高一升高二数学暑假讲义（必修二）总体离散程度的估计（解析版）

9.2.4总体离散程度的估计

导学案

【学习目标】

1.会用样本的极差、方差与标准差估计总体.

2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）

3.理解离散程度参数的统计含义

【自主学习】

知识点1方差、标准差的定义

一组数据修，X2,…，心，用X表示这组数据的平均数,

则这组数据的方差为二-（32一9）,

〃山

标准差为5==,

Vni=\

知识点2总体方差、总体标准差的定义

如果总体中所有个体的变量值分别为H,力,…，打,总体平均数为歹，则称窿=（匕-耳

Ni=i

为总体方差，S=早为总体标准差.

如果总体的N个变量值中，不同的值共有©AWN）个，记为力，…，Yk,其中匕出现的

k_2

频数为/（i=l,2,…，狂则总体方差为下）.

N,=1

知识点3样本方差、样本标准差的定义

如果一个样本中个体的变量值分别为y，/，…，力，样本平均数为歹，

则称

nf=l

为样本方差，S=$2为样本标准差.

知识点4方差、标准差特征

标准差、方差刻画了数据口勺离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大：标准

差越小，数据的离散程度越小.在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解

决实际问题中，一般多采用标准差.

【合作探究】

探究一标准差与方差的应用

【例1】甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量,

数据为：

甲：9910098100100103

乙：9910010299100100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

7

【答案】⑴X甲=10(),X乙=100r=；,$1=1.

(2)乙机床加工零件的质量更稳定.

【解析】⑴*甲=1(99+100+98+100+100+103)=100,

6

%乙=：(99+100+102+99+100+100)=100.

s%=1[(99—100)2+(100—10o)2+(98_]00)2+(l00-100)2+(l00-1OO)2+(IO3-100)2]

6

=7

-3,

si=1[(99-100)24-(100-100)2+(102-100)2+(99-100)24-(100-100)24-(100-100)2]

6

=1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又只＞爰，所以乙机床加工零件的质量更

稳定.

归纳总结：在实际问题中：仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据

相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越

大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高

【答案】能，估计为51.4862

【解析】引入记号，把男生样本记为王,与，…，々3,其口均数记为亍，方差记为S：;把女

生样本记为必，为，…,87,其平均数记为J7,方差记为《；把总样本数据的平均数记为彳，

方差记为一.

〜27°

根据方差的定义，总样本方差为S，为了与工,J联系,

变形为『=瓢（七一三十工一彳『+Z（匕一歹+歹一三）~,计算后可得

7=1

£2（X,.-X）（X-Z）=0.2>（力一力（歹一可=0.这样变形后可计算出$2.这也就是估

/=i>1

计值.

归纳总结：（1）标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差.

（2）计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整体代换.

【练习2］在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛

选手打分.在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7,观众

代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8,试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和

标准差.

【答窠】严均数为52.68分，标准差为10.37.

【解析】把专业人士打分样本记为不，也，…，却其平均数记为*,方差记为或：把观

众代表打分样本记为凹，及，…，y⑵其平均数为j’，方差记为耳；把总体数据的平均数

记为z,方差记为

则总样本平均数为：Z=3、47.4+!公56.2=52.68(分)，

2020

总样本方差为:/=1(£&・一力+Z(F厂/))

=：{8以+(X-Z卉+12回+(y-Z)2]}

=；{8[37+(47.4—52.68)2]+12[11.82+(56.2—52.68)2]}=107.6,

总样本标准差s=10.37.

所以计算这名选手得分的平均数为52.68分，标准差为10.37.

课后作业

A组基础题

一、选择题

1.下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是()

A.平均数B.中位数

C.方差D.众数

【答案】C[由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度.]

2.对一组样本数据…，〃)，如将它们改为即一〃?(/.=1,2,…，〃)，其中加W0,则

下面结论正确的是()

A.平均数与方差都不变

B.平均数与方差都变了

C.平均数不变，方差变了

D.平均数变了，方差不变

【答案】D[若Xl,X2,...»心的平均数为X,方差为$2,则4X1+6,UX2-\-b,...»+

伙WO)的平均数为aX+4方差为标一,标准差为a2s2,则正确答案应为D.]

3.样本中共有5个个体，其值分别为。0,123.若该样本的平均数为1,则样本的标准差为

()

A.6B.6C.2D.2

55

【答案】D一.样本《0,1,2,3的平均数为1"・"+6=1,解得。=—1.则样本的方差

55

1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2,故标准差为2.故选D.]

4.高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x,乂105/09』10已知

该同学五次数学成绩数据的平均数为108,方差为35.2,则仅一｝|的值为()

A.15B.16

C.17D.18

【答案】D[由题意得，'+》+1°5；109+110=108,①

(x-108)2+0—108尸+9+1+4=352②

5,

x=99[x=117

由①@解得''或，'所以仅一川=18.故选D.]

b'=117,ly=99,

5.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：

班级人数平均分数方差

甲

20x甲2

乙30x乙3

其中:甲=£乙，则两个班数学成绩的方差为()

A.3B.2

C.2.6D.2.5

【答案】c[由题意可知两个班的数学成绩平均数为甲=F乙，则两个班数学成绩的

方差为

20——30——

$2=wx[2+（x甲-x）2]+°x[3+（x乙-x）2]

20+301）20+301

20-3（）、r/】

x2+X3=2.6.]

20+3020+30

二、填空题

6.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示:

甲乙丙T

平均数x8.58.78.88.0

方差.一3.53.52.18.7

则参加奥运公的最佳人选应为

【答案】丙［因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙.］

7.五个数1,2,3,4,。的平均数是3,则。=,这五个数的标准差是

《快曲、＜cr*l+2+3+4+a

【答案】52［由§=3得。=5；

由(=；［(1-3)2+(2—3)2+(3—3)2+(4-3)2+(5—3尸］=2得，标准差s=2.］

8.为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，己知所抽取的所有员

工的平均体重为60kg,标准差为6(),男员工的平均体重为70kg,标准差为50,女员工的

平均体重为50kg,标准差为60,若样本中有20名男员工，则女员工的人数为.

【答案】200［设男、女员工的权重分别为3另，3%,

由题意可知$2=3孱+(X另一X)2]+皿孱+(X女-X)2],即

3[502+(70—60)2]+(1—①弓)[6。2+(50—60)2]=602,解得3二＞①女=；；，

因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为200.］

三、解答题

9.甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm?),试根据这组

数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.

品种第1年第2年第3年第4年第5年

甲9.89.910.11010.2

乙9.410.310.89.79.8

【答案】甲品种的样本平均数为4(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10,样本方差为[(9.8

5

-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10—10)2+(10.2—10)2]-5=0.02.

乙品种的样本平均数为;x(9.4+10.3+10.8+9.7+93)=10,样本方差为

[(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10y+(9.7-10)2+(9.8—10)2]+5=0.244.

因为0.244A0.02,所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.

10.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差

是2,高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师

年龄的平均数和方差.

【答案】由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为X=3x58+5x40+2x38=45,

3+5+2

年龄的方差为只=[3x(58-45)2+5x(40-45)2+2x(38—45声=73,

。IJI4

所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为

x=50乂38+1°x45x39.2(岁)，

50+1050+10

该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是

V=50*[2+(38-39.2月+50：0[73+(45-39.2)2]=20.64.

11.从某企业生•产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结

果得到如下频数分布表：

质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

频数62638228

(1)在图中作出这些数据的频率分布直方图;

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的

产品至少要占全部产品的80%”的规定？

解(1)频率分布直方图如图：

⑵质量指标值的样本平均数为80X0.06+90X0.26+100X0.38+110X0.22+120X0.08=

100.

质量指标值的样本方差为

(一20)2X0.06+(-10)2><0.26+()X0.38+102x0.22+202X0.08=104.

所以这种产品质量指标值为平均数的估计值为100,方差的估计值为104.

(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.

由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产

品至少要占全部产品的80%”的规定.

B组能力提升

一、选择题

1.某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表:

次品数01234

频率0.50.20.050.20.05

则次品数的平均数为（）

A.1.1B.3C.1.5D.2

【答案】A

解析设数据Xi出现的频率为“«=1,2,…，〃），则Xi,X2,…，X〃的平均数为X1P1—X绸2

+…+x"P”=OX0.5+lX0.2+2X0.05+3X0.2+4X0.05=l.l,故选A.

2.样本。,3,5,7的平均数是从且〃b是方程N-5x+4=0的两根，则这个样本的方差是

（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

解析炉―5》+4=0的两根是1,4.

当〃=1时，。,3,5,7的平均数是4；

当。=4时，a,3,5,7的平均数不是1.

：.a=\t6=4,则方差$2=4［（］-4）2+（3-4产+（5一守+（7-4）刁=5.

4

3.高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩（单位：分）为：x,y105,109/10已知

该同学五次数学成绩数据的平均数为108,方差为35.2,则卜一夕|的值为（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】D

叶叶105+|。9+U0=108,①

解析由题意得,

。一108）2+0—108）2+9+1+4=352②

5i—

由①②解得x=99,歹=117,所以,一»|=18.故选D.

4.（多选题）若样本1+孙1+以1+刈，…,1+上的平均数是10,方差为2,则对于样本2+

XI.2+%2，…，2+即”下列结论正确的是（）

A.平均数是10B.平均数是11

C.方差为2D.方差为3

【答案】BC[若Xi,X2,…，X”的平均数为X,方差为S,那么Xl+a,X2+。，…，X”

的平均数为二+〃，方差为S,故选RC.]

5.（多选题）某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生

在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为x=3小时，

方差为？=2.003,其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为xi=2.6,

=3.2,又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为©=1,d=2,d=3,则高三学生

每天读书时间的平均数可能是（）

A.3.2B.3.3

C.2.7D.4.5

【答案】BC[由题意可得2.003=800[1+（3-2.6）2]+600[2+（3—3.2月+600[3+（3

200020002000

・x3）2],

解得了3=3.3或2.7J

二、填空题

6.由正整数组成的一组数据内，X2,A-3,X4,其平均数刃中位数都是2,且标准差等于1,

则这组数据为（从小到大排列）.

【答案】1,1,3,3[不妨设》国2力3夕4且XI,X2,X3,X4为正整数.

Xl+X2+X3+X4_c

-Z

4

由条件知

M+X3=2,

2

IIXI+X2++X4=8,

即，又XI,X2,X3,X4为正整数,

4+4=4,

•.Xi=X2=xa=xi=2或Xi=1.x?=xa=2.MI=3或ii=X2=1.xa=X4=3.

•：S=1[(Xl-2)2+(X2-2)2+(X3-2)2+(X4-2)2]=l,

4

：.X\=X2=1,X3=X4=3.由此可得4个数分别为1,1,33]

7.已知一组数据xi,X2,…，xio的方差是2,且(xi—3)2+(力-3)2~1--1(XK>—3)2=380,则

这组数据的平均数X=.

答案一3或9

解析,・'数据Xl,X2,…，XI0的方差为2,

工；0Kxi—X)2+(X2—XF+…+(XIO—X)4=2,

即(xi—x)24-(x2—x>+…+(x〕o—x)2=20.

又••,(XL3)2+(X2—------F(xio—3)2=380,

A90-10x2+Qx-6)X10x=360,

.・.x2-6x-27=0,

解得x=-3或x=9.

8.已知某位同学五次数学考试成绩分别为121,127,123,a,125.若其平均成绩是124,则这组

数据的方差为.

答案4

解析由平均成绩是124,可以求得。=124,然后由方差公式得方差为｝[(121—124)2+(127

―124>+(123—124)2+(124—12守+(125—124>]=4.

三、解答题

9.我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进

行了调查.通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量(单位：吨).将数据按照付。5),

[0.5』)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中。的值；

(2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组

的方差都为0.3,后5组的方差都为().4,求这100户居民月均用水量的方差.

【答案】(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08x0.5=0.04,

同理，在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]内的频率分别为

0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.

由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+().06+0.04+0.02)=2ax0.5,«聿得。=0.3().

(2)由题意可知，这9组月均用水量的平均数依次是xi=0.25,x2=0.75,x3=1.25,

xv

x4=1.75,*5=2.25,x6=2.75,37=3.25,8=3.75,-9=4.25,

这100户居民的月均用水量为x=0.04x0.25+0.08x0.75+0.15x1.25+0.2”1.75+

().25x2.25+().15x2.754-().06x3.25+0.04x3.75+0.02x4.25=2.03,

则这100户居民月均用水量的方差为

52=0.04x[03+(0.25—2.03)2]+0.08x[0.3+(0.75—2.03)2]+0.15x[0.3+(1.25-2.O3)2]+

0.21x[0.34-(1.75-2.03)2]+0.25x[0.4+(2.25-2.03)2]+0.15x[0.4+(2.75-2.03)2]+0.06x[0.4

+(3.25-2.03)2]+0.04x[0.4+(3.75-2.03)2]+0.02x[0.4-|-(4.25-2,03)2]=1.1136.

10.为提倡节能减排，同时减轻居民负担，某市积极推进“一户一表”工程.非一户一表用

户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度.“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，

其11月到次年4月起执行非夏季标准如下:

第一档第二档第三档

每户每月用电量（单位：度）[0,200](200,40()](400,+8)

电价（单位：元/度）0.610.660.91

例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标掂，应交电找410X0.65=266.5（元）,

若采用阶梯电价收费标准，应交电费200X0.61+（400-200）X0.66+（410-400）X0.91=

263.1（元）.

为调杳阶梯电价是否能起到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户居民的

11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月

用电量（单位：度）为88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.

组别月用电量频数统计频数频率

[0,100]T

②(100,200]正正一

③(200,300]正正正正丁

④(300,400]正正正正正T

⑤(400,500]正正正正iF

⑥(500,600]F

合计

（1）完成频率分布表，并绘制频率分布直方图;

频率/组距

0.003

0.002

0.001

0.0004

0.0002

0100200300400500600用电垃(度)

(2)根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作

代表)；

(3)设某用户11月用电量为x度(x£N),按照合表电价收费标准应交y元，按照阶梯电

价收费标准应交心元，请用x表示y和门，并求当先或〃时，x的最大值，同时根据频率分

布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？

【答案】(1)频率分布表如下:

组别月用电量频数统计频数频率

①[0,100]iF40.04

②(100,200]正正T120.12

③(200,300]正正正正F240.24

④(300,400]正正正正正正300.30

⑤(400,500]正正正正正一260.26

©(500,60()]iF40.04

合计