2025年河北省保定市涿州实验中学中考数学三模试卷

第1页（共1页）2025年河北省保定市涿州实验中学中考数学三模试卷一．选择（共36分）1．（3分）下列计算中，可以用来验证2﹣（﹣3）＝5成立的是（）A．5+（﹣3） B．5﹣（﹣3） C．5×（﹣3） D．5÷（﹣3）2．（3分）如图，AB∥CD，过点D作DE⊥AC于点E．若∠D＝50°（）A．130° B．140° C．150° D．160°3．（3分）如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合成的，从上面看到的图形是（）A． B． C． D．4．（3分）国家将建设世界最长跨径的斜拉式大桥，计划总投资64.5亿元，用科学记数法表示为（）A．6.45×107 B．64.5×108 C．6.45×108 D．6.45×1095．（3分）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．a（m+n）＝am+an B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2+6x+10＝（x+3）2+16．（3分）如图，甲、乙两人同时从点O出发，并以相同的速度行走，乙沿南偏西70°方向行走，行驶中乙始终在甲的（）A．南偏西30°方向上 B．南偏西35°方向上 C．南偏西25°方向上 D．南偏西20°方向上7．（3分）某校九年级（1）班要对某小组5名女生一分钟仰卧起坐的次数进行统计分析，发现数据36，56，5■，则下列统计量中与被涂污数字无关的是（）A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数8．（3分）一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如99＝102﹣12，故99是一个智慧数．在下列各数中，不属于“智慧数”的是（）A．15 B．16 C．17 D．189．（3分）已知：△ABC．求作：一点O，使点O到△ABC三个顶点的距离相等．小明的作法是：（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作边BC的垂直平分线GH；（3）直线GH与射线BF交于O．点O即为所求的点（作图痕迹如图1）．小丽的作法是：（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作∠ACB的平分线CM；（3）射线CM与射线BF交于点O．点O即为所求的点（作图痕迹如图2），下列说法正确的是（）A．小明对，小丽不对 B．小丽对，小明不对 C．两人都对 D．两人都不对10．（3分）如图，△ABC与△ACD中，，∠BAC：∠B：∠ACB＝1：2：3（）A．2 B． C． D．311．（3分）二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，则m的值为（）A．27 B．9 C．﹣7 D．﹣1612．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，P是AB上一点，BP＝5，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时（）A．5 B．6 C．6.5 D．7二．填空（共12分）13．（3分）已知x+y﹣2＝0，则4x•22y的值是．14．（3分）如图，小明在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，则斜坡AB的长是m．15．（3分）已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为．16．（3分）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，如max{2，4}＝4，方程的解为．三．解答题（共72分）17．（9分）规定一种新运算：a☆b＝2a+b2，例如：2☆1＝2×2+12＝4+1＝5．（1）计算：﹣5☆3；（2）若x☆1＝，求x的值；（3）先化简，再求值：，其中x的值从（1）（2）18．（9分）如图：将一张矩形纸板按图中所画虚线裁剪成九张小纸板，其中有两张正方形的甲种纸板，边长为a，边长为b，有五张矩形的丙种纸板，b（a＞b）．（1）观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为，还可以用两边的乘积表示为，则利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式；（2）若矩形纸板中所有甲、乙两种正方形纸板的面积和为90cm2，每个丙种矩形纸板的面积为18cm2，求图中矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和．19．（9分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，P为DC边上一点，将△PAD沿PA折叠（1）当∠DAP＝30°，点E到DC的距离为．（2）求点E在△ABC内部时，DP的取值范围．（3）当点P为DC中点时，求tan∠BAE．20．（9分）某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分30分），根据测试成绩（单位：分）（如图1和图2），已知图2中得28分的人数所对圆心角为90°，回答下列问题：（1）条形统计图有一部分污损了，求得分27分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数．（2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了（3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆：②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，求小明和小亮选择同一项目的概率．21．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，且BD＝2，将BD顺时针旋转180°形成半圆，P为半圆上任意一点，得到线段CE，连接PB（1）求证：AE＝BP；（2）若CP与半圆相切，求CP的长度；（3）当S△BCP＝2时，求∠CBP的度数以及此时扇形DBP的面积．22．（9分）根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m（℃）（km）处的气温为y（℃）（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，飞机外气温为﹣26℃时，飞机距离地面的高度为7km；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温．23．（9分）如图1和图2，在△ABC中，AB＝13，cos∠ABC＝．探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝，AC＝，△ABC的面积S△ABC＝．拓展：如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，设BD＝x，AE＝m，（当点D与A重合时，我们认为S△ABD＝0）．（1）用含x、m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．24．（9分）如图是某位同学设计的电脑动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线2+bx（a＜0，b≠0），且顶点始终在直线y＝kx上．（1）当a＝﹣2，b＝8时，求抛物线的顶点坐标和k的值；（2）试推断k与b之间的数量关系，并说明理由；（3）已知k＝1，且符合题干的抛物线C顶点的横坐标为1，将抛物线C向右平移c个单位长度个单位长度得到抛物线C1，且抛物线C1的顶点恰好也在直线y＝kx上．①求c的值；②该同学发现电脑屏幕上有一个黑点K（位置固定），刚好落在平面直角坐标系中点（8，﹣4）的位置，将抛物线C1横向、纵向同时放大d（d＞0）倍得到抛物线mx+n2上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的d的值．

2025年河北省保定市涿州实验中学中考数学三模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案ABDDCCCDDAD题号12答案D一．选择（共36分）1．（3分）下列计算中，可以用来验证2﹣（﹣3）＝5成立的是（）A．5+（﹣3） B．5﹣（﹣3） C．5×（﹣3） D．5÷（﹣3）【解答】解：根据被减数、减数∵2﹣（﹣3）＝7，∴5+（﹣3）＝7，可以用来验证2﹣（﹣3）＝5成立的是5+（﹣3）．故选：A．2．（3分）如图，AB∥CD，过点D作DE⊥AC于点E．若∠D＝50°（）A．130° B．140° C．150° D．160°【解答】解：∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，在△CDE中，∠D＝50°，∴∠C＝40°，又∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣∠C＝140°．故选：B．3．（3分）如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合成的，从上面看到的图形是（）A． B． C． D．【解答】解：如图所示：从上面看到的图形是．故选：D．4．（3分）国家将建设世界最长跨径的斜拉式大桥，计划总投资64.5亿元，用科学记数法表示为（）A．6.45×107 B．64.5×108 C．6.45×108 D．6.45×109【解答】解：64.5亿＝6450000000＝6.45×103，故选：D．5．（3分）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．a（m+n）＝am+an B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2+6x+10＝（x+3）2+1【解答】解：A、等式从左到右的变形不属于因式分解；B、等式从左到右的变形不属于因式分解；C、等式从左到右的变形属于因式分解；D、等式从左到右的变形不属于因式分解；故选：C．6．（3分）如图，甲、乙两人同时从点O出发，并以相同的速度行走，乙沿南偏西70°方向行走，行驶中乙始终在甲的（）A．南偏西30°方向上 B．南偏西35°方向上 C．南偏西25°方向上 D．南偏西20°方向上【解答】解：由题意得，∠1＝20°，AO＝BO，∴∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠3＝∠2＝20°，∴∠4＝25°，∴乙始终在甲的南偏西25°方向上，故选：C．7．（3分）某校九年级（1）班要对某小组5名女生一分钟仰卧起坐的次数进行统计分析，发现数据36，56，5■，则下列统计量中与被涂污数字无关的是（）A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数【解答】解：利用中位数、平均数∵这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，与被涂污数字无关，∴与被涂污数字无关的统计量是中位数．故选：C．8．（3分）一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如99＝102﹣12，故99是一个智慧数．在下列各数中，不属于“智慧数”的是（）A．15 B．16 C．17 D．18【解答】解：A、15＝42﹣72；B、16＝53﹣32；C、17＝72﹣86；D、18不能表示为两个非零自然数的平方差．故选：D．9．（3分）已知：△ABC．求作：一点O，使点O到△ABC三个顶点的距离相等．小明的作法是：（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作边BC的垂直平分线GH；（3）直线GH与射线BF交于O．点O即为所求的点（作图痕迹如图1）．小丽的作法是：（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作∠ACB的平分线CM；（3）射线CM与射线BF交于点O．点O即为所求的点（作图痕迹如图2），下列说法正确的是（）A．小明对，小丽不对 B．小丽对，小明不对 C．两人都对 D．两人都不对【解答】解：∵点O到△ABC三个顶点的距离相等，∴点O是三边的垂直平分线的交点，∴两人的作法都是错误的，故选：D．10．（3分）如图，△ABC与△ACD中，，∠BAC：∠B：∠ACB＝1：2：3（）A．2 B． C． D．3【解答】解：如图，过点D作DG⊥AC于点G，△ACD中，，∴△ACD是等边三角形，点G为AC中点，过点A作AE平分∠DAC交DG于点E，则点E为△ACD的内心，∵△ABC中，∠BAC：∠B：∠ACB＝5：2：3，∴∠BAC＝30°，∠B＝60°，∴BC∥EF，∠EAF＝∠EAC+∠BAC＝60°，∴∠AFE＝∠B＝60°，∵AG＝CG，∴点F为AB中点，即点F为△ABC的外心，∴△AEF是等边三角形，∵，∴在Rt△ABC中，AB＝4，∴EF＝AF＝2．则△ABC的外心与△ACD的内心之间的距离为2．故选：A．11．（3分）二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，则m的值为（）A．27 B．9 C．﹣7 D．﹣16【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝3，∴x＝﹣2和x＝3时，函数值相等，∵当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方，它的图象位于x轴的上方，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣8，0），0），把（﹣8，0）代入y＝x2﹣3x+m，得4+12+m＝0，解得m＝﹣16．故选：D．12．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，P是AB上一点，BP＝5，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时（）A．5 B．6 C．6.5 D．7【解答】解：如图所示：过点C作CH⊥AB，垂足为H．在Rt△BCH中，∠B＝60°，则BH＝，CH＝sin60°•BC＝．∴PH＝4．在Rt△CPH中，依据勾股定理可知：PC＝．由翻折的性质可知：∠APQ＝∠A′PQ．∵DC∥AB，∴∠CQP＝∠APQ．∴∠CQP＝∠CPQ．∴QC＝CP＝8．故选：D．二．填空（共12分）13．（3分）已知x+y﹣2＝0，则4x•22y的值是16．【解答】解：由条件可知x+y＝2，∴原式＝28x•22y＝62x+2y＝64＝16．故答案为：16．14．（3分）如图，小明在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，则斜坡AB的长是30m．【解答】解：∵斜面坡度为1：，∴tan∠ABF＝＝＝，∴∠ABF＝30°，∵在P处进行观测，测得A处的俯角为15°，∴∠HPB＝30°，∠APB＝45°，∴∠HBP＝60°，∴∠PBA＝90°，∠BAP＝45°，∴∠APB＝∠BAP，∴AB＝PB＝30m，故答案为：30．15．（3分）已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为30°或150°．【解答】解：连接OC、OD，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝＝60°，当点P在优弧上时∠COD＝30°，当点P在劣弧上时，则∠CPD的度数为30°或150°，故答案为：30°或150°．16．（3分）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，如max{2，4}＝4，方程的解为x＝+1或x＝﹣1．【解答】解：①若x＞﹣x，即x＞0，即x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x+1＝2，（x﹣8）2＝2，x﹣4＝，∴或 （负值舍去），经检验：是原分式方程的解；②若x＜﹣x，即x＜0，即x2+5x+1＝0，（x+4）2＝0，解得：x3＝x2＝﹣1，经检验：x＝﹣8是原分式方程的解；综上，方程或x＝﹣1．故答案为：或x＝﹣1．三．解答题（共72分）17．（9分）规定一种新运算：a☆b＝2a+b2，例如：2☆1＝2×2+12＝4+1＝5．（1）计算：﹣5☆3；（2）若x☆1＝，求x的值；（3）先化简，再求值：，其中x的值从（1）（2）【解答】解：（1）﹣5☆3＝8×（﹣5）+33＝﹣10+9＝﹣1；（2）x☆8＝﹣3，则2x+1＝﹣3，解得：x＝﹣6；（3）原式＝•＝•＝x+1，∵x+2≠0，∴x≠﹣1，当x＝﹣2时，原式＝﹣3+1＝﹣6．18．（9分）如图：将一张矩形纸板按图中所画虚线裁剪成九张小纸板，其中有两张正方形的甲种纸板，边长为a，边长为b，有五张矩形的丙种纸板，b（a＞b）．（1）观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为2a2+2b2+5ab，还可以用两边的乘积表示为（a+2b）（2a+b），则利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式（a+2b）（2a+b）＝2a2+2b2+5ab；（2）若矩形纸板中所有甲、乙两种正方形纸板的面积和为90cm2，每个丙种矩形纸板的面积为18cm2，求图中矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和．【解答】解：（1）矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为2a2+7b2+5ab，还可以用两边的乘积表示为（a+6b）（2a+b），所以利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式（a+2b）（8a+b）＝2a2+6b2+5ab；故答案为：8a2+2b8+5ab，（a+2b）（6a+b）2+2b5+5ab＝（a+2b）（3a+b）；（2）根据题意可得：2a2+5b2＝90，ab＝18，∴a2+b7＝45，2ab＝36，∴a2+b5+2ab＝45+36＝81，∴（a+b）2＝81，∵a＞7，b＞0，∴a+b＝9，∴矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和为5（a+b）＝6×9＝54（cm）．19．（9分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，P为DC边上一点，将△PAD沿PA折叠（1）当∠DAP＝30°，点E到DC的距离为3．（2）求点E在△ABC内部时，DP的取值范围．（3）当点P为DC中点时，求tan∠BAE．【解答】解：（1）如图1，矩形纸片ABCD中，BC＝6，过点E作EF⊥CD于点F，∴AD＝BC＝3，AB∥CD，∴，∵∠DAP＝30°，将△PAD沿PA折叠，∴∠EPA＝∠DPA＝60°，，在Rt△PEF中，，即点E到DC的距离为3，故答案为：3；（2）如图8，当E在AC上时，∵矩形纸片ABCD中，AB＝8，∴，AD＝BC＝6，∠D＝90°，∵将△PAD沿PA折叠，得到△PAE．∴AE＝AD＝6，∠PEA＝∠D＝90°，∴CE＝AC﹣AE＝10﹣4＝4，设PD＝x，则PC＝CD﹣x＝8﹣x，在Rt△PEC中，PE8+EC2＝PC2，∴x2+42＝（5﹣x）2，解得：x＝3；当E在AB上时，∵将△PAD沿PA折叠，得到△PAE．∴∠D＝∠PEA＝90°，AD＝AE，又∵∠DAE＝90°，∴∠D＝∠PEA＝∠DAE＝90°，∴四边形AEPD是矩形，又∵AD＝AE，∴四边形AEPD是正方形，∴DP＝AD＝8，∴点E在△ABC内部时，DP的取值范围为3＜DP＜6；（3）如图6，过点E作FH⊥DC于点F，则四边形AHFD是矩形，∵P是CD的中点，将△PAD沿PA折叠，∴，AE＝AD＝6，∵FH⊥DC，AB∥CD，∴∠PFE＝∠AHE＝90°，∴∠EAH＝90°﹣∠AEH＝∠PEF，∴△PEF∽△EAH，∴，∴，设PF＝2x，则EH＝4x，AH＝DF＝DP+PF＝4+2x，∴，解得：，∴，，∴．20．（9分）某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分30分），根据测试成绩（单位：分）（如图1和图2），已知图2中得28分的人数所对圆心角为90°，回答下列问题：（1）条形统计图有一部分污损了，求得分27分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数．（2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了（3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆：②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，求小明和小亮选择同一项目的概率．【解答】解：（1）∵样本容量为：10÷＝40（人），∴得分27分的人数为：40﹣（2+10+12+8）＝2（人）；∵中位数是数据有小到大排列第20，第21个数据的平均数，第21个数据分别为28分，∴中位数为（28+29）÷2＝28.5（分）；∵29分有12人，是人数最多的分数，∴众数为：29分，答：得分27分的人数为3人；所调查学生测试成绩中位数为28.5分；（2）补测成绩与原来成绩合并后，将合并后的成绩按照从小到大的顺序排列，∵成绩的中位数变大了，∴第21名的成绩大于28.5分，∴这名同学补测成绩为29分或30分；（3）画树状图如下：一共有8种等可能的情况，其中小明和小亮选择同一项目有3种可能的情况，∴P（小明和小亮选择同一项目）＝＝．21．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，且BD＝2，将BD顺时针旋转180°形成半圆，P为半圆上任意一点，得到线段CE，连接PB（1）求证：AE＝BP；（2）若CP与半圆相切，求CP的长度；（3）当S△BCP＝2时，求∠CBP的度数以及此时扇形DBP的面积．【解答】（1）证明：∵线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CE，∴CP＝CE，∠PCE＝90°，∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，∴∠PCE＝∠ACB，∴∠PCE﹣∠BCE＝∠ACB﹣∠BCE，∴∠PCB＝∠ACE，∴△PCB≌△ECA（SAS），∴AE＝BP；（2）∵CP与半圆相切，∴∠BPC＝90°，∴；（3）过P作PH⊥BC于H，如图，∵S△BCP＝2，∴，∴，解得PH＝3，∵PB＝2，∠PHB＝90°，①当点P在半圆的左边时，∴，∴∠PBH＝30°，即∠CBP＝30°，扇形DBP的面积＝；②当点P在半圆的右边时，∴，∴∠PBH＝30°，即∠CBP＝180°﹣30°＝150°，扇形DBP的面积＝．综上所述：∠CBP＝30°或150°，扇形的面积是或．22．（9分）根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m（℃）（km）处的气温为y（℃）（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，飞机外气温为﹣26℃时，飞机距离地面的高度为7km；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温．【解答】解：（1）根据题意得：y＝m﹣6x（0≤x≤11）；（2）将x＝4，y＝﹣26代入y＝m﹣6x，得﹣26＝m﹣42，∴m＝16∴当时地面气温为16℃∵x＝12＞11，∴y＝16﹣6×11＝﹣50（℃）假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为﹣50℃．23．（9分）如图1和图2，在△ABC中，AB＝13，cos∠ABC＝．探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝12，AC＝15，△ABC的面积S△ABC＝84．拓展：如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，设BD＝x，AE＝m，（当点D与A重合时，我们认为S△ABD＝0）．（1）用含x、m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．