高三数学一轮复习讲义（基础版）空间直线平面的垂直

§7.5空间直线、平面的垂直

【课标要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系2掌握直线与平面、平面与平

面垂直的判定与性质，并会简单应用.

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

一般地，如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线/与平面a互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一条直线与一个平面

判\

定内的________________垂

定,=/_La

理直，那么该直线与此平面7

垂直

____/

性a

质垂直于同一个平面的两条

定一;■=»a//h

理直线平行匚Z7

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条

直线垂直于平面，我们说它们所成的角是;一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们

所成的角是.

(2)范同：.

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角；如图，在二面角〃一/一夕的棱/上任取一点O,以点。为垂足，在半平面。和夕

内分别作____________的射线0A和0B,则射线0A和OB

%

(3)二面角的范围：____________.

4.平面与平面垂直

(1)平而与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

（2）判定定理与性质定理

\文字语言图形表示符号表示

判

定如果一个平面过另一个平面

定.=(,.邛

理的________,那么这两个平面垂直/夕/

性两个平面垂直，如果一个平面内有一直

质

定线垂直于这两个平面的________,那么

理

这条直线与另一个平面垂直'Uy

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“4”或“义”）

⑴若直线/与平面«内的两条直线都垂直，则/_La.（）

(2)若直线。_La,bLa,则a//〃.()

（3）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.（）

（4）若。_1_夕，a邛,则〃〃心（）

2.（2024.惠州模拟）已知/,〃是两条不同的直线，夕是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是（）

A.若a〃氏lua,tiu0,则/〃〃

B.若a上仇lua,则LL£

C.若）〃a,a邛,则LL/?

D.若LLa,l//p,则

3.（多选）如图，PA是圆柱的母线，A8是圆柱的底面直径，。是圆柱底面圆周上的任意一点（不与A,8重

合），则下列说法正确的是（）

A.PA_L平面A8C

B.BC_L平面PAC

C.AC_L平面PBC

D.三棱锥P—A8C的四个面都是直角三角形

4.在长方体中，AO=A4=1,AB=2,点E在棱AB上，若直线与平面A8CO所成

的角为，则AE=.

1.灵活应用两个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的仟何一条直线(证明线线垂直的一个重.要方法).

2.掌握三种垂直关系的转化

判定定理判定定理、

线线垂直,性质'线面垂直性质定理面面垂直

题型一直线与平面垂直的判定与性质

例1(2024•昆明模拟)如图，已知四边形48co为矩形，48=4,AD=2f石为OC的中点，将△AOE

沿AE进行翻折，使点。与点尸亘合，且出=26.

(1)证明：PALBE；

(2)求四棱锥P—AACE的体积.

思维升华证明线面垂直的常用方法及关键

⑴证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性3〃b,ala=>bla)；③面面平

行的性质(〃_La,a〃B=a1B)；④面面垂直的性质.

(2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.

跟踪训练1如图所示，在四棱锥P—A8C。中，尸A_L底面ABC。，ABLAD,ACLCD,ZABC=

60°,PA=AB=BC,E是尸C的中点,证明:

Bi,C,

4,

B

题型三垂直关系的应用

例3（多选）把边长为a的正方形A8CO沿对角线AC折起，使二面角8—4。一。为直二面角，则下列

结论正确的是（）

A.AC工BD

B.AB1CZ）

C.直线3。与平面ABC所成角的大小为：

D.二面角A-BD-C的余弦值为一1

cos0=cosa・cosa的应用

已知A。是平面6（的斜线，如图，八是斜足，OBta,A是垂足，则直线AB是斜线A。在平面a内的射影，

设4c是a内的任一过点4的直线，且BCLAC，。为垂足，又设A。与直线A8所成的角为a，A4与AC

所成的角是分，A0与AC所成的角为0,则cos0=cos〃「cos〃2.

典例已知PA是平面a的斜线，N84C在平面a内，且N84C=90。，又/PAB=ZPAC=60°,则PA与

平面a所成的角为.

思维升华（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

（2）求线面角的关键是找到平面的垂线，有了垂线即可有射影，斜线与它在平面内的射影所成的角即为线面

角.

（3）求二面角的关键是找其平面角，要注意二面角的范围是[0,71].

跟踪训练3（多选）（2024•漳州模拟）如图，三棱锥O-ABC中，OA=OC=OB=\,OAJ_平面O8C,Z

80c=60。，则下列结论正确的是（）

/

A.直线48与平面08c所成的角为45。

B.直线AB与平面OAC所成的角的正弦值为当

4

C.OC_LA8

D.二面角O-BC-A的正切值为竽

«5

答案精析

落实主干知识

1.(2)两条相交直线mua〃uamC\n=P/_!_〃?/_L〃aLa

bA_a

2.⑴射影90°0°⑵[O,1

3.(1)两个半平面(2)垂直于棱/(3)[0,n]

4.(2)垂线auaaL/i

交线aS-PaC\B=aILa曰

自主诊断

1.(1)X(2)7(3)X(4)X

2.D|由/，〃是两条不同的直线，a，夕是不重合的两个平面知，

在A中，若a〃夕，lua,nu。,

则/与〃平行或异面，故A错误；

在B中，若。_1_夕，/ua,贝IJ/与夕相交、平行或/u”，故B错误；

在C中，若/〃a,a*,则/与外相交、平行或仁外，故C错误；

在D中，若/J_a,/〃夕，则a邛,故D正确」

3.ABD[因为PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A,8重

合),则J_平面ABC，故A正碓；

而BCu平面ABC,贝ljPA1BC,

又AC1BC,PAC\AC=A,PA,ACu平面PAC,贝lj8CJ_平面P.\C,

故B正确；

由A知，丛PAB,ZXPAC都是直角三角形，

由B知，△ABC,△P8C都是直角三角形，故D正确；

假设4C_L平面P8C,因为PCu平面PBC,

则AC.LPC,即NCCA=900,

而在△PAC中NB4C=9()。，矛盾，故C错误.]

4.V2

解析根据长方体性质知。。_1_平面A8CO,故NOE。为直线。石与平面A8CO所成的角

所以NDEDi=g

则lan/OED产吗=在，

DE3

可得D£=V3,

所以在RtAAED中，

AE=\/DE2-AD2

=y/2<AB=2,符合题设.

探究核心题型

例1⑴证明由题知

AE=BE=2y12,

所以,482=4/+8炉，

所以AABE为直角三角形，

BE1AE,因为PE=DE=2,

BE=2\[2,PB=2班,

所以PB2=PE2+BE2,

所以△P8E为直角三角形，

BELPE,

因为AEQPE=E,AE,

PEu平面PAE,

所以BEJ_平面PAE,

因为PAu平面PAE,

所以PA上BE.

⑵解如图，取AE的中点。，连接P。，

1

AB

因为PA=PE=2,。为AE的中点，

所以P0J_4E,且P0=y[2,

又由⑴知8£?_1_平面PAE,且POu平面PAE,

所以BEJ_PO,

又AEC\BE=E,AE,8Eu平面ABCE,所以QO_L平面ABCE,

所以，四梭键p-A"C£=；SraiijgABCE-PO—^XX(2+4)X2Xyf2=2y/2.

JJ/

跟踪训练1证明⑴在四棱锥尸一43CD中，

•・・P4J_底面A8CD,

COu平面48CD,

：.PALCD,

VAC1CD,PAC\AC=A,PA,ACu平面PAC,

，CO_L平面PAC,

而A£u平面PAC,

：.CDLAE.

(2)由PA=AB=BC,

ZABC=60°,

可得4C=PA.

IE是PC的中点,：.AE±PC.

由(1)知AE_LCO,且PC(~]CD=C,PC,CDu平面PCD,

平面PCD,

而P/)u平面PCD,

：.AELPD.

•・・PAJ_底面ABCD,

ABu平面ABCD,

J.PALAB.

又且PAf!AO=A,PA,AOu平面PAD,

・"8"L平面PAD,

而PZ)u平面PAD,

：.ABLPD,

又\'ABHAE=A,AB,A£u平面ABE,

，PO_L平面ABE.

例2⑴证明因为4C_L平面A8C,8Cu平面ABC,

所以AC_LBC,

又因为NACB=90。，即AC_LBC,

因为AC,ACu平面ACG4,

AiCMC=C,

所以BC_L平面ACG4,

又因为ACu平面BBiGC,

所以平面ACGAiJ_平面BBiCC

⑵解如图，过点A作AO_LCG于点Q

因为平面ACG4_L平面88CC,平面ACGAQ平面881cle=CG,A0u平面ACGAi,

所以AQJ_平面861cle',

所以四棱锥4一88。（、的高为40.

因为AC_L平面ABC,

4Cu平面ABC,

所以ACJL4C,

又A[C]〃AC,所以A]C_LCG,

又AC=1,AA]=2,所以4cl=I,CG=2,

所以AC=JCC：,

所以AQ=小辿&=四=3，

CCt22

所以四棱锥4—85GC的高为当

跟踪训练2证明在等腰梯形AB囱4中，

t

\AA]=A\B[=BB]=^AB=\,

可得BA\—>/3,

在△8A4中，AAl+BAl=AB2,

：.BA\LAA\,

又•・•平面A660|J_平面ASC,且立面A66|A£平面A6C=A6,

AC1AB,且ACu平面ACG4,

・・・4C_L平面AMA1，

又BAU平面4884,

・・・8A_LAC

又・.・/141八八。一人,

且AC,AAu平面4CG4,

・・・844平面ACG4,

又・.・6A|U平面BA\C,

・•・平面84C_L平面ACGA.

例3ACD[如图所示，记七为4C的中点，连接BE,DE,所以4C_L8E,AC_LDE,又BECDE=E,

BE,DEu平面BED,所以4C_L平面BED,又BOu平面BED,所以AC1.BD,A正确；

D

c

依题意，/BED是二面角8—AC-。的平面角，所以NBEO=：,所以DEIBE,又DELAC,BEQAC=

E,BE,4Cu平面ABC,所以平面ABC,又A8u平面ABC,所以DELAB,因为CD「lDE=D,所以

4〃与CO不垂直，B错误；

直线BQ和平面ABC所成的角即为NEBO,因为tanZEBD=—=\,故/EBD=»,C正确；

BE4

由于BC=CQ=8A=A。，取8。的中点G,连接AG,CG,则有CG_LB。，AG_L3O,故/CG4为二面角

八一8。一。的平面角，

M-41

=^=W'D正知

微拓展

典例45°

解析如图，作P在〃内的正射影0,则。在N84C的平分线上，NPAO为P4与平面a所成的角，所以

cosZPAC