函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（十六大题型）（练习）解析版

第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值

目录

01模拟真题练............2

题型一：单调性的定义及判断.....................................................................2

题型二：复合函数单调性的判断...................................................................3

题型三：分段函数的单调性.......................................................................4

题型四：利用函数单调性求函数最值...............................................................6

题型五：利用函数单调性求参数的范围.............................................................8

题型六；利用函数的单调性比较函数值大小........................................................9

题型七：函数的奇偶性的判断与证明..............................................................11

题型八：已知函数的奇偶性求参数................................................................13

题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值.......................................................14

题型十：奇函数的中值模型......................................................................16

题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式...................................................18

题型十二：函数对称性的应用....................................................................20

题型十三；函数周期性的应用....................................................................22

题型十四：对称性与周期性的综合应用...........................................................24

题型十五：类周期与倍增函数....................................................................28

题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性..........................................30

02重难创新练............32

03真题实战练............41

题型一：单调性的定义及判断

1.下列函数在（口⑼上单调递减的是（）

A.y=——B.y=x2C.>-=x3D.尸x

x

【答案】B

【解析】对于A,函数丁=-：在区间（-8,0）上是增函数，故A不正确；

对FB,函数y=/在区间（口⑼上是减函数，故B正确；

对于C,函数y=V在,0）上是增函数，故C不正确；

对于D,函数x在（e,0）上是增函数，故D不正确.

故选：B.

2.（2024.高三.黑龙江齐齐哈尔.期末）设函数〃*二小|—2x,则/（x）（）

A.是偶函数，且在（L+8）上单调递增B,是奇函数，且在（T/）上单调递减

C.是偶函数，且在（y,-l）上单调递增D.是奇函数，且在（-力,-1）上单调递减

【答案】B

【解析】因为函数/（1）=不国一21•的定义域为R,且/（一力=一小|+2.t=一3乂-2刈=一/"）,

所以/（“是奇函数，又/3=中|-2'=|“『了之0,作出函数小）图象如下图：

一X—2x

由图知，函数/（X）在和（1,+8）上单调递增，在（T1）上单调递减.

故选:B

3.（2024•高三•上海静安•期中）已知函数/（%）=m-蓝（“>0）,且/（0）=0.

⑴求〃的值，并指出函数/(X)的奇偶性；

(2)在(1)的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数/(X)在(-8,y)上是增函数.

【解析】(1)因为/(0)=，-a=。，又。>0,所以〃=1,

a

所以/(x)=2'-3，xe(YO,x),

此时/(-%)q-2工=-〃幻，所以/⑺为奇函数；

(2)任取为<电，贝1」/(菁)一/(%)=2$一1-20+上

212-

2"-2M11

=(2%—2*)+=(2*-2^)(1+白)=2“(1+-^-)(1-2*门，),

因为西〈W,所以24F>1,所以1-2&F<0,2*(+J")>0

2一2

所以/(内)-/(x2)<0即/(.v,)<f(x2),

所以函数人回在(-8.+OO)上是增函数.

题型二：复合函数单调性的判断

4.函数/(另=1。82(—1+41+5)的单调递增区间是()

A.(-a)52)B.(2,+勾C.(2,5)D.(-1,2)

【答案】D

【解析】由题意〃力=1叫(*+4*+5)=1呜卜—2)，9],令卜(；2)2+9>0

解得T<x<2,即函数〃])=1%(3+以+5)的单调递增区间是(-1,2).

故选:D.

z।、J』-2厂3

5.函数/(x)=(gj的单调增区间为()

A.B.(一利

C.[1,-Ko)D.[3,+co)

【答案】A

/[\vx2-2.r-5

【解析】因为=，则/一2.320,解得XK-I或心3,

所以/(力的定义域为(f—l]U[3,y).

不妨设大〈石，则内72<0，则/(%)—/(毛)>0，即/(%)>/(9)，

a-2<0

13

则函数/(x)在R上为减函数，则..解得，

2(〃-2)<O

因此，实数〃的取值范围是58,9

故选：D.

x2-2ax+-,x<l(

8.已知函数/(小2一2满足对于任意实数都有空”<。成立，则实数〃的取

值范围是()

A.(1,2)B.[1,2)C.(h|jD.1,|

【答案】D

【解析】依题意，对于任意实数司工毛，都有以止3<。成立,

%一七

不妨设X<42，则〃％)-/(王)〉。，/(演)>/(9)，

所以/(“在R上单调递减,

所以付〃>0,解得行捺3

故选：D

x3-ar2+a,K«O

9.已知函数/*)=*2孙v>()，若函数/(x)在R上单调递增，则实数。的取值范围是()

2，A

-a~\「［1r3-1

A.彳,2B.0,—C.0»-D.［0,2］

.2L，」.2_

【答案】B

【解析】依题意，函数)，=235—g是增函数，则2-a>0,即"2；

由)，=/一"2+”，求导得y=3V-2ar,函数y=V-十〃在(一双。］上单调递增，

3

于是犷-26a20在xw(-oo,0］上恒成立，因此心5K在xe(-oo,0］上恒成立，即心0；

又函数/(x)在R上单调递增，则aKg,从而所以实数〃的取值范围是［0,；］.

故选：B

10.(2024•高三•内蒙古赤峰•开学考试)已知〃>0,且"1,函数/(司=1/八,、。在R上单调,

则c的取值范围是()

A.(IM)B,C.D.《/J

【答案】D

【解析】因为函数“X)在R上单调，

由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，

故y=/(H在R上单调递减，

0<4<1

所以L八111，

3a-2>log”1-1

解得：

故选:D.

题型四：利用函数单调性求函数最值

11.(2024•上海松江・二模)已知0vav2,函数)』八"一2，"：4。+1,x<2若该函数存在最小值，则实

数G的取值范围是.

【答案】｛。|0<吗或。=1)

【解析】由题意，令g(x)=(a-2)x+4o+l,xe(-a),2］,h(x)=2ax~l,XG(2,-KC),

当时，g(x)在(F,2］上单调递减，力(x)在(2,+oo)上单调递减，则在(2,+8)上的值域为(0,2a),

因为/(x)存在最小值，故需雇2)=3-2)'2+44+140,解得

结合0<4<1,此时()<4(g;

当ka<2时，g(x)在(F,2］上单调递减，h(x)在(2,-KO)上单调递增,则〃(处在(2,-KO)上的值域为(2〃,+8),

因为了⑺存在最小值，故需g(2)W2%即(a—2)x2+4a+142a,解得〃吟，

这与1<。<2矛盾：

当”=1时,g*)=r+5在(70.2］卜单调递减，口在(-co,2］卜的值域为［3,+8),h(x)=2,此时存在最小

值2；

则实数〃的取值范围为或。=1}.

故答案为：{alOvawg或。=1}.

—1Y/〃

12.(2024・高三・北京东城•期末)设函数/(")=12-’

X+4,X24

①若。=一2,贝I"(x)的最小值为.

②若/(“有最小值，则实数〃的取值范围是.

【答案】一2a^-\

?x-1r<-2

【解析】①当4=一2时，/(x)=)2、r，

x-2,x>-2

则当xv-2时，“力=2'-1《一1,一£|,

当工之一2时、/(X)=X2-2>-2,

故”司的最小值为-2：

②由〃x)=2：-1"<。，贝|］当工<。时，/(x)=2'-le(-l,2fl-l),

x~+a,x>a

由/(“有最小值，故当工之〃时，/(灯的最小值小于等于-1，

则当且X*时，有“X)1nto=4«-1,符合要求：

当”>-1时，y=x2+a>a>-\,故不符合要求，故舍去.

综上所述，a<-\.

故答案为：—2;a<1—\.

13.(2024・贵州・模拟预测)已知函数/1)=2*小+3,则/⑺的最大值是

【答案】16

【解析】由/(X)=2.+2M3,而”T2+2X+3=—(X—1)2+4W4,

因为y=T单调递增，所以>，=2Y21则/⑺的最大值是16.

故答案为：16

14.函数),=W①的最大值为___.

丁+5

【答案】j2/0.4

22

_y/x+4_7X+4]

【解析】因为‘x2+5x2+4+1

令/=&+4,则，之2,

令g(x)=x+Lxe[2,+a>),因为函数8")=工+’在[2,+8)上单调递增，所以g(x)w1,+<x

A-XZ

即G十六呜…｝则04+招=”

，六+4

即函数）,=0三a的最大值为1•，当且仅当工=0时取等号.

X2+55

故答案为：!2

题型五：利用函数单调性求参数的范围

15.（2024・广东揭阳•二模）己知函数〃力=-/+以+i在仅6）上不单调，则。的取值范围为（）

A.（2,6）B.（YC,2]U[6,R）

C.（4,12）D.（YO,4]U[12,M）

【答案】C

【解析】函数/（力=一/+如+1的图象对称轴为％=依题意，24<6,得4vavl2,

所以。的取值范围为（4,12）.

故选：C

16.（2024.山东•二模）已知函数-〃a+1在区间卜1,讨）上单调递增，则/⑴的取值范围是（）.

A.[7,-KO）B.（7,-KO）

C.（-co,7]D.（-co,7）

【答案】A

【解析】由函数/"）=2/-如+1的对称轴是x=£,

因为函数在区间卜1,内）上是增函数，所以解得〃?《-4,

又因为/。）=3-机，因此3-〃止7,所以/（I）的取值范围是[7.拉）.

故选：A.

17.(2024・陕西榆林•一模)已知函数/(1)=*-e'在[0,+8)上单调递增，则〃的取值范围是()

A.[0,+a?)B.(l,+oo)C.(e,+co)D.[2e,+a>)

【答案】B

【解析】当“W0时，函数在口”)上单调递减，不符合题意，所以〃>0,

由题可知(x)=-e*10恒成立,即aeM1[令g(力=mF«0,+8),

贝l]/(x)=(x+l)e、>0.所以g(.r)在[0,+。)上单调递擀•由aetLX>eT•

可得&4“2犹’，即g(以)2g(x),所以orNx之0,所以〃之1,

当〃=1时，/(X)=O,不符合题意，故。的取值范围是(1,+«)).

故选：B

18.设函数/(幻虫与小⑹在区间(0,1)上单调递增，则实数。的取值范围为()

A.(-<o,-2]B.(-2,0]C.(0,2]D.[2,间

【答案】A

【解析】函数〃=Mx+〃)在(-叫-9上单调递减，在[-*+8)上单调递增，

函数)，=(；)"在R上单调递减，因此函数/(幻的递增区间是(一，-曰，递减区间是-*+8)，

依题意,(0/)u(f,-T，解得。匕一2,

所以实数〃的取值范围为(8,2].

故选：A

题型六：利用函数的单调性比较函数值大小

19.已知定义在R上的函数/(x)满足/(x)=/(2-幻，且当xe[l,+oo)时，f(x)=e，+e，若

3

a=f2,/?=/(iog43),c=/fsin^,则()

I)I51

A.c>a>bB.c>b>aC.a>h>cD.b>a>c

【答案】A

【解析】因为/(X)=/(2T),所以/(x)的图象关于户1成轴对称，

注意到当五£乩+8)时，由复合函数单调性可得/*)=e，+eT=eX+=在x[l,+8)上为增函数,

e

故f(x)=e*+4在xe(YC,1］上为增函数，

e

所以距离％=1越远值越大，

77r-

因为-l<sin1<0,l<23<2,0<log43<l,

距离x=l最远的为sin4,故C最大，

而b=/(Iog43)=/(2-log43)=/(log4yl,

1

fil<log4y<log48=|=3^<^/4=2,

(2\

3

所以a=/2>^=/(log43),

\/

综上所述，c>a>b.

故选：A.

20.(2024.北京西城•一模)^a=t--,b=t+-=t(2+t),其中一1々<0,则()

ttlC

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】C

【解析】由一l</<0,故］£(一8,-1),故〃=，一！>0,

由对勾函数性质可得b=/+：<-(1+1)=-2,

c=r(2+r)<0,jlc=z(2+r)=/:+2r=(r+l)2-l>-l,

综上所述，有〃vcva.

故选：C.

21.已知偶函数”X)在区间(0,+8)上单调递增,且a=】ogs2,iIn3,c=2心贝IJ/(〃)，,/(c)的大小

关系为()

A./(c)>f(a)>f(b)B.f(b)>/(c)>f(a)

C./(«)>f(b)>f(c)D./(c)>/(/?)>f(a)

【答案】B

【解析】因为。<log§2vlog：6二；,所以Ovavj；

-Z?=ln3>L

因为27<2心<2°，所以g<c<l；故

偶函数在［0,+8)上单调递增,故/(-份>/(c)>/(〃)，即f(数>f(C)>f3)

故选：B.

题型七：函数的奇偶性的判断与证明

22.设函数/(外送(工)的定义域为R,且46是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()

A./(x)g(x)是偶函数B.|/(x)g(x)|是奇函数

C.|〃x)|g(x)是偶函数D./(|x|)g(x)是奇函数

【答案】C

【解析】令£(%)=/(x)g(x)，••.K(T)=/(r)g(T)=-/(，)g(x)=-6(x)，

・・・F"x)为奇函数，故A错误;

令E(尤)=|/Wg⑸，•二E(人)=|/(r)g(r)|=|-/WgW|=|ZWg⑸=4(%)，

・・・&(力为偶函数，故B错误;

令马(x)=|/(-v)|g(x)，••巴(r)=|f(T)|g(r)=|/(x)|S3=R(x),

・•・&(力为偶函数,故C正确;

令E(x)=/(W)g(x)，・•・E(r)=/(T)g(r)=/(N)g(x)=E(x),

・••巴(”为偶函数，故D错误.

故选:C

23.(2024・重庆•三模)设函数/口)=当，则下列函数中为奇函数的是()

4I4

A./(x-2)+lB./(工-2)+2

C.〃x+2)+2D.-2)+1

【答案】A

【解析】因为〃"=(^=一(；+?+4--1+号定义域为“义〜2},

则"-47)+“x)=-l+」q-l+二^=-2(.一2),所以函数“X)的对称中心为(-2,-1),

所以将函数向右平移2个单亿向上平移1个单位，得到函数y=/(x-2)+1,

该函数的对称中心为(0,0),故函数y=/(x-2)+1为奇函数.

故选:A.

24.(2024•高三•江西•期中)设函数/(x),g(x)的定义域都为R,且“X)是奇函数,g(x)是偶函数,则

()

A.y=/(x)・g(x)是偶函数

B.y=|/(x)|・g(x)是偶函数

C.y=/(|X"(x)是奇函数

D.y=(x)g(x)|是奇函数

【答案】B

【解析】对A,y=/(-x)-g(-x)=-/(x)g(x),故y=/(x>g(x)是奇函数,故A错误;

对B,y=|f(r)|,g(r)=kf(%+g(x)=|/(x)|・g(x),故y=|/(X)|・g(x)是偶函数,故B正确;

对C,y=/(|T)g(一%)=((国)g(%),故y=/(W)・g(x)是假函数,故C错误;

对D,y=|/(-^)•g(-x)|=|-/(^I•g(x)|=|/(x)•g(x)|,故y=|f(x)・g(x)|是偶函数,故D错混.

故选：B

25.(多选题)下列函数中为奇函数的是()

A.f(x)=xyB.〃x)=dC./(.r)=x+-D./(x)=!

XX

【答案】ABC

【解析】对于A中，函数〃力二丁的定义域为R,且〃T)=-f=一/⑴，

所以/(“为R的奇函数，符合题意；

对于B中，函数=f的定义域为R,且/(—)=一丁二一/3，

所以〃力为R的奇函数，符合题意;

对于C中，函数/(x)=.r+：的定义域为(YO,0)U(0,”)关于原点对称，

且f(r)=-(x+3=-/(x),所以/")为定义域上的奇函数，符合题意；

X

对干D中，函数〃x)=-V的定义域为(F,O)U(0，”)关于原点对称，

X

且f(r)=&L±二/(”)，所以/(x)为定义域上的偶函数，不符合题意•

故选：ABC.

26.判断卜.列函数的奇偶性：

(l)/(x)=lg^；

人I1

⑵/'(4)=怆(4^+”.

【解析】(1)由题意知，(工+1加一1)>0,%>1或XV—1,

所以定义域为(-「1)U(1,E),关于原点对称，

/./\.—X—I.X+]

/(7=怆不=怆二1'

所以/(-x)+/(x)=lg券+电言=怆(£(|(色卜@=0,

所以〃-戈)=-〃的，所以〃x)为奇函数.

(2)由题意知/(X)的定义域为xwR./(f)=lg(Jx"7),

所以/(T)+/(x)=lg(&+l-x)+lg(&+l+x)

=lg(7x2+i+xj(Vx2+l-xj=lgl=O,

所以/(f.)--/(*,所以八八)为奇函数.

题型A：已知函数的奇偶性求参数

----X工-1

27.设函数/*)=卜+1',若g(©=/(x+a)+b为奇函数，则〃+。=

I,x=-\

【答案】-2

【解析】/。)=」7=坐1=1-一二，又/(一1)=1,易知/⑺的对称中心是(-U),

把它的图象向右平移1个单位，再向下平行一个单位得图象的函数为奇函数.

g^)=,由题意/(x_l)_]=/(x+〃)+〃，/.«=-1,/?=-1,a+b=-2.

故答案为：一2.

28.(2024•陕西西安•模拟预测)函数网力=卜#-1-/)为奇函数，贝.

【答案】|

【解析】设/心)=3加-彳-/，若函数g⑴是奇函数，

则力(X)是奇函数，函数的定义域为(y,o)u(o,y),

/z(-x)=-/z(x),即3or2+--X2=-3ar2+—+x2,

则6ov2=2x2，则4=；.

故答案为：!

X2+axX>0

29.(2024・四川内江•三模)若函数/(X)=，2:一八是奇函数，则4+〃=_____

bx2-2x,x<0

【答案】-3

【解析】函数=是奇函数，/(0)=().

bx--2x,x<0

当x<0时，-x>0,f(x)=-f(-x)=-(x2-ax)=-x2+ax,

而当x<0时，/(x)=bx2-2x,则方=-1,。=一2,

当x>0时，一xv0,/(A)=-f(-?:)=-(bx2+2x)=-bx2-2x,

而当x>0时，/(.v)=x2+ax,则力=-1,。=一2,

所以〃二-1,。=-2,a+/?=-3.

故答案为：一3

“\t7cosx-v3sinx+c,x>0....

30.设奇函数=(L八，则〃+。的值为_________.

cosx+bstnx-c,x<0

【答案】0

【解析】因为函数为奇函数，所以/(0)=0,

即acosO->/5sin0+c=a+c=0>

所以a十c=0.

故答案为：0.

题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值

31.(2024•云南昆明•模拟预测)已知/(X),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,

f(x)+g(x)=xi+ax2+a,贝ijf(3)=.

【答案】27

【解析】因为““，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，

而f(x)+g(x)=d+加+4'①

所以/(一*)+4(-幻=一/+"2+”,BP/(A：)-g(x)=/-ax-2-a,②

由①+②得/(x)=3,所以『(3)=27.

故答案为：27.

AY

32.己知偶函数/(x)和奇函数g(x)均定义在R上，且满足/(刈+8(X)=3/一一=石+5,则

〃T)+g(3)=一.

22

【答案】y

【解析】因为/(x)+g(x)=3/一黑+5……①

所以/(—x)+g(r)=3x+7大+5

AY

因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,所以〃x)-g(x)=3/+-芯+5……②

•A•

①②联立解得：/("=3/+5,?")=—峭靠，

所以f(_l)+g(3)=3(—l)2+5一程仔

22

故答案为：—.

33.已知〃“，g(x)是分别定义在R上的奇函数和偶函数,且〃x)-g(x)=V+f+l,则

〃l)+g(2)=-------------♦

【答案】-4

［解析］(-力=_/(x)_g("=_f+f+l

和已知条件相加得-2g(x)=2(/+1)

故g(x)=-(x'+l)J(x)=/

故"l)+g⑵=1-5=Y

故答案为：—4

34.(2024•高三.黑龙江哈尔滨.期末)已知/⑴为奇函数，g3为偶函数，且满足/(x)+g(x)=ex+i,

则g(x)=()

lJxxxx

Ae*-e-*de+e-厂e-e-2x「e-e-+2x

A.-----B.-----C.---------D・---------

2222

【答案】B

【解析】由题意知，/(X)为奇函数，g(x)为偶函数，

贝IJf(T)=-/(X),以-4)=g(X),

「「(x)+g(x)=e"+XHnJ/U)+^(x)=e+X

,f(-x)+g(-x)=ex-x-f(x)+^(x)=ex-x

解得8(幻=与詈・

故选：B

题型十：奇函数的中值模型

35.(2024♦陕西榆林•三模)已知函数＞=/("为奇函数，且最大值为1,则函数)=2〃x)+l的最大值和

最小值的和为.

【答案】2

【解析】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为()，

所以函数/(X)最大值和最小值之和为0,

则函数产2/(x)+1的最大值和最不值之和为2.

故答案为：2.

36.(2024.全国.模拟预测)已知函数/(x)=A—^+〃ln(x+7Pn)+c,其中且awl,bwR,cwZ,

则f(l)和/(T)的值一定不会是()

A.2+6和-3-6B.-3和4

C.3和-1D.21正和匕立

44

【答案】C

【解析】令g(x)=A_7，/2(x)=/?ln(x+&+0,易得g(r)+g(x)=l,：(-力=-g),所以/(x)

+f(-x)=\+2c,因为cwZ,所以〃x)+/(r)为奇数，验证可知A、B、D三组数值和均为奇数，C组

数值和为偶数，故C组数值一定不是/⑴和/(-1)的值.

故选：C.

37.已知函数八x)=ln(V?W—xj+l，正实数满足/(2a)+fS—4)=2,则?+三看了的最小值

为.

【答案】2

【解析】令g(x)=/(X)-1=In(，/+1-工),由Jx2+1，得g(x)定义域为R，

g(-x)+g(x)=ln(Vx2+1+x)+ln(Vx2+1-x)=ln1=0*即函数g(x)是奇函数,

而g(x)=_ln(J?7i+r),当xNO时，函数〃=Jf+l+x是增函数,又y=hi”是增函数，

于是函数g(x)在位*。)上单调递减，由奇函数的性质知，函数式X)在(YO,0］上单调递减，

因此函数g(»在R上单调递减,由此2)+/@-4)=2,得/(勿)—1+/S—4)—1=0,

即g(2〃)=一g@-4)=g(4-b),则2q=4一〃，即2.+。=4,Xd>0,Z?>0,

所以竺+一~^=竺+3。八=竺+£之2隹卷=2,当且仅当“=：时取得，

a2ab+b~ab(2a+b)a4bNa4b99

所以"的最小值为2・

故答案为：2

38.已知函数/a)=】n(CDf)+l,则g(x)=/(x)—i是(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)函数；若

/(。)=4,则〃一〃)=.

【答案】奇-2

【解析】因为/(x)=ln(Jl+f7)+］定义域为R.则g(>=1=m(Jl+f一',

则Mf)=ln(7i^F—(f))=ln(Vi77+x)=ln^^p_ln(7i77r)=—g(x),所以g⑴为奇

函数.

因为/(。)=4,所以g(4)=/(4)-1=3,所以g(-a)=-g(a)=-3,所以/(-a)=g(-〃)+1=-2

故答案为：奇，—2

39.(2024.安徽安庆•三模)若Vx,)，€/?,都有/(尤+)，)+4=〃6+〃)，)成立，则函数仪力=立”等犯

在卜2019,2019］上的最大值与最小值的和为.

【答案】8

【解析】依题意,Vx,ywR,都有析x+y)+4=f(x)+/(y)成立,

令》=。，则f(x)+4=/(x)+/(O),所以f(O)=4；

令了=一工，.•J(0)+4=/(x)+〃r),即/(X)+/(一力=8

令MM=〃x)-4,则用力的定义域为R,

旦人(一工)二/(一%)一4二［8—/(切—4=4一/("二一〃(可，

故人但为R上的奇函数，

小)=立如)：2：+/(力=仆)+三=人(力芸+4,

x~+1r+1x~+\

令/)=〃(%)+芸，则r(x)的定义域为/?,

且r(r)=//(-%)+三产7=-/j(x)--r77=-NR，故r(x)为R上的奇函数，

(-X)+14+1

故;•(X)为［-2019,2019］上的奇函数，由奇函数的图象关于原点对称，故，。)在［-2019,2019］上的最大值与最

小值的和为«)2+Omm=°

故g(x)为［-2019,2019］上的最大值与最小值的和为0(%)心+4］+［r(x*n+4］=8,

故答案为：8

题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式

40.已知函数/(幻二-^一工一？，若f(m2)+/(〃?—2)+2>0恒成立，则实数力的取值范围是()

C+1

A.(-2,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(2,4)

【答案】A

【解析】由题可知，==,

+1Ie*+1)e，+1

.i_v\-e~xI-ev

=f(x)+\=-e--x,!»Mg(-x)=-+x=---+x=-g(x),

er+1e+ie+1

所以晨幻是奇函数.乂由/(>)+/(〃-2)+2>0,可得/(〃/)+1+/。〃-2)+1>0,

即g(〃卜)+攻〃-2)>0,得g(/)>冢2-/〃).

rhg⑴=lz£l_x=一(e+l)+2f]+二——X，因为丁=-^7，丁=一%-1均为口上的减函数，

所以g(%)在R上单调递减,所以nr<2-m»即nr+m-2<0»

解得-2v〃?vl,即实数机的取值范围是(-2,1).

故选:A

33

41.(2024・辽宁大连•一模)设函数/(A)=sin心-+e--e*-x+3则满足fM+/(3-2x)<4的x的取值范

围是()

A.(3,+oo)B.(-oo,3)C.(!,+<»)D.(-oo,l)

【答案】C

【解析】因为fM=sinnx+e3x-3-e""-x+3,

所以/(x+l)=sin(nx+7r)+e5v+V3-eVVv-5-x-1+3

=—sin7LV+e'—e久一x+2»

设g(x)=/(x+l)-2=-sinnx+e"-e"-戈，显然定义域为R,^(x-l)=/(.r)-2,

-3v3v3-3

又g(T)=-sin(-7LV)+e-e+x=-(-sin7ix4-e'-e'-x)=-g(x),

所以g(x)为R上的奇函数，

乂g'(x)=一兀cosTLV+3e3'+3e3A-1>-KCOSX+2\/次，・3e*-1=5-ncosx>0»

所以g(x)在R上单调递增，

又f(x)+f(3-2x)<4,则［/(x)-2］+［/(3-2x)-2］<0,

所以g(x-l)+g(2—2x)<0,即g(工一l)<-g(2-2x)=g(2工一2),

所以x-lv2x-2,葩r得X>1,

贝I」满足/(X)+/(3—2x)<4的工的取值范围是(l,+oo).

故选：C.

42.(2024•云南贵州•二模)若函数/(1)的定义域为R且图象关于¥轴对称，在［。，+?)上是增函数，且

/(-3)=0,则不等式/&)<0的解是()

A.(re1,-3)B.(3,+8)

C.(—3,3)D.3)u(3,+8)

【答案】C

【解析】因为“X)在［0，+8)上是增函数且/(-3)=0,所以/(工)<0在［0,+8)范围内的解为［0,3).

因为函数/(X)在定义域R上图象关于V轴对称，所以/(“<0在(-8,0)内的解为(-3,0),所以不等式

/(力<0在R内的解为(-3,3).

故选:C

43.(2024・辽宁•一模)已知函数〃力=1咯(4'+16)7-2,若/(〃—1)］“2。+1)成立，则实数〃的取值范

围为()

B.(YO,-2]u[a+°°)

D.(-oo,—2]u[g，+8)

C.-25

【答案】c

v+2

[解析】ie5(A-)=/(x+2)=log2(4+16)-A-4,xc/?,

X+2

¥+2in4,4-16八

令/3=~=4O2+16=°,解得x=0.

(4A+2+16)ln2

当x>0时，g'(x)>0，g(x)单调递增,

当x<0时，/(x)<0,g(x)单调递减.

16(1+4,)

1+2

因为g(-1)=kg(4+16)+.r-4=log2+x-4

4V

=10g2(4-2+16)-工-4=g(x),

所以g(x)为偶函数.

目i以/(2^+1)<=>-3+2)2/(加_l+2)=g(Q_3)Ng(2._l),

又g(x)在(0,y)上单调递增，

所以卜-3闫2〃-1|,即3〃？+2a-8W0，解得-2K4Kg.

故选：C

题型十二：函数对称性的应用

44.(2024•陕西宝鸡•二模)请写出一个图像关于点(1,0)对称的函数的解析式.

【答案】)，=—1(答案不唯-)

x-1

【解析•】)=’的图象关于原点对称，则y=一二的图象关于点(1,0)对称.同样如函数)，=(、-厅也满足题意.

故答案为：y=一二(答案不唯一).

x-1

45.(2024.四川泸州•一模)函数/")=士的对称中心为.

【答案】(1』)

【解析】因为/(%)=—\=土~==1+—>，

x-\x-\x-\

则f(x)=六的图象可以由函数向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，

因为)，=:为奇函数，函数图象关干原点(0,0)对称，所以/(1)关于(1/)对称.

故答案为：(覃)

46.已知函数"刈==，函数g。)满足g(l-x)十g(l十X)=0,若八外与g(x)的图象有6个交点，则所有

x-1

交点横坐标之和等于.

【答案】6

【解析】已知函数/(')=二，绘制其图像如下图：

X-I

根据图像易知函数/(X)关于心对称：

又函数g(x)满足g(lr)=-g(l+x),易知g(x)也关于(1,0)中心对称.

由于/(“与屋外均关于(1,0)中心对称，可得两个函数的交点也关于(1,0)中心对称，

设其交点分别为(4，匕)，(*2，/)，…，(工6，)’6)，

根据对称性易知王+%=为+/=弓+七=2,即得：玉+%+/+七+/+%=6.

故答案为：6

47.下列函数中，其图象与函数y=k)g?x的图象关于直线x=2对称的是()

A.^=log2(2+x)B.y=log2(2-x)

C.y=log2(4+x)D.y=log2(4-x)

【答案】D

【解析】设所求函数的图象上任意一点P(x,))，则点尸关于x=2对称的点为。(4-x,y),

由题意知点。在y=Iog2x的图象上，可得y=log2(4—x)，

即函数尸1。8工关于x=2对称的函数解析式为y=log?(47).

故选:D.

48.(2024•高三•陕西汉中•期中)已知函数/(9(xwR)满足/(21+1)为奇函数，若函数尸sinm•与)，=/(“

的图象的交点为(内，)1),但，必)，…，(4，%)，则\X(X,+y)等于()

A.0B."C.2mD.4m

【答案】B

【解析】因为析21+1)为奇函数,所以今+1)=力2++1),

所以关于。,0)对称,

因为兀1二履,keZ=>x=A,keZ,

所以)，=sinu的对称中心为(k,0),ksZ、

所以)，=sin7tx也关尸(1,0)对称,

所以)，=sin心与y=/(x)两个图象的交点也关于(1,0)对称，

所以对于每组对称点(4凹)和(％',)，；)均满足X；+A;=2，/+y.=0，

所以Z：(%+£)=Z3+Zh=2丐+。=礼

故选:B.

题型十三：函数周期性的应用

/3A/34

49.已知函数〃工)的定义域是R,/-+x=/；—x,/(可+”6-又)=0,当04_^；时，〃6=4犬一2/,

则“2024)=.

【答案】2

【解析】由/(g+q=/(g_x)得："')=/=/(3-x),

又/(X)+/(6T)=0,/./(3-X|4-/(6-X)=0,

・•・/(*)=-/[6-(3-大)]=-/(工+3),.•./(x+6)=-/(x+3)=/(x),

.-./(2024)=/(6X337+2)=/(2)=/(1)=4-2=2.

故答案为：2.

50.(2024•宁夏银川一模)若定义在R上的函数/⑴满足)=/(x+l)是奇函数，/(4+X)=/(T