20232024学年人教版八年级数学上册 第11章《三角形》专项复习

20232024学年人教版数学八年级上册章节知识讲练

第11章《三用形》

篁制出后m

知识点01:三角形的有关概念和性质

1.三角形三边的关系：

定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.

要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若

两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.当已

知三角形两边长，可求第三边长的取值范围.

2.二角形按“边”分类：

3.三角形的重要线段：

（1）三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对■边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三

角形的高.

要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角

三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.

（2）三角形的中线

三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线.

要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心.中线把三角形分成面积

相等的两个三角形.

（3）三角形的角平分线

三角形的一个内角的平分线与这个角的对■边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平

分线.

要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.

知识点02:三角形的稳定性

如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性.

要点诠释：（1）二角形的形状固定是指二角形的二个内角不会改变，大小固定指二条边长不改变.（2）二角

形的稳定性在生产和生活中很有用.例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上

斜着钉一条（或两条）木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形.大桥钢架、输电线支架都采用三角形

结构，也是这个道理.（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，

它的各个角的大小可以改变.四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺.有时我们又要克服四

边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形.

知识点03:三角形的内角和与外角和

1.三角形内角和定理：一:角形的内角和为180。.

推论：1.直角三角形的两个锐角互余

2.有两个角互余的三角形是直角三角形

2.三角形外角性质：

（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

（2）二角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内向.

3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.

知识点04:多边形及有关概念

1.多边形的定义：在平面内，由•些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其

中三角形是边数最少的多边形.

2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等.

要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一

定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才

是正方形.

3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

要点诠释：（I）从n边形一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形；

知识点05:多边形的内角和及外角和公式

1.内角和公式：n边形的内角和为（n—2）-180°（n>3,n是正整数）.

要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；

（2）内角和定理的应用：

①已知多边形的边数，求其内角和：

②已知多边形内角和，求其边数.

2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少无关.

要点诠释：（1）外角和公式的应用：

①已知外角度数，求正多边形边数：

②已知正多边形边数，求外角度数.

（2）多边形的边数与内角和、外角和的关系：

①n边形的内角和等于（n—2）-180°（n23,n是正整数），可见多边形内角和与边数n有关，每增

加1条边，内角和增加180°.

知识点06：镶嵌的概念和特征

1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或

平面镶嵌）.这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.

要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360。；相邻的多边形有公共边.

（2）用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360。.（3）

只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°

时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.：

篁新题逋面板高台

一.选择题（共11小题，满分22分，每小题2分）

1.（2分）（2023春•宿豫区期末）将一副三角板按如图位置放在直尺上，则N1的度数是（）

【分析】由题意可求得N1比三75°,再由平行线的性质可得N2=75°,由邻补角的定义即可求N1.

'：AB//CD,

E.

A.1个B.2个C.3个I).4个

【分析】根据角平分线定义得出/力8C=2N力劭=2NM?,/EAC=2/EAD,4ACF=24DCF,根据三角形

的内角和定理得出N胡自/IGN力⑶=180°,根据三角形外角性质得出NzlgN/1mNMC,ZEAC=

/ABC+/ACB,根据已知结论逐步推理，即可判断各项.

【解答】解：•・•/切平分/口C,

：・/EAC=2/EAD,

■：/EAC=/AB8/ACB,/ABC=/AC&

・•・/EAD=/ABC,

:,AD〃BC,・••①正确；

•：AD//BC

：,^ADB=4DBC,

YBD平分/ABC,ZABC=ZACB,

・•・AABC=2ACB=2/DBC,

：.AACB=2ZADB,，②错误；

在△/!〃。中，ZADC+ZCAI^ZACD=180°,

•・•C少平分△力比的外角4ACF,

・•・4ACD=4DCF,

*：AD//BC,

:・/ADC=4DCF,4ADB=4DBC,ACAD=^ACB

：・/ACD=4ADC,NCAD=NACB=NABC=2/ABD,

：・4ADC+/CAANACD=/ADC包/ABA/ADC=2/ADC+2/ARD=180°,

:./AD鳞/ABD=9Q"

JZADC=90°-/ABD,

即N49G■//劭=90°,二③正确;

•:BD平令/ABC,

：.AABD=ADBC,

*：AABD=ADBC,

・•・4BDC=/DBC,

,**900-yZABC=900-ZABD=ZDBC+ZBDC=ZABD+ZBD,

乙

；・/毗=9U°-2匕ABD,

・・・N/1的=45°-工/BDC,④正确：

2

故选：C.

4.（2分）（2023•大连一模）如图，在Rt△力胸中，/43=90°,N力=30°,点〃是〃'上一点，将△力劭

沿线段而翻折，使得点力落在力处，若/力'仁28°,则/物=（）

【分析】先由直角三角形的两个锐角互余求得N4?C=60°,由N4H=28°,求得N才物=88°,再由

翻折的性质得N/1放=』/）阳=44°,则NC粉=16°.

2

【解答】解：:/力加90°,Z/f=30°,

・•・/180=90°-30°=60°,

VZ/BC=2^0,

Z/ZM=60°+28°=88°,

由翻折得N/1劭=/力,劭力=2X88。=44°,

22

：・/CBD=/ABC-/ABD=&）°-44°=16°,

故选：B.

5.（2分）（2023春•莱州市期末）如图，点力、B、aD、E、产在同一平面内,连接肪、BC、CD、DE、EF、

FA,若/%=110°,则/力+/8+N9•/月■/厂等于（）

E

AC

BD

A.470°B.450°C.430°D.410°

【分析】根据N4CZ）=U（）°得出/比户/比户=360°-110°=250°,根据四边形内角和即可得出答案.

【解答】解：连接江；如图所示：

▲

BD

ZBCD=llO°,

：・/BCF+/DCF=36T-110°=250°,

•:/A+/B+/BC>/AFC=360°,冷■/小N£*N08=36O°,

:・/A+/m//R/阱/AFE=360°+360°-（/BCF+/DCF）=720°-250°=470°.

故选：A.

6.（2分）（2022秋•南山区校级期末）如图，NABC=NACB,BD,CD,/〃分别平分△力比'的内角/从定，外

角/ACF,外角/必C.以下结论：®AD//BCx②/ACB=2/ADB；③/BDC=，/BAC；④乙仞ZH450-

2

-^CD!k⑤NADC+NA8s其中正确的结论有（）

2

BCF

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据角平分线的定义得出，4ABC=2/ABD=2/DBC,ZEAC=2ZEAD,NACF=24DCF,根据三

角形的内角和定理得出，NBA糙/ABC+/ACB=180°,根据三角形外角性质得出/以4/力册

/Ag/ABC+/BAC,根据已知结论逐步推理，即可判断各项.

【解答】解：①•・"〃平分/氏匕

：・NEAC=2/EAD,

ZEAC=ZABC+ZACB,AABC=AACB,

：,/EAC=2/ABC,

・•・AEAD=/ABC,

：.A1)//BC,故①正确；

②•・"〃〃比、，

:.4ADB=4DBC,

■:BD平分/ABC,NABC=NACB,

・•・NABC=ZACB=2ZDBC=2ZADB,故②正确；

③*：/DCF+/AC//ACB=\80：4ACD=4DCF,

：.2/DCF^/ACB=\80°,

•・•NZW乙DBC=/DCF,

・・・2/此22/〃40/月3180°,

:ABC+24BDC+NACI=180°,

VZHAaZABaZ.ACB=180°,

:./BAC=2/BDC,

*,-ZBDC=yZBAC*故③正确；

乙

④•：BD平分/ABC,

・•・AABD=/DBC,

'：AD//BC,

・•・4A1)B=4DB3

:./ABD=4ADR,

YCD平分/ACF、

：./ACF=2NDCF,

,：/ADB"CDB=/DCF,2N/力8=180°,

：.2/DCR4ABC=2/DCB2/ABD=180",

：.NDCF+/ABD=9G,

:/ADB+/C烟/ADB=9G,

；・NABD=45°]/CDB，故④正确;

⑤由④得，/DCR/ABD=90°,

'：AD//BC,

，AADC=/DCF,

・•・/月〃。■//＜做=90°，故⑤正确.

故选：D.

7.（2分）（2022秋•碑林区校级期末）如图，在△力a?中，NA=NABC,皮/是的平分线，8。和CD是

△力回两个外角的平分线，〃、C、〃三点在一条直线上，下列结论中：①DBLBH；②/加90。—ZA：

2

③DH〃AB；④NA；⑤NOM=N〃，其中正确的是（)

C.①②④⑤D.①②③④⑤

【分析】①根据8〃、劭是N力酎与/鹿的平分线，可得乙切7=2N%y/CBE=24CBD,再由邻补角

的性质，可得①正确；②根据劭和⑦是△力比两个外角的平分线，可得

ND=180°J（180°-NABC）J（180°-NACB），可得②正确；③根据乙4=乙4a?，可得N6g

乙乙

N力+/力a=2/月比；可得/8徵=/力比；可得③正确；④根据/D=90。—ZA,NDBH=90。，可得

④正确；⑤根据/月盼/迹=180°,BD平分/CBE,可得/CBD=90°-^-ZABC-再由/力=/四。，

乙

可得NCBD=90°-i-ZA-可得⑤正确，即可求解・

【解答】解：①•••夕/、劭是N/1比与/侬的平分线，

:2ABC=2NCBH,NCBE=2/CBD,

•・•/力册N鹿=180°,

：/CB出/CBD=9G,即/颂=90°,

:.DB1BH,故①正确；

②：劭和必是△力8C两个外角的平分线，

：.ZD=180°-ADBC-ADCB

=180°-^ZEBC-yZBCF

乙乙

=180°-y(1800-ZABC)-4(180°-ZACB)

乙乙

(ZABC+ZACB)

得(180。-NA)

=90°-.4,故②正确；

乙

③•；NA=NABC,

:.ABCF=/A+/ABC=2/ABC,

•・•切是N直尸的平分线，

**«ZBCD=yZBCF=ZABC*

乙

AH,故③正确；

©7/0=90°—NA,NDBH=90°，

乙

•,-ZH=90°-ZD=yZA'故④正确；

©VZABaZCBE=\^,磔平分/迹

•,-ZCBD=yZCBE=y(1800-ZABC)=90°[/ABC，

乙乙乙

•・•Z/f=/ABC,

•••ZCBD=90°[/A，

乙

，-*ZD=90°J/A,

乙

:,乙CBD=£D,故⑤正确.

综上所述，正确的有①②③④⑤.

故选：D.

8.(2分)(2022秋•武昌区期末)如图，在△力8c中，ZJ^=60°,N4电80°,点、。在△48。外,连接

AD,BD,CD,

若/物=20°,//1浙30°,则N班〃的度数是（)

A

D

BC

A.20°B.25°C.30°D.35°

【分析】以比、为边，在为作NC跖=4砌=20°,连接膜.先利用三角形的内角和定理、等腰三

角形的性质求出/应T说明肉=比、，再说明△应应是等边一年形、△力眼是等腰三角形，最后通过说明△

出必是等腰三角形得结论.

【解答】解：如图，以比为边，在4ABC内作/CBE=NABD=20：连接DE.

力80=60°,ZACB=80°,

・•・/物4180°■/48C・N力340°.

在△勿。中，

■:乙CBE=20°,N/O=80°,

:・NBEC=80°.

:,BC=BE.

VZJ6^=80°,Z/167?=30o,

；・N8CD=50°.

VAABC=W,NABD=20°,

，N颂=80°.

：.ZBDC=18O°■/颂・N片昨50°.

・•・ABDC=ABCD.

:,BD=BC.

:.BD=BE.

'：^DBE=^DBC-Z.EBC=^,

・•・△颂是等边三角形.

・•・/颂=60°,DE=BE.

：.ZABE=ZBEC-ZBAC=40°.

Y/ABE=/BAC=AC.

:.BE=AE=DE.

:.4EAD=ZADE,

VZAED=180°・/DEB・/BEC=180°-60°-80°=40°,

・•./%£=180。-NW-7o。.

2

:・/BAD=4DAE・/BAC=70°-40°=30°.

故选：C.

9.（2分）（2023春•桐柏县期末）如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是（）

A.三角形的稳定性B.对顶角相等

C.垂线段最短D.两点之间线段最短

【分析】利用三角形的稳定性直接回答即可.

【解答】解：把平板电脑放在•个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这样做的数学道理是三

角形具有稳定性，

故选：A.

10.（2分）（2022秋•铁西区期末）如图，在△/比、中，夕为4。延长线上一点，/月比'与//1成的平分线相交

于点〃N415°,则N/I的度数为（）

A.30°B.45°C.20°D.22.5°

【分析】先根据角平分线的定义得到N/1做=/曲，AACD=^ECD,再根据三角形外角性质得N/13N

A+NABC,代入得：ZA=2QECD-/CBD）,可得结论.

【解答】解：•••//1欧的平分线与N/1四的平分线交于点仅

：.AABD=^CBD,4ACD=4ECD,

ZACE=ZA+ZABC,

郎/AQR/ECD=/AB1R/CBIH/A,

:・'24ECD=24CBiR乙A,

：.ZJ=2k/ECD-ZCBD）,

Y4ECD=/CBm4D,NA15°,

：.ZD=ZECD-ZCBD=\^,

・•・/力=2X15°=30°.

故选：A.

11.（2分）（2023•南陵县模拟）一副直角二角板按如图所示方式摆放，图中Na的度数为（）

【分析】先利用三角板的角度以及外角性质即可求得Na=90°-ZEDC,进而得出结果.

【解答】解：•:NABC=NACB=A5°,

:./ACD=/CE/4CDE,

：・/CDE=4ACD-4CED=45°-30°=15°,

VZa=^ADE-£CDE=W-15°=75°,

故选：C.

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

12.（2分）（2023•裕华区二模）一块板材如图所示，测得/8=90°,N力=20°,NC=35°,根据需要/

仞T为140°,师傅说板材不符合要求且只能改动N4则可如N/1减少（选填“增加”或“减少”）.

FA

【分析】百先延长C"交力〃于点区根据三角形的外角定理得N/WT=NX+NC胡，/CEA=4班43由

此得/力〃「=/力+/8+/。=145°,据此即可得出答案.

【解答】解：延长⑦交48于点回

■:乙ADC=KA+乙CEA,乙CEA=4阶4C,

：,4ADC=/A+/^/C,

•：N490°,ZJ=20°,NC=35°,

・•・/力ZT=20°+90°+35°=145°,

VZJZ>f=140°,

...可将N4减少50.

故答案为：减少.

13.（2分）（2023春•淮安期末）如图，△械中,/力=40°,/8=80°,CE平•分匕ACB,CDLAB千D,DF

1CE,则的度数=70°.

【分析】首先根据三角形的内角和定理求得N力％的度数，以及N加9的度数，根据角平分线的定义求得

/核的度数，则/或9可以求解.，然后在△如'中，利用内角和定理即可求得火的度数.

【解答】解：•・・N4=40°,/户80：

・•・/力8=180°-ZJ-Z^=60°.

♦：CE*'R4ACB,

：.ZACE=-ZACB=300.

2

•・•CDVAB^〃，

；・/如=90°,

N月CZ/=180°-N/l-NC阴=50°.

：.^ECD=Z.ACD-ZACE=20Q.

■:DFLCE,

:・NCFD=90°,

AZ6ZF=1800-ACFD-ZP67^70°.

故答案为：70°.

14.（2分）（2022秋•历城区期末）如图所示，△力比中/a80'，力C边上有一点〃，使得N/l=N/1即，将

△4〃。沿被翻折得△"〃〃，此时HD//BQ则/力比=75度.

【分析】设N/1=N/1Bgx,根据翻折得，ZA=ZDBA'=ZA,=4ABD=x,[tlA1D//BC,NH=Z

CBA'=x,所以NCBA=/CBA，+N4筋N/18〃=3x,由三角形内角和定理求得即可.

【解答】解：设N/l=N/lBD=x,

•••△力/r沿切翻折得/姒

:,/A=/DBA'=NH=/ABD=x,

•：A'D//BC,

・・・NH=Z.CBA,=x,

：.ZCBA=ZCBA,+ZAfB//ABD=3x,

由三角形内角和定理得，

Z/f+ZJ^Z6^180°,

广3A+80°=180°,

x=25。,

・・・3x=3X25°=75°,

故答案为：75.

15.（2分）（2022秋•和硕县校级期末）如图，四边形仍切中，点MN分别在俯，BC上,ZC=80°,按

如图方式沿着折叠，使此时量得/9后50°,则//，的度数是90°

【分析】根据两直线平行，同位角相等求出/例广，再根据翻折的性质求出/身介和NHW,然后利用三角

形的内角和定理列式计算即可得解.

【解答】解：:川〃〃。，

.△用你沿，恻翻折得△以M

：・淤=4F解=30°,

^BN^f=—ABNF=-X80°=40°,

22

在△引介中，/8=180。-（N8J仲NAW）=180°-（50°+40°）=180°-90°=90°.

故答案为：90°.

16.（2分）（2022秋•简阳市期末）如图，将△力砥纸片沿庞'折叠，使点?!落在点/处，且48平分N

【解答】解：连接初'.

5

•・•/!'«平分/科a4。平分//区z/^c=no°,

・•・/"BC+NA'6»=70°,

AZABC+ZACB=140Q,

・•・/胡。=180°-140°=40°,

VZ1=ZZMJ,+/%'J,Z2=ZEAA,+N刈'A,

VADAA'=ZDA,4AEAA'=ZEAr4

AZ1+Z2=2（ND/W+ZEAA'）=2ZBAC=80a,

故答案为800.

17.（2分）（2022秋•榆阳区校级期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放,的度数为75°

【分析】根据三角形外角性质求解即可.

【解答】解：如图，

VZ2+Z3=90°,Z2=45°,

・・・N3=45°,

VZ1=Z>4+Z3,

AZI=300+45°=75°.

故答案为：75°.

18.（2分）（2022秋•栖霞市期末）如图所示的折线图形中，a+B=85°

【分析】如图，连接利用三角形内角和定理以及四边形为角和定理求解即可.

在△旗C中，Zl+Z2=180°-N£=140°,

在四边形力戈刀中，NA+NAEGNBC讣/0=360°,

A700+a+Zl+Z2+P+65°=360°,

/.a+0=360°-70°-65°・140°=85°,

故答案为85°.

19.（2分）（2022秋•潍坊期末）如图，和5相交于点0,ZC=ZCOA,4BDC=/BOD,力化加分别平

分NC4O和/做C,若N介/代N3=165°,则NC的度数是70。.

【分析】设/C=/AOC=NBOD=/BDO=x,ACAP=APAB=y,/P=z,则N6=2y,构建方程组解决问

题即可.

【解答】解：'：ZC=/COA,4BDC=/B0D,2Aoe=/BOD,

：.Zr=ZAOC=4B0D=4BD0,

：./B=NCAO,议/C=/AOC=/BOD=/BDO=x,ZCAP=^PAB=y,/P=z,则NQ2M

'2x+2y=180°

则有"x+y=z+^x,

x+z+2y=165°

\=70°

解得卜=20°,

z=55°

••・NC=70",

故答案为70°.

20.（2分）（2022秋•天山区校级期末）如图，BE、四分别为的内、外角平分线，BF、6分别为△胸

的内、外角平分线，若N/l=44°,则N8UII度.

【分析】根据角平分线的性质，由.平分/次平分/力比,得N/；CRJNACD，N/：〃C=JNABO

进而推断出/«=/ah-/做UNACD-ANABCUNM同理可得/外NE，从而解决此

题..

【解答】解：:四平分N/1SBE平分4ABC,

，/£切=之NACD，/皈得NABC.

乙乙

又,：4ECD=/E+4EBC,

：,AE=AECD-Z^lzA3D-yZABC=y（ZACD-ZABC）=yZA=-1x44°=22。.

乙乙乙乙乙

同理可证：z^/^—=—X22°=11°.

22

故答案为：11.

21.（2分）（2022秋•黄岛区校级期末）如图，把△/比纸片沿施折叠，使点力落在图中的/'处，若/力=

29°,ZW=90°,则N/fEC的大小为32°

B

【分析】如图，利用折叠性质得/DE=45°，N/3NW"，再根据三角形外角性质得N

阳9=74°,利用邻补角得到N力瓦=106°,则NH放=106°,然后利用N4EC=ZA,ED-/CED选

行计算即可.

【解答】解：如图，

VZW=90°,

:.ZADA=90°,

•••△力■纸片沿〃E折叠，使点力落在图中的力'处，

:"ADE=/A'〃匹=45°,ED,

,：/CED=/A+4ADE=^°+45°=74°,

・・・N/B9=106°,

AAA'&=106°,

・•・//EC=ZAfED-ZCED=10^-74°=32°.

故答案为32°.

三.解答题（共7小题，满分58分）

22.（8分）（2023春•晋江市期末）阅读材料：两个三角形各有一个角互为对顶角，这两个三角形叫做对顶

三角形.

解决问题：如图，△/1勿与△£%是对顶三角形.

（1）试说明：ZDA^ZD=ZOBC+ZC；

（2）试利用上述结论解决下列问题：

若"、利分别平分/的。与AC=ma,ZD=n°.

①求/尸的度数（用含小〃的代数式表示）；

②若/10、回分别平分/胡。与/如尸，120°VN0C15O0,求府〃的取值范围.

【分析】（1）根据三角形外角性质容易得出结果；

（2）①由角平分线得出乙ABP=々DBP,由二角形内角和定理和对顶角相等得出Z/f夕iR

A=/ABK/P,乙DCR4P=NDBR乙D,得出/力-N—NP-/〃，即可得出结果；

②根据角平分线的定义及平角的定义可得NQ4—NQ/•卢=90°,再由四边形内角和定理可得

180°,最后由120°<Ng：150°可得答案.

【解答】（1）解：由三角形外角的性质可得：

/DOC=N/NDAO,NDOC=/C=OBC,

DAe/D=/OBC"a

（2）解：①•・•“、8尸分别平分/%。与/如C,

・・・N〃4/=NO1R4CBP=/［）BP,

,：4DA打/D=4GB卅4P,4GBP^/P=4CB*/C,

・•・/〃-4P=/P-NC,

/.ZP=­(N3N〃)，

2

VZC=m°,ZD=nQ,

—2Cm°+/?°)；

2

②・・"0、制分别平分NEk?与/〃即

・・・/W=NW=-^NEAO，NFBQ=/QBO=三乙FBO,

乙乙

VZDAP^-APAO^AOAQ^AQAE=180°,4CBP^4PBS/OB54QBF=1800，/DAP=/CAP,』CBP=4DBP,

・・・/川仍/》-90°,/阳ONO或=90°,

••・/4/0=360°-90°-90°=180°,

A—（川。+〃。）+/g80。；

2

:.球+〃°=360°-2N0,

V120°VN0<15O°,

/.2400号2Ng300,

-300°W-2Nk-240°,

A60°W360°-2/虑120°,

••・60W/^〃W120.

23.（8分）（2023春•巨野县期末：在△力旗中，NOE=25°,Z6^40°,4CBD=30：求Nd/刃的度数.

【分析】根据三角形的外角定理得出/力阳=/。£+/乙再根据/力阳=/颁卜乙4金即可求解.

【解答】解：・・・/。£=25°,Zr=40°,

：.ZAEB=ZCAE+ZC=250+40°=65°,

•・•/物=30。，

1/AFB=/CB//AEB=33+65°=95°.

24.（8分）（2023春•玄武区期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形.

（1）已知四边形力根〃是对补四边形.

①若N/W=65。，则NZCT=115°.

②如图①，/BAD、/直刀的平分线分别与比、、力〃相交于点八F,且NZ>=90°,求证：AE//CFx

（2）如图②，在四边形力灰刀中，对角线〃；助交于点反且"平分N羽〃，ZABC=/BEC,小平分N

BCD,与力。交于点月且6RL劭于点G则四边形相⑦是对补四边形吗？请说明理由；

（3）己知四边形力版是对补四边形，其三个顶点4B,〃如图③所示，连接力8,AD.若AE平分NBAD,

CF平分4BCD,且直线力反）交于点。（与点。不重合），请直接写出/4/与N〃之间的数量关系.

【分析】（1）①由对补四边形的定义：有一组对角互补，进行计算即可得到答案；

②由对补四边形的定义及角平分线的定义可得/力抄上〃仪'=123BA步/BCD）=90°,由同角的余角

相等可得N胡。=NO刃，从而即可得证；

(2)由角平分线的性质、三角形外角的定义以及同角的余角相等可求得N协分/时=2(N1+NaZ7)

=180。，从而即可得到四边形仍⑦是对补四边形；

(3)根据题意画出图形，再根据对补四边形的定义、角平分线的性质、四边形的内角和为360°,以及

三角形外角的定义，进行计算即可得到答案.

【解答】解：(1)①：四边形月〃口是对补四边形，/砌465°,

二/8加180°-N8AQ18C-65°=115°.

故答案为：115

②•：/BAN/D=360°,

又：四边形，仍切是互补四边形，

:.NBA讣NBCD=18G,

YAE、6F分别平分/吼9、4BCD,

:・/EA护■NECF=9Q0,

.:4ECF=43,

・•・/功―/3=90°,

在RtZ\09*'中，/。=90°,

Z2+Z3=90°,

：,4EAF=42,

：.AE//CF.

（2）四边形力砥9是对补四边形

理由：•・・/庞。是△力然的外隹，

・•・/跖4N1+/3,

又•：4ABC=/BEC,

/.Z2+Z3=Z1+Z3,

AZ1=Z2,

•:CFLBD,

N6%=90°,

在RtZ\8GC中，NBGC=90。,

・・・N2+N8CG=9(r,

又,；/1=/2,

r.Zl+Z^6Z；=90o,

'：AC.。'分别平分/如〃、4BCD,

：.4BAC=24\,4BCD=24BCG,

：・/BAO/BCD=2(Nl+N8cG)=180°,

・•・四边形ABCD是对补四边形.

(3)第一种答案：ZAOC-NP=90°

•・•四边形/I四是对补四边形，

・・・/a/〃=180°,ZA+ZC=180°,

•・"反思分别为/以〃和的角平分线,

.,.Zl+Z2=90°,

•・,四边形内角和为360。，

二在四边形川笫。中N'a/H优'=270",

即/13=270°-N8,

•；/屏N〃=180°,

AZAOC=270°-(180°・/〃)，

即/13-N〃=90°；

B

AFD

第二种答案：ZZAZ/KX-=90o

•・•四边形力仇》是互补四边形，

：.ZBA^ZBCD=180°,

♦：AE、)为角平分线，

・・・N1+N2=9O0,

•・•在川叨中，/"。=180°-Z2-ZAOC,

在△5/中，/AFO=1+/D,

.*.Zl+ZP=180°-Z2-ZAOC,

即/次/月比-90°；

第三种答案：ZP-ZAOC=W

•・•四边形/历切是对补四边形，

・•・/例/P=18()°,/BAIR480)=180°,

,：AE、。•为角平分线，

AZ1+Z2=9O°,

•・,在△庞T中，外角/曲=N4Q>/2,

在△力龙'中，N8口=180°-Z1-N8

：.ZAOC+Z2=18Qa-Z1-ZB

VZ^=180°-AD

：,ZAOC+Z2=180°-Z1-180°+ZZ?

却/〃-N力3=900.

25.(8分)(2022秋♦驻马店期末)我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”.例如，在图1

中,△力奶的内角N力仍与△加的内角N6W互为对顶角，则△/!必与NC勿为“对顶三角形”，根据三

角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：/A+/B=/G/D.

性质理解：

(1)如图1,在“对顶三角形”△月如与NQ7"中，则N戊厉=70°,则NGN3110°.

性质应用：

(2)如图2,在△力瓶?中，AD.应、分别平分/的。和/力庞、，若NU60°,/力原比/应〃大6°,求N

必9的度数.

拓展提高：

(3)如图3,BE、⑦是△力8c的角平分线，且/脑和的平分线DP和以相交于点R设乙4=0,

直接写出NP的度数(用含a的式子表示NP).

【分析】(1)利用对顶三角形的性质求解即可；

(2)利用对顶三角形的性质，结合图形进行分析即可求解；

(3)由题意得N力冲N力缈=18()°-a,再由角平分线的定义可求得：

ZABE+ZACD-y(ZABC+ZACB)=90°-yd，ZCEP=4zBEC=y(ZABE+ZA)，

ZCDP=-^ZBDC=y(ZACD+ZA)，从而可求解•

乙乙

【解答】解：(1)在“对顶三角形”△力如与NC切中，则/月仍=70°,

••・/3/〃=/力+/8=180°・/力淅110°,

故答案为：110：

(2)在△/应。中，ZC=60°,

：.ZBAC+ZABC=\20°.

•・"〃、比'分别平分/物。和N/山。，

•,•ZFBA+ZFAB-^(ZBAC+ZABC)=60"，

乙

:・/ADE+/BED=60°.

又,：/ADE-/BED=6°,

.,./■=33°,N均必=27°；

(3)在△力比?中，ZJ=a,

：.ZABC+ZACB=180<>-a.

•:BE、69分另ij平分/力颇和/4功,

•'•ZABE=ZCBE=^ZABC-ZACD=ZBCD=yZACB»

乙乙

ZABE+ZACD-y(ZABC+ZACB)=90°-ya.

乙乙

,//加。和/配'。的平分线如和步相交于点P,

・•・ZCEP=4zBEC=y(ZAB3+ZA)，ZCDP=-^ZBDC=y(ZACD+ZA)-

乙乙乙乙

・：4CER4ACD=4CDR4P,

•二ZP=ZCEP+ZACD-ZCDP4(ZABE+ZA)+ZACD-y(ZACD+ZA)

乙乙

yZABE+yZACD=y(ZABE+ZACD)=yX(90°-ya)=450-ya.

乙乙乙乙乙UL

却NP=450-4a-

4

26.(8分)(2022秋•蝶州市期末)如图，已知射线跖是△4%的外角平分线，ZJ=40°,NCBE=Q.

(1)若BE〃AC,求a的值.

(2)若月。的延长线与射线原相交于一点E求a的取值范围.

(3)在(2)的条件下，若过点C的直线将△仇万分成两个笔腰三角形，直接写出a的值.

【分析】（1）根据平行线的性质可得/〃应1=40°,根据角平分线的定义可得/0%=/〃宏，从而得a=

40°；

（2）由力C的延长线与射线跖相交于一点/知BE与力。不平行，由三角形外角的性质和角平分线的定义

可得/曲=2Q,ZACB=2（i-40°,再根据三角形内角的取值范围可得0°V2a-40°<180°,求解

即可;

（3）分①CG=CB=GF,,®CG=BG=FG,@BC=BG,FC=FG、④BC=BG,CG=FG、⑤BC=CG,五种

情况，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可.

【解答】解：（1），：BE平分NCBD,

：,4DBE=4CBE=a,

•:BE"AC,

:・/DBE=/A,

：,ZCBE=ZA,

VZ/l=40o,

AZ6ZJZT=40°,

即：a=40°；

（2）由HC的延长线与射线以相交于一点〃知BE与力。不平行，

•:NQ仍是3c的外角,

:,NCBD=/A+/ACB,

■:BE平■分4CBD,

：・/CBD=2/CBE=2a,

•:/A+/ACB=/CBD,

：.4ACB=20-40°,

V0°<Z/f6^<180°,

AO°<2a-40°<180°,

.*.200<a<110°,

,:NFBD是AA即的外角,

故4FBD>4A,即a>40°,

A400<a<110°；

（3）设过点。的直线交跖于点G,

:.XBCG,△&方均为等腰三角形，

①当"=5=征'时，则有N4M=NC"；=a,ZCFG=—ZCGB=—•

22

/ACB=/CBF+/CFG=亳Q、

•：4A+/ACB=/CBD,

A40°+Z/!6^=2a,

：・4ACB=2<i-40°,

•••2a-40。-1a，

:.a=80°；

②当CG=BG=FG卡,/GCB=4CBG=a,

・・・NC68=180°-ACBG-ZGCB=180°-2a,

•,-ZCFG=yZCGB=90°-a，

乙

/.ZACB=ZCFB+zCBG=90°-a+a=90°,

/.2a=40°+90°,

:.a=65°；

③当BC=BG,加=文时，NBCG=4BGC,4FCG=/FGC,

•'•ZBGC=y(180°-NCBG)】(1800-a)=90°[a，

乙乙乙

•*«ZCGF=ZFCG=900卷a，

：・4CGF+/FCG=18N+a>180°,

故此情况不存在；

④当BC=BG,4=用时，/BCG=/BGC,4GCF=4GFC,

•••ZBGC=y(1800-ZCBG)=^(180°-a)，

乙乙

•••ZCFG-ZCGB-(1800-a)，

乙i

又/ACB=/CFB+/CBF=43。+Sa，且/A+/ACB=/CBD,

4

，40°+45°普a=2a，

:.a=68°；

⑤当BC=CG,gG/7时，则NCGB=/CBG=a,/FCG=/FGC=180°-a,

又/CFG"FCG'/FGC=1,

・・・/67^=180°-ZFCG-ZFGC=2a-180°,

又匕ACB=4CF吩匕CBF,

A2a-400=3a・180°,

解得：a=140°>110°,

故此情况不存在，

综上，a的值为80°,65°或68°.

27.（8分）（2023春♦南通期末）如图，锐角N加尼点区。分别在力笈AFk.

（1）如图1,若N瓦伊=56°,连接8C,/ABC=a,ZACB=P,N鹿的平分线与N比尸的平分线交于

点P,则力B=1240,ZP=62°:

（2）若点。在/必尸内部（点0不在线段8。上），连接制，QQ/分尸=56°,/CQB=\C4：BM,CN

分别平分NQ阳和//A且却/与。V交于点〃，求/脑的度数；

（3）如图2,点G是线段⑦延长线上一点，过点、G作GHLAE于点、H,/掰厂与NQN的平分线交于点

9,请直接写出/力出与/力位的数量关系.

【分析】（1）根据三角形内角和定义即可求a+B的度数，根据邻补角定义以及角平分线性