=90°,国取所中点O,E在以的'为直径的圆上，

0BF=2OE,团当OE取最小值时，M也为最小值，

团后为AC上的动点，⑦当OE工4c时:OE最短，@ZACT=30°,m2OE=CO,

设BO=x,则OE=x,CO=BC-BO=3-x,02x=3-x,0x=l,

回8O=OE=1,⑦BF=2BO=2.故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用、圆的定义及一元一次方程在

几何问题中的应用，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

6.（2025•四川眉山•统考模拟预测）如图，将矩形纸片A6C3折叠，折痕为MN,点M,N分别在边AO,

8C上，点C,。的对应点分别为£,尸且点尸在矩形内部，例F的延长线交8C与点G,EF交边BC于点、

H,EN=2,A8=4,当点〃为GN三等分点时，的长为（）

AWD

A.2713B.4或2而C.2x/13-4D.4或2g-4

【答案】D

【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，考

查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键.

根据点〃为GN三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明NGMN=NM/VG,得

到MG=NG,证明求出AG的长，过点G作G尸J.4。于点/>,则PG=A8=4,设

MD=MF=x,根据勾股定理列方程求出X即可.

【详解】解：当HN=；GN时,GH=2HN,•.•将矩形纸片ABC。折叠，折痕为MN,

:.MF=MD.CN=EN,NE=NC=NO=ZA/庄=90°,zLDMN=4GMN,AD//BC,

：.ZGFH=90°,QMN=^MNG,:.4GMN=^MNG,：.MG=NG,

F（、（■H

•;NGFH=/E=3T,/FHG=/EHN,.^FGH^ENH,/.——=——=2,:.FG=2EN=4,

ENHN

过点G作GP_LAO于点/>,则尸G=4?=4,

MD=MF=x,贝LMG=GN=x+4,/.CG=x+6»:.PM=6、

••GP?+PM'=MG2,A42+62=(X+4)2,解得：x=2x/13-4.•.MD=2而-4；

I「rii

当G”=；GN时，HN=2GH,・3GHs&ENH,：K=K=二,

3ENHN2

:.FG=*EN=\,；.MG=GN=x+l,:.CG=x+3,:.PM=3,

,/GP2+PM2=MG2，/.42+32=(X+1)2,解得：x=4,.\MD=4.故选：D.

7.12025•河南郑州•校考三模）如图，在菱形A8CQ中，对角线AC、相交于点。，点石、尸分别是A8、

AO的中点，连接日入BF.若AF=1,AE=6,则所的长为I：）

C.7D.3

【答案】D

【分析】根据菱形的性质和三角形中位线定理得出所〃08,进而利用勾股定理得出石户和所即可.

【详解】解：回四边形A8CD是菱形，^ACIBD,

团点人/',分别是A3、40的中点，BE尸〃OB,EF=goB,^\EF1AC,

J

在Rt^AE产中，EF=yjAE2-AF2=y/^i=42.\OB=2y/2

在RtZXO必中，OF=AF=\,.,.BF70B1+0F2=7^7=3故选D.

【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线垂直解答.

8.（2025・江苏无锡•一模）如图，长方形48CQ中，A3=3,4c=4,E为BC上一点,且应：=1,F为AB

边上的一个动点，连接后/，将环绕着点E顺时针旋转45。到EG的位置，连接内G和CG,则CG的最小值

【答案】g

【分析】将线段踮绕点E顺时针旋转45。得到线段ET,连接GT，连接交CGJ'J,首先证明ZE7U=90°,

推出点G的在射线仍上运动，推出当CG_L7U时，CG的值最小，求出C/、G/的长即可得到答案.

【详解】解：如图，将线段距绕点E顺时针旋转45。得到线段ET,连接GT,连接OE交CG于人

•.•四边形ABC。是矩形，.•.A8=CO=3,/B=/BCD=90。,

­.zB£T=ZFEG=45°,/.ZfiEF=Z7EG,•：EB=ET,EF=EG,:AEBF灯EG（SAS）,

.•.NB=/£7G=90",.•.点G的在射线7G上运动，.•・当CG_L7U时，CG的值最小，

•••8C=4,BE=\,CD=3,：.CE=CD=3,/.ZC£D=ZB£T=45O,

:.ZTEJ=900=ZETG=ZJGT=9（r,二.四边形£761是矩形，

七〃G/,GJ=TE=BE=l,:.UA.DE,:.JE=JD,

:.CJ=-DE=—,:.CG=CJ+GJ=l+—,「.CG的最小值为1+辿.

2222

【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关

键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题.

9.（2025・甘肃天水•校考模拟预测）如图，菱形A8CO的对角线AC与相交于点。，E为八。的中点，连

接OE,ZABC=60°,40=46，则OE=.

【答案】2

【分析】本题考杳了菱形的性垢、含30度角的直角三角形以及斜中半定理等知识点，根据菱形的性质可得

ZABD=-ZABC=30°f进而可推出NAO4=NA3O=30。，OD=-BD=2>/3；求出A。，根据=即

222

可求解.

【详解】解:国ZA3C=60。，0ZABD=|z/\BC=30°

图AB=4O,AO_L8O2]ZAZ>3=ZA8Z）=30°,OD=-BD=243t^AO=-AD

22

团AD?=AO?+0。2（3AO=耳OQ=4

（3E为AO的中点，（3OE=；AQ=2故答案为：2

10.（2025•吉林长春•校考模拟预测）如图，菱形A8CO的对角线AC、8。相交于点。，过点。作O”_LA8

于点“，连接若。4=3,OH=2,则菱形A8CO的面积为是—.

【答案】12

【分析】本题考查菱形的性质及“斜中半定理据菱形的性质结合“斜中半定理”可得BD=20H是解题关键.

【详解】解：团四边形48co是菱形，®OA=OC=3,OB=OD,ACrI3D,^AC=2OA=6,

团。H_LA8,^ZBHD=90°,BD=2OH=2x2=4f

团菱形48co的面积=：4C-BD=:X6X4=12,故答案为：12.

11.（2025•河南驻马店•统考二模）如图，矩形A8CQ的对角线相交于点0,AB=\,NA">=120。，点E在

对角线上，/是AE的中点，/O十/73的最小值是.

【分析】此题重点考杳矩形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直

角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要

的辅助线是解题的关键.取人8的中点F,再作B关于P厂的对称点〃，BH与PF交于点G,连接OH,求

出。〃，再利用三角形的三边关系可得答案.

【详解】解：取A"的中点F,作直线P/L

回点户是A£的中点，0PF〃BE,®N3FG=NA3O,

作点8关于直线P尸的对称点从连接8〃交直线P/"广点G,连接。〃，

回PG垂直平分〃〃，®PB=PH，2PGB90?.

（3四边形ABC。是矩形，/W=l,团B〃=4/OA=OC=^-AC,OB=OD=-BD,AC=BD^OA=OB,

222

0Z4OD=12O°,0ZAOB=18O0-Z4OD=6O0,（344O8是等边三角形，

团OB=A8=1./BFG=ZABO=g。,0ZG«F=30°,NHBO=90°,

^FG=-BF=-,^HG=BG=ylBF2-FG2=—,0B//=2BG=—,

2442

团。心二十。^2=J乎）十/二日,

国PO+PHNOH,©PO+PB之立,团尸。+尸8的最小值为立，故答案为：—.

222

12.（2025•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）矩形A8CO中，AB=3,8C=5,点E在直线A。上，若CE=CB,

则lanZAEB=.

【答案】3或;

【分析】根据题意画出相应的图形，然后根据勾股定理可以得到OK的氏，然后分类求出tan/A£B的值.

【详解】解：如图所示，

团四边形A4C。是矩形，AB=XBC=5,CE=CB,

.♦.Z4=90o,A£>=8C=5,CE=5,CD=A8=3,ZCDE=90°,,DE=〃炉-CD2=,5?-3」=4.

4B3

当点石在耳的位置时，AE=AD-DE=5-4=i/.tanZAEB=—=y=3;

lii(A41

当点E在心的位置时，4弓=AQ+D&=5+4=9,.•.tan/A&4=q^=?=:；

故答案为：3或g.

【点睛】本题考查矩形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形.

13.（2025•浙江宁波•校考一模）如图，矩形A8C。的两条对角线AC,BO相交于点。，OE工AB,垂足为

OP

E,r是。C的中点，连接跖交。8于点P,那么==.

DC

【答案w

【分析】取。8的中点H,连接田，根据矩形性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得

EH=OH=BH,AE=BE,根据夕/〃4。可证得，可求得OP=尸"=［。"，即可求解.

2

【详解】如图，取08的中点”，连接£77,

\-0ElAB,点，为08中点，：.EH=OH=BH,AE=BE,

EH//AC.^OFP^^HEP—

OFPH

•.♦F是。。的中点，:.OF=-OC=-OB=EH,/.OP=PH=-OH

222

.\PB=30Pr.^=^,故答案为：

ID33

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性

质解决问题是解题的关键.

14.（2025•陕西西安•校考模拟预测）如图，在矩形48C。中，44=5,AO=12,点七是矩形内一动点，连

接BE、CE,S、，BCE=；S矩形他个尸为人。上一动点，连接放，则8E+CE+FE的最小值是

【分析】取AB的中点M,C。的I1点N,连接MMBD交于点£,过点£作£T'_LAO于9，过点E作

EG1I3C『点G,求出BD=♦AB?+AD'=13，由M、N分别是AB.CD的中点得到/加=OV=|,MN〃4C,

根据Sv=（S也形488求得EG=：，则点后在线段MN（不包括端点）上运动，证明EC=£D，当且仅当从

从。三点共线时，BE+CE最小,即3£+C£=/?O=13为5E+CE的最小值，由点尸在AO上运动，得至U

当ET'LAO时，E/取得最小值I",即可得到8E+CE+正1的最小值.

【详解】解：如图，取A8的中点M,。。的中点M连接MN、BO交广点£,过点£作EU_LA。JF,

过点E作EG_L3C丁点G,

团矩形A8CO中，AB=5,AD=12,0BD=^AB1+Alf=>/52+122=13*

圆M、N分别是A3、8的中点，围BM=CN=\,MN〃BC,

2

团SY“F=—S”“；w,，BC-EG=—AB-AD,即一xl2xEG='x5xl2,

回EG=2,0点E在线段MV（不包括端点）上运动，

2

□C,。关于直线MN对称，0EC=ED.

当且仅当8、E、。三点共线时，BE+CE最小，即8£+CE=8O=13为BE+CE的最小值，

团点尸在A。上运动，田当£T'_LAD时，E产取得最小值g,

53131

团8E+CE+庄的最小值是：BE'+CE'+E'F'=BD+E'F'=13+]=彳，故答案为：y.

【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、最短路径等知识，求出3七十废和£产的最小

值是解题的关键.

15.（2025・湖北武汉•校考模拟预测）如图，矩形A8C。中，AC,8。相交于点0,过点8作BFJ.AC交CD

于点F,交AC于点M,过点。作尸交AB于点E,交AC于点、N,连接月V,EM.则下列结论：

①DN=BM；（2）EM//FN；③DF=NF；④当AO=A。时，四边形。石8尸是菱形.其中王确的结论

是.

c

B

【答案】①②④

【分析】证AQNA4△3MC（AAS）,得比=ZADE=NCBF,判断①；证AW-△C3下（ASA）,

得出AE=/C,DE=BF,证四边形NEA"是平行四边形，得出〃在N,判断②；假设。F=M\可

得与题干信息不相符的结论，可判断③，证四边形OE8尸是平行四边形，证出NO/W=ZAA。，则。石=鹿，

得出四边形。匹尸是菱形；判断④；即可得出结论.

【详解】解：•.•四边形A8C。是矩形，.•.AB=C。，AB//CD,NDAE=NBCF=90。,OD=OB=OA=OC,

AD=BC,AD//BC,:.^DAN=ZBCM,

\-BFlAC,DE〃BF,：.DE1AC,:./DNA="MC=90。,

NDAN=NBCM

在△024和ABMC中，NONA=N3MC,：△024名△8MC（AAS）,

AD=BC

：.DN=BM,ZADE=ZCBF,故①符合题意；

NADEMCBF

在VA£>£和YCBF中，A。一Z?C,&△C3Z?（ASA）,

NDAE=/BC尸

：.AE=FC,DE=BF,:.DE-DN=BF-BMf^NE=MF,

••・OE〃^^,二•四边形NEMF是平行四边形，EM〃/'TV,故②符合题意；

⑦ZDNF=NDEM,当DF=NF,卿NFDN=NFND,

团CD〃A4,⑦NFDN=ZAED.&\ZAED=/DEM,与题干信息不符，