函数与导数-2026届高考数学一轮复习单元检测卷（含解析）

函数与导数—2026届高考数学一轮复习单元检测卷

【满分：150分】

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.若函数y=在x=处可导，且lim/5一3>)7(/)=_3,则/'($)=

Ar

()

A.-2B.-iC.lD.2

2.已知曲线),=y在点(0,1)处的切线与直线2x-y+l=0垂直，则〃=()

A.lB.-lC.2D._?

22

3.函数,(,)—[(J[2)的定义域为()

A/4-X

A.(』1)U(2,4)B.(2,4)C.(—』)j(2,y)D.(l,2)

4.己知/(gx-l)=2x_5,且/(〃)=3,则a=()

A.3B.-C.lD.-

43

,t一域“[3tz-x,x<2,

5.已知。〉0,且awl,函数/(x)=1在R上单调，则。的取值

[logrt(x-l)-l,x>2

范围是()

A.(l,+8)B.—c.—

_JJJ刃叫利

6.函数/(T)=ccsx+lnx|的大致图象为()

rr

A.\>----B.

c.

A.(—co,2]B.[2,+oc)C.(YO,—2]D.[—2,+oo)

r*-4-1r<1

8.已知函数存在最小值，则实数。的取值范围是()

2x-a,x>\

A.(-oo,ljC.[l,+oo)D.(l,r)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

:''下列关于函数，(幻的结论正确的是()

x~+i,-l<x<2,

A./Cr)的定义域是RB.f(x)的值域是(HO,5)

C.若/(幻=3,则x=啦D./(x)的图象与直线y=2有一个交点

1().若函数/Q)=x」-alnx在(1,2)上单调递减，则实数。的值可能为()

x

A._2B.-C.3D.4

2

11.已知/(x)=ar*—3工+1则()

A.当。=1时，x=l是的极值点

B.存在a使j\x)在(-1J)上单调递增

C.直线y=-3x+l是/(x)的切线

D.当。=2时，/(幻的所有零点之和为0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/*)=/+or?-9x+10(〃£R).若X=-1是/(X)的极值点，则f(x)的

极小值是.

13.若曲线),=(x+〃)e'有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是

14.已知函数/*)=卜2+24+3""0,若存在实数占，心，M且使得

lnx,x>0,

/(%)=/(%)=/(七)=。，则七(须+9+111七)的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.(13分)已知函数/(同=9+52+法+2(。wR,Z?£R)在工=一1处取得极值7.

(1)求a,b的值;

(2)求函数在区间［2,2］上的最值.

16.(15分)已知函数/(2x)=*4尸』+I+4°—1

lx4+1

(1)求/(幻的解析式；

(2)判断函数g*)=l/(x)l的奇偶性，并说明理由;

(3)求/⑴十/”42)+/(现3°-5)的值.

17.(15分)已知函数/*)=中。

x~+a

(1)若〃=0,求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)若/(x)在工=-1处取得极值，求/(x)的单调区间，并求其最大值与最小值.

18.(17分)己知函数f(x)=1工3一'〃十।J,^(x)=1_tnx,mGR.

323

(1)若/(x)在区间［2,y)上单调递增，求〃?的取值范围；

⑵在(1)的条件下，若函数/z(x)=/(%)-g(x)有3个零点,求用的取值范围.

19.(17分)己知函数〃力=竺1"，g(x)=*—〃，a,bwR.

X

⑴求“X)的单调区间.

答案以及解析

1.答案：C

解析：

/G)=lim小。一33一《。)=」im/(333T(%)=」x(-3)5

J'”2-3AA32以3'J

故选：C.

2.答案：B

解析：因为曲线)，=e，所以)/=*xa

所以在点(0,1)处的切线斜率为e()xa=a，

直线2x-y+l=0的斜率为2,又因为两直线垂直，所以为=-1，所以a=-g.

故选：B.

3.答案:A

解析：依题意，广3x+2〉0jd(x_2)>0,

4-x>0x<4

解得x<l或2Vx<4,

所以f(x)的定义域为(-8,1)J(2,4).

故选：A

4.答案：C

解析：令则x=2Q+l),ift/(r)=22(r+l)-5=4r-l,贝i」/(#=4x—l,

又,f(q)=3,故4〃-1二3，解得。=1.

5.答案：D

解析：当x<2时，f(x)=3a-x,因此)，=/(©在R上不可能单调递增，从而有

)，=〃外在口上单调递减，所以《,解得3avl.

3a-2>\oga1-1,3

6.答案：B

解析：易得函数/。)的定义域为(TO,0)1.(0,内)，且

f(-x)=cos(-x)+In|-x|=cosx+In|x|=f(x),故/(x)为偶函数，所以/(x)的图

象关于y轴对称，故排除C.又/⑴=cosl+ln1=cosl>0,所以排除A,D.故选

B.

7.答案：A

解析：因为函数y=2，a川在区间［l,+oo)上单调递增，y=2'在上单调递

增，所以由复合函数的单调性知)，=/-公+1在口,y)上单调递增，则

即a42.故选A.

8.答案：A

解析：由题意知了(幻在(-8,0)上单调递减，在［0,1］上单调递增，在(1,y)上单

调递增，且/(0)=1,

当x>l时，f(x)>2-a,

要使/(©存在最小值，则2-。之1,即所以实数。的取值范围是(-oo,l］,

故选A.

9.答案：BCD

解析：对于A,f(x)的定义域是(-8,2),故A错误;

对于B,当时，x+2<l,当一1cx<2时，0<x2<4,iwf+ivs,所以

/0)的值域是(-吗5),因此B正确；

对于C,由B的分析可知，若/&)=3,则口<”2,解得x=夜，因此c正确；

X+1=3,

对于D,画出了(X)的图象如图所示，由图可知，选项D正确.

故选BCD.

10.答案:BCD

解析：根据题意可得函数/Q)=x—L—〃inx的定义域为(0,+oo),

X

又小)=口，=匕担，

XXx~

若函数〃x)=x-L-olnx在(1,2)上单调递减，可得/*)=1——+1-0在(1,2)

XX

上恒成立；

(1\

即％2_奴+]<0在(],2)上恒成立，所以x+-,X£(l,2),

VX，max

根据对勾函数性质可得y=x+,在(1,2)上单调递增，

X

当x=l时x+~!"=1,当工=2时工+!=』，所以2cx+，〈*,

xx2x2

所以〃2*，

2

结合选择可知B、C、D符合题意.

故选:BCD

11.答案：ACD

解析：A：/(%)=3加-3,

当〃=1时，r(x)=3<-3=3(x+l)(x-l),

令/R(X)<0=>-1<x<l,/'(x)>0=xvT或x>l，

所以/(x)在(-1,1)上单调递减，在(­，-1),(1,抬)上单调递增，

则x=l是/*)的极小值点，故A正确：

B：若/a)在(-1,1)上单调递增,

则r(力=3o?一320在(一1,1)上恒成立，

当x=0时，0—320不成立，

所以不存在a使得/(x)在(-1,1)上单调递增，故B错误；

C：设切点为(/«,am7,-3m+1),则/'(〃?)=3am2-3,

所以切线为y-(am3-3w+1)=(3am1-3)(x-ni),

即y=(3am2-3)x-2am3+1,

若直线)，=-3x+l为切线，

।3am2—3=—3

则i，

-2am3+1=1

由aw0解得m=0,

此时切点为(0,1),故C正确；

D：当a=2时，f(x)=2x3-3x+1=(x-l)(2x2+2x-i),

令/*)=O,得x=l或2犬十2x-l=0,

对于•方程2/+2%—1=0,A=4+8=12>0,

方程有2个不同的实根玉，x2

由韦达定理得玉+x2=-1,

所以3个根之和为0,即/*)所有的零点之和为0,故D正确.

故选：ACD

12.答案：-17

解析：f(x)=3x2+2ajc-9,由题知/'(一1)=0,即3—2a—9=0,解得a=—3,

经检验，。=-3符合题意.

2

则/(工)=/一3九2一9工+10,f(x)=3x-6x-9=3(x+1)(x-3),令/'(x)=0,得

x=—\或犬=3.

当寸，r(x)>(),当一lvx<3时、<0,当x>3时，f'(x)>0,

所以当x=3时，取得极小值/(3)=-17.

13.答案：(-co,T)U(0,+a>)

解析：,.・y=(x+t/)ev•/.y=(x+l+a)e'，

设切点为(％,y0)，则v0=(x0+a)e"，切线斜率k=(%+1+a)e"，

切线方程为：y-(xo+〃)e"=(毛+l+a)e"(x-x0)，

切线过原点，「.-(Xo+a)e"=(x0+l+〃)e"(-而)，

整理得：尤;+叫-〃=0,

切线有两条，/,A=672+4«>0»解得'或。>0,

a的取值范围是(-oo,T)_(0,+oo),

故答案为：(YO,-4)U(0,+GO).

14.答案：e3

解析：作函数y=/(x)的图象，如图所示，

令),=2,解.得x=T或x=e2,

令y=3,解得x=—2或r=0或x=T,

由题意可知：直线y=a与)，=/(x)的图象有三个交点，贝Ij2<a43,

此时由二次函数图象的对称性知％+七=-2,

令q)=In/,可得x；,二e".

<，

则+/4-lnx3)=e(-2+«),

令g(a)=e"(-2+a),2<a<3,则g'(a)=e"(。-1)>0，

可知g(a)在(2,3］内单调递增,则g(a)的最大值为g(3)=e3,

所以毛(％+%+111天)的最大值为el

15.答案：(1)。=—3,b=—9；

(2)最大值为7,最小值为一20.

解析：(1)由题设，f\x)=3x2+2cix+b^又x=-l处取得极值7

所以=7，可得。=_3，〃=-9.经检验，满足题意.

尸(-1)=3-2〃+>=0

(2)由(1)知：/(工)=312—6X—9=3(X+1)(X—3)，

在［一2,-1)上八x)>0,/(x)递增;在(一1,2］上/(%)<0,/(x)递减;

在［―2,2］上的最大值为/(-1)=7,

而/(-2)=0,/(2)=-20,故在［—2,2］上的最小值为/(2)=-20,

综上，［-2,2］上最大值为7,最小值为—20.

16.答案：(1)/(x)=-+

x2+1

(2)g(x)是偶函数.理由见解析

⑶-

3

解析：(1)因为f(2x)=0善。+|JU，

V

所r-r以KI/z(-z上X)=-X-~-+-1+—2——1.

x2+1

(2)g(x)是偶函数.理由如下:

函数g(x)=|/(x)|的定义域为(TO,0)(J(0,xo)，关于原点对称，

rI、(―工)~+12'—1x~+11—2A„

且f(-X)=---——+-----=------+-----=-fM,

-A-+1X1+2、

因此g(-x)=|f(-x)1=1-f(x)|=g(x),即g(x)为偶函数.

(3)log30.5=-log32,由(2)可得f(x)是奇函数,

因此〃log32)+〃log30.5)=/0唱2)+〃—1限2)=0,

7

所以/⑴+/(10g32)+/(log30.5)=/(1)=-.

17.答案：(1)4尤+)，—5=0

(2)函数/(x)的单调增区间为(TO,-1)和(4,+8),单调减区间为(-1,4)；

/(X)mx=l,

解析：(1)当。=0时，/*)=士丰，

JT

2丫一6

.•./⑴=i,故r(i)=T,

A

故曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为y=万3-1)+1,即4x+y-5=0.

(2)由题意得/'(幻=2工2—。6工1—「2〃,且八—1)=0,

(一+。)

a—9丫

故8—〃=0,解得。=4,故/0)=「；---，xeR,

r+4

hi—c/Q2Y-6%-82(x+l)(x-4)

则")=/，八2=/,，

(r+4)(厂+4)

令/'(幻>0,得x〉4或x<-l；令/'(幻<0,得一1cx<4,

故函数/(x)的单调增区间为(-00,-1)和(4,+8),单调减区间为(-1,4).

所以/(幻的极大值为/(-1)=1，/(x)的极小值为/(4)=」.

4

又当(-oo,-l)时，3-2%>0,故/(x)>0；

当xe(4,+oo)时，3-2x<0,故/(x)vO,

;A")皿=/(T)=1，/(幻min=/(4)=一；・

18.答案:(1)(-oo,1］

(2)(-OO,1-73)

解析：(1)由/(幻=113得/'。)=%2一(租+］口.

3

因为/")在［2,+8)上单调递增，

所以7(X)=x(x-〃l1)20在［2,+8)上恒成立,

所以x-m-1>0,即〃zWx-1在［2,+oo）上恒成立,

所以"2«1,即加的取，直范围是(-8,1].

(2)因为力(幻=/⑶-g(x)='丁—〃?+1J+如」,

323

所以/?r(x)=(x-l)(x7").

令h\x)=0,角牟得x=加或x=1.

当团=1时，^)=(^-1)2>0,例幻在R上是增函数，不合题意.

当〃?<1时，令〃'(x)>0,解得XCFW或X>1,令力'(x)<0,解得〃2cx<1,

所以/?(x)在(Y0,〃7),(L+OO)上单调递增，在(〃?」)上单调递减，

所以h(x)的极大值/?(//；)=-^nr"+gm2-,极小值〃⑴二〃？.

若h(x)=f(x)-g(x)有3个零点，

则一4加3+,m2-_!.=-_!_("2-1)[6-(1-6)][m-(1+石)]>(),/??<!,

62362

解得〃2<\-yf3,

所以m的取值范围是(-8/-6).

19.答案：⑴/⑴在(o,e~)单调递增，在(e~,+00)单调递减

(2)证明见详解

(3)47<1

解析：(1)〃力的定义域为(0,