湖南省永州市某中学2025-2026学年高一直升班上学期拓展研学（一）暨第一次月考数学试题

湖南省永州市第一中学2025-2026学年高一直升班上学期拓

展研学（一）暨第一次月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列五个写法：①{0}E{1,2,3};②0q{O};③{0,1,2}土{1,2,0};@Oe0;⑤

010=0，其中错误写法的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.有三支股票45,0,28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票•在不持

有A股票的人中，持有8股票的人数是持有C股票的人数的2倍•在持有A股票的人中，只

持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1•在只持有一支股

票的人中，有一半持有A股票•则只持有5股票的股民人数是（）

A.7B.6C.5D.4

3.设xeR，则"0<x<5"是“卜_]|<1"的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.集合力={1,2,3卜ALU={123,4,5,6}，则满足条件的集合B的个数（）

A.4B.7C.8D.16

5.已知某班有50名同学.据统计发现同学们喜爱的第33届巴黎奥运会的比赛项目都集中

在乒乓球、跳水、射击这三个比赛项目.13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳

水比赛，2名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有14名，喜欢乒乓

试卷第11页，共33页

球与射击比赛的同学有11名，喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓

球、跳水、射击比赛的同学有（）

A.8人B.7人C.6人D.5A

6.关于x的不等式/_（0+1）X+〃<0的解集中恰有2个整数，则实数。的取值范围是

（）

A-[-2,-l)U(3,4]B.k2,-卜[3,4]

C(-l,0)U(2,3)D-[-l,0]u[2,3]

7.若。>”则()

A-ln(a-b)>0B-30<3〃Ca3-b3>0D.同》同

8.己知正数“，b满足〃+2b=2,则/+4/+g+二的最小值为（）

ab

A.10B.12C.14D.16

二、多选题

9.若3<3了<47—4・八则下列结论正确的是（）

A.4x<4yB.x<yC.2-y<rxD.尸3>/

10.下列函数中是偶函数，且在区间（0,1）上单调递增的是（）

A.吁一2B.y=-

x

C』|+百“k百

11.若正实数“，/）满足4+6=］则下列说法正确的是（）

试卷第21页，共33页

B.4+6有最大值及

A.帅有最大值a

/+〃有最大值;

C.上+J■有最小值2D.

ab

三、填空题

12.已知5＜/+/=0,”/?)，则x?+炉的最小值是一•

13.若实数满足"2°'此°，且"=°，则称"与"互补.记。(2)=""一”生

那么‘%(4力)=0"是““与人互补”的一条件.

14.若函数/(x)=Hx_H(O«xW2)的最大值是L则实数a的值是——•

四、解答题

15.己知/(x)是二次函数,且〃0)=1，/(x+l)-/(x)=2,v

(1)求f(x)的解析式；

Q)求f(x)在区间[0川上的最大值•

16.已知集合A为非空数集，定义：S=｛x\x=a+b,a,beA]»T=^x\x=\a-b\,a,beA]

(实数〃，〃可以相同)

(1)若集合＜=｛2,5｝，直接写出集合S、丁；

(2)若集合公卜网办,“'演。2＜占。4，且7=心求证：

(3)若集合公｛X|OW2021”N｝，Sc7=0，记回为集合A中元素的个数,求㈤的

最大值.

试卷第31页，共33页

《湖南省永州市第一中学2025-2026学年高一直升班上学期拓展研学（一）暨第一次月考

数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CABCAACCBCAD

题号—11

答案AB

1.C

【分析】根据“w”用于元素与集合，“c”用于集合与集合间判断出①⑤错，根据0是

不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错•；根据集合元素的三要索判断

出③对.

【详解】对于①，是用于元素与集合的关系，故①错；

对于②，0是任意集合的子集，故②对；

对于③，根据集合中元素的无序性可知两个集合是同一集合，任何一个集合都是它本身的

子集，故③对；

对于④，因为0是不含任何元素的集合，故④错；

对于⑤，因为“c”用于集合与集合，故⑤错.

故错误的有①④⑤，共3个，

故选：C.

2.A

【分析】通过设出只持有A股票的人数和只同时持有了B和C股票的人数，表达出持有不

同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有8股票的股民人数.

【详解】由题意，

设只持有A股票的人数为X，

则持有A股票还持有其它效票的人数为X-1（图中d+e+/的和），

答案第11页，共22页

•・•只持有•支股票的人中,有一半没持有8或C股票，

・•・只持有了4和0股票的人数和为x（图中〃+c部分）•

假设只同时持有了8和0股票的人数为〃，

1•X+¥-I+X+a=28'即3X+a=29'

则X的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1,

与之对应的。值为2,5,8,11,14,17,20,23,26，

•・•没持有A股票的股民中，持有8股票的人数是持有C段票的人数的2倍

,,a+b=+,即X-a=3c，

X=8,a=5时满足题意，此时c=1,6=7,

・•・只持有4股票的股民人数是7，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重

点是求持有A股票的人数，利用韦恩图结合条件即得.

3.B

【分析】求出卜一1|＜］的解集，根据两解集的包含关系确定.

答案第21页，共22页

【详解】,_“<1等价于0<x<2,故0<x<5推不出,一1卜1：

由,一1|<1能推出0<x<5.

故"0<x<5”是“|x—1|<1"的必要不充分条件.

故选B.

【点睛】充要条件的三种判断方法：

(1)定义法：根据〃=分夕=P进行判断；

(2)集合法：根据由p,夕成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题

进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.

4.C

【分析】根据题意，分析可得集合8中必须有4、5、6这三个元素，而1,2,3这三个元

素可能含有，即台的个数等价于集合",2,3｝子集的个数，由集合的子集与元素个数的关系，

分析可得答案.

【详解】根据题意，满足题意条件的集合8中必须有4、5、6这三个元素，

而1,2,3这三个元素可能含有，

则B的个数等价于集合｛1,2,3｝子集的个数，

集合｛1,2,3｝有3个元素，有2,=8个子集：

故选：C.

5.A

【分析】根据给定条件，借助韦恩图，结合容斥原理列式计算即得.

【详解】如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有x人，

答案第31页，共22页

由图可知。4一.1)+(11—幻+(1()—幻+》=50—10—13—8，解得x=8

所以该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人.

故选：A

6.A

【分析】分类讨论，确定不等式的解集，根据不等式解集中恰有2个整数，即可求得实数

。的取值范围.

【详解】由工2一（a+］）x+Q〈o可得（工一1）（工一0）<0;

若〃一］，则不等式解集为空集；

若〃>1，则不等式的解集为｛x［l<x<0，此时要使不等式解集中恰有2个整数，

则这两个整数为2、3,贝

若〃<1，则不等式的解集为｛x|〃vx<l｝，此时要使不等式解集中恰有2个整数，

则这两个整数为-1,0;所以-2Ka<-1;

综上或-2WavT'

故选：A

7.C

【分析】思路一：结合对数函数、指数函数以及累函数的性质逐一判断即可；思路二：由

排除法即可求解.

【详解】解法一：

选项正误原因

答案第41页，共22页

AX

因为。>5,所以4一人缶0，而］n(a-6)>0的充要条件为“一〃>1

BX

y=3、在R上是单调递增函数，由"6得3”>3〃

CJ

y=F在R上是单调递增函数，由得『一川〉o

DX

若。为正数，6为负数，满足不一定满足时>例

解法二：(特值排除法)A项：取a=2，b=l，则ln(a-b)=lnl=O,排除A项；

取4=2，6=1，则32>3］，排除B；D项：取〃=一1，b=-2,则同=1<例=2，排除D.

故选：C.

8.C

【分析】根据基本不等式求出和号+网的取值范围，求出/+4//+色+即的最小

abab

值.

【详解】因为2(/+4/”(。+2〃)2=4,

所以/+4〃2之2,当且仅当。=28=1时等号成立，

y82a4a+8/>2a,Sh2a._18b2a,_

abababNab

当且仅当〃=26=1时等号成立，

所以/+462+g+即214,当且仅当""2b=l时等号成立.

ah

故选：C.

9.BC

【分析】将不等式变形后得到3；4-X<3，_4-，，构造函数，根据函数的单调性得到］<九

答案第51页，共22页

从而AD可举出反例，C可根据函数单调性得到.

［详解】由3,-3,<4r-年，变形得到3'-4一、<V-4-y，

令/(工)=3'-4"显然/(x)在R上为增函数，

所以X<y,显然B正确：

A选项，若x<0或y<o时，A不满足要求，舍去；

C选项，故2r<2、'C正确；

D选项，不妨设x=2/=3，则3。v2"，即y"<x"，D错误，

故选：BC

10.AD

【解析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性•

【详解】A,因为/(T)=(T)2_2=X2_2=〃X)，y=f_2是偶函数,在区间(0,1)上为

增函数，符合题意；

B,因为/(r)=2~=-2=-/(八)，y=2是奇函数，且在区间(°，”上为减函数，不符合

-XXX

题意；

C,因为/(-xhl-xl+Jfqxl+LM/a)，y=|x|+」(xH。)是偶函数，当X"")时,

|--v||x||x|

y=X+'单调递减，不符合题意；

X

D,因为=j彳='=/(4)，y=心(x¥0)是偶函数，且在区间(°'D上为增函数，

符合题意.

故选：AD

答案第61页，共22页

11.AB

【解析】对A,根据基本不等式求打的最大值；

对B,对a+&平方再利用基本不等式求最大值；

对C,根据―+；=@+£|(〃+8)再展开求解最小值；

对D,对°+人=1平方再根据基本不等式求最值・

【详解】对A91'±Wj=(lj=L当且仅当。时取等号.故A正确.

*JB,=4+8+2而$4+匕+。+8=2,故G+6=当且仅当〃=b=g时取等

号.故B正确.

对C，LL仕+”(〃+m2+2+麋2+2、匠=4•当且仅当时取等号•所以

ab(ab「7abNab2

_L+_L有最小值4.故C错误.

ab

对D,(。+32=1=。2+2M+〃=1〈/+(〃2+/)+/,即/+/2；,故/+〃有最小值3

故D错误.

故选：AB

【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形，再

利用基本不等式.属于中档题.

答案第71页，共22页

【分析】根据题设条件可得X、。，可得/+y2=W+）,2={+半，利用基本不等式

5j广5y5y5

即可求解.

【详解】vSx2y2+/=1

.y*02i-/

,♦且X=寸

2+八7+户力92必孝十当且仅当奈岑，即时取等

号.

..・一+/的最小值为

故答案为：

【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确

理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是,

其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）：三相等是，最后一定要验证等

号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用之或工时等号能

否同时成立）.

13.充要

【分析】判断=〃与6互补是否成立，再判断。与互补=伊（4〃）=0是否成立,

再根据充要条件的定义，我们即可得到结论.

【详解】若/（“,、）=JcJ+Z/_4_力=（）,则J/+/=4+620,

两边平方解得帅=0,结合〃+/,20,知4/至少有一个为0,另一个为非负数，

答案第81页，共22页

故QN0,6N0，即。与b互补；

若a与〃互补时，易得岫=(p故至少有一个为0，且“20/2

若”0,620,此时TTTP'——b=0'

问理若6=。，心0,此时庐不-

即0(4,6)=0»

故>(a,/))=0是。与。互补的充要条件。

故答案为：充要.

14.2或2

2

【分析】将函数写成分段函数形式，再分〃40和〃>0讨论.当〃40时，函数/&)在[0,2]

单调递增，由此求出“外的最大值为"2)；当时，又需要分@22,匕立4K2和

22

分别求出"外的最大值，求解出“的值即可.

£<2+三种情况分别讨论，

22

分〃<0，a,a”2，a>2三种情况，分别研究分段函数的单调性，求出八口的最大值.列

式求解a的值即可.

【详解】/(x)=x|x-a|=H+^

x<a»

x>a

⑴当/。时，因为0八工2,则X”成立，

答案第91页，共22页

故/（X）=X|A:-«|=X2-ax=（x--^）2-?，

对称轴为、=gW0,则/（'）在电2】上单调递增,

2

/⑺皿=/⑵="2=1

所以。=3,与矛盾，故舍去；

2

（2）当〃>0时，/5）的大致图像如下：

“求得/'（｛!=/（竽j

①当外2,即时，

2

2

/（X）在［。,2］上单调递增，/（x）|nax=/（2）=-2+2a=\

则与""矛盾，故舍去：

②当匕正。二2，即夜-1）时，

2.

/（X）在3］单调递增，或⑼单调递减，32］单调递堵,

答案第101页，共22页

且〃2)”(¥“=/助

则/(x)a=/(2)=22-2a=l，

解得〃=3,与0＜。"(应-1)相符;

2

③当〃＜2＜1+亚Q.即4(血一1)＜。＜4时，

22

/(')2=伶-空+2”

解得。=2,与4(/相祢

a1

综上所述，的值为士或2.

2

故答案为：3或2.

2

^5.(l)/(x)=x2-x+1

(2)答案见解析

【分析】⑴设/'(x)=+bx+c，由/(0)=1，求得。=1,再由/(x+1)-f(x)=2x，

列出方程组，求得a=l,b=-l，即可求得函数/(x)的解析式；

(2)由(1)知/(x)=(x—；)2+:,结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】(1)解：根据题意，设/(x)=ox，+bx+c3H0)，

因为"0)=1，可得。=1，即/(X)=Q./+6+1，

答案第111页，共22页

又由/(x+l)=67(x+l)2+Z)(x+1)+1=ax2+(2a+b)x+a+b+\»

且/(x)+2x=o?+S+2"+l，

又因为y(x+l)-/(x)=2.r»即/(x+l)=/(x)+2x»

所以ax2+(2a+b)x+a+b^\=ax2+(h+2)x+1，

可得产+b="2,解得仁"=T,所以/⑺--川

a+b+\=1

(2)解：由(1)知/(x)=x2—x+l=(x—；>+

可得函数/(X)的图象开口向上，且对称轴为x=1,所以⑴，

2

当0</vl时，根据二次函数的时称性，可得/(0)>/(1)，

所以函数/(x)在区间［0/上的最大值为/(o)=i；

当年1时，根据一次函数的对称性，可得/«"/(())，

所以函数/(力在区间［0,/］上的最大值为/初.2琅国,

综上可得，当0</<1时，/(X)的最大值为1;当/N1时，/(X)的最大值为『诙同］•

16.(Ds={4,7,10}；7={0,3}

(2)证明见解析

(3)1348

【分析】(1)根据题目的定义，直接计算集合S,r即可；

(2)根据集合相等的概念，证明即可；

⑶通过假设集合力=W，〃7+L〃?+2「・,2021}(〃?eN)，求出对应的集合S,T,通过

答案第121页，共22页

ScT=（h建立不等式关系，求出对应的值即可.

【详解】（I）因为集合力={2,5}，S=[x\x=a+b,a,bEA]*T={x\x=\a-b\,aybe,

所以由2+2=4,2+5=7,5+5=10，可得S=[4,7,10}，

|2-2|=0,|5-5|=0,|2-5|=3*可得7={0,3}・

（2）由于集合彳Hf%看,、）玉<》2<上<七'

ff

则7集合的兀素在0，x2-x1»x3-x}•x4-Xj»x3-x2x4-x2工4一七中，

且0<X2-X[<x3-Xj<x4-X|»x4-Xj<-x2<x4-X]»

而/=T，故A中最大元素看必在7中，而七-司为7个元素中的最大者，

故匕=》4一工[即菁=0，故4={O,X2，X3，xJ，

故厂中的4个元素为0,七，刍，七，

旦43-&，X4-x2»X4-M与工2，X3»XA重复，

而0<X3-X2<x3»故X3-/即±=2工2'

而0<乙_均<、4，故0<14一》3<》4，故与一工3=工2或乙一七二、3，

若％彳则力与题设矛盾；

4=2%3=42,={0,42,24,40}，4X2-X2=3X2T»

^-x4-x3=x2即x4+芭=x.+x2-

（3）设/={《,生,…4}满足题意，其中4

则2q<%+%<q+%+%<a2+ak<ai+ak<,,,<ak-\+ak<2。」

a<aa<aaff

・小|22"[，«|<a2~i3~i<,"k-i\T\>k

答案第131页，共22页

•・・Scr=0,由容斥原理|Su7|=|S|+r|23"l，

SU7中最小的元素为0,最大的元素为2%，|Sur|w2%+l，

••・3”-lM2%+144043（A21,%wN），即次-1W4043，・,・A41348.

实际上当4={674,675,676,…2021}时满足题意，

证明如下：设力=卜％加+1,机+2,…,2021}，"】eN，

贝US={2〃?,2m+1,2m+2,…，4042}，7={0』,2,…，2021—切卜

依题意有2021一“<2〃，即心673：,

故〃?的最小值为674,于是当机=674时，4中元素最多，

即A={674,675,676,…,2021}时满足题意，

综上所述，集合力中元素的个数的最大值是1348.

【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新

运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这

样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所

以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

17.（"*）=2sinx,/（x）的对称轴方程为』〃+§良工）.

（2）（i）（_邪,有）,（ii）证明见解析.

【详解】解法一：（1）将g（x）%osx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标

不变）得到》=2c。"的图像，再将，=2cosx的图像向右平移工个单位长度后得到

2

答案第141页，共22页

y=2cos（x-1）的图像，故〃x）=2sin"，从而函数八、）=2sin”图像的对称轴方程为

x=I<兀+eZ).

(2)1)f(r)F^(r)H?sinrl^osrcosx)

=>/^sin（x+@）（其中疝伊二七^^即二专）

依题意，sin（x+*尸金在区间［°'2/内有两个不同的解°，?当且仅当|去|<1,故m的取

值范围是（—石，石）.

2）因为Q/是方程后sin（x+8）=m在区间［。，2兀）内有两个不同的解,

所以sin(a+g)=莹，sin(夕+尹)=5•

当1<时，a邛=2([_(p),a-p=兀-2<。+</?);

当-^<m<l时，二+夕=2（=一⑼,。—夕=3乃一2（夕+⑺;

所以cos(a—6)=—cos2(6+(/>)=2s\n2(p+(p)-\=2(-^)2-1=-y—1.

解法二：（1）同解法一.

（2）1）同解法一.

2）因为a,夕是方程后sin（x+0尸m在区间［°，2乃）内有两个不同的解，

答案第151页，共22页

所以sin(ct+w)=《r,sin(P+e)=三

当1<m<V5时，。邛=20-①）,即a+力=江一（夕+⑺;

当一出<m<l时，。+夕=2（当-⑺,即Q+力=3九一（夕+⑺;

所以cos(a+<p)=-cos(0+0)

T是cos(cz-0)=cos[(a+p)-(/3+(p)]=cos(a+(p)cos(p+0)+sin(cz+(/))sin(尸+(p)

2m2

=-cos2+0)+sin(a+(p)sin(0+(p)=-[1-(-^)2]+(云了=--------1t

5

考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式.

18.⑴函数/（力是定义在12,2］上的增函数•

⑵吴

(3)—；,0

【分析】（I）利用函数单调性的定义即可得到结果.

（2）由第一问的结果增函数即