2025-2026学年河南省新乡市高二上学期9月联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河南省新乡市高二上学期9月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知空间向量a=3,0,1，b=A.3 B.1 C.2 D.2.已知v1、v2分别为直线l1、l2的方向向量(l1、l2不重合)，n1A.v→1//v→2⇔l13.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(2,2,2),B(4,−2,0)，若点P与点A关于Oyz平面对称，则BP=A.214 B.13 C.24.“直线ax+4y−3=0与直线x+(a−3)y−2=0平行”是“a=−1”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，∠ABC=π3，则折后二面角E−OF−A的余弦值为(

)

A.55 B.C.3556.已知直线l过点(0,2)，且与直线3x−y+2=0及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为(

)A.3x+y−2=0或3x−3y+6=0B.3x−3y+6=0或3x−7.《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，已知在堑堵ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=4，A.−4 B.4 C.−3 D.18.已知函数f(x)=x2−2x+ln|x−1|的图象经过点Ax1,4和点Bx2,4x1<x2，直线l:y=kx+b经过点C(1,−2)，且直线A.2 B.6 C.−2 D.−6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，已知四面体ABCD，点E,F分别是BC,CD的中点，下列说法正确的是(

)

A.AB+BC+CD=AD B.AB10.给出下列命题，其中正确的命题是(

)A.若a，b为单位向量，则a=bB.若向量a是向量b的相反向量，则a=b

C.在正方体ABCD−A1B1C111.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E，O分别是AA.BE与B1C所成角的正弦值是31010B.点O到平面ABC1D1的距离是22

C.平面A1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，已知三棱锥P−ABC，G为▵ABC的重心，点M，F为PG，PC的中点，点D,E分别在PA,PB上，PD=2mPA，PE=3nPB(m>0,n>0).13.在平面直角坐标系中，过点P(2,2)作直线AB，分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点A,B.当直线AB的斜率为

时，▵AOB的面积最小(O是坐标原点)，最小面积是

．14.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，动点P满足CP=xCD+yCC1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=2，(1)求AA(2)求证：AA(3)求A′C16.(本小题15分已知▵ABC的顶点A(2,4),AB边上的中线CM所在直线的方程为x+4y−4=0,∠ABC的平分线BH(1)求直线BC的方程；(2)若直线l上任意一点P，都满足S▵PBC=S17.(本小题15分)如图，在四面体ABCD中，▵ABC与▵ACD都是等边三角形，AC=4，

(1)求证：AC⊥(2)若E为AD的中点，求平面BCD与平面BCE夹角的余弦值．18.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥CD,AB//CD，且AB=2CD=2AD=2(1)若点E为PB上靠近点P的三等分点，证明：PD//平面ACE(2)若点F为PC上一点(不包含端点)，从下面条件①②③中选取两个作为已知，证明另一个成立．①PFPC=13；②tan∠PCA=2注：如果选择多个组合分别解答，按第一个解答计分．19.(本小题17分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且AB=4，侧面AA

(1)求证：BD⊥(2)求直线AA1与底面(3)求点C到侧面AA(4)在线段A1B1上是否存在点E，使得直线DE与侧面AA1B1参考答案1.A

2.A

3.A

4.B

5.A

6.A

7.B

8.D

9.ABC

10.ABC

11.BD

12.24

13.−1；8

14.0；2,215.【详解】(1)解：AA(2)证明：因为AA=3×所以AA(3)解：因为A′所以A′=4+4+9+0−2×所以A′C=

16.【详解】(1)如图，由点B在直线y=x上，设B(m,m)，又A(2,4)，则AB的中点Mm+22,所以m+22+4×m+42设点A(2,4)关于直线y=x对称的点为A′则有y0−4x0−2显然A′(4,2)在直线BC上，则直线BC的斜率则直线BC的方程为y+2=23(x+2)(2)点A到直线BC的距离d=|2因为点P满足S▵PBC=S▵所以直线l与直线BC平行，且直线l到直线BC的距离等于点A到直线BC的距离．设l:2x−3y+n=0(n≠−2)，则|n+2|13=所以直线l的方程为2x−3y−12=0或2x−3y+8=0．

17.【详解】(1)证明：取AC的中点O，连接OB,OD．

因为▵ABC与▵ACD都是等边三角形，O为AC的中点，所以又OB∩OD=O,OB,OD⊂平面OBD，所以AC又BD⊂平面OBD，所以AC(2)因为▵ABC与▵ACD都是等边三角形，AC=4，O为所以OB=OD=23，又BD=26，所以又OB⊥AC,OD⊥AC，所以OA,OB,OD两两互相垂直，以O为原点，OA,OB,OD所在直线分别为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由AC=4，得A(2,0,0),B0,2所以BC=设平面BCD的法向量为m=(x,y,z)，则BC⋅m=0,BD⋅m即平面BCD的一个法向量为m=设平面BCE的法向量为n=(a,b,c)，则BC⋅n=0,BE⋅n即平面BCE的一个法向量为n=设平面BCD与平面BCE的夹角为θ，则cosθ=所以平面BCD与平面BCE夹角的余弦值为7

18.【详解】(1)证明：如图，记BD与AC交于点O，连接OE，因为AB/\!/CD,AB=2CD=2，又因为∠AOB所以▵AOB∽△COD所以ODOB所以点O为BD上靠近点D的三等分点．因为点E为PB上靠近点P的三等分点，所以在▵PBD中，OE/\!/PD又因为OE⊂平面ACE，PD⊄平面所以PD//平面ACE(2)方法一：选择①②作为条件，证明③：因为2CD=2AD=2,AD⊥所以AC=因为PA⊥平面ABCD所以PA⊥AC，则tan∠PCA=则以A为原点，以AD,AB,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，所以A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,2,0),D(1,0,0)，C(1,1,0)，从而BD=(1因为PFPC所以PF=则F的坐标为13设平面ABF的法向量为n=(x,y,z)则AB⋅n则y=0，令z=1，可得x=−所以平面ABF的一个法向量为n=(−2,0,1)设直线BD与平面ABF所成角为θ，则sinθ=cosBD方法二：选择①③作为条件，证明②：因为2CD=2AD=2,AD⊥所以AC=设PA=a,a>因为PA⊥平面ABCD所以PA⊥则以A为原点，以AD,AB,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，所以A(0,0,0),P(0,0,a),B(0,2,0),D(1,0,0)，C(1,1,0)，因此BD=(1因为PFPC所以PF=则F的坐标为13设平面ABF的法向量为n=(x,y,z)则AB⋅n则y=0，令z=1，可得x=−所以平面ABF的一个法向量为n=(−2a,0,1)设直线BD与平面ABF所成角为θ，则sinθ=解得a=1(负值舍去)，则PA=1，故tan∠PCA=PAAC方法三：选择②③作为条件，证明①：因为2CD=2AD=2,AD⊥所以AC=因为PA⊥平面ABCD所以PA⊥AC，则所以PA=1，则以A为原点，以AD,AB,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，所以A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,2,0),D(1,0,0)，C(1,1,0)，因此BD=(1设PF=λ则F的坐标为(λ,λ,1−λ),AF设平面ABF的法向量为n=(x,y,z)则AB⋅n则y=0，令z=1，可得x=λ−1所以平面ABF的一个法向量为n=设直线BD与平面ABF所成角为θ，则sinθ=解得λ=13(负值舍去)，则PF

19.【详解】(1)证明：∵点A1在底面上的射影为AC的中点D∴A1D∵BD,DC⊂平面ABC，又∵底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，D为AC的中点，∴BD以点D为坐标原点，DB,DC,DA1所在直线分别为x轴、y轴、

∵△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AB=4,∴AC=4在Rt▵