高一预习：单调性与最大（小）值（学生版）-初升高数学暑假专项提升（人教版）

3.2.1单调性与最大（小）值

【知识梳理】

知识点一增函数与减函数的定义

一般地，设函数7U）的定义域为/,区间OG/：

（1）如果Vxi，X2^D,当时，都有/I）矶X2），那么就称函数火式）在区间。上单调递增，特别地,当函

数J（x）在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数.

（2）如果VX］,X2WD,当X|VX2时，都有/3巨儿⑵，那么就称函数段）在区间。上单调递减,特别地,当函

数JU）在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数.

知识点二函数的单调区间

如果函数y=/（x）在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数j，=/（x）在这一区间具有（严格的）单调性，

区间。叫做y=Ax）的单调区间.

特别提醒：（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点

若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.

（2）单调区间QG定义域/.

（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大.

知识点三函数的最大（小）值及其几何意义

最值条件几何意义

①对于VxWj,都有危）WM,②三刈日，

最大值函数y=/（x）图象上最高点的纵坐标

使得J（xo）=M

①对于都有②三丫（）£/,

最小值函数y=/U）图象上最低点的纵坐标

使得儿•（））=〃

知识点四求函数最值的常用方法

1.图象法：作出y=/（x）的图象，观察最高点与最低点，最高（低）点的纵坐标即为函数的最大（小）值.

2.运用已学函数的值域.

3.运用函数的单调性：

（1）若y=/U）在区间口，句上是增函数，则jWx=/S），ymin=fia）.

（2）若J=y（X）在区间［a,b］上是减函数,则ymax='/（a），1ymin=/（b）.

4.分段函数的最大（小）值是指各段上的最大（小）值中最大（小）的那个.

【基础自测】

1.函数y=x-l在［1,2］上的最大值为()

x

3

A.0B.C.2D.3

2

2.定义在R上的函数/(》)，对任意不，X2£R(MWX2),有"⑼一危D<o,则()

X2~X\

A./(3)<A2)<ADB./(1)<A2)<A3)

C./(2)勺⑴勺(3)D./(3)勺⑴勺(2)

3.已知道x)是定义在区间［—1,1］上的增函数，且人工一2)勺(1一刈，则x的取值范围是

4.已知函数/(x)='"'则/(X)的单调递减区间是________.

5-x,x<I,

5.函数/(x)=aF+(a—3)x+l在(-1,+8)上单调递减，则实数。的取值范围是

【例题详解】

一、定义法判断或证明函数的单调性

9

例I(1)根据定义证明函数/(x)=x+—在区间［3,+8)上单调递姆.

X

⑵已知函数/(%)=登(。为常数且。学0),试判断函数/(X)在(-1,1)上的单调性.

x—1

跟踪训练1⑴已知函数/(力=仃」，且〃_2)=-；.

X/

(i)求函数“X)的解析式;

(ii)判断函数在区间(0,+R)上的单调性并用定义法加以证明.

(2)判断并证明/(x)=Wy在(。,+8)的单调性.

二、求函数的单调区间

例2(1)函数/(x)=，的单调递减区间是()

x

A.(-00,0),(0,+8)B.(0,4-00)c.(-8,0)U((),+8)D.(-00,0)

(2)函数/(x)=-|x-2|的单调递演区间为()

A.(-8,2]B.[2,+8)C.[0,2]D.[0,+8)

跟踪训练2(1)函数y=|x2—3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性.

(2)函数/(同=--6国+8的单调减区间是

三、单调性的应用

命题点1已知单调区间求参数

例3(1)函数/(*)="在区间(-2,+动上单调递增，则实数。的取值范围是()

人"•4

X2,x>\,

跟踪训练4(1)已知函数/a)=L_q若/w是R上的增函数，则实数。的取值范围为

I2jx—1,xWl.

,.ax-\,x<\八

(2)已知函数/X=《2JJ满足/W，X2GRE..%H-,有八2’>。，则文数〃的I［又值范围是

X"-2ax,x>1X)-x2

.(用集合或区间表示)

命题点3根据函数的单调性解不等式

例5(1)已知函数/(x)=J'若人4一°)次〃)，则实数。的取值范围是()

4x—x2,x<0,

A.(一8,2)B.(2,+oo)

C.(一8,-2)D.(-2,+8)

⑵已知y=/(x)在定义域(Ti)上是减函数，且，则。的取值范围为()

A.(0,1)B.(-2,1)C.(0,V2)D.(0,2)

(3)已知/(x)=/+3+i,若/(2吁l)v/(3),则实数〃?的取值范围是()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-2,2)

跟踪训练5⑴已知“X)是定义在［0,+司单调递减函数，若则实数。的取值范围是

(2)已知函数y=/(x)是定义在R上的增函数，且/(3+2«)</(2),那么实数。的取值范围为

(3)已知定义在［1川上的函数/")是减函数，则满足不等式/0-2u)-/(3-a)>0的实数。的取值范围为.

四、图像法求函数的最值

X2,一04，

例6⑴已知函数.危）=1..求/⑴的最大值、最小值.

91・

/、2x+\,x<()

(2)求函数/(x)={2_4in<［在一l<x«4的最值.

X9X+1，U&X£J

⑶已知函数/（x）=M（x+i）.完成下面两个问题;

（i）画出函数/（X）的图象，并写出其单调增区间:

（ii）求函数〃力在区间-1,1上的最大值.

（4）已知函数〃x）=x+£，（。＞0）的图象如图所示，请回答:

y

(i)当。=1,xt(O,E)时，求此函数/(x)的值域;

(ii)当。=2,xe[L3]时，求此函数/(x)的值域.

跟踪训练6画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值:

(1)/(X)--A-2-1；

2

(2)f(x)=x-2x-\t

(3)/(x)=x|x|；

(4)/(x)=-2«；

-v-2,

(5)fM=

x<()

+2x—1,xe[0,+oo)

(6)/U)=

—x*+2x—1,xc(_g,0)

五、利用函数的单调性求最值

例7(1)函数y=V^7-j2x+4的值域为

⑵已知/(力=一1,xe[2,6],求函数/(x)的最大值和最小值.

X—1

⑶求/(x)=x+序T的最小值.

（4）已知函数J［x}=,x£[3,5].

x+2

（i）判断函数大外的单调性并证明:

（ii）求函数道式）的最大值和最小值.

跟踪训练7已知函数f（x）='±，且/⑴=2

X

⑴求实数。的值；

⑵判断函数/（外在［1,+8）上的单调性，并用定义证明;

⑶求函数/（X）在［1,3）上的值域.

【课堂巩固】

1.函数—2x+2在区间［-2.3］上的最大值、最小值分别是（）

A.10,5B.10,1

C.5,1D.以上都不对

2.若函数），="+1在［1,2］上的最大值与最小值的差为2,则实数。的值是（）

A.2B,-2C.2或一2D.（）

3.已知函数/（x）对E卬x2e（^o,+oo）,都有"西卜/⑴<Q,且/（2-2〃。>/（1+，〃），则实数”的取

X1~X2

值范围是（）

A•（同B.C.D.1用

（a-3）x+5,x<,1

4.已知函数/（x）=42a,，若对火上的任意实数与々（x产/），恒有（》2-玉）[/（内）-/*2）]>。

--,X>I

X

成立，那么。的取值范围是（）

A.（0,3）B.（0,3]C.（0,2）D.（0,2]

5.设函数/（幻=々在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为“，机则〃+小=（）

x-2

A.4B.6C.10D.24

6.函数），=1的单调递减区间是_______.

X—1

7."a=l"是"函数/（x）=k-a|在区间口,+8）上为严格增函数〃的条件.（填“充分非必要〃、“必要非充

分"、"充分必要"、"既不充分也不必要”）

4

8.已知xw[-3,-1],则函数y=x+-+2的最大值为,最小值为.

X

9.当0WxW2时，。〈一f+2x恒成立，则实数。的取值范围是.

10.（1）若函数/（X）=/+2（CL1）X+2的单调递减区间是（-8,4],则实数。的取值范围是.

（2）若函数/（工）=/+2包-1）"2在区间（YO,4]上单调递减，则实数。的取值范围是

11.检验下列函数的增减性，并说明是否有最大（小）值.如果有，指出最大（小）值和对应的最大（小）

值点.

2

（l）/（x）=--（.rG（-co,0））；

⑵小）=3-和4-6,1］）；

（3）/（x）=丁-6x+7卜£［-2,4］）；

⑷小卜・陞卜同），

12.已知函数/（》）二中-4|

⑴把/（•»）写成分段函数：并在直角坐标系内画出函数/（x）大致图像；

⑵写出函数/（x）的递减区间.

13.已知函数/（工）=:/+三，求函数〃x）在区间13,7］上的最值.

2x—1

4

14.已知/（x）=x+-.

X

（1）证明：/（X）在（2,+8）单调递增:

⑵解不等式：/，-2x+4）K/（7）.

【课时作业】

1.“函数/（工）=/-3蛆+18在区间。3）上不单调〃是“0<〃?<2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知y=/+2(a-2)x+4在[4,+oo)上为增函数，则()

A.a>-2B.a=-2C.a>-6D.a=-()

3.若对于任意的x>0,不等式立口巴2〃恒成立，则实数〃的取值范围为()

x

A.[5,+司B.(5,+-X)C.(f,5]D.(-8,5)

4.已知函数/。)=3-2卜|名&)=/_2工/(幻=匕：,则()

[f(x)g(x)>f(x)

A.尸(x)的最大值为3,最小值为1

B.尸5)的最大值为2-2近，无最小值

C.Rx)的最大值为7-2/，无最小值

D."(x)的最大值为3,最小值为-1

--------¥W-1

5.已知g(x)=x-r"是(-吟”)上的增函数，那么。的取值范围是()

(3-3«)x+l,x>-1

A.—,11B.(0,1)C.G,-D.(1,+oc)

x2-2av+2,x<1

6.己知函数/")二•9、.的最小值为/(l),则。的取值范围是(

xd-----3a,x>I

x

A.[1,3]B.[3,-HX))C.(0,3]D.(-co,l]u[3,+oo)

7.函数f(x)=|x-l|+|x-2|的单调递增区间是()

A.[I,4-oo)B.(-co,I]C.[L2]D.[2,+co)

X~r<0

8已知函数/⑴=*40,若对任意的—,尸)，不等式小+，)<”⑴恒成立，则实数'的取值

范围是（）

A.（0,1）B.[0,1]

n「生皿

9.（多选）若二次函数/"）=/+（2-4口+1在区间［-1,2］上是增函数，则〃可以是（）

A.-1B.0C.1D.2

10.（多选）下列函数中,在（-8,0）上为增函数的是（）

1「x2x

A.y=|x|+lB.D.

Xuf尸"面

ax-\,x<a

11（多选）设函数小）=--2办+2,当〃x）为增函数时,实数〃的值可能是（）

A.2B.-1c・ID.1

/、［x+2,x<1

12.（多选）已知函数，关于函数/（》）=<2:1，凡丫）的结论正确的是（）

I—x+3^x>1

A.的最大值为3B.I/（0）=2

C.若/仁）=一1,则x=2D.危）在定义域上是减函数

】3.已知/（、）=m二户上的减函数，则实