河南省开封市2024-2025学年高一年级下册期末数学试题（含解析）

河南省开封市2024-2025学年高一下学期期末调研考试

数学试题

一、单选题

1.下列各数中，是纯虚数的是()

A.0B.1+V3C.(l+@iD.1+6

2.设直线a,〃分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则。与〃()

A.平行B.相交

C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线

3.甲、乙两个元件构成一并联电路，设七=“甲元件故障“，尸="乙元件故障”，则表示电路故障的事件为()

------0-----

-----------h------/-----

A.EU尸B.EMC.EcpD.五不

兀

4.在V48c中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知a=l,b=2,C=一，Mc=()

3

A.75B.3C.D.7

5.从两名男生、两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样两种抽样方式下，

抽到的两人都是男生的概率分别是()

A，14,16B-6,4

「11nil

C.—»——D.——,—

812128

6.若2=太+4(乂>'€1^),n.|z-(l+2i)|=2,则()

A.(A：-l)2+(y-2)2=2B.(x-l)2+(y-2)2=4

C.(x+l)2+(>-+2)2=2D.(x+l)2+(y+2『=4

7.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风

风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对

应的向量大小相等，方向相反.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如

图所示（风速的大小和向量的大小相同，单位m/s）,则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹角

的余弦值是（）

O123x

A石Rx/5126n2x/5

5555

8.如图，以边长为2的菱形ABC。的一边AB所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体.

已知该几何体的体积为2兀，则该几何体的表面积为（）

D

A.2兀B.4KC.8兀D.16几

二、多选题

9.下列统计量中，能度量样本X”的离散程度的是（）

A.样本N，x”…,匕的标准差B.样本玉,勺，…，%的中位数

C.样本小七，…，/的极差D.样本玉,勺，…，七的平均数

10.已知复数z=l+i,则下列复数中虚部为（）的有（）

__z

A.24-ZR.z-2C.ZZD・一

z

11.如图所示，分别以等边三角形A8C的顶点4,B,C为圆心，线段43的长为半径画圆弧BC，AC，八8，

三段圆弧围成一个曲边三角形.已知9=2,。为A4的中点，点P,。分别在BC，AC上，若

ZPAB=ZCBQ+-f则（）

c

a

A.户回的最小值是2夜-2B.园可以取到2&

C.OAOQ.的最大值是20-1D.丽,。0可以取到1

三、填空题

12.己知2=(4,X),/；=(6,3),且力区，则工=.

13.某市为了调查教师对统计软件的了解程度，拟采用比例分配的分层随机抽样的方法从A,B,C三所学

校抽取60名教师进行调查，已知A,从C三所学校分别有180,270,90名教师，则从4学校中应抽取的

人数为.

14.已知VA4c的面积为若sinAsin3=cosAcos3=',则边A8=.

四、解答题

15.某市通过简单随机抽样，获得了1000户居民用户的月均用电量数据，发现他们的用电量都在

50~350kW.h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间〕，画出频率分布直方图如图所示.

⑵求在被调查的用户中，用电量落在区间［50,200)内的用户数：

⑶该市政府计划对居民生活用电残用实施阶梯式电价制度，即确定一个居民月均用电量标准。，用电量不

超过。的部分按平价收费，超出口的部分按议价收费.如果希望80%的居民生活用电费用支出不受影响，将

(i)从下面①②③中选出一定错误的结论：

41

①0+/=一②a+/?=l®afl=-

34

(")从(1)中选出一个可能正确的结论作为条件.用X表示收到的数字串，将X中数字1的个数记为〃(X),

如*="1011”，则〃(X)=3.若发送的数据为“U00”，求尸(〃(X)=2)的最大值.

题号12345678910

答案CDBAABBCACAC

题号11

答案AC

1.c

根据纯虚数的概念，可得答案.

【详解】由0,1+行为实数，复数1+/中实部为1,则ABD错误.

故选:C.

2.D

按直线的三种位置关系分析.

【详解】如图,长方体ABC。-ABC。'中,

当AB所在直线为。，BC所在直线为。时，。与〃相交；

当A5所在直线为小&C所在直线为〃时，”与〃异面.

故选：D.

3.B

根据并联电路可得答案.

【详解】因为甲、乙两个元件构成一并联电路，

所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，

所以表示电路故障的步件为EDF.

故选：B

4.A

根据题意，利用余弦定理，即可求解.

【详解】由余弦定理得。2="+从一2他cosC=l+4—2xlx2cosg=3,所以c=Q.

3

故选:A.

5.A

分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解即可.

【详解】将两名男生编号为〃，〃，两名女生编号为L2,记“抽到的两人都是男生”为事件A,

从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为：

(4〃),(4b),(a,1),(a,2),仍,a),s,份,s,1),s,2)

(La),(1,力,(1,1),(1,2),(2,㈤,(2,圾(2,1),(2,2)共16个样本点,

抽到的两人都是男生的样本点为3,。),(。力),伯,。),伯力)有4个样本点，

41

所以

164

从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为：

3,b),(a,l),32),(b,a),S,l),S,2),(1,0),(1,4(1,2),(25。),(2力),(2,1)共16个样本点,

抽到的两人都是男生的样本点为(a*)，S，。)有2个样本点，

21

所以。(㈤二百二二

126

故选:A.

6.B

由复数的模长公式，可得答案.

【详解】由|2_(1+2可=卜_1)+(),一2川=6"_|)2+()，—2)2=2,则(工一1『+()，-2『=4.

故选：B.

7.B

结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，再结合两

向量的夹角公式求解.

【详解】由题意及图得，

视风风速对应的向量为：H=(0,2)-(3,3)=(-3,-1),

视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，

船速方向和船行风速的向量方向相反，

设真风风速对应的向量为I，船行风速对应的向量为E，

，万=〃1+4,船行风速：%=一[(3,3)-(2,0)]=(-1,-3),

***n}=n—tiy=(-3,—1)—(—1,-3)=(-2,2),

一一~n-n6-2百

milcos</?,,n>=Tx---=-=---==—

则】同司2亚x而5-

故选:B.

8.C

作出示意图，由题意可得。到的距离，结合示意图，求得表面枳.

【详解】作出示意图如图所示：

该几何体下部分为圆锥，上部分为在圆柱内挖去一小个与下部分相同的圆锥,

设点。到AB的距离为4,由题意可得加)2=2兀，解得d=】，

考查所给的选项哪些是考杳数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.

【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度：

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；

故选：AC.

10.AC

利用复数的共扼复的概念，复数的加法，减法，乘法，除法运算法则，逐项计算即可判断正说

【详解】因为复数z=l+i,所以z+W=l+i+l-i=2,所以复数z+Z中虚部为0,故A正确；

因为复数z=l+i,所以z-5=l+i-(l-i)=2i,所以复数z-W中虚部为2,故B不正确；

因为复数z=l+i,所以玄=(l+i)(l-i)=2,所以复数公中虚部为0,故C正确;

后制.*“5l-i(1-i)2l-2i-l•

因为复数Z=l+1,所以-=「=/.\八.、=---二T，

zl+i(1+1)(I-1)2

所以复数三中虚部为T,故D不正确.

z

故选：AC.

11.AC

建立坐标系，根据题给条件，确定点A,B,C,。的坐标以及圆弧半径；参数化点P,Q,得出相应参数后

坐标；根据向量模长和数量积运算法则，结合三角函数特性，分别对各选项进行计算判断.

【详解】设A(0,0),*2,0),

根据等边三角形性质，则C(L6卜。为4B的中点，故0(1,0);

圆弧8C以A为圆心，半径为2：AC以8为圆心，半径为2.

设=则P在8C上，坐标P(2cosa,2sina)Me[30',60].

NC8Q=4,且a=£+30",故〃e[0,30].

Q在AC上，以8(2,0)为圆心，方向角。=90°+a,坐标。(2-sina,2cosa).

计算尸Q=*Q-xp,yQ->,p),得：|而卜2#-2(sina+cosa)=213-2应sina+£

\I4

在ae[30:60]时，最小值a=45,处：

|P0|=2^3-2夜=2尤-2,故A对.

IImin

|P0的最大值在a=30‘或60’处：

|而|=2庐耳<2加,故B错.

IImux

计算点积：OP-OQ=2(sina+cosa)-1=2>/2sinf«+--1

当a=45"时取最大值：(炉碇)山=2&-1,故c对.

点积最小值在a=30,或60处：

(而.丽).=x/3>l,故D错.

\/min

故选：AC.

12.2

根据题意，结合共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.

——4Y

【详解】由向量a=(4,x),〃=(6,3),因为3/4，可得工=彳，解得x=2.

63

故答案为：2.

13.20

根据题意，得到A,B,C三所学或教师的人数比为2:3:1,进市求得A学校中应抽取的人数，得到答案.

【详解】由题意知，4,B,C三所学校分别有180,270,90名教师，

可得A,B,C三所学校教师的人数比为2:3:1,

2

所以三所学校抽取60名教师，其中4学校中应抽取的人数为人.

故答案为：20.

14.V2

根据题意，求得8s(A+8)=。，得到VABC为直角三角形，再由VABC的面积为:，求得而二g,结合

a=csinA,b=csinB,H.sinAsinB=-,得到/x■!■="!■,即可求解.

442

【详解】因为sinAsin8=cosAcos3,可.得cosAcosA-sinAsinA=cos(A+4)=。，

又因为/\+8+。=兀，所以COSC=0,可得C==,即VABC为直角三角形，

2

因为VA8C的面积为:，可得;就=；,解得"=3，

乂因为a=csinA,b=csinB,且sinAsinfi=—,

4

可得(？sinAsin8=",即。",二万，可得c?=2,所以c=&.

故答案为：近.

15.(l)x=0.0044

⑵600

(3)合埋，埋由见解析

(1)根据频率和为I,列式计算求出参数；

(2)先计算频率再计算用户数；

(3)应用频率分布直方图列式计算频率结合已知说明理由.

【详解】(1)根据频率和为I,可知

(0JX)24+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)x50=l,计算得：x=0.0044；

(2)(0.0024+0.0036+0.0060)x5Oxl(XX)=6OO；

(3)(O.(X)24+O.(X)36+().(X)60+O.(XM4)x5()=().82,

合理，样本的第80百分位数接近于250,由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差,

在实际决策中，只要临界值近似为第80百分位数即可，为了实际中操作方便，

可以建议市政府把月均用电量标准定为250kW.li.

16.(l)-v।>'1=0(x#0)

(2)x=±l

(1)求得向量而，衣的坐标，结合向量的数量积的坐标运算求解即可；

(2)由题意可得|网=2,结合向量的模的坐标运算可求解.

【详解】(1)因为牖=(1J),4C=(x,y-l),

又通而,所以x+y-l=0(x=0)；

iiiLin

(2)因为卜8=&,而在/上的投影向量的长度为

根据投影的定义及(1)中解答，所以|比卜2,又加=(x-1,)，-2),

所以函=J(X_1)2+(),_2)2=4_1)2+*1)2=以+2=2,解之得户±1.

17.(1)证明见解析

⑵AE_L平面斗反:不成立，证明见解析

(1)先应用中位线得出线线平行，进而结合线面平行判定定理证明线面平行；

(2)假设AEJ•平面AEC,根据反证法得出矛盾即可证明.

【详解】(1)连接3。与AC交于点O,连接EO,

E,。分别是与80的中点，所以E0/42,

又EOu平面4EC,平面NEC,所以8。//平面4EC,

(2)4石，平面AEC不成立.

记A8=A£>=a,A4=2h,若A,E_L平面AEC,ECu平面AEC,则AE_LEC,

因为4石2=/+/，EC2=a2+b\4。2=2/+4/，

由于入炉+国丁工八02,所以AEJLEC不成立，

所以AFJ.平面4比不成立.

18.(1)证明见解析

⑵44=半

(1)由余弦定理可得COS8='+C2-”，由余弦定理得明：=(。+/-2乂*”烟8,代入整理可得结

2ac12J2

论;，

(2)由已知求得48,AO,A'C与/VT的关系，进而结合(1)可得/AA=g网/1W砌工，求

解即可.

【详解】(1)由余弦定理的推论，得cosB="+/―/,

(2)由已知易知：44'_|_平面处

A

ZARA'=45。，ZAQA'=60。，Z4C4r=30°,

A'C

B

AA1AAr

AfB=A4',A'O=—AAf,A'C==yj3AAr,

tan45°tan60°3tan30°

乂。为4c的中点，BC=2,

由（1）可得：AfO=-^2（AfB2+^C2）-BC2,即

与AA1=^2(A4,2+3A4,2)-4,

解之可得：44=姮.

5

19.（1）答案见解析

(2)(i)②③一定错误；(ii)—•

LI

（1）利用概率的乘法公式，根据作差法，可得答案;

（2）（i）由题意建立不等式组，根据不等式的性质,可得答案；（ii）由题意分情况计算概率，整理函数解

析式，可得答案.

【详解】（1）由题意,R=ap,1=（"<）（1一夕）,[-6=凶_(1_可(1_/)=。+67,

当0<a+/?<1时，"2；

当a+夕=1