福建省莆田市2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试题（含解析）

福建省莆田市2024-2025学年高一下学期期末质量调研

数学试卷

一、单选题

1.已知复数z=i-则|z|=（）

A.72B.5/3C.2D.4

2.现有男志愿各120人，女志愿者80人，按性别进行分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个

容量为15的样本，则女志愿者应抽取的人数是（）

A.6B.7C.8D.9

3.已知〃?、〃是两条不同直线，、h7是三个不同平面，则下列命题中正确的是（）

A.若〃?〃a，〃〃a，则〃?〃〃B.若al/，7^1/,则a〃/

C.若加〃。，加〃夕，则a〃夕D.若加_La,则〃7〃〃

4.若向量小〃满足。■16同=>/3,网=2,且“+劝与垂直，则实数，的值为（）

4

A.-3RD.-C「."DD・一3

2324

5.若产（A=8）=09,尸（A）=0.7,〃（3）=0.5,则P（Ac泓=（）

A.0.5B.0.4C.0.3D,0.2

6.为了测量某建筑物Q）的高度，选取与该建筑物底部C在同一-水平面内的两个测量点现测得

N2MC-3O,』A8C-105，八3-9。米，在点处测得该建筑物顶部。的仰角为30。，则该建筑物Q）的高度为

A.150米B.15瓶米C.30五米D.30几米

7.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.从中不放回地依次随机摸出2个球.

设事件A=”第一次摸出球的标号小于3"，事件8="第二次摸H球的标号为奇数”，则（）

A.与对立B.与互斥但不对立

C.与相互独立D.与既不互斥也不独立

8.已知三棱锥尸-ABC的底面ABC与侧面座均是边长为2的正三角形，且平面R4B1平面ABC，则该

三棱锥外接球的表面积是()

二、多选题

9.若向量〃=(2,0),〃=(一,则()

A.\a+b=4

B.ab=—2

C.力在〃上的投影向量为

D.。与b的夹角为手

10.若复数4满足G+2-i)(1—i)=1+i,复数%的虚部为1,且z»2是实数,则()

A.4的实部是-2

B.入在复平面上对应的点位于第四象限

C.Z2的共血及数是l-i

D.复数满足|z-即=1,则闫的最大值是应+1

II.在棱长为4的正方体八3O-44G4中，点E在棱CG上，且CQ=2CG，点/在正方形A用GA内

(含边界)运动，则()

A.当％=!时，平面ARE截该正方体所得的截面面积为18

2

B.当/l=g时，点。到平面AQ石的距离为2百

C.当％=!，且M//平面”＞贵时，点尸的轨迹长度为5

D.当2=!，且EF1AE时.点尸的轨迹长度为逑

44

三、填空题

12.在四边形ABC。中，AD//BC,ABLBC,BC=2AD=2AB=2f以肥所在直线为轴，其他三边旋转一

周形成的面围成的几何体的体积为.

13.已知一•组数据币电，小。的平均数和方差均为1.若X=2.£-l(i=123,,】0),则数据

$，*2，，内0，凹，必，,Xo的方差为.

14.已知点G是VABC的重心，过点G的直线分别交边4aAC于点及F,设A3=〃L4E，AC=nAF，则

;若AB=6,8C=8,B=g,则AEA/的最小值是

四、解答题

15.寒假期间某学校团委组织学生开展志愿服务活动，假期过后对学生的志愿服务时长(单位：小时)作

一次随机抽样调查，画出频率分布直方图如图所示.根据志愿服务时长从长到短，时长在前34%的学生可获

(1)求的值，并估计该校学牛.志愿服务时长的平均数(同一组数中的数据用该组区间的中点值作为代表);

(2)试估计至少需要参加多少小时的志愿服务活动方可获得本次“优秀志愿之星”的称号.

16.如图，在校长均为2的正三棱柱ABC-A4G中，点Q为棱8c的中点.

(1)证明：&C//平面A3Q；

(2)求异面直线A为与AC所成的第的余弦值.

17.记VABC的内角4仇。所对的边分别为〃/，c,向量〃7=,®)，〃=(cosA,sinB),且〃z//方.

(1)求角A；

(2)若〃=26,点£为V/l8c的内心，求,8CE面积的最大值.

18.如图，正方形ABCD所在的平面与直角梯形CDEF所在的平面互相垂直，已知CD//EF，

题号12345678910

答案CADDBBCCBCACD

题号11

答案ACD

1.c

利用复数模的公式计算得解.

【详解】复数Z=l—所以国=正+(—J5)2=2.

故选：C

2.A

由抽样比计算即可得解.

【详解】由题可得分层随机抽样的抽样比为120:可=3:2,

2

所以抽取一个容量为15的样本，则女志愿者应抽取的人数是15x丁二=6.

3+2

故选：A

3.D

利用长方体中线面的关系，逐一确定各选项.

【详解】

A选项：令平面ABCD为平面，A4为直线〃？，用q为直线，

有：m"a,a,但相c〃=^,A错误；

B选项：令平面ABC。为平面夕，令平面与"CG为平面，

令平面为平面7,有：al/?,4_Ly,而aJ_夕，B错误；

C选项：令平面HBCD为平面，令平面AA3用为平面九GA为直线〃7,

有：〃2〃。，小〃夕，则。〃夕，而■夕，C错误；

D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.

故选：D

4.D

由题意可得5+*沙（。-〃）=。，再根据向量的运算律及“力=0求解即可.

【详解】解：因为〃所以叱〃=0，

又因为a+助与ad垂直，

所以（a+2〃）（a—方）=0,

即u~+（A—I）/?,a—A,b~=0,

W3-42=0,

3

解得

4

故选：D.

5.B

首先求得尸（八8），然后结合?（八c3）=尸（八）-尸（八B）即可求解.

【详解】由题意产（八8）=尸（八）+尸（8）一尸（八=8）=0.7+0.5-09=0.3,

所以p（Ac团=p（A）—p（AB）=0.7-0.3=0.4.

故选:B.

6.B

首先得N4C9=45，然后由正弦定理得8C=45&，解直角三角形即可求解.

【详解】因为乙必。=30,Z.ABC=105,所以乙4cB=45，

90_BC

又AB=90,所以由正弦定理有.妾:二=.即耳二〒，

sinZ.ACBsinN84c--彳

22

解得8c=45&，

因为在点处测得该建筑物顶部D的仰角为30”，

所以CD=45"^"=15瓜。

<3

故选：B.

7.C

利用古典概型求解P（A）=；1,P（AB）弋7=；1,利用全概率公式求P（8）=]1,利用。（A）,（第=夕（"）来

判断与相互独立，从而可得正确判断.

7I

【详解】由题意得：P（A）=:=；,设事件C=”第一次摸出球的标号是奇数”，

则P(8)=P(C)P(5|C)+P©P(B|0=mL

4D44

因为任取两球样本空间为：n={(L2).(J3),(1,4),(2,l),(23),(2,4；b(3,l),(3,2),(3,4),(4,l),(4.2).(4,3)},

31

此时d=l2,而八8={(1,3),(2,1),(2,3)},所以尸(A8)=F=J,

由于P(A)・P(8)=：x；=；=P(AB),所以与相互独立，故C正确；

443

由于A8能同时发生，所以与不是互斥事件，也不是对立事件，故ABD都错误；

故选:C.

8.C

作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，找到球心的位置，设OF=/7,连接OP,OC,利用半径相等得到方

程，求出人田，进而求出外接球¥径和表面积.

【详解】取AB的中点E，连接CE,PE，

因为底面ABC与侧面均是边长为2的止三角形，

所以CE_LAB，PELAB，

因为平面平面ABC,交线为A8，且PEu平面以8，

所以庄_1_平面八8已

在CE上取点/，使得b=2Eb,故尸为等边三角形ABC的中心，

该三棱锥外接球的球心0在平面ABC上的投影为厂，

其中〃E=C£=2sin6()o=G，EF=-CE=—,CF=-CE=—,

3333

设OF=h,连接OR。。，过点。作OG_LPE于点G,

则EG=OF=A,PG=6-h,OG=EF=—,

3

设OP=OC=R,则CT^+O/2=OG?+PG2=R2,

停卜用+限一4,解得“日,

即

=|,该三棱锥外接球的表面枳是471v20兀

—

故选：C

9.BC

对干A,由模的计算公式验算即可；对于B,由数量积的坐标运算验算即可；对于C,由投影向量的定义验

算即可；对于D,由向量夹角的余弦公式验算即可.

【详解】对于A,因为〃所以卜+力卜后=2,故A错误；

对于B,4〃=一2+()=-2，故B正确；

ab.-2,1_

对于C,8在〃上的投影向量为—丁a—a=­a

同42

ab-212JI

H=阡|=五6=-5,所以。与b的夹角为R.

故选：BC.

10.ACD

对于A,由复数除法、减法运算结合实部的概念即可得解；对于B,由复数的几何意义判断即可；对于C,

由待定系数法求得z2,由共规复数的概念即可判断；对于D,由复数的几何意义验算即可.

【详解】对于A,因为(4+2—i)(l-i)=l+i,

所以钎言一(27)=赢需-(2-9=927=-2+方,

所以4的实部是-2,故A正确；

对于B,4在复平面上对应的点(-2,2)位于第二象限，故B错误：

对于C,由题意设私=a+i，(awR)，

从而2,Z2=(-2+2i)(a+i)=-2^-2+(-2+2«)i,

因为ZV是实数，所以24-2=0,解得〃=1,

所以Z2=1+i的共规复数是l-i，故C正确；

对干D,设Z(x,)，)为复数对应的点，而Z,=l+i对应的点为马(1,1),

4(

因为复数满足|z-马1=1,所以J(l-l)2+(y-l)2=l,即(x_])2+(y_l)2=l,

所以可设x=1+cosa)，=1+sinaOwR,

所以|z|=拓+cos/9)"+(1+sin夕,=^3+2(sin0+cos

=j3+2V2sin6>+-<73+272=72+1等号成立当且仅当sin（，+：）=l,

\I4j

所以|z|的最大值是0+1，故D工确.

故选:ACD.

11.ACD

对于A,取BC中点G，连接ARAGGEER,可得平面ARE截该正方体所得的截面即为梯形AGER并求

出该梯形面积即可判断；对于B,设点。到平面八〃£的距离为d,则由％即可求解判断；对

于C,分别取AA，AR，R。四等分点"/J，且等=萼=*=3,可得平面4RE//平面班//G即可得点

厂的轨迹，进而得解；对于D,在平面AAGC内过七作EF1A£交AG于点尸，过此时的点尸作SR〃8a

分别交4G，GQ于S,R,求证AE_L平面SER即可得动点尸的轨迹并求出轨迹长度.

【详解】对于A,当4时，由题可知此时点£在棱CG中点上，

取BC中点G，连接AQAGGEER,则GE//8G，

因为/W//CQ且/W=CQ,所以四边形AAGR是平行四边形，所以8G//AR，

所以GE/A4Q,所以由GEJQ可唯一确定一个平面，

所以平面ARE截该正方体所得的截面即为梯形AGER,

因为AG=EA=142+22=24,AD\=2GE=4上，

所以平面AQ£截该正方体所得的截面梯形AGED.的面积为

对于B,当Z=g时，由题可知此时点E在棱CG中点上，设点。到平面4Q石的距离为d,

4s4x(-S-x4x4J

则由VDi=匕*叫即』S=3S9nd=—=下"------L=-,故B错误；

I1AAER-X4V2X3V2I

2

对于C,当即CE=gcG，分别取A4,，AA，QQ四等分点从/J,

44

且竽=务=黑=3，连接BG，BH,HI,g，HJ,则"//"/?,用”A%且M/=AA，

F<JIJ|

由人可知46〃4口，所以改3"〃，则由AG，/〃可唯一确定一个平面,

又8G在平面外，AQu平面ARE,所以BCJ/平面ARE，

由正方体性质可知8C//A9且8C=A口，所以HJHBC且HJ二BC,

所以四边形”/CB是平行四边形，所以BH//CJ,同理可得CJ〃石R,

所以BH//ER,因为8,在平面ARE外，ERu平面ARE,所以BH〃平面ARE,

因为区£^。7?=笈，笈〃u平面如//£,所以平面4RE//平面如7/q,

因为防//平面八RE,所以BrU平面8"£，

所以点尸的轨迹为所以点F的轨迹长度为JR尸+CQ；=白2+不=5,故C正确;

对于D,由正方体结构性质可知BR±平面AAG。，

因为A£u平面A4GC，所以

在平面AAGC内过E作EFlAE交4G于点F，

则此时NACE=NEG尸=90,NA£C=NE"G,所以-AEC与▲“G相似,

Arpr

所以左二三7nC/二¥，过此时的点尸作SR//用R分别交"CCQ于S.R,

CEC1F8

则SR1AE且粉镌即S”¥X4五_3五,

因为SRcE『二F,SR,EFu平面SER,所以AE_L平面SER,

因为即1AE，所以动点厂的轨迹为线段SR，所以动点厂的物迹长度为逑，故D正确.

4

故选：ACD

八77万

12.一万/一

33

由圆台的体枳公式即可求解.

【详解】如图所示，原题等价于求上下底面半径依次为1,2,高为|的圆台的体积,

A\D

62c

故所求为丫=：乂以兀（尸+22+以2）=3兀.

故答案为：事.

3

13.y/2.5

根据一组数据的平均数和方差公式以及性质即可求解.

【详解】数据4S，小。的平均数和方差均为1,

则（M7）+（STP+…+（丫107）_]

10

则数据y，%，，%的平均数为2x1-1=1，

数据y，%，…,y。的方差为2?=4，即（x-I+（%-1+…+d=4,

10

所以数据再，巧，，芭0，加力，…，加的平均数为1，

所以数据M，8，小。，凹，见，,X。的方差为

（司―1）+（x2—I）+...+（X]0—1）+（y-1）+（%一1）+…+（X（＞—1）_10x14-10x4_5

―20~2

故答案为：；

turIiiiniHIT〃

根据重心性质得到AGu,AB+^AC,进而AG=；AE+^A/,由共线定理得推论得到加+〃=3,并由余

3333

弦定理得到"=2屈，cosA=姮，表达出A6A/=’2,由基本不等式求出最小值.

13mn

mriiiu]iur

【详解】点G是VABC的重心，故AG=AB+WC,

33

又A4=〃?AE，AC=nAF所以AG=A尸，

33

乂及EG三点共线，故?+《=1,解得根+〃=3,

JJ

AB=6,BC=8,B=m，由余弦定理得

AC2=AB2+8c2-2AaBCcos3=36+64-2x6x8x'=52,

32

故AC=2g,

AB2+AC2-BC236+52-64_Vl3

由余弦定理得cosA=

2ABAC2x6x2713--|3-

因为AE="!~AB,AF=-AC,

rnn

1]]。

所以4£：・4/=—ABAC=——AR||AC|COSA=—

mnmn111mn

乂m+n=3,且加>0,〃>0,

9

由基本不等式得/n+n=3>2ylmn,解得〃〃ZW—>

4

所以=212x±=3.

mn93

故答案为：3,与

J

15.(l)〃=0.07,21.92

⑵24

（1）由各个矩形面积之和求得，然后结合平均数的计算公式求解即可；

（2）只需根据百分位数的定义求解第66百分位数即可.

【详解】（1）1±14x（0.005+0.04+0.0854-«+0.05）=1,

解得〃=0.07,

平均数1=12x4x0.005+16x4x0.04+20x4x0.085+24x4x0.07+28x4x0.05

=12x0.02+16x0.16+20x0.34+24x0.28+28x0.2

=21.92：

（2）依题意知所求时长为这组数据的第66百分位数，

因为4x(0.0054-0.04+0.085)=0.52<0.66,

4x(0.005+0.04+0.085+0.07)=0.8>0.66,

所以第66百分位数位于［22,26）内,

所以0.52+(y-22)x().07=0.66,

0.66-0.52

解得y+22=24,

0.07

所以至少需要参加24个小时的志愿活动方可获得本次“优秀志愿之星''的称号

16.（1）证明见解析

（1）连接A3交A用于亍，连接OE，求证OE//AC,即可由线面平行判定定理得证；

（2）先由（1）得为异面直线入片与AC所成的角或其补角，再在中，由余弦定理

cosCED=BE：器;沿河即可得解

2B}EDE

【详解】（1）证明：连接A3交A生于E，连接DE，

侧面ABB.A,为平行四边形，「.£为A8的中点.

又点。为BC的中点，，。七//4。，

又DEU平面ABQ,ACa平面,

•••4c//平面A4Q.

（2）由（1）得力石〃AC，-4EC为异面直线A《与AC所成的角或其补角.

在棱长均为2的正三棱柱ABC—A始G中，B\D=0B\E=；AB,=6,DE=；AC=g，

在净初中，由余弦定理得3々"=里^^=耘谓=-;

异面直线A片与AC所成的角的氽弦值为

4

17.(l)A=g

⑵万.

（I）由向量平行的坐标表示和正弦定理边化角得以必=抠即可求解;

（2）法一：先由内心定义得NE5C+NEC8=1NA8C+：NACB,进而求出/BEC,接着由余弦定理得

22

22

EB+EC+EBEC=\2,再由基本不等式求出EB•EC44结合面积公式SBCE=^EBEC-sinZBEC即可

11_i_2>bc

求解；法二：先由Sjx=#+"c）「结合SvA8c=/3iM求出得到Sc8c£=当前=2（/”（.+2万［接着在

VABC中由余弦定理结合基本不等式得bc<丝!立即可分析求解.

4

【详解】（1）由题意得asinB-\/5/>cosA=0,

由正弦定理得sin/lsinZ?-\/5sin3cos八=0,

因为6s（0,冗），所以sinBwO,所以sirtA-J5cosA=0,

所以la”=x/5，又Ae（。，兀），所以A=g

（2）解法一：由（1）知4=々，因为点£为VABC的内心,

*-

II17171

所以/EBC+/ECB=-ZABC+-ZACB=-(AABC+ZACB)=-兀——

33

由三角形内角和定理得/幽』-（/E8C+/EC8）专.

在工BCE中,由余弦定理得mECcos/跳:。又a=26,

所以EB2+EC2+EB-EC=\2,由基本不等式得EB2+EC2+EBECN3EBEC，

所以EB・EC44,当且仅当班=EC=2等号成立.

所以二BCE的面积S8CE=：EBEC・sin/8EC=2^EB,EC«*x4=G,

所以LBCE的面积的最大值为&；

解法二：设VABC的内切圆半径为，

所以VABC的面积Sgc=；（a+〃+c）r=：（2x/5+〃+c）r，

乙乙

ICW>bc

又5树=5心血=丁尻一所以”2（2"+）

因为点£为VA8C的内心,

。i13bc

所以S,8CE=耳

22仅6+〃+c)2仅+c+2@，

在VABC中，由余弦定理得/=/十°2—劝eosA,h2+c2-hc=12,

所以S+C)2-3〃C=12,即3〃C=S+C)2-12,由基本不等式得尻,工妇支，

4

解得〃+CK46,当且仅当〃=0=28等号成立.

03bc(Z?+c)~—12Z?+c-2\/3|/r—r—\/—

所以'BCE=2伍+c+2@=29+°+2@=-2—<-(4V3-2V3)=V3,

所以.BCE的面积的最大值为

18.(1)证明见解析

%

(1)依次求证/V)_L/罚和DEIDF得到DF/平面ADE即可曰面面垂直判定定理得证；

(2)先连接CE,过点作P01CE于点0,过0作。，1CF于点〃，连接。0,P〃，求证NPD6为直线。户与

P0

平面CDEF所成的角且tanZPDO=—=V2.

法一:设4|=当二=4,依次求出尸0=24和以/=20万—24/1+8即可求出4=］和「。，。”，接着依次求

BCEC3

证P01C”结合CF10H得到CF1平面P0H即可分析得到ZPH0为二面角P-CF-D的平面角且

PCpnpnnr2-urr2-m2

tan/PUOM.ul即可得解；法二：设〒二行二九，由余弦定理cos/QEC=，"又求出

OHBCECIDECE

2

/二§,再同法一即可求解.

8+20-48+20万-282

nLnP2x272x275=2x272x2^52*解得，=

【详解】(1)四边形ABCD为正方形，.•.ADICO,

乂平面ABCD1平面CDEF,平面ABCD1平面CDEF=CD,ADu平面ABCD,

.•.AD_L平面CDEF,

又DFU平面CDE尸,ADIDF.

取配中点G,连接。G,由已知得DG=fT=2,DG_L£G,

/.DE=DF=2V2,又EF=4,；,DE?4-DF2=EF2，,DE_LDF,

又AZ)U平面ADE,DEu平面ADE,ADcDE=D,：,DF1平面AQE.

又DFu平面产。凡.・平面PDF1平面ADE-

(2)连接CE,过点作P01CE于点0,过0作OH1CF于点〃,连接。。,夕”.

由(1)得AD_L平面ABCD,又八。//8。,，%_1平面。。疔，

又CEu平面CDEF,:.BC1CE、：.PO//8C二POJ_平面CDEF,

:"PDO为直.线DP与平面CDEF所成的角.二.lan/PQO=签=6.

PCFC

解法一：设浣=窘=4,则有PO=%BC=22,DO=(l—/l)OE+/lZ)C,贝ij

DO2=(l-/l)2DE2+/l2DC2+2Z(l-/l)DE-DC=«(>-^)2+422-82(l-/l)=2OA2-242+8,

2

tun2^PDO==2,解得义=§

DO22022-24^+8

2414

PO=-BC=-,OH=-EF=~,

3333

・・・尸。1平面CQEEC尸u平面CDEF,

:.POA.CF,

又CF_L。〃,P。u平面PO",Obu平面POH,POcOH=O,

.•.。/1平面尸0月.

又PHu平面POHCCF1PH,.PHO为二面角P-CF-D的平面角.

PO7

二.tan/P”O=--=1,.•.二面角P-CF-D的大小为7

OH4

解法二：设丝=空=/1,则有PO=/13C=24OO=华=JLl,

BCEC

又CE=®+C尸=2芯,/.EO=ZEC=2x/52•

由余弦定理得cos/DEC=二+C-=吟*

2DECE2DEEO

8+20-4_8+20公_2万2

即2x2加x2百-2x2无x2&'解得'=

24I4

:.PO=-BC=-,OH=—EF=-,

3333

•;P0_L平面CDEF,CFu平面CDEF,;.PO1CF,

又C/_LO”,P。u平面POH,OH匚平面POH,POcOH=O,

.•.61平面夕。”.

又PHU平面为二面角尸—CF—O的平面角.

P0_?rr

.•皿11