2026中考数学考点复习：一次方程（组）（学生版+详解版）

考点05.一次方程（组）（精讲）

【命题趋势】

一次方程（组）在中考数学中较为简单，每年考查2-3题左右，分值为10分左右。各地中考中，对于

两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，也

有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程、二元一次方程组的工具性的考杳。预计2024年各地中

考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。

【知识清单】

1：等式的基本性质

1）等式两边都加上（或减去）同•个数或同•个整式，所得的结果仍是等式；

2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式；

3）若。=b,b=c,则a=c（传递性）。

2：一元一次方程（☆☆）

1）方程：含有未知数的等式叫做方程.

2）方程的解：使方程左右两边狗等的未知数的值叫做方程的解;求方程的解的过程叫做解方程。

3）一元一次方程：只含有一个未知数,并且未知数的次数为」」这样的整式方程叫做一元一次方程。

它的一般形式为0¥+力=0（。00）.注意：r前面的系数不为必

4）一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解,

5）一元一次方程公+〃=0（。=0）的求解步骤

变形名称具体做法

去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数。

去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号。

移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另i边

合并同类项把方程化成⑪=-6的形式

在方程两边都除以未知数的系数得到方程的解为X=-2

系数化成1

a

3：二元一次方程（组）（☆☆）

1）二元一次方程：含有2个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2）二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的。叫做二元一次方程的解,

3）二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。

ax+=q

方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为《}

a2x+b2y=c2

4）解二元一次方程组的基本思想

解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。

5）二元一次方程组的解法

（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，

消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。

（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次

方程组为一元一次方程。

4：一次方程（组）的实际应用（☆☆☆）

1）列方程（组）解应用题的一般步骤；（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式一一方程；

（4）解方程（组）：（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）.

2）一次方程（组）常见的应用题型

（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=繇乂100%；售价=标价X折扣；销售额=售价乂数量.

（2）储蓄利息问题：

利息=本金X利率X期数；本息和=本金+利息=本金X（l+利率X期数）；贷款利息=贷款额X利率X期数.

（3）工程问题：工作量=工作效率X工作时间.

（4）行程问题：路程=速度X时间.

（5）相遇问题：全路程二甲走的路程+乙走的路程.

（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程.

（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.

（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度.

【易错点归纳】

1.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0,因为0不能作除数或分母。

2.一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数。

3.二元一次方程有无数个解，满足二元•次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意」

对数值就是它的解。

【核心考点】

核心考点1.等式的基本性质

例I：（2025•浙江杭州•统考二模）设a,6,机均为实数，（）

A.若a>b,则〃+—B.若a=b,则〃-="力C.a+m>b-m,则D.若ma=,则a=〃

变式L（2025•安徽宿州•统考三模）若a,b,c为互不相等的实数，且专。+/。=〃，则下列结论正确的是（）

A.a-c=6（b-a）B.a-b=7（a-c）C.a-b=6（b-c）D.a-c=l[a-b）

例2：（2025•山东滨州•统考中考真题）在物理学中，导体中的电流回跟导体两端的电压U,导体的电阻/?之

间有以下关系：/=g去分母得/R=U,那么其变形的依据是（）

A

A.等式的性质1B.等式的性质2C.分式的基本性质D.不等式的性质2

变式1.（2025•福建福州•校考三模）在除法运算中，被除数一余数=商、除数，小明在研究这个算法时，进

行了以下操作：

①38+2=19.

②由①得到19后，再做19+5=3余数为4；

③由①②得，被除数为38,余数为4,.••被除数-余数=38-4=34,

④由①②得，商为3,除数为5x2=10,•••商x除数=3x10=30；

⑤根据除法逆运算公式：被除数-余数=商、除数，可得：34=30；

⑥根据等式性质：34-30=30-30,即4=0

显然小明研究的步骤有误，他第•次错误的步骤是.（仅填写每•步骤前的序号）

变式2.（2025・福建•统考模拟预测）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生

错误.

例如,有人声称可以讦明“仟意一个实数都等干0〃，并讦明如下：

设任意一个实数为x,令x=

等式两边都乘以x,得/="1V.①

等式两边都减而，得式一病=皿一>.②

等式两边分别分解因式，得（x+〃!）（x-〃?）=Mx-M.（3）

等式两边都除以％一〃?，得x+6=“i.④

例5：（2025・浙江•统考二模）以下是圆圆解方程三'=1-二F的解答过程.

3o

解：去分母，得2（3x-1）=1-4x-l,

去括号，得6x-l=l-4x-l,

移项,得6x-4x=l-1+1,

合并同类项，得21=1,

两边同除以3，得1=；.

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.

变式1.（2025・浙江温州・统考一模）解方程行+铝=1,以下去分母正确的是（）

34

A.4（x+2）+3（2x-l）=12B.4（x+2）+3（2x-l）=lC.x+2+2x-l=12D.3（x+2）+4（2x-1）=12

变式2.（2025•浙江•统考一模）解方程：=匚-

36

核心考点3.二元一次方程（组）

例6：（2025•浙江衢州•统考中考真题）下列各组数满足方程2x+3y=8的是（）

x=lx=2

A.B.

[y=2[y=l)'=4

若・；二:是关于小），的二元一次方程办+2），=5的解，则〃的值是

变式1.（2025•河北秦皇岛•模拟预测）

()

?2

B.--cD.

A.I3-43

变式2.（2025・四川凉山•校考一模）下列方程中，是二元一次方程组的是（）

xy=\x+y=2x+z=2

C.xy

x+2y=33)7=1x+y=3

x+y=1

x+2y=4

例7：（2025•浙江台州•中考真题）解方程组：

x+3y=5*

变式1.（2025•浙江衢州•校考一模）解二元一次方程组|-〈最好的做法首先采用（）

x+o2y=5

A.代入法B.加减法C.都可以D.无法确定

y=j-1©

变式2.（2025・湖南株洲•中考真题）对于二元一次方程组）.将①式代入②式，消去）可以得到

x+2y=7②

()

A.x+2x-l=7B.x+2x-2=lC.x+x-1=7D.x+2x+2=7

变式3.(2025•广西桂林•中考真题)解二元一次方程组：，"一

x+y=3

变式4.（2025•山西大同・大同一中校考模拟预测）（1）计算：—（一1户”+（—2）'；—4cos60。；

⑵下面是小辉和小莹两位同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务.

x-3y=-1©

解：令《

2x+3y=7②

小辉：由②得，3y=7—2x.③......第一步

小莹：①+②得，3x=6...........第一步

将③代入①得，”一（7-2刈=一1.……第二步解得x=2,..............第二步

整理得，x-7-2x=-\..........第三步将x=0代入①得，2-3y=-\.......第三步

解得x=Y.................第匹步整理得，一3），=一1+2..........第四步

1O解得），=一：..............第五步

将工=-6代入③，解得广三.....第五步

x=-6,x=2,

团原方程组的解为《1.......第六步

回原方程组的解为19.......第六步

y=­.y=一一.

[313

任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题.

①我选择同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是;

②该同学从第开始出现错误，这一步错误的原因是:

任务二：宜接写出该方程组的正确解；任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）.

3x+5y=6

例9：（2025•浙江杭州•校考三模）若方程组%/।〈的解也是方程3x+h，=10的解，则A的值是（）

6x+l5y=l5

35

A.6B.10C.9D.—

3

变式1.（2025•江苏苏州•统考二模）如果实数x,），满足方程组卜+?’"那么/一4），2=_________.

x-2y=1

3x—v=5

变式2.（2025•江苏镇江•统考二模）已知二元一次方程组彳,、，则代数式工一），=______

x+y=-7

x+y=2t=

变式3.（2025•江苏无锡•校联考一-模）若二元一次方程组。［一，的解为’一a「则。-8=_______.

3x-5y=41）'=力

x+2y=5二+上=2

例g：（202S下•四川遂宁•七年级校联考阶段练习）解方程组：（1）⑵）2?⑶

5x-2y=72（x+3）-3y=l

x+y=-i

<x-y+z=l

2x-y-z=0

x+v-z=11

变式1.（2025下•河南周口•七年级校考阶段练习）方程组・），+"X=5的解是（）

z+J-y=1

x=8x=3X=8x=6

A.，y=6B.、y=6C.、V=3D.、y=8

z=3z=8z=62=3

x+y=4

变式2.（2025下•四川成都•七年级校考期中）已知方程组•），+z=-6,贝lJx+），+z的值是（）

z+x=8

A.3B.4C.5D.6

核心考点4,一次方程（组）的实际应用

例9：（2025・新疆•校联考一模）商场按标价打八折销售某品牌电器一件，可获利500元，利润超为20%.现

如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（）

A.875元B.750元C.562.5元D.550元

变式1.（2025•四川成都・统考中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书

中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？

其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长

多少尺？设木长x尺，则可列方程为（）

A.—（x+4.5）=x-1B.—（x+4.5）=x+1C.—（x+1）=x-4.5D.—（x-l）=x+4.5

2222

变式2.（2025・山西大同•校联考模拟预测）由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的

质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力x动力臂=阻力x阻力鸭）.如图1,当

天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克跌码天平平衡；如图2,将待称量药品放在右盘后,

左盘放置12克祛码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是（）

图1图2

A.6克R.4克C.3.S克D.3克

变式3.（2025•广西南宁•统考一模）学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截

去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒.纸片长为30cm,宽为18cm,AD=2AB,

则该纸盒的容积为（）

BA

A.960cm3B.800cmC.650cm'D.648cm

例10:（2025・四川资阳•统考中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程''为主题的知识竞

赛，并对获奖的同学给予奖励.现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元,

2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元.（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、

乙两种奖品共60件,且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的方,应如何购买才能使总费用最少？并求出

最少费用.

变式1.（2025•浙江杭州•校考一模）“六一〃前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1

套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需一元.

变式2.（2025•安徽宿州•统考模拟预测）“绿水青山就是金山银山〃，2023年3月12日是我国第45个植树节，

某班组织学生在某园林基地进行植树活动，活动开始前对若干棵树苗进行分配，若4人合作种植一棵树苗,

则还剩3棵，若3人合作种植一棵树苗，则还有2人未分到树苗，问共有多少棵树苗，多少学生？

变式3.（2025•山西朔州•校联考模拟预测）太原古县城，位于山西省太原市晋源区，是2500色晋阳古城文

脉的延续.春节期间，在太原古县城内举办的“锦绣太原中国年•凤舞龙城花灯会''以及清明上河图数字体验

馆吸引了众多游客.网上购买一张体验馆的门票比一张花灯会的门票多20元.一张体验馆的门票比现场购

买少10元，一张花灯会的门票比现场购买少2元.现场购买，一张体验馆的门票比一张花灯会门票的2倍

少22元.（1）请求出网上购买体验馆与花灯会的门票价格；（2）春节期间，某一购票网站搞活动，游客可以购

买满300送30元的优惠券，若一个五口之家，通过网上购买体验馆门票和花灯会门票各5张，比现场购买

便宜多少元？

例11：（2025•浙江嘉兴•统考一模）小明在超市购物时发现：顾客甲购买2瓶牛奶3个面包和5盒饼干花了

32元，顾客乙购买3瓶牛奶2个面包和4盒饼干花了29元，则小明想购买4瓶牛奶1个面包和3盒饼干需

要元.

变式1.（2025,河北保定•统考二模）48两个容器分别盛有部分液体，容器的底部分别有一个出水口，若从

A中取出20升倒入8中，再打开两容器的出水口，放完液体，B需要的时间是4的2倍.若将4中液体全

部倒入8容器，并打开8容器的出水口，10分钟可以放完.若将8中液体全部倒入4容器，并打开4容器

的出水口，15分钟可以放完.设开始时，48两容器中液体体积分别为x升、y升.下面是甲、乙、丙三

位同学的分析：甲：从人中取出20升倒入8中后，8中液体是A中液体的2倍；

乙：A出水口的液体流速是8出水口液体流速的丙：x,y之间满足关系式：）=3x-80.

其中分析正确的是（）

A.只有甲和乙B.只有甲和丙C,只有乙和丙D.甲、乙丙

变式2.（2025•北京平谷•统考二模）如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A（绣球花）、B（祥

云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、4两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型

1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为元；若王先生选定了一个造型1作为中心图

形，6个造型2分别位于中心图形的四周，其余部分用〃个造型3填补空缺，若整个画面中，图案4个数不

多于图案A数的2倍，且王先生的整体设计费用不超过500元，写出一个满足条件的〃值.

造型1造型2造型3

例12：（2025•四川泸州•统考中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运

货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨.

（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？

（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车

均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元.请你列出所有的运输方

案，并指出哪种运输方案费用最少.

变式L（2025•河北石家庄•校考二模）小明为全班六一儿童节的活动准备奖品，A奖品每个2元，8奖品每

个7元，购买4奖品x个，B奖品），个，共76元.

（1）若x=10,则'=:（2）若同时购买两种奖品，则小明共有种不同的选购方案.

变式2.（2025•北京昌平•统考二模）某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间

25。元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能

混住，且所有租住房间必须住满.（1）要想使花费最少，需要间两人间；

（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要间三人间.

考点05.一次方程（组）（精讲）

【命题趋势】

一次方程（组）在中考数学中较为简单，每年考查2-3题左右，分值为10分左右。各地中考中，对于

两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，也

有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程、二元一次方程组的工具性的考杳。预计2024年各地中

考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。

【知识清单】

1：等式的基本性质

1）等式两边都加上（或减去）同•个数或同•个整式，所得的结果仍是等式；

2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式；

3）若。=b,b=c,则a=c（传递性）。

2：一元一次方程（☆☆）

1）方程：含有未知数的等式叫做方程.

2）方程的解：使方程左右两边狗等的未知数的值叫做方程的解;求方程的解的过程叫做解方程。

3）一元一次方程：只含有一个未知数,并且未知数的次数为」」这样的整式方程叫做一元一次方程。

它的一般形式为0¥+力=0（。00）.注意：r前面的系数不为必

4）一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解,

5）一元一次方程公+〃=0（。=0）的求解步骤

变形名称具体做法

去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数。

去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号。

移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另i边

合并同类项把方程化成⑪=-6的形式

在方程两边都除以未知数的系数得到方程的解为X=-2

系数化成1

a

3：二元一次方程（组）（☆☆）

1）二元一次方程：含有2个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2）二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的。叫做二元一次方程的解,

3）二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。

ax+=q

方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为《}

a2x+b2y=c2

4）解二元一次方程组的基本思想

解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。

5）二元一次方程组的解法

（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，

消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。

（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次

方程组为一元一次方程。

4：一次方程（组）的实际应用（☆☆☆）

1）列方程（组）解应用题的一般步骤；（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式一一方程；

（4）解方程（组）：（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）.

2）一次方程（组）常见的应用题型

（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=繇乂100%；售价=标价X折扣；销售额=售价乂数量.

（2）储蓄利息问题：

利息=本金X利率X期数；本息和=本金+利息=本金X（l+利率X期数）；贷款利息=贷款额X利率X期数.

（3）工程问题：工作量=工作效率X工作时间.

（4）行程问题：路程=速度X时间.

（5）相遇问题：全路程二甲走的路程+乙走的路程.

（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程.

（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.

（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度.

【易错点归纳】

1.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0,因为0不能作除数或分母。

2.一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数。

3.二元一次方程有无数个解，满足二元•次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意」

对数值就是它的解。

【核心考点】

核心考点1.等式的基本性质

例I：（2025•浙江杭州•统考二模）设a,6,机均为实数，（）

A.若a>b,则〃+—B.若a=b,则〃-="力C.若a+,则D.若ma=?nb,则a=〃

【答案】B

【分析】根据等式的性质和不等式的性质可直接进行排除选项.

【详解】解：A、若a>b,则。+〃，不一定大于匕一加，故错误；

B、若a=b,则”=成?,故正确;C^若〃+〃?>〃一〃1,则。不一定大于儿故错误;

D、?fnia=mb,m0,则a=Z?；若ma=，油,m=0,则疝3或。=〃，故错误；故选：B.

【点睛】本题考查了等式的性质和不等式的性质.解题的关键是掌握等式的性质和不等式的性质，注意等

式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式.

变式1.（2025•安徽宿州•统考三模）若小儿。为互不相等的实数，衅〃+夫=〃，则下列结论正确的是（）

A.a-c=6（b-a）B.a-b=7[a-c）C.a-b=6（b-c）D.a-c=7（a-b）

【答案】D

t分析】根据/+（。=力直接计算。一6可判断B、C错误;将与+L"变形求出c=7b-8,然后计算

7777

可判断A错误，D正确.

【详解】解：吟a+；c=h,a«-/?=a-^1a+1cj=1a-yc=y（a-c）,故B、C错误；

吟。+夫=力，团6a+c=7b,Sle=7b-6a,

^a-c=a-（lb-Get）=7a-7b=7（a-b）,故A错误，D正确；故选：D.

【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是正确的变形，等量代换.

例2：（2025•山东滨州•统考中考真题）在物理学中，导体中的电流团跟导体两端的电压U,导体的电阻R之

间有以下关系：/=与去分母得/火=U,那么其变形的依据是（）

K

A.等式的性质1B.等式的性质2C.分式的基本性质D.不等式的性质2

【答案】B

【分析】根据等式的性质2可得答案.

【详解】解：/=2去分母得/R=U,其变形的依据是等式的性质2,故选：B.

A

【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立.

变式1.（2025•福建福州•校考三模）在除法运算中，被除数一余数=商乂除数，小明在研究这个算法时，进

行了以下操作：

①38+2=19.

②由①得到19后，再做19+5=3余数为4；

③由①②得，被除数为38,余数为4,.•.被除数-余数=38-4=34,

④由①②得，商为3,除数为5x2=10,•••商x除数=3x10=30；

⑤根据除法逆运算公式：被除数-余数=商、除数，可得：34=30；

⑥根据等式性质：34-30=30-30,即4=0

显然小明研究的步骤有误，他第一次错误的步骤是.（仅填写每一步骤前的序号）

【答案】③

【分析】根据被除数-余数=商、除数是针对同一个除法运算进行判断即可.

【详解】解：被除数为38时,，除数为2,能除尽，余数为0,

故第③步错误，故答案为：③.

【点睛】本题考查等式的基本性质，及有理数的除法运算，熟练掌握相关运算及性质是解决问题的关键.

变式2.（2025・福建•统考模拟预测）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生

错误.

例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0"，并证明如下：

设任意一个实数为X,令x="J

等式两边都乘以x，得/=〃田.①

等式两边都减//,得Y—nr=nix—m1.②

等式两边分别分解因式，得（X+”!）（X—6）=，〃（X—W）.③

等式两边都除以得X+〃7=，〃.④

等式两边都减小，得4=0.⑤

所以任意一个实数都等于0.

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是.

【答案】@

【分析】根据等式的性质2即可得到结论.

【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为。的整式，等式不变，

回第④步等式两边都除以x-〃，，得x+m=〃?，前提必须为1-初工0,因此错误；故答案为：④.

【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键.

例3：（2025•河北保定•校考一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将

不同质量的j。”和•个"口〃从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，

此时两个托盘上物体的质量分别为即值）和九值），则下列关系可能出现的是（）

A.即=九B.N甲=2）zC.5即=6y乙D.3耶=5y乙

【答案】C

【分析】分析左图可知，1个"E”的质量等于2个“。〃的质量.两个物体等可能的向左或向右落时，共有

4和情况，分别计算出左边托盘和右边托盘的质量，即可得出加（g）和）"（g）的关系.

【详解】解：由左图可知2个“。”与1个"（甘”的质量等于2个"E"的质量，

...1个“旧〃的质量等于2个“。”的质量.

•・,右图中，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，

共有4种情况：（1）“。〃和"旧〃都落到左边的托盘时：

左边有3个“。”2个“旧”,相当于7个"。〃，右边有2个“哈”,相当于4个"。〃，此时4%=7%；

（2）“。〃和"哈〃都落到右边的托盘时：

左边有2个"。"1个",相当于4个右边有3个"旧"1个相当于7个此时7即=4%；

（3）“。〃落到左边的托盘，“哈〃落到右边的托盘时：

左边有3个“。"1个"旧”，相当于5个“。”，右边有3个”,相当于6个此时6y甲二5九；

（4）"。〃落到右边的托盘，“旧〃落到左边的托盘时：

左边有2个“。〃2个"®",相当于6个“。"，右边有2个"E"1个"。"，相当于5个"。”，此时5厮=6九：

观察四个选项可知，只有选项C符合题意，故选C.

【点睛】本题考查等可能事件•、等式的性质，解题的关键是读懂题意，计算所有等可能情况卜』（g）和”.（g）

的比值.

变式1.（2025•河北承德•校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（）

A.如果a+c=b+c,那么4=匕（a,b,c均不为0）

B.如果a=〃，那么a+c=b+cla,b,c均不为0）

C.如果a-c=b-c,那么a=〃（a,b,c均不为0）

D.如果a=〃，那么ac=/x?（a,力，c均不为0）

【答案】A

【分析】根据等式的性质解答即可.

【详解】解：观察图形，是等式G+c=〃+c的两边都减去c（a,b,c均不为0）,

利用等式性质1,得到a=力，

即如果a+c=Z?+c,那么a=〃（a,b,c均不为0）.故选：A.

【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘

同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关犍.

核心考点2•一元一次方程

例4：（2025•湖南永州・统考中考真题）关于x的一元一•次方程2）+〃?=5的解为x=l,则m的值为（）

A.3B.-3C.7D.-7

【答案】A

【分析】把x=l代入2x+〃?=5再进行求解即可.

【详解】解：把x=l代入2x+〃z=5得：2+/〃=5,解得：m=3.故选：A.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左

右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤.

变式1.（2025・广东清远•统考二模）下列方程中，解是x=2的方程是（）

A.3x+6=0B.2x+4=0C.-x=-4D.2r-4=0

2

【答案】D

【分析】求出每个一元一次方程的解即可做出判断.

【详解】解：A.3x+6=0,解得x=-2,故选项不符合题意；

B.2x+4=0.解得工=一2,故选项不符合题意；

C.1%=-4,解得x=-8,故选项不符合题意；

D.2x-4=0,解得x=2,故选项符合题意.故选：D.

【点睛】此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法并正确求解是解题的关键.

变式2.（2025•山东德州•力，年级校考期中）已知方程（〃7-3）/T+4=0是关干/的一元一次方程,则—.

【答案】1

【分析】本题考查•元•次方程的定义，根据•元一次方程的定义得何-2|=1且〃-3=0,进而可求解，

熟练掌握一元一次方程的定义："只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1,等号两边都是整式，这样

的方程叫做一元一次方程”是解题的关键.

【详解】解：依题意得：何―2|=1且，〃一3/0,解得：m=1,故答案为：1.

例5：（2025•浙江•统考二模）以下是圆圆解方程二的解答过程.

36

解：去分母，得2（3x-l）=l-4x-l,

去括号，得6t-l=l-4x-l,

移顶，得6%-41=1-1+1,

合并同类项,得2x=l,

两边同除以卜得x

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.

【答案】见解析

【分析】根据解一元一次方程的步骤判断并求解即可.

【详解】解：有错误，去分母时，整数没有乘以6,

正确过程：

去分母，得2（34-1）=6_（4工_1）,

去括号，彳导6x-2=6—4x+l,

移项，得6不+4/=6+1+2,

合并同类项，得H）x=9,

9

两边同除以10,得工=正.

【点睛】此题考杳了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

变式1.（2025•浙江温州・统考一模）解方程平+铝=1,以下去分母正确的是（）

34

A.4（x+2）+3（2x-l）=12B.4（x+2）+3（2.r-l）=1C.x+2+2x-l=12D.3（x+2）+4（2x-l）=12

【答案】A

【分析】各项同时乘以12运算即可.

・、乂以71・A73x+22x—1

【详解】解：F一+「一二1，

34

去分母得，4（x+2）+3（2x-l）=12,故选：A.

【点睛】本题考查了解一元一次方程一去分母.解题的关键在于正确的运算.

变式2.（2025・浙江•统考一模）解方程：三3r-21=二5-詈4x

36

【答案】x=L5

【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可.

【详解】解：去分母，得：6x-4-6=5-4x,

移项,得：6.r+4x=5+4+6,

合并同类项，得：10x=15,

系数化为1,得：x=1.5.

【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤.

核心考点3.二元一次方程（组）

例6：（2025•浙江衢州•统考中考真题）下列各组数满足方程2x+3y=8的是（）

x=2x=-\x-1

)'=1)，=2y=4

【答案】A

【分析】代入x，y的值，逐一判断即可解答.

X=1

【详解】解：当.r时，方程左边=2xl+3x2=8,方程左边=方程右边，故A符合题意:

[y=2

x=2

当，时，方程左边=2x2+3xl=7,方程左边。方程右边，故B不符合题意；

x=—\/.

当C时，方程左边=2x（—l）+3x2=4,方程左边工方程右边，故C不符合题意;

2

，时，方程左边=2x2+3x4=16,方程左边工方程右边，故D不符合题意；故选：A.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解•，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方

程的解，是解题的关键.

x=-2

变式1.（2025•河北秦皇岛•模拟预测）若,是关于小），的二元一次方程ar+2），=5的解，则。的值是

【答案】C

【分析】将1二：2代入原方程，可得出关于〃的一元一次方程，解之即可得出〃的值.

[y=]

x=-2〜3

【详解】将彳।代入原方程，可得：-26/+2xl=5,解得：a=~故选：C

y=l2

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能够将方程的解代入原方程是解题的关键.

变式2.（2025•四川凉山•校考一模）下列方程中，是二元一次方程组的是（）

xy=1x+y=2—I—=1x+z=2

*y

x+2y=33)7=1x+y=3

x+y=l

【答案】B

【分析】根据二元一次方程组的定义解答.

【详解】解：A中含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为2,故不符合定义;

B符合定义，故是二元一次方程组；C中含有分式，故不符合定义；

。含有三个未知数，故不符合定义；故选：B.

【点睛】此题考查了二元一次方程组定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2