第九章 统计 易错训练与压轴训练（3易错+1压轴）解析版-2024-2025学年高一数学（人教A版必修第二册）

第9章统计易错训练与压轴训练

01目录

易错题型一随机数表法取数时忽略了重复数字需跳过.............................................i

易错题型二忽视中位数需先从小到大排序，而是直接找中间的数而致错..............................3

易错题型三总体百分位数忽略了将数据从小到大排序...............................................4

压轴题型一分层抽样均值与方差..................................................................5

02易错题型

易错题型一随机数表法取数时忽略了重复数字需跳过

随机数表法读数时，若前面已经取出该数，再次读取时，需跳过，接下去读取。

例题1：（23-24高一下・四川•期末）某企业利用随机数表对生产的60个太阳能面板进行抽样测试，先将60

个太阳能面板进行编号，01,02,……,59,60.从中抽取12个样本，下图提供随机数表的第6行至第8行，若

从表中第7行第9列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）

12234356773221183429786454073252420644383578905642

25300732862345588907231896080484421253313457860736

34899483753256780843678953557722535578324577892345

A.07B.18C.23D.（）8

【答案】D

【知识点】随机数表法

【分析】利用随机数表法来选取样本编号即可.

【详解】从第7行第9列开始向右读取数据，开始为86,不符合要求，第一个数是23,第二个数是45,第

三个数是58,下一个数是89,不符合要求，第四个数是07,下一个数是23,重复，第五个数是18,下一

个数是96,不符合要求，第六个数是08；

故选:D.

例题2：（23-24高一下•江苏连云港•期末）总体编号为01,02,…，29,30的30个个体组成.利用下面

的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两

个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）

78161572080263150216431997140198

32049234493682003623486969387181

A.02B.14C.15D.16

【答案】B

【知识点】随机数表法

【分析】结合随机数表法确定正确答案.

【详解】选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字,

则选出来的个体的编号为16,15,72（舍去），08,02,63（舍去），15（舍去），

02（舍去），16（舍去），43（舍去），19,97（舍去），14.

故选出的第6个个体编号为14.

故选:B.

巩固训练

1.（23-24高一下・陕西咸阳•阶段练习）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽

样，先将650名学生进行编号，001,002,…，649,650.从中抽取50个样本，如图提供随孔数表的第4

行到第6行，若从表中笫5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（）

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.007B.253C.328D.860

【答案】A

【知识点】随机数表法

【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次，读取到

第4个即可.

【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，

第一个数为253,第二个数是313,

第三个数是457,下一个数是860,不符合要求，

下一个数是736,不符合要求，下一个是253,重复,

第四个是007,故A正确.

故选：A.

2.（23・24高一下•云南昆明•阶段练习）总体由编号为01,02,...»39,40的40个个体组成，从中选取5

个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为（）

660658615435024235489621143252415248

A.54B.14C.21D.32

【答案】B

2

【知识点】随机数表法

【分析】根据随机数表法可得结果.

【详解】生成的随机数中落在编号01,02,…，39,40内的依次有（）6,35,02,35（重复），

21,14,32,故第5个编号为14,

故选：B.

易错题型二忽视中位数需先从小到大排序，而是直接找中间的数而致错

中位数问题，需从小到大从新排序

例题1：（24-25高三上•辽宁辽阳•期末）若数据1,2,3,2,x,2x,4的中位数是x,则x的取值范围是（）

A.[2,2.5]B.[2,3]C.[2.5,3]D.[3,3.5]

【答案】B

【知识点】计算几个数的中位数、用中位数的代表意义解决实际问题

【分析】根据中位数的概念求解.

【详解】因为数据123,2,x,2x,4的中位数是x,

所以2&X&3,即x的取值范围为[2,3].

故选：B.

例题2：（24-25高三上•云南•期中）国家射击运动员在某次训练中的8次射击成绩（单位：环）分别为10,

7,8,10,%,10,8,6,其中x为整数，若这8次射击成绩的中位数为9,则工=（）

A.6B.7C.9D.10

【答案】D

【知识点】计算几个数的中位数

【分析】按中位数的定义结合选项逐•验证，即可求解..

【详解】将成绩（除了x）从小到大排列为：6,7,8,8,10,10,10,

结合选项，只有x=10时，这8次射击成绩的中位数与蛆=9.

故选：D.

巩固训练

1.（24-25高三上•湖北十堰•期末）已知x>0,且+,的中位数为i,则》二（）

123

A.-B.-C.1D.—

332

【答案】B

【知识点】计算几个数的中位数

【分析】先根据题意判断出xWl,再分别讨论x=l和0<x<l跳可求解.

【详解】因为x>0,所以x<x+l/<2x,又x,x+l,f,2x的中位数为1,所以xWl,

当工=1时,x,x+l,/,2x分别为121.2,则中位数为不符合题意：

3

巩固训练

1.(24-25高二上•云南昭通,期中)某校高一年级10个班参加广播体操比赛的比赛分数由小到大排列为：85、

87、89、9()、91、92、93、94、95、96,则这组数据的80%分位数为()

A.93B.93.5C.94D.94.5

【答案】D

【知识点】总体百分位数的估计

【分析】根据百分位数的定义可求得结果.

【详解】因为10x0.8=8,因此，这组数据的第80%分位数为f=94.5.

故选：D.

2.(24-25高三上•辽宁抚顺,期末)数据5,6,8,5,5,9,10,4的60%分位数是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【知识点】总体百分位数的估计

【分析】根据白.分位数的定义求解即可.

【详解】将数据5,6,8,5,5,9,10,4按照从小到大的顺序排列为4,5,5,5,6,8,9,10,

因为8x60%=4.8,所以这组数据的60%分位数是排序后的第五个数，即6.

故选：B.

03压轴题型

压轴题型一分层抽样均值与方差

例题1：(24-25高二上•四川成都•期中)2024年10月27成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务

工作是马拉松成功举办的重要保障.当时成都市文体广电旅游局承办了忐愿者选拔的面试工作.随机抽取了

100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组［45,55),第二组［55,65),第三组［65,75),第四组［75,85),

第五组［85,95］,绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求。的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数：

(2)若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任了小市的宣传者.若小市宣传者中笫一组面试者的

5

面试成绩的平均数和方差分别为62和40,第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50,请据

此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.

（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：加，工，$；；〃，兀，年,记两组数据总体

的样本平均数为赢则总体样本方差52=后口；+（；；-可4+信，升口犷升）.

【答案】（1）。=0.025；x=69.5

【知识点】计算频率分布直方图中的方差、标准差、由频率分布直方图估计平均数

【分析】（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于1,可求得“，根据频率分布直方图中平均数的计

算方法即可求解；

（3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解

即可.

【详解】（1）由图得（0.005+。+0.045+0.02+0.005）x10=1,

解之可得。=0.025；

根据题意知，x=0.05x50+0.25x60+0.45x70+0.2x80+0.05x90=69.5

（2）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为

X|=62»X2=80,s；=40,s；=50,

且两组的频率之比为照=。，

0.24

则第二组和第四组所々面试者的面试成绩的平均数为京="62：4x80=/0,

9

第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为/）5解+_区—-研4+/+5—-_卬力，

=：5[40+（62-70）2]+-4[50+（80-70）2]

5206001120

=---+---=----,

999

则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为等.

例题2：（24-25高三上•四川南充•阶段练习）为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，

切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教

育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防

毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情

况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）

分成六段：[40,50）,[50,60）,…，[90,100]得到如图所示的频丞分布直方图.

6

（1）求频率分布直方图中。的值;

（2）求样本成绩的第75百分位数:

（3）已知落在［50,60）的平均成绩是56,方差是7,落在［60,70）的平均成绩为65,方差是4,求两组成绩的

总平均数万和总方差一.

【答案】（1）0.030

⑵84

⑶平均数为62：方差为23

【知识点】补全频率分布直方图，由频率分布直方图估计平均数，计算频率分布直方图中的方差.标准差.

总体百分位数的估计

【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，

（2）根据百分位数的计算公式即可求解，

（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩

的总方差，即可求解.

【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得,0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1,解得a=0.030.

（2）成绩落在［40,80）内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65,

落在［40,90）内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3+0.25=0.9,

显然第75百分位数小480,90）,由0.65+（〃?-80）x0.025=0/75,解得加=84,

所以第75百分位数为84：

（3）由频率分布直方图知，成绩在［50,60）的市民人数为100x0.1=10,

成绩在［60,70）的市民人数为100xD.2=20,所以彳J0X；：：%65=62；

由样本方差计算总体方差公式，得总方差为{1017+（56-62）1+20卜+（65-62）［}=23.

例题3：（24-25高二上•四川成都•阶段练习）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人,

教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分

析，得到如下图所示的频率分布直方图.

7

频率/绢距

(1)眼据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；

(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少

分；

(3)已知落在［60,70)内的平均成绩为67,方差是9,落在［60,80)内的平均成绩是73,方差是29,求落在［70,80)

内的平均成绩和方差.

【答案】(1)平均数为71,众数为75.

(2)88

(3)平均数为76,方差为12.

【知识点】总体百分位数的估计、计算频率分布直方图中的方差、标准差、由频率分布直方图估计平均数、

抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算

【分析】(1)在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐

标的中点，据此求解..

(2)依题意可知题目所求是第90%分位数，先判断第90%分位数落在哪个区间再求解即可；

(3)先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.

【详解】(1)一至六组的频率分别为0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05,

=45x0.10+55x0.15+65x0.15+75x0.30+85x0.25+95x0.05=71

由图可知，众数为75.

以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.

(2)前4组的频率之和为0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90,

前5组的频率之和为0.70+0.25=0.95>990,

第90%分位数落在第5组,设为x,则0.70+(x-80)x0.025=0.90,解得x=88.

“防溺水达人”的成绩至少为88分.

(3)［60,70)的频率为0.15,［70,80)的频率为0.30,

所以［60,70)的频率与［60,80)的频率之比为!

().302

［70,80)的频率与［60,80)的频率之比为-----=一

0.15+0.303

8

设［70,80）内的平均成绩和方差分别为兀，其，

12——

依题意有73=§x67+§X2，解得,马=76，

29=-x|^9+（67-73）2J+-xfe76-7^1解得s；=12,

33

所以［70,80）内的平均成绩为76,方差为12.

巩固训练

1.（23-24高一下•新疆乌鲁木齐•期末）某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某H随机抽取了

100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的

（2）求样本质量指标值的平均数和第75百分位数；

（3）若样本质量指标值在区间［60,70）内的平均数和方差为67和51,在区间［70,80］内的平均数和方差为77

和21,据此估计在［60,80］内的平均数和方差.

【答案】⑴小=0.030

（2）76.5,85

（394,51

【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、计算频率分布直方图中的方差、标准差、

总体百分位数的估计

【分析】（1）由各直方图面积之和为1可得加；

（2）用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替平均数；比较频率大小确定第75

百分位数所在区间，再利用面积关系求解即可；

（3）根据两组样本数的比例，先利用各组样本平均数求两组的总样本平均数，再用各组样本方差与平均数、

两组总样本平均数求总样本方差.

【详解】（1）由题意知（0.010+0.015+〃?+0.035+0.010）X10=1,解得秋=0.030,

（2）样本质量指标值的平均数为55x0.1+65x0.15+75x0.35+85x0.3+95x0.1=76.5,

前3组的频率之和为（O.O1O+O.O15+O.O35）X1O=O.6O,前4组的频率之和为0.60+0.030xl0=0.90,

故第75百分位数位于第4组，设其为，，

9

则（/一80）x0.030+0.60=0.75,解得f=85,

即第75百分位数为85.

（3）已知在区间［60,70）内的平均数和方差为67和51,

在区间［70,80］内的平均数和方差为77和21,

则在［60,80］在内的平均数x=一"一x67+-「77=74,

0.15+0.350.15+0.35

在［60,80］在内的方差回+（67-744［21+（77-74）2］-51.

0.15+0.35L」O.15+O.J5L」

估计在［60,80］内的平均数为74,方差为51.

2.（23-24高二上•湖北孝感•阶段练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市

民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举

办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成

绩均为不低于40分的整数）分成六段：［40,50）,［50,60）,…,［90,10。］得到如图所示的频率分布直方图.

（2）求样本成绩的第75百分位数：

（3）已知落在［50,60）的平均成绩是56,方差是7,落在［60,70）的平均成绩为65,方差是4,求两组成绩的总

平均数彳和总方差

【答案］⑴0.030

⑵84

（3）总平均数是62,总方差是23.

【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算频率分布直方图中的方差、标

准差、总体百分位数的估计

【分析】（1）利用小矩形的面积之和为1,进行求解；

（2）先判断第75百分位数在［4090）,然后列方程可求得结果：

（3）由频率分布直方图中数据结合方差计算公式即可解答.

【详解】（1）每组小矩形的面积之和为1,

（0.005+0.010+0.020+6/+0.025+0.010）乂0=1,

Q=0.030：

10

(2)成绩落在［40.80)内的频率为(0.()05+0.010+0.020+0.030)＞：10=0.65,

落在［40.90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)x10=0.9,

设第75百分位数为小，

由0.65+-80)x0.025=0.75,

得加=84,故第75百分位数为84：

(3)由频率分布直方图知，成绩在［50,60)的市民人数为100x0.1=10,

成绩在［60.70)的市民人数为100x0.2=20,所以彳=若|置迎二62；

由样本方差计算总体方差公式，得总方差为$2=寻云{10［7+(56-62)1+20［4+(65-62)1}=23

3.(23-24高一下•贵州铜仁・期末)2024年3月31日，贵州铜仁梵净山春季马拉松在梵净山赛道成功举行，

其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.铜仁市文体广电旅游局承办了志愿