等可能条件下的概率 章节（3知识点回顾+14题型练习）原卷版-2025年新九年级数学（苏科版）

等可能条件下的概率（3知识点回顾+14题型练习）

题型一列举随机实验的所有可能结果题型八几何概率

题型二判断实验所得结果是否是等可能的题型九列举法求概率

题型三概率的意义理解题型十列表法或树状图法求概率

题型四判断几个事件概率的大小关系题型十一游戏的公平性

题型五根据概率公式计算概率题型十二概率在转盘抽奖中的应用

题型六根据概率作判断题型十三概率在比赛中的应用

题型七己知概率求数量题型十四概率的其他应用

L--______________

感知识清单

知识点i,可能性的大小

随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：

（1）理论计算又分为如下两种情况：

第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；

第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏

是否公平的计算.

（2）实验估算又分为如下两种情况：

第一种：利用实验的方法进行概率估算.要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即

大量实验频率稳定于理论概率.

第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算.如，利用计算器产生随机数来模拟实验.

知识点2.概率公式

一事件A可能出现的结果数

（1）随机事件力的概率。（J）

所有可能出现的结果数

（2）P（必然事件）=1.

（3）P（不可能事件）=0.

知识点3.几何概率

所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G,又区域g包含在

区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面枳），现随机地向G内投掷一点假设点M必落在G

中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形

状无关.具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型.关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点

M,点初落在G内的部分区域g”的概率〃定义为：g的度量与G的度量之比，即P=g的测度G的测度

简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是长度比，面积比，体积比等.

S'题型练习_________________________________________________________

题型一列举随机实验的所有可能结果

1.（2024九年级江苏南通专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行.其吉祥物是一组

名为“江南忆'’的机器人.三:个吉祥物分别取名“琮琮”、"莲莲''和“宸宸”，分别代表世界遗产''良渚日城遗址“、“西湖”、

“京杭大运河某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念.甲乙两位同学

和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为.

2.（九年级上•全国•课后作业）求解下列问题：

（1）在1〜10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10,共有多少种取法？

（2）在1〜10（）这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100,共有多少种取法？

（3）你还能提出什么问题？

（4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？

题型二判断实验所得结果是否是等可能的

3,彤彤抛五次硬币，3次正面朝上，2次反面朝上，她抛第6次时，下面说法正确的是哪一个？（）

A.一定正面朝上B.一定反面朝上

C.不可能正面朝上D.有可能正面朝上也有可能反面朝上

4.（九年级上•全国•课后作业）在做针尖落地的实验中，正确的是（）

A.甲做了4000次，得出针尖触地的机会约为46%,于是他断定在做第4001次时，针尖肯定不会触地

B.乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后

统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度

C.老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取

D.老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）.同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统il,

他不满意的就不要

题型三概率的意义理解

5.（24-25九年级上•江苏泰州•期末）某事件力发生的概率是高，则下列推断正确的是（）

A.做100次这种实验，事件A必发生3次

B.做100次这种实验，事件A不可能发生4次

C.做1000次这种实验，事件A必发生30次

D.大量重复做这种实验，事件/平均每1（）0次发生3次

6.（23-24九年级上•江苏淮安•期中）小明在做抛掷均匀硬币实验时，前10次实验中正面朝上是9次，则第11次正面

朝上的概率为.

7.（江苏泰州•二模）某射击队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据射击运动员的年龄（单位：岁），

绘制出如卜的统计图.

（I）求的值;

（2）求该射击队运动员的平均年龄：

（3）小文认为，若从该射击队中任意挑选四名队员，则必有一名队员的年龄是15岁.你认为她的判断正确吗？为什

么？

题型四判断几个事件概率的大小关系

8.（22-23九年级上•江苏扬州•期末）一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同,

搅均后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（）

A.摸到黄球B.摸到红球C.摸到白球D.摸到黑球

9.（九年级上•江苏南京・期末）随机抛掷一枚质地均匀的骰子一次，下列事件中，概率最大的是（）

A.朝上一面的数字恰好是6B.朝上一面的数字是2的整数倍

C.朝上一面的数字是3的整数倍D.朝上一面的数字不小于2

题型五根据概率公式计算概率

10.（24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习）从甲、乙、丙三位同学中任选一人参加初中生数学竞赛，甲被选中的概率

是（）

11.（2+25九年级上•江苏南通•期木）一个不透明的「I袋中将四个完全相同的小球，把它们分别标上“大”“美”“海-安

四个汉字，随机摸出一个小球，摸出的小球上的汉字是“美''的概率是（）

12.（24-25九年级上•江苏宿迁•期末）如图，转盘中3个扇形的面积都相等.任意转动转盘1次，当转盘停止转动时,

指针所落扇形中的数为偶数的概率为.

13.（2025•江苏宿迁•二模）2025年宿迁马拉松比赛于3月30口7：30在项王故里鸣枪开跑.张先生和王女士报名参

加了此次比赛，在经过的某路口有三个车道（分别记为A、8、C）,假设每个人经过此路口时走每个车道是等可能

的.

（1）王女士经过此路口时走A车道的概率为—：

（2）请用列表或画树状图的方法求张先生和王女士经过此路口时走不同车道的概率.

题型六根据概率作判断

14.（江苏南京・一模）下列说法正确的是（）

A.购买江苏省体育彩票有“中奖”与“不中奖”两种情况，所以中奖的概率是:

B.国家级射击运动员射靶一次，正中靶心是必然事件

C.如果在若干次试验中一个事件发生的频率是：，那么这个事件发生的概率一定也是!

44

D.如果车间生产的零件不合格的概率为高，那么平均每检查1000个零件会查到1个次品

15.（江苏苏州•中考真题）下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1,2,3,4,5,6这六个数字,

指针停在每个扇形的可能性相等.四位同学各自发表了下述见解：

甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形：

乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形；

丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；

T：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大.

其中，你认为正确的见解有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

17.（2323九年级上•江苏盐城•期末）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在9x9个小方格的雷区中.随机地埋藏着20

颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷.小林和小艾轮流点击，小林先点一个小方格，显示数学2,它表示围着数字

2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）.

（1）若小艾在区域片内围着数字2的8个方块中任点一个，未踩中地雷的概率是.

（2）现在小艾点击了右下角的小方格，出现数字1（包含数字1的黑框区域记为8）,轮到小林点击，若小林打算在区域4

和区域〃中任点一个未点击的方块，从安全的角度考虑，他应该选择哪个区域？说明理由.

（3）若小林和小艾均在B区域各点击一次，则两人均安全的概率有多大？

题型七已知概率求数量

18.（2024•江苏淮安•模拟预测）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和〃个白球（仅有颜色不同）.若从中任

意摸出一个球是红球的概率为:2，则〃=（）

A.9B.15C.30D.90

19.（22-23九年级上•江苏连云港•阶段练习）不透明的口袋里装有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝三种颜色的小球

若干个，其中红球2个，蓝球1个.若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为:，求黄球的个数为（）

4

A.1B.2C.3D.4

20.（24-25九年级上•江苏南京・期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操

作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶

子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒.小明通过计算得出瓶

子中豆子的总数为粒.

21.（24-25九年级上•江苏扬州•期末）一个袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球.它们的重量、大小都相同，其中

红球有6个，黄球有5个，并知任意摸出1个黄球的概率是5.问：

（1）袋子里蓝球有多少个？

（2）任意摸出1个红球的概率是多少？

题型八几何概率

22.（24-25九年级上•江苏南京・期末）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样.假设飞镖击中任何一个位

置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区

域的概率是（）

23.（24-25九年级上•江苏泰州•阶段练习）如图，在扇形4M中，404=9（）。，正方形OCDE的顶点C、。、E分别

在CU、弧力8、OB上，连接EC.在扇形内随机选取一点P,则点。落在阴影部分的概率是（）

123

B.2-3-D.5-

24.（2425九年级上•江苏镇江•期末）如图，可以自由转动的转盘被分成两个扇形区域，分别标有字母力和8,标有力

的扇形圆心角的度数为135。，自由转动转盘，指针落在标有力的扇形区域内的概率为.

25.（22-23九年级下•江苏无锡•阶段练习）如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标

有数字2,4,6：另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1,3,5的三个完全相同的小球，小杰先转动一次转盘,

停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转）.小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字.

（1）小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字2的概率为二

（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰胜；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉胜，此游戏公平吗？为什么？

（请用树状图或列表法说明）

题型九列举法求概率

26.（24-25九年级上•江苏连云港•期末）抛掷一枚质地均匀的硬币4次，有3次正面朝上，1次反面朝上，第5次抛掷,

正面朝上的概率是（）

A.*

BD.

5-74

27.（23-24九年级上•江苏淮安期中）张老师的渔具包内有3.6m,4.5m,5.4m,6.3m四种规格的鱼竿各•支,从中

任意取出一支鱼竿长度是5.4m的概率是（）

A.0B.gC.-D.—

234

28.（2023九年级上•江苏•专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一

件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然

后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有种不同的取法.事后他们打

开礼物仔细比较，发现礼物。最精美，那么取得礼物。可能性最大的是一同学.

29.（24-25九年级上•江苏苏州•期中）十月有多部影片上映.小亮和小丽准备分别从《志愿军》、《毒液》、《浴火

之路》三部电影中随机选择一部观看.

（1）小亮从这三部电影中，随机选择一部观看，则他选中《志愿军》的概率为二

（2）请用列表或画树状图的方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率.

题型十列表法或树状图法求概率

30.（24-25九年级上•江苏盐城•期中）“中华麋鹿园”“丹顶鹤自然保护区”“盐城大纵湖旅游景区”和“黄海海滨国家森林

公园''是盐城市四个有代表性的旅游景点.若小丽从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“丹顶鹤

自然保护区''的概率是（）

A1RLcpL

A.6H.4。3D.2

31.（24-25九年级上•江苏南京•期末）甲、乙、丙三人各自通过力PP买到了某演唱会门票，三张票的座位是连续的,

记甲乙座位相邻的概率为4，甲乙座位不相邻的概率为6,则AP2.（填“或“=”号）

32.（2025•江苏泰州•二模）甲、乙2名学生各自随机选择到力、B、。三家书店中的一家购书.

（1）甲学生在B书店购书的概率为；

（2）求甲、乙2名学生在同一书店购书的概率.

题型十一游戏的公平性

33.（2023九年级上•全国•专题练习）小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上

小明胜，则这个游戏（）

A.公平B.对小颖有利C.对小明有利D.无法确定

34.(24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习)如图，转盘月中的4个扇形面积相等，转盘8中的6个扇形的面积相等，

有人设计了如卜游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘力、8一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数

相乘，如果所得的积是偶数，则甲获胜；若所得的积是奇数，则乙获胜.

(1)用列表法或树状图求出甲、乙两人分别获胜的概率；

(2)当此游戏规则修改为：当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字相加，如果所得的和是偶数，则甲获胜;

若所得的和是奇数，则乙获胜，这样的规则公平吗？通过计算说明理由.

题型十二概率在转盘抽奖中的应用

35.(江苏盐城•一模)如图，一个转盘被分为了4R.C三个区域,自由转动转盘一次,当转盘停止时,指针指向力

区域的概率是.

A

C

36.（江苏无锡•一模）一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图②是一个被分成4个大

小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不

计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数,

若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达&第二次转动转盘指针所指数字为3，…，直

到棋子到达终点或超过终点停止.

I

|起点卜力卜B'C*D>E»F,终点

图①图②

（1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率;

（2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率.

题型十